河南安阳市第一中学2025-2026学年下学期练习（6）高三年级数学试题

**基本信息** 高三数学周测试卷，以基础巩固为基、能力提升为脉、创新应用为峰，覆盖函数、几何、概率等核心模块，通过生活情境（如取球概率、掷骰子游戏）与数学文化（如“等腰四面体”）题设计，适配高考复习阶段性需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、逻辑、数列、解析几何|第3题“k等差数列”创新定义，考查抽象能力| |多选题|3/18|直线与圆、数列、立体几何|第11题“等腰四面体”融合数学文化，体现几何直观| |填空题|3/15|三角、斜二测画法、计数原理|第14题正方形染色计数，考查应用意识| |解答题|5/72|解三角形、立体几何、概率统计、导数、解析几何|第19题椭圆折叠问题，综合空间想象与解析几何，凸显逻辑推理|

2025-2026学年下学期练习（六） 高三年级数学试题 时间：2026年4月25日 一、单选题(每题5分，共40分) 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知a，b为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为k的等差数列，则称数列为“等差数列．已知为“等差数列，且，则（   ） A．91 B．111 C．121 D．133 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A，B，点P为右支上异于B的一点，过P作x轴的垂线，垂足为N，若的面积，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 5．已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与、分别截于、.如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分别为，，则必有（    ） A． B． C． D．的大小不能确定 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知直线和圆，则（    ） A．直线l恒过定点（2，0） B．存在k使得直线l与直线垂直 C．直线l与圆O相交 D．若，直线l被圆O截得的弦长为 10．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 11．数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（    ） A．“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形 B．“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形 C．三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为 D．三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为 三、本题共3小题；每小题5分，共15分. 12．已知，则______. 13．如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是__________． 14．一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______. 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分） 15．在中，已知，且． （1）求角的大小； （2）若，为中点，且，求的面积． 16．如图，已知圆台的上、下底面圆的圆心分别为和，四边形为下底面圆O的内接正方形，且，，为上底面圆上两点，为的中点，且满足平面平面，. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为， 求点到平面的距离. 17．小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． （1）规定第一次从小明开始，在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； （2）若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． 18．已知函数 （1）证明：在上恒成立； （2）已知，若存在极大值M，且，求实数a的取值范围． 19．已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上任意一点，且面积的最大值为所在的直线经过椭圆的中心，现将坐标平面沿轴折成一个直二面角，如图1､2所示. （1）求椭圆的标准方程； （2）当不在轴上时，如图2，求面积的最大值. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年下学期练习（六）参考答案 1--8CABBD DDC 9、BCD 10、CD 11、ABC 12、243 13、14 15、82 15．【详解】（1）， ，即， ， 或， 又，为三角形的内角且，，． （2）在中，，① 在中，因为为中点，所以， 由余弦定理得，② 由②-①，得，③ 将，代入③式，解得，， 将，代入②式，解得， 所以的面积． 16．（1）证明：取的中点，连交于． 在正方形中，由于为的中点，因为，，， 可得≌，则， 因为，所以，得到，即． 因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面，所以． （2）以为坐标原点，过点作平行的直线分别为轴，轴，以所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系．则， 由于圆半径，为上底面圆上一点设， 故． 设平面的法向量为，由，得故， 设与平面所成角为，则 平方后整理方程得，解得或（舍） 所以，，所以点到平面的距离. 17．（1）小芳投掷一次后，出现点数之和是4的倍数的概率为， 由题意知可取值为，则： ， ， 数学期望为：. （2）若第一次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况： 第一种情况：第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为， 第二种情况：第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为， 由于这两种情况彼此互斥，所以， 所以，且，所以，即. 18．（1）设，， 则，令，则， 所以在上单调递减，又，所以在上恒成立， 所以在上单调递减，又，所以在上恒成立， 所以在上恒成立. （2）因为，所以，， 当时，，，在上单调递增，无极值； 当时，由，得， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以当时，有极大值M，且， 所以，即， 设，因为，故有， ，的判别式，所以， 从而在上单调递增，所以根据可得. 19．（1）椭圆C的标准方程为. （2）设翻折前所在直线方程为，联立，消得，设（令），由韦达定理有. 翻折后，， 故， 则，所以， 于是. 即 ， 令，有，于是. 令，由对勾函数的性质，在上单调递增. 所以当时取得最小值，为，此时取得最大值， 的最大值为.此时，解得. 所以当直线的斜率时，面积取得最大值，最大值为2. 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $