河南安阳市第一中学2025—2026学年下学期练习（5）高三年级数学试题

**基本信息** 高三数学周测试卷，通过基础题巩固核心概念，综合题融合创新情境（如物种捕获统计）与跨模块应用（导数证明数列、立体几何新定义），适配高考命题趋势，培养数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、统计分位数、不等式、椭圆|基础概念辨析，如集合运算、充分必要条件判断| |多选题|3/18|复数、函数性质、导数极值|多选项分层考查，如函数奇偶性与单调性综合| |填空题|3/15|函数奇偶性、积分、等差数列|核心公式应用，如等差数列前n项和性质| |解答题|5/77|解三角形、概率统计、导数证明、立体几何新定义、双曲线|综合与创新，如物种捕获统计建模、立体几何“外积分”新定义、导数证明数列不等式|

2025-2026学年下学期练习（五） 高三年级数学试题 时间：2026年4月18日 一、单选题(每题5分，共40分) 1．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（    ） A． B． C． D． 3．已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设是过椭圆右焦点的弦，那么以为直径的圆必与椭圆的右准线（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交或相切 6．在中，点是边上的四等分点，且，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D． 7．已函数图像关于原点对称，且，将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像对应的函数为，则（   ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，设，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知复数在复平面上对应的点为，且满足，则（    ） A． B．的轨迹是 C．到直线的距离的最大值为 D．到圆上点的距离的最大值为 10．对任意，函数都满足，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．直线是曲线的切线 11．已知函数，，为的极大值点，，则（   ） A． B． C． D． 三、本题共3小题；每小题5分，共15分. 12．函数是偶函数，则_____________． 13．___________ 14.  设等差数列前项和，若 ，则___； 若 则=_____. 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分） 15．在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若是边上一点，，，求的周长. 16．某区域中的物种拥有两个亚种．设从该区域中随机捕获1个物种的个体，该个体为种的概率为，为了估计该区域中物种的个体总数，研究人员从该区域中随机捕获3个个体，设3个个体中种的数目为，再将捕获的个体全部放回，作为一次试验结果，重复上述试验共6次．记第次捕获时种的数目为．统计结果如下表： 1 2 3 4 5 6 3 3 2 3 1 3 (1)求的分布列； (2)设函数，已知该区域中种的个体数为180．（将使取得最大值的值作为的估计值） （i）求的估计值； （ii）据（i）估计该区域中物种的个体总数． 17．已知函数． (1)求函数的最大值； (2)已知为数列的前项和，证明：． 18．已知两个非零向量，的夹角为，定义与的外积分记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，. (1)求的值； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若为上一点，，求. 19．已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． (1)求的方程． (2)求面积的最小值． (3)试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 数学练习五参考答案 CBBDB DAC AC ACD ABC 12． 13. 4 14.0, 2026 11【详解】因为，设， 则，当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，当时，即， 而，故存在，使得即， 且时，即，当，即， 故为的极大值点即， 由前述分析可得也是最大值点且，故B正确. 而，而， 故，即A正确. 易知，当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 因为，故为方程的解， 当时，，而，此时方程无解； 当时，设， 因为在上为增函数，在上为减函数， 故在上为增函数，而， ，故在上存在唯一的零点， 而当时，因为在上为减函数，故， 当时，恒成立，故无解， 综上，即，故C正确，D错误. 15【详解】（1）由题意知，，即，即. 因为，所以， 即，所以， 又，， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以，则. （2）设，则，，即， 故，故， 所以，可得， 在中，由余弦定理可得， 即，联立解得，，所以的周长为. 16．【详解】（1）依题意，的所有可取值为，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）由统计表，得 ， 求导得，当时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，所以. （ii）设该区域中物种的个体总数，由该区域中种个体数为180， 得该区域中种的数目为， 由（i）得从该区域中随机捕获1个个体，该个体为种概率的估计值， 因此，解得，所以估计该区域中物种的个体总数为1080. 17．【详解】（1）因为，其定义域为，又，且，令，可得， 令，解得，令，解得， 故在单调递增，在单调递减. 则，即函数的最大值为 （2）由（1）知，当时，，即， 令，则， 即， 所以， 即，即，得证. 18．【详解】（1）在四棱锥中，底面为矩形，底面， 以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，得， ，， ， ， ， 化简得， 即，又，解得. （2）若为线段的中点，有， ，设平面的一个法向量为， ，令，则，即， 又，设直线与平面所成角为， 则. （3）为上一点，设，， 则，设，， ，又，， 则有，解得， 所以，， 又，则. 19． 【详解】（1）设的焦距为，则． 当直线垂直于轴时， 将代入的方程，得，解得， 所以，又， 所以的面积为． 由，解得， 所以的方程为． （2）由（1）知，易知直线斜率不为0， 设直线． 由，得， ， 易知，所以． ， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为1， 则，所以面积的最小值为6． （3）假设存在，不妨设， 则 将和代入， 可得 若为定值，则， 解得，此时， 所以轴上存在定点，使得为定值． 答案第6页，共6页 答案第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $