5.1比、比例及其性质-比的意义-课件2025--2026学年沪教版（五四制）数学六年级下册

第5章 比与比例 5.1 比、比例及其性质 比的意义 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 同学们大家好，欢迎来到空中课堂，我是来自上海市延安初级中学的数学朱老师.之前同学们已经学习了分数，在此基础上，今天我们将开启新一章的学习. 1 小海和乐乐在篮球场上定点投篮， 小海投了10次，进球6次； 乐乐投了10次，进球5次. 就这次的成绩，谁的投篮水平更高呢？ 问题1 因为投球数相同， 进球数6>5， 所以小海的投篮水平更高. 问题引入 首先请同学们看这样一个问题：小海和乐乐在篮球场上定点投篮，小海投了10次，进球6次；乐乐也投了10次，进球5次.就这次的成绩，谁的投篮水平更高呢？ 小明的回答是“因为投球数相同，进球数6大于5，所以小海的投篮水平更高”.也就是说在投球数相同的情况下，我们只要比较进球数就可以了. 2 小海和乐乐在篮球场上定点投篮， 小海投了15次，进球6次； 乐乐投了10次，进球5次. 就这次的成绩，谁的投篮水平更高呢？ 问题1 用除法可以表示两个数或两个量的倍数（倍分）关系. 投篮水平的高低，不是简单地比较进球数， 分析 问题引入 而是比较 进球数占投球数的几分之几. 如果现在改变条件，小海投了15次，进球6次；乐乐投了10次，进球5次，两人的投球数不同时，还可以只比较进球数来判断投篮水平的高低吗？ 此时我们可以发现投篮水平的高低，不是简单地比较进球数，而是比较进球数和投球数这两个量的关系.那么我们可以用怎样的方式刻画投球数和进球数之间的关系呢？根据之前学习分数的经验，我们可以用除法表示两个数或两个量之间的倍数（倍分）关系.比如进球数除以投球数表示进球数占投球数的几分之几；又或者投球数除以进球数表示投球数是进球数的几倍.这里我们不妨选择比较进球数占投球数的几分之几来评判两人投篮水平的高低. 那么进球数占投球数的几分之几，这个结果越大，投球水平越高？还是越小，投球水平越高呢？显然是越大，投球水平越高. 3 小海和乐乐在篮球场上定点投篮， 小海投了15次，进球6次； 乐乐投了10次，进球5次. 就这次的成绩，谁的投篮水平更高呢？ 问题1 因为 ，所以，就这次的成绩，乐乐的投篮水平比小海高. 用除法可以表示两个数或两个量的倍数（倍分）关系. 问题引入 投篮水平的高低，不是简单地比较进球数，而是比较 进球数占投球数的几分之几. 分析 下面就让我们来算一算，小海投进球的次数除以小海投球的总次数等于6除以15等于15分之6等于5分之2；乐乐投进球的次数除以乐乐投球的总次数等于5除以10等于10分之5.将这两个分数通分，5分之2等于10分之4.因为10分之5大于10分之4，所以就这次的成绩，乐乐的投篮水平比小海高. 4 新知讲授 进球数和投球数的数量关系说成：进球数和投球数之比，或投球数和进球数之比 小海的进球数占投球数的几分之几 小海的进球数和投球数之比 6比15 小海的投球数是进球数的几倍 小海的投球数和进球数之比 15比6 乐乐的进球数占投球数的几分之几 乐乐的进球数和投球数之比 5比10 乐乐的投球数是进球数的几倍 乐乐的投球数和进球数之比 10比5 当两个量相除来表示它们之间的关系时都可以说成是这两个量的比. 在刚才的问题中，我们用除法表示进球数和投球数的数量关系，有时我们也可以把这两个量的数量关系说成是进球数和投球数之比，或者投球数和进球数之比.比如小海的进球数占投球数的几分之几，用除法表示是6除以15，我们也可以说成小海的进球数和投球数之比是6比15；或者小海的投球数是进球数的几倍也可以说成小海的投球数和进球数之比是15比6.同样地，乐乐的进球数占投球数的几分之几可以说成乐乐的进球数和投球数之比是5比10，或者乐乐的投球数是进球数的几倍也可以说成乐乐的投球数和进球数之比是10比5. 通过这个例子可以发现，当两个量相除来表示它们之间的关系时都可以说成是这两个量的比. 再比如，当我们想知道这块黑板的长是宽的几倍或者宽是长的几分之几时，我们都可以说成是黑板的长与宽之比，或者宽与长之比. 5 设 a、b 是两个数或两个量，为了比较 a 和 b ，可将 a 与 b 相除，叫作 a 与 b 的比. 记作 ，读作“a 比 b”，或“a 与 b 的比”. 5 : 10 乐乐的进球数和投球数之比是 问题1 新知讲授 其中，a 叫作比的前项，b 叫作比的后项. 前项 a 除以后项 b 所得的商叫作比值. 前项 后项 比号 比值 那么一般地，如果我们将两个数或两个量设为a和b，为了比较a和b，可将a与b相除，就叫作a与b的比.记作a比b，其中b不等于0，读作a比b，或a与b的比.请同学们想一想，为什么b要不等于0呢？因为根据比的意义，a比b就表示a与b相除，b作除数，所以b要不等于0.在a比b中，a叫作比的前项，b叫作比的后项.比如问题1中，乐乐的进球数和投球数之比是5比10，比号前的5是比的前项，比号后的10是比的后项.根据比的意义，5比10等于5除以10，而所得的商就叫作这个比的比值.这里0.5就是5比10的比值. 6 设 a、b 是两个数或两个量，为了比较 a 和 b ，可将 a 与 b 相除，叫作 a 与 b 的比. 记作 ，读作“a 比 b”，或“a 与 b 的比”. 其中，a 叫作比的前项，b 叫作比的后项. 前项 a 除以后项 b 所得的商叫作比值. 比与比值有什么区别？ 问题 比表示两个量的一种关系; 比值是一个数. 新知讲授 5 : 10 前项 后项 比号 比值 那么比与比值有什么区别呢？根据比的意义，比是通过比较两个量得到这两个量之间的数量关系，所以比表示两个量的一种关系.而比值是前项除以后项所得的商，所以比值是一个数. 7 请你用比来说明图示所表达的含义． 试一试 （1）苹果与橙子的个数之比是 , 橙子与苹果的个数之比是 . （2）已知国旗的长与宽之比是 , 则国旗的宽与长之比是 . 比是有序的，注意区别比的前项与后项. 新知讲授 下面就请同学们尝试用比来表达生活中一些量的关系.如图1中苹果与橙子的个数之比是？3比5.那么橙子与苹果的个数之比就是5比3.如图2中，已知国旗的长与宽之比是3比2，那么国旗的宽与长之比是多少呢？此时只需要把比的前项和后项互换，得2比3.通过这两个例子，我们可以发现比是有顺序的，同学们要注意区别比的前项和后项. 8 （3）欢欢10分钟快步走了1200米： 你还能举出一些生活中比的例子吗？ 试一试 （1）消毒液的配比：消毒液容量与水的容量之比是1:200． （2）地图的比例尺： 图上距离与实际距离之比是1:16000000． 新知讲授 欢欢走的路程与所用时间之比是1200:10 比也可以表示两个不同量之间的关系. （欢欢的平均速度） 同学们你们还能举出一些生活中比的例子吗？这里朱老师给出几个例子，比如我们在使用消毒液进行消毒时，需要先用水稀释消毒液，如将消毒液与水按1比200的配比勾兑，其意义就是消毒液容量与水的容量之比是1比200.又比如我们在看地图时，地图上总会标有这样的字样，1比1600万，这就是地图的比例尺，它的意义就是图上距离与实际距离之比是1比1600万. 上述两个例子中的比表示的都是两个同类量之间的关系，请同学们再看下面这个例子.欢欢10分钟快步走了1200米，用除法算式1200除以10可以表示欢欢平均每分钟走的路程，同样我们也可以用比来表示路程与时间的关系，即欢欢走的路程与所用时间之比为1200比10.这里比的前项是路程，比的后项是时间，所以比也可以表示两个不同量之间的关系，而此时这两个不同量之比的比值也是有实际意义的，表示欢欢的平均速度，形成了一个新的量. 9 下列说法正确吗？正确的在括号内打“√”，错误的打“×”． 辨一辨 六年级某班有男生15人，女生25人， （1）女生人数与男生人数之比是15∶25.（ ） （2）男生人数与女生人数之比的比值是15∶25.（ ） 新知讲授 接下来请同学们辨一辨下列说法正确吗？正确的在括号内打勾，错误的打叉.六年级某班有男生15人，女生25人. （1）女生人数与男生人数之比是15比25. 10 六年级某班有男生15人，女生25人， （1）女生人数与男生人数之比是15∶25.（ ） （2）男生人数与女生人数之比的比值是15∶25.（ ） 辨一辨 正确：女生人数与男生人数之比是 ； 正确：男生人数与女生人数之比的比值是 . 注意 比是有序的. 比值是一个数. 新知讲授 下列说法正确吗？正确的在括号内打“√”，错误的打“×”． 这是错误的，这里比的前项是女生人数，比的后项是男生人数，所以应该是25比15.这里注意比是有顺序的，要区分比的前项和后项.（2）男生人数与女生人数之比的比值是15比25.这也是错误的，因为比值是一个数，15比25的比值应该等于15除以25的商，等于5分之3或者0.6，所以男生人数与女生人数之比的比值是5分之3或者0.6.这里注意比与比值的区别，比值是一个数. 11 分析 你知道比、分数和除法三者之间的关系吗？ 思考 比 分数 除法 前项 分子 被除数 比号（∶） 分数线（—） 除号（÷） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 a 符号 b 结果 关系 新知讲授 今天我们初步学习了比的意义，领会到比与除法之间的密切联系.之前我们又学习过分数与除法的关系，那么同学们，你们知道比、分数和除法三者之间的关系吗？请大家尝试填写下面这张表格….10秒. 比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数，比中的比号相当于分数的分数线和除式中的除号，比的后项相当于分数的分母和除式中的除数，比值相当于分数的值和除式中的商.同学们，你们填对了吗？ 12 分析 比 分数 除法 前项 分子 被除数 比号（∶） 分数线（—） 除号（÷） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 a 符号 b 结果 关系 一种关系 一个数值 一种运算 两个数的比也可以写成分数形式. 例如， 也可以写成 ， 仍读作“6比15”. 新知讲授 你知道比、分数和除法三者之间的关系吗？ 思考 这是比、分数和除法之间的联系，那么这三者之间又有什么区别呢？根据比的意义，比表示两个数或者两个量之间的一种关系，分数则表示一个数值，而除法则是一种运算.当然，根据比、分数和除法之间的联系，两个数的比也可以写成分数形式.比如，6比15就可以写成分数的形式，但仍读作6比15. 13 求下列各个比的比值： 例1 （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解 （1） （2） 例题讲解 接下来请同学们运用今天所学试着完成例题1，求下列各个比的比值….20秒.第（1）题，60比12，根据比的意义，等于60除以12，等于5，所以60比12的比值是5.第（2）题，1又7分之2比0.6，等于1又7分之2除以0.6，为了做分数的除法，需要将带分数化为假分数，小数化为分数，得7分之9除以5分之3，结果是7分之15，所以1又7分之2比0.6的比值是7分之15. 14 （3） ； 求下列各个比的比值： 例1 解 （3） 关系 a 符号 b 结果 比 前项 比号（∶） 后项 比值 分数 分子 分数线（—） 分母 分数值 除法 被除数 除号（÷） 除数 商 或者 两个同类量的比值没有单位. 化相同单位. 例题讲解 再看第（3）题，7.5厘米比40毫米，这是两个带单位的量的比.根据以往的学习经验，当两个同类量的单位不同时，同学们会怎么做呢？对了，化相同单位. 7.5厘米比40毫米就等于75毫米比40毫米，统一单位后，将比转化为除法时就可以把单位去掉，等于75除以40，结果是1.875.这里我们仍旧是将比转化为除法运算，通过计算除式的商来得到比值.而根据比、分数和除法的关系，除了将比转化为除法，同学们还可以转化为分数.那么75毫米比40毫米就等于40分之75，约分后的结果是8分之15，这里也可以通过计算分数值来得到比值.不管哪一种转化方式，两个同类量的比值都是一个数，没有单位. 15 （4） . 求下列各个比的比值： 例1 解 （4） 或者 例题讲解 下面请同学们练习第（4）题.这里两个同类量的单位也是不同的，同样先化相同单位，这里把分钟化秒比较方便，18秒比1.5分钟等于18秒比90秒，转化为除法运算，等于18除以90，结果是0.2.或者将比转化为分数，等于90分之18，约分后的结果是5分之1.同学们你们都做对了吗？ 16 解 （1） 求下列各个比的比值： 例1 （1） ； （2） ； （3） ； （4） . （2） （3） （4） 注意 2.求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位； 3.比值是一个数，可能是整数、分数或小数，两个同类量的比值没有单位. 1.求比的比值可以转化为除法或者分数； 例题讲解 通过以上四个小题的练习，我们可以发现求比的比值可以将比转化为除法运算，也可以转化为分数的形式.而（3）（4）两个小题中，求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位.最后我们还可以发现，比值是一个数，可能是整数、分数或小数，两个同类量的比值没有单位. 17 许多食物的钙含量很高，如菠菜、鲫鱼、牛奶、豆腐等. 根据表5-1提供的信息，判断：这四种食物中，哪种食物的含钙量最高？哪种食物的含钙量最低？ （在表5-1中，mg表示质量单位毫克，1000mg = 1g. ） 例2 例题讲解 中国人传统上很重视食补，比如补钙，有说法“菠菜很补钙，作为蔬菜，补钙作用不亚于鱼肉，牛奶等，有同学查了资料，收集到了一些数据.请同学们根据表5-1中这位同学收集的数据判断：这四种食物中，哪种食物的含钙量最高？哪种食物的含钙量最低？…20秒 18 例2 每100克菠菜含钙66毫克 每种食物的总质量与含钙的质量都不相同，所以不能简单地比较含钙的质量.我们可以运用比计算含钙质量与食物总质量的倍分关系，再通过比较比值的大小来判断每种食物的含钙量的高低. 分析 解 答 因为 ， 所以这四种食物中，牛奶的含钙量最高，菠菜的含钙量最低. 例题讲解 从这张表格中，同学们能得到哪些信息呢？ 小莉同学从菠菜这一栏的数据中读出每100克菠菜含钙66毫克.同样地，每20000克鲫鱼含钙16克，每200克牛奶含钙226毫克，每50万克豆腐含钙390克.从以上信息中可以发现每种食物的总质量与含钙的质量都不相同，所以不能简单地比较含钙的质量.我们可以运用今天所学的比来计算含钙质量与食物总质量的倍分关系，再通过比较比值的大小来判断每种食物的含钙量的高低. 比如每100克菠菜含钙66毫克，得到菠菜的含钙质量与总质量之比是66毫克比100克，化为相同单位，等于66毫克比10万毫克，再转化为除法运算，等于66除以10万，比值是0.00066.同样地，鲫鱼的含钙质量与总质量之比是16克比2万克，比值是0.0008；牛奶的含钙质量与总质量之比是226毫克比200克，比值是0.00113；豆腐的含钙质量与总质量之比是390克比50万克，比值是0.00078.通过比较四个比值的大小，可以得到牛奶的含钙量最高，菠菜的含钙量最低. 通过这个问题，同学们可以再次体会如何运用比来表示两个量的数量关系，再通过比值的大小比较来实现关系的比较，从而解决实际问题. 19 薯片是很多人爱不释手的小零食，下图是两种品牌薯片的营养成分表. 练习 表一 表二 （1）根据表一的信息，品牌一的薯片每份所含的碳水化合物与每份食用量之比是 ，比值是 . （2）根据表二的信息，品牌二的薯片每份所含的钠与每份食用量之比 是 ，比值是 . 课堂练习 下面请同学们练一练，请看课堂练习.薯片是很多人爱不释手的小零食，下图是两种品牌薯片的营养成分表，请根据两张表中的信息完成下列填空….20秒 第（1）题，从表一中可以读出品牌一的薯片每份的食用量是40克，每份所含的碳水化合物是20.8克，所以每份所含的碳水化合物与每份食用量之比是20.8比40，计算比值时可以转化为除法运算，等于20.8除以40，所以比值是0.52.第（2）题，从表二中可以读出品牌二的薯片每份的食用量是30克，每份所含的钠是154毫克，所以每份所含的钠与每份食用量之比是154毫克比30克，计算比值时先化为相同单位，等于154毫克比3万毫克，再转化为分数是30000分之154，约分后的结果是15000分之77.同学们，你们做对了吗？ 20 课堂练习 （3）肥胖一直是当代青少年面临的一个严峻的健康问题，肥胖与脂肪摄入有关，请根据这两张营养成分表中的数据尝试判断这两种品牌的薯片哪一种脂肪含量较高？哪一种较低？从饮食健康考虑，你会选择哪一种薯片？ 薯片是很多人爱不释手的小零食，下图是两种品牌薯片的营养成分表. 练习 表一 表二 再看第（3）小题，肥胖一直是当代青少年面临的一个严峻的健康问题，肥胖与脂肪摄入有关，请根据这两张营养成分表中的数据尝试判断这两种品牌的薯片哪一种脂肪含量较高？哪一种较低？从饮食健康考虑，你会选择哪一种薯片？这个问题请同学们课后进行思考. 21 课堂小结 比 比与比值的意义 比与比值的求法 比、分数和除法的关系 为了解决实际问题，生活中经常运用比来表示两个数或者两个量的数量关系. 本节课我们在解决实际问题的过程中引出了比与比值的意义，明确了比与比值的求法，理清了比、分数和除法之间的关系.同时我们深刻体会到为了解决实际问题，生活中经常运用比来表示两个数或者两个量的数量关系. 22 结束语 数学概念的产生源于实际需求和生活经验 数学往往可以追溯到人类的日常生活. 比在我们日常生活中的应用无处不在，数学概念的产生源于实际需求和生活经验，数学往往可以追溯到人类的日常生活.好，今天的课就到这里，同学们下课. 23 $