5.1比、比例及其性质-比例 -课件2025--2026学年沪教版（五四制）数学六年级下册

第5章 比与比例 5.1 比、比例及其性质 比例（1） 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 1 同学们大家好，我是来自上海市娄山中学的周老师， 在前几课中，我们已经学习了比的意义以及比的基本性质。今天这节课我们将继续学习比例的第1课时。 1 课堂引入 国旗的通用尺度分以下的5种规格（单位：cm）： 这5种规格的国旗长与宽之比分别是多少？ 国旗的长与宽之比是３∶２ 2.中华人民共和国国旗是五星红旗 ，是国家的象征和标志。在日常生活中，同学们可以在操场、教室等不同的地点、场合看到国旗，这些国旗的大小并不相等。 国旗是长方形，通用尺度分以下的５种规格，请问，//这5种规格的国旗长与宽之比分别是多少？ 例如，//１号尺寸是288×192，这里/长是288，//宽是192，长与宽之比２８８∶１９２，依据比的基本性质，前项和后项同时除以288和192的最大公因数96，得到结果为3：2， 同样的，2号尺寸的长与宽之比240∶160，依据比的基本性质，前项和后项同时除以两数的最大公因数80，也等于3：2 3号尺寸的长与宽之比192∶128，依据比的基本性质，前项和后项同时除以两数的最大公因数64，等于3：2 4号尺寸的长与宽之比144∶96，依据比的基本性质，前项和后项同时除以两数的最大公因数48，等于3：2 最后5号尺寸的长与宽之比96∶64，依据比的基本性质，前项和后项同时除以两数的最大公因数32，等于3：2 通过计算，我们发现这5种通用规格的国旗长与宽之比都是3：2 2 新知讲授 288∶192=240∶160； 144∶96=96∶64； 288∶192=192∶128；… 288∶192=3∶2；240∶160=3∶2； 192∶128=3∶2；144∶96=3∶2； 96∶64=3∶2； 3.这是因为《中华人民共和国国旗法》对国旗的制作有明确规定．长与宽之比为３∶２ 通过对于5种规格的国旗 长与宽之比的化简， 我们得到了288：192=3：2，240：160=3：2，192：128=3：2，144：96=3：2，96：64=3：2 因此，//我们还可以得到２８８∶１９２＝２４０∶１６０ //或者是１４４∶９６＝ ９６∶６４ //又或者是２８８∶１９２＝192∶128等等 这样的不同等式。 3 新知讲授 144∶96=3∶2； 96∶64=3∶2； 288∶192=240∶160； 144∶96=96∶64； 288∶192=192∶128；… 在a、b、c、d四个量中，如果a∶b=c∶d，那么就说a、b、c、d成比例. 特别地，当b和c相同时，即a∶b=b∶d成立，那么把b叫作a和d的比例中项. 288∶192=3∶2； 240∶160=3∶2； 192∶128=3∶2； 4. 进一步观察刚刚我们得到的这些等式，可以发现，这里的每个等式中都有//四个量，等号的左右两边//都是一个比，这些等式都是表示两个比相等的式子。 这就是今天我们所要学习的内容。 //即在a、b、c、d四个量中，如果a∶b=c∶d，那么就说a、b、c、d成比例. 例如288∶192=240∶160；我们就可以说288、192、240、160成比例； 同样的 96：64=3：2，我们也可以说96，64，3，2成比例，这里要特别注意四个量成比例是有次序的。 再来观察这两个等式，他们有什么特殊的地方吗？相信细心的同学已经发现，144：96=96：64，//这里96和96相同，而288：192=192：128中，//192和192相同， 也就是刚才四个量中的b和c相同，//特别的，当b和c相同时，即a∶b=b∶d成立，那么把b叫作a和d的比例中项. 因此我们可以把９６叫作１４４和６４的比例中项．同样我们也可以把192叫作288和128的比例中项. 同学们你们都理解比例的意义了吗？接下去我们一起来继续探究比例又有哪些性质呢？ 新知讲授 288∶192=240∶160也可以表示为 . 在等式两边同时乘192×160， 可以得到 288×160=240×192. a∶b=c∶d也可以表示为 . 在等式两边同时乘bd， 可以得到ad=bc. 5. 288∶192=240∶160也可以表示为288∶192=240∶160 ， ∥在等式两边同时乘192×160，∥约分后，我们可以得到288×160=240×192， 现在我们将这个具体问题一般化，∥ a：b=c：d，也可以表示为a：b=c：d.∥在等式的两边同时乘bd，∥约分后，可以得到ad=bc。 这样我们可以概括得到，已知一个比例式∥ a：b=c：d，通过等式性质，可以化为∥等积式ad=bc 5 新知讲授 如果288×160=240×192， 那么在等式两边同时除以192×160， 如果b、d都不为0并且ad=bc， 那么在等式两边同时除以bd， . 就可以得到 ，即a∶b=c∶d. 就可以得到 ，即288∶192=240∶160. 6. 反过来，如果288×160=240×192，∥那么在等式两边同时除以192×160，∥通过约分，∥就可以得到288∶192=240∶160，即288∶192=240∶160 仍旧是将这个具体问题一般化，∥如果b、d都不为0并且ad=bc，∥那么在等式两边同时除以bd， ∥通过约分，∥就可以得到a∶b=c∶d，即a∶b=c∶d. 这样我们可以概括得到，已知一个∥等积式ad=bc，通过等式性质，也可以化为∥比例式 a：b=c：d 6 新知讲授 比例的基本性质 如果 a∶b＝c∶d或 ,那么ad=bc. 反之，如果b、d都不为0且ad=bc，那么a∶b＝c∶d或. 7. 通过刚刚的探究，我们就可以概括得到比例的基本性质： 依据比例的基本性质，我们可以把比例式化成等积式，也可以把等积式化成比例式； 当然我们还得注意b，d都不为0是等积式化为比例式的前提条件； 例题讲解 例题 1 求下列各式中x的值: （1） ；（2） 解 （1）因为 ， 所以 ，即 于是，可得 （2）因为 ， 所以 4x=20×11=220. 于是，可得 x=220÷4=55. 比例式 等积式 8. 接下来就让我们应用刚才所学的知识一起来解决下面的问题： 例题1 求下列各式中x的值: 通过审题，我们发现//已知的条件给的是两个比例式，应用刚刚所学的//比例的基本性质，//我们可以把比例式//化为等积式 第1小题//因为4：x=3/2 : 2，把它化为等积式，//所以得到3x/2=4✖2，即3x/2=8，等式的两边同时除以3/2，通过计算//可以得到x=16/3 第2小题 仍旧是依据比例的基本性质，//把比例式x：20=11：4，//化为等积式4X=20x11=220，等式两边同时除以4//通过计算可得x=55 同学们，你们都做对了吗？ 8 例题讲解 例题 2 你能判断30、25、12、10这四个数是否成比例吗？请说明理由. 解 因为30∶25=1.2，12∶10=1.2； 所以30∶25=12∶10， 所以数30、25、12、10成比例. 另解 因为30∶12=2.5，25∶10=2.5； 所以30∶12=25∶10， 所以数30、12、25、10成比例. ……方法并不唯一 另解 因为30×10=300，25×12=300； 所以30×10=25×12， 所以数30、25、12、10成比例. 根据比例的基本性质有30∶25=12∶10， 9. 接下来我们一起来看例题2，你能判断30、25、12、10这四个数是否成比例吗？请说明理由. 相信同学们都有了自己的解答。我们一起来分析一下： 首先根据比例的意义，比例是表示两个比相等的关系，通过计算我们发现， //因为30∶25=1.2，12∶10=1.2；//所以30∶25=12∶10，//所以数30、25、12、10成比例. 又可以是//因为30∶12=2.5，25∶10=2.5；//所以30∶12=25∶10，//所以数30、12、25、10成比例. //显然这里的方法并不唯一，还有不同的解决方案。 //平时善于思考的小杰则想到了运用//比例的基本性质，通过找等积式来得到比例式，因为//30×10=300，25×12=300； //所以有等积式30×10=25×12，根据比例的基本性质有比例式30∶25=12∶10，//所以数30、25、12、10成比例. 小杰的做法是通过找到等积式来化为比例式，这里的比例式//是否是唯一的呢？显然结果并不唯一，那么一共可以得到多少个不同的比例式呢？这个问题留给同学们在课后进一步思考 回顾例题2，我们可以直接从比例的意义着手，得到两个比的比值相等；亦或者是从比例的基本性质逆向思考，由等积式化为比例式。也就是说如果给定四个数，数与数之间的比值相等或者是乘积相等都能说明这四个数成比例。 9 课堂练习 课堂练习1 12、14、15、18这四个数成比例吗？请说明理由. 解 因为12×18=216，14×15=210； 所以12、14、15、18这四个数不成比例. 所以12×18≠14×15， 10. 让我们再来一起看一道课堂练习 12、14、15、18这四个数成比例吗？请说明理由. 通过前面例题2的学习，我们已经知道了要判断四个数是否成比例，可以从比例的意义着手，亦或者是从比例的基本性质逆向思考， 相信同学们都有解决本题的思路了，那么具体的解答过程是怎样的呢？ 依据比例的基本性质，如果这四个数要成比例，//则一定需要有等积式。 而对于题目中给定的这四个数要有等积式，只可能是最小的数12与最大的数18的相乘得到的积，与其余两个数14和15的积相等，而通过计算，12×18=216，14×15=210；所以12×18≠14×15， 因此题目中给的这四个数不能得到等积式，//所以12、14、15、18这四个数不成比例. 同学们，你们都做对了吗？ 10 课堂练习 课堂练习2 已知 ， . 解 （1）因为0.8a=0.5b， 于是，可得a∶b=5∶8； 因为1.2c=0.5b， 于是，可得b∶c=12∶5. （2）因为a∶b=5∶8 b∶c=12∶5 所以a∶b∶c=15∶24∶10. 等积式 比例式 =15∶24， =24∶10， 所以a∶b=0.5∶0.8， 所以b∶c=1.2∶0.5， （1）求a∶b与b∶c ；（2）求a∶b∶c. 11. 接着来看课堂练习2 已知4/5a=0.5b，1.2c=0.5b，（1）求a∶b与b∶c ；（2）求a∶b∶c. 通过审题，我们发现//已知的条件给的是两个等积式，应用//比例的基本性质，//我们可以把等积式//化为比例式 另外我们又观察到这里又4/5，//不妨把它化为小数0.8 //因为0.8a=0.5b，所以等到比例式a∶b=0.5∶0.8，比的前项和后项同时乘以10，//得到a∶b=5∶8； //又因为1.2c=0.5b，所得到比例式以b∶c=1.2∶0.5，比的前项和后项同时乘以10，//得到b∶c=12∶5. 第二小问，求a：b：c，第1问我们已经得到了//a∶b=5∶8；//b∶c=12∶5，这里我们发现两个比中有//相同的项 b，在第一个比中，这里是8，而在第二个比中，这里是12，应用比的基本性质，把他们化成相同的数，也就是8和12的最小公倍数是24，得到//a∶b=15∶24；得到//b∶c=24∶10. //所以a∶b∶c=15∶24∶10. 11 问题探究 当x取何值时，它与2、3、4可以组成一个比例？ 1.需要分类讨论； 分析 比例式 等积式 2x=3×4. 3x=2×4. 4x=2×3. 2x=3×4. 4x=2×3. 3x=2×4. x∶2=3∶4； x∶2=4∶3； x∶3=2∶4； x∶3=4∶2； x∶4=3∶2； x∶4=2∶3； 12. 接下来我们进行一个问题探究 当x取何值时，它与2、3、4可以组成一个比例？ 同学们，根据比例的意义，x要与2、3、4组成比例，这里可以列出的比例式有很多，//故需要分类讨论； 我们不妨假设x作为等号左边的比的前项，//则可以列出比例式：x:2=3:4，x:2=4:3，x:3=2:4，x:3=4:2，x:4=2:3，x:4=3:2，依据比例的基本性质，比例式可以化为等积式，我们把这6个比例式分别写成等积式，可以得到// 我们再来观察这6个等积式有怎样的联系呢？ 12 问题探究 当x取何值时，它与2、3、4可以组成一个比例？ 1.需要分类讨论； 比例式 x∶2=3∶4； x∶2=4∶3； x∶3=2∶4； x∶3=4∶2； x∶4=3∶2； x∶4=2∶3； 等积式 2x=3×4. 3x=2×4. 4x=2×3. 2x=3×4. 4x=2×3. 3x=2×4. 2.利用等积式来求解. 分析 13. （翻）我们发现当x作为等号左边的比的前项时，一共可以得到3个等积式。同样的，当我们改变x在比例式中的位置时，把比例式化为等积式后，是不是也是得到这3个等积式呢？ 是的！因为要写成等积式，x只可能与2或3或4相乘。所以对于等积式只有2x=3×4，3x=2×4, 4x=2×3,这三种情况。//因此我们选择利用等积式来求解这个问题。 13 问题探究 当x取何值时，它与2、3、4可以组成一个比例？ 1.需要分类讨论； 解 当2x=3×4时，得x=6 ； 当3x=2×4时，得x= ； 当4x=2×3时，得x=1.5 . 分析 2.利用等积式来求解. 所以当x＝6或 或1.5时，可以与2、3、4组成一个比例. 14. 当x与2相乘时，得2x=3×4，所以x=6 ； 当x与3相乘时，得3x=2×4，所以x=8/3； 当x与4相乘时，得4x=2×3，所以x=1.5 。 所以当x＝6或8/3或1.5时，可以与2、3、4组成一个比例。同学们，你们都做对了吗？ 回顾问题探究，如果对等积式进行分类一共只需要讨论3种情况；而如果选择对比例式进行分类，则讨论的情况远大于3种， 所以解题策略的选择往往是解决问题的关键。 14 课堂小结 特别地，当b和c相同时，即a∶b=b∶d成立， 那么把b叫作a和d的比例中项. 比例中项 比例的意义 比例的 基本性质 在a、b、c、d四个量中，如果a∶b=c∶d， 那么就说a、b、c、d成比例. 如果a∶b=c∶d或 ，那么ad=bc. 反之，如果b、d都不为0且ad=bc， 那么a∶b=c∶d或 . 15. 回顾本节课的内容， 我们学习了比例的意义；即在a、b、c、d四个量中，如果a∶b=c∶d，那么就说a、 b、c、d成比例. //而当b和c相同时，即a∶b=b∶d成立时， 我们把b叫作a和d的比例中项. //同时通过问题的探究、概括得到了比例的基本性质，并且会根据比例的基本性质进行比例式与等积式的互化。 今天这节课的作业 可以参考对应的作业练习单 15 结束语 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们如何知道我们所知道的. ——毕达哥拉斯 16. 古希腊数学家毕达哥拉斯说过：在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们如何知道我们所知道的. 今天的课就上到这里，同学们再见。 16 $