9.第四章 三角形 学情调研-【真题圈】2025-2026学年七年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）山西专版

真题圈数学 同步调研卷 七年级下3B 9.第四章学情调研 (时间：120分钟满分：120分） 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.（月考·23-24山大附中)以下列各组线段为边，能组成三角形的是( A.1 cm,2 cm,3 cm B.5 cm,6 cm,10 cm C.2 cm,5 cm,8 cm D.3 cm,3 cm,6 cm 2.（月考·24-25山大附中改编)用一块含30°角的透明直角三角板画已知△ABC的边BC上的高， 下列三角板的摆放位置正确的是( A 0 3.教材内容改编如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射 击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是() A.两点之间，线段最短 金B.三角形的任意两边之和大于第三边 C.两点确定一条直线 D.三角形的稳定性 ① 第3题图 第4题图 巡加 4.情境题如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的 H 玻璃，那么最少要带第( )块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃 图 A.① B.② C.③ D.①②③ 国 5.（月考·22-23太原三十七中)具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是() A.∠A+∠B=∠C B.∠A+∠B=90° C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D.∠A=∠B=3∠C 2 6.(月考·23-24太原三十七中)如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，BD是△ABC的一条角平 分线，则∠ABD的度数为() A.29° B.58° C.36° D.25° 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，要测量河两岸相对的两点A,B的距离，先在河岸BF上取两点C,D,使CD=BC,再作 DE⊥BF,垂足为D,使A,C,E三点在一条直线上，测得ED=30m,因此AB的长是() A.10m B.20m C.30m D.40m 8.(期末·22-23太原)如图的正方形网格中，点A,B,C,D,E均为格点，△ABC2△CDE,点B,C, D在同一直线上，则下列结论不正确的是（一） A.∠BAC=∠ECD B.∠BAC+∠CED=90° C.AC⊥EC D.AC CD 9.(月考·24-25山西省实验)如图，AD是△ABC的中线，E,F分别是AD和AD延长线上的点，且 DE=DF,连接BF,CE,下列说法：①CE=BF;②△ABD和△ACD的面积相等；③BF∥CE; ④△BDF≌△CDE,其中正确的有( A.1个 拒绝 B.2个 C.3个 D.4个 0 B 地面 第9题图 第10题图 10.数学建模几何小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与 地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若 点B距离地面的高度为1.5m,点B到OA的距离BD为1.7m,点C距离地面的高度是1.6m, ∠BOC=90°，则点C到OA的距离CE为() A.1m B.1.6m C.1.4m D.1.8m 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.如图所示的两个三角形全等，则∠1的度数是 D 37 64 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，CM是△ABC的中线，BC=8cm,若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm,则AC的长 为 cm. 13.开放性试题（期末·23-24太原）如图，∠1=∠2，AD=AB,要使△ADE≌△ABC,则可添加的一 个条件是 (写出一个即可) 14.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，CE是∠ACB的平分线，BD,CE交于点F若∠AEC= 80°，∠BFC=128°，则∠ABC的度数是 D 第14题图 精品 第15题图 15.（月考·24-25太原师院附中改编)现有三块如图所示的四边形草地ABCD,经测量，∠B=∠C, AB=12m,BC=8m,CD=14m,点E是AB边的中点.甲机器人从点B出发以2m/s的速度沿 BC向点C运动，同时乙机器人从点C出发沿CD向点D运动，若将甲、乙机器人各自到达的位 置分别记为点P和点Q.如果能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则乙机器人的运动速度 为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(8分)已知a,b,c为△ABC的三边长，化简：|a-b-c-a-b+c 17.(期末·21-22太原)(6分)已知：△ABC,如图 (1)求作：△DEF,使△DEF≌△ABC.（要求：在指定区域尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 第17题图 作图区域： 结论： (2)根据作图过程写出△DEF≌△ABC的依据： 18.(月考·23-24山大附中)(8分)如图，已知点E,F在线段BD上，AD∥BC,BF=DE,∠A= ∠C.试判断线段AF与CE的数量关系和位置关系，并说明理由， 爱学 拒绝盗印 B 第18题图 19.(8分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,F是AD的反向延长线上一点，EF⊥BC于点E.若 ∠1=40°，∠C=70°，求∠F的度数. 必 图甜 ◇ 第19题图 20.数学建模几何（月考·24-25太原师院附中）(10分)学习利用三角形全等测距离后，“开拓”小 组同学就“测量河两岸A,B两，点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A,B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 金星 D E ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D,使得点A,B,C在一 条直线上，且CD=BC; 测量步骤 ②测得∠DCB=100°，∠ADC=65°； ③在CD的延长线上取点E,使得∠BEC-15°； ④测得DE的长度为30米 请你根据以上方案求出A,B两点间的距离. 些加 H 品 3 21.核心素养直观想象(10分)阅读以下材料，解决相应的问题 用全等三角形研究“筝形” 如图，在四边形ABCD中，AD=CD,AB=CB.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝 形”.我们可以用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识 证明猜想 问题解决： (1)试说明：∠DAB=∠DCB. (2)试说明：BD⊥AC. B 第21题图 盗印必 关爱学子 拒绝盗印 1 一 22.新定义试题(12分)我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图，在 △OAC和△OBD中，OA=OB,OC=OD,∠AOC=60°，∠BOD=120°. (1)△OAC和△OBD 兄弟三角形（填“是”或“不是”） (2)取BD的中点P,连接OP,试说明AC=2OP,小王同学根据要求的结论，想起了老师上课 讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题 ①请在图中通过作辅助线构造△BPE,试判断BE与OD的数量关系，并说明理由； ②试说明：AC=2OP 第22题图 题 精品图书 金星教 3 23.探究性试题（期末·22-23晋中）(13分)综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系. 问题情境： 已知，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是直线BC上的一个动点，连接AD,在直线 AD的右侧作∠DAE=90°，且AE=AD,连接DE,CE. 实践探究： (1)如图①是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上，请直接写出线段 BD与CE的数量关系与位置关系： (2)如图②是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的延长线上，请判断(1) 中的结论是否仍成立，并说明理由 拓展应用： (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，如果BC=5,CE=2, 请直接写出线段CD的长 L ① B绝盗印 ② 备用图 第23题图答案与解析 22.【解】(1)(a-b)2=(a+b)2-4ab分析：由图可知，阴影部分边 长为a-b,所以(a+b)2=(a-b)2+4ab,即(a-b)2=(a+b)2_-4ab, 所以它们的关系是(a-b)2=(a+b)2-4ab. (2)由(1)题得(a-b)2=(a+b)2-4ab, 所以当a+b=7,b=冬时， (a-b2=7-4×是=49-13=36 (3)因为a+b=25,a2+b2=337,(a+b)2=ad2+b2+2ab, 所以252=337+2ab, 解得ab=144. 23.【解(1)∠ABC=∠ACB.理由如下： 因为∠ABQ的平分线交MW于点C, 所以∠ABC=∠QBC. 因为MN∥PQ,所以∠ACB=∠QBC,所以∠ABC=∠ACB. (2)①LABC+∠CED=∠BCE.理由如下： 因为CG∥AB,所以∠ABC=∠BCG. 因为AB∥DE,所以CG∥DE,所以∠CED=∠ECG. 因为LBCG+∠ECG=LBCE, 所以∠ABC+∠CED=∠BCE. ②LB0F的度数为子a或号. 分析：当点D在点C左侧时，如图①所示」 因为BC平分∠ABQ,∠ABQ=a(0°<a<180°)， 所以∠ABC=∠CBQ=2∠ABQ=2a 因为DE∥AB,MN∥PQ, 所以∠ABQ+∠BED=180°，∠BED+∠ADE=180°， 所以∠ABQ=∠ADE=a 因为∠ADE的平分线DF交PQ于点F, 所以∠EDF=∠ADE=支a 因为∠CED=ABC=a, 所以∠E0F=180°-∠CED-∠0DE=180°-∠CED-(180°- ∠BEDF)=180°-4a-(180-a= P F B 第23题答图① 当点D在点C右侧时，如图②所示 因为BC平分∠ABQ,∠ABQ=a(0°<a<180°)， 所以LABC=∠CBQ=)∠ABQ=)a 因为DE∥AB,MN∥PQ, 所以∠ABQ+∠BED=180°，∠BED+∠ADE=180°， 所以∠ABQ=∠ADE=a 因为∠ADE的平分线DF交PQ于点F, 所以∠EDF=5∠ADE=)a 因为∠CED=ABC=a, 所以∠EOF=180°-∠D0E=∠EDF+∠CED=)a+a=a 综上所述，∠EOF的度数为异a或号 -N P B Q 第23题答图② 9.第四章学情调研 题号12345678910 答案BD D C DA C DD D 1.B【解析】A.因为1+2=3，所以长度是1cm,2cm,3cm的线 段不能组成三角形，故该选项不符合题意； B.因为5+6>10，所以长度是5cm,6cm,10cm的线段能组成 三角形，故该选项符合题意； C.因为2+5<8，所以长度是2cm,5cm,8cm的线段不能组成 三角形，故该选项不符合题意； D.因为3+3=6，所以长度是3cm,3cm,6cm的线段不能组成 三角形，故该选项不符合题意.故选B. 2.D3.D4.C 5.D【解析因为∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C =90°，所以A选项是直角三角形，不符合题意；因为∠A+∠B =90°，所以∠C=90°，所以B选项是直角三角形，不符合题 3 意；因为∠A:∠B∠C=1:2:3,所以∠C=1+2+3×180°= 90°，所以C选项是直角三角形，不符合题意；因为∠A=∠B= 3∠C,所以∠A=∠B≠90°，所以D选项不是直角三角形，符 合题意.故选D. 6.A【解析】因为在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°， 所以∠ABC=180°-50°-72°=58°. 因为BD是△ABC的一条角平分线，所以∠ABD=29°.故选A 7.C 8.D【解析因为△ABC≌△CDE,所以∠BAC=∠DCE,∠ACB= ∠CED,AC=CE,故A正确，不符合题意，D错误，符合题 意；因为∠ABC=∠CDE=90°，所以∠BAC+∠ACB=90°，所以 ∠BAC+∠CED=90°，∠ACB+∠ECD=90°，所以∠ACE=180° 90°=90°，所以AC⊥EC,故B,C均正确，不符合题意.故选D. 9.D【解析】因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD.在 △BDF和△CDE中，BD=CD,∠BDF=∠CDE,DF=DE, 所以△BDF≌△CDE(SAS),故④正确；所以CE=BF,∠F= ∠CED,故①正确；所以BF∥CE,故③正确；因为BD=CD, △ABD和△ACD的高相等，所以△ABD和△ACD面积相等，故 ②正确.综上所述，正确的有4个.故选D. 10.D【解析】因为点B距离地面的高度为1.5m,点C距离地面 的高度是1.6m,所以点D距离地面的高度为1.5m,点E距离 地面的高度是1.6m,所以DE=1.6-1.5=0.1(m). 因为LBD0=∠BOC=∠OEC=90°， 所以∠OBD+∠BOD=∠BOD+∠COE=90°， 所以LOBD=∠COE. 又由题意可知，OB=CO, 所以△OBD≌△COE(AAS), 所以OE=BD=1.7m,CE=OD, 所以CE=OD=OE+DE=1.7+0.1=1.8(m). 所以点C到OA的距离CE为1.8m. 故选D. 11.79°【解析】如图，∠B=180°-∠A-∠C=180°-37°-64°= 79°.因为两个三角形全等，所以∠1=∠B=79°. 故答案为79° C37 64>A 第11题答图 12.5【解析】因为CM为△ABC的AB边上的中线，所以AM= BM.因为△BCM的周长比△ACM的周长大3cm,所以 (BC+BM+CM)-(AC+AM+CM)=3cm,所以BC-AC=3cm. 因为BC=8cm,所以AC=5cm. 故答案为5. 13.AE=AC(或∠E=∠C或∠D=∠B) 【解析因为∠1=∠2， 所以∠1+∠BAE=∠BAE+∠2，所以∠DAE=∠BAC 因为AD=AB, 所以当添加AE=AC时，△ADE≌△ABC(SAS), 当添加∠E=∠C时，△ADE≌△ABC(AAS), 当添加∠D=∠B时，△ADE≌△ABC(ASA). 故答案为AE=AC(或∠E=∠C或∠D=∠B) 14.42°【解析】因为BD是AC边上的高， 所以∠BDC=90°. 又∠BFC=128°，所以∠CFD=52°， 所以∠ACE=90°-∠CFD=90°-52°=38 又∠AEC=80°，所以∠A=180°-∠AEC-∠ACE=62° 又CE是∠ACB的平分线，所以∠ACB=2∠ACE=76°， 故∠ABC=180°-62°-76°=42°. 故答案为42°。 15.2m/s或3m/s【解析】因为AB=12m,E是AB边的中点， 所以BE=6m. 因为∠B=∠C,且△BEP与△CPQ全等， 所以BP=CQ,BE=CP或CP=BP,BE=CQ. 当BP=CQ,BE=CP时， 因为BE=6m,BC=8m, 设运动时间为ts,则8-21=6， 真题圈数学七年级下3B 解得t=1, 所以CQ=BP=2×1=2(m), 此时乙机器人的运动速度为2÷1=2(ms): 当CP=BP,BE=CQ时，则21= 8 解得t=2, 所以CQ=BE=6m,乙机器人的运动速度为6÷2=3(ms). 故答案为2m/s或3m/s. 16.【解】因为a,b,c为△ABC的三边长， 所以a-b-c<0,a-b+c>0, 所以原式=-a+b+c-a+b-c=2b-2a. 17.【解】(1)如图，△DEF即所求. 作图区域： D E F 第17题答图 结论：所作△DEF与△ABC全等. (2)SSS 18.【解】AF=CE且AF∥CE,理由如下： 因为AD∥BC,所以∠D=∠B. 因为BF=DE,所以BF+EF=DE+EF,所以BE=DE 在△ADF和△CBE中，∠A=∠C,∠D=∠B,DF=BE, 所以△ADF≌△CBE(AAS), 所以AF=CE,∠AFD=∠CEB,所以AF∥CE. 19.【解】因为AD平分∠BAC,所以∠1=∠DAC 因为∠1=40°，所以∠DAC=40° 因为∠C=70°， 所以∠ADC=180°-∠DAC-∠C=70° 因为EF⊥BC, 所以在Rt△EDF中，∠F=90°-∠EDF=90°-∠ADC= 90°-70°=20°. 20.【解】因为∠C=100°，∠ADC=65°， 所以∠CAD=15°， 所以∠CAD=∠BEC. 在△ACD与△ECB中，∠A=∠E,∠C=∠C,CB=CD, 所以△ACD≌△ECB(AAS), 所以AC=CE 又因为CB=CD, 所以AB=DE=30米，即A,B两点间的距离是30米。 21.【解】(1)在△ABD和△CBD中，AD=CD,AB=CB, BD=BD, 所以△ABD≌△CBD(SSS), 所以∠ABD=∠CBD,∠DAB=∠DCB. (2)在△ABO和△CBO中，AB=CB,∠ABO=∠CBO, BO=BO, 所以△ABO≌△CBO(SAS),所以∠AOB=∠COB. 答案与解析 因为∠AOB+∠COB=180°， 所以∠AOB=∠COB=90°，所以BD⊥AC. 22.【解】(1)是分析：由条件可知∠AOC+∠BOD=180°，又因 为OA=OB,OC=OD,所以△OAC和△OBD是兄弟三角形. (2)①BE=OD.理由如下： B 延长OP至点E,使PE=OP,如图， D 由题知BP=PD, 在△BPE和△DPO中， PE=OP,∠BPE=∠DPO, BP=PD, 第22题答图 所以△BPE≌△DPO(SAS), 所以BE=OD ②因为△BPE≌△DPO, 所以∠E=∠DOP, 所以BE∥OD, 所以∠EBO+∠BOD=180° 因为∠EOD+∠AOC=180°，所以∠EBO=∠AOC, 因为BE=OD,OD=OC, 所以BE=OC. 在△EBO和△COA中，EB=OC,∠EBO=∠AOC,OB=OA, 所以△EBO≌△COA(SAS), 所以OE=AC 又因为OE=2OP, 所以AC=2OP 23.【解】(1)BD=CEBD⊥CE (2)(1)中的结论仍成立.理由如下： 因为LBAC=∠DAE=90°， 所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中，AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, 所以△ABD≌△ACE(SAS), 所以BD=CE,∠ABD=∠ACE 因为在△ABC中，∠BAC=90°， 所以∠ABC+∠ACB=90°， 所以∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90° 所以BD⊥CE.故(1)中的结论仍成立. (3)CD的长为3或7. 分析：分情况讨论： ①当点D在BC上时，如图①， 由“SAS”可判定△ABD≌△ACE,所以BD=CE=2, 所以CD=BC-BD=5-2=3. D 第23题答图 ②当点D在CB的延长线上时，如图②， 可知△ABD≌△ACE,所以BD=CE=2, 所以CD=BC+BD=5+2=7. 综上，CD的长为3或7. 10.重难题型卷（三）全等三角形 1.D【解析】在△BDF和△CED中， BF=CD,∠B=∠C,BD=CE, 所以△BDF≌△CED(SAS),所以∠BFD=∠CDE. 因为∠FDC=∠FDE+∠CDE,∠FDC=180·-∠BDF= ∠B+∠BFD, 又∠FDE=65°，所以∠B=∠FDE=65°， 所以∠A=180°-2∠B=50°. 故选D. 2.4【解析】如图，过点E作EH⊥AW于点H, M 第2题答图 因为BA⊥AN,EH⊥AN,所以∠BAC=∠EHC=90° 因为∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠ECH=90°， 所以∠ABC=∠ECH, 因为△BCE和△ACD都是等腰直角三角形，所以BC=CE,AC =DC,∠BCE=∠ACD=90°.在△ABC和△HCE中，∠BAC =∠CHE,∠ABC=∠HCE,BC=CE, 所以△ABC≌△HCE(AAS),所以AC=HE=CD,AB=HC 在△DCM和△EHM中，∠CMD=∠HME,∠DCM=∠EHM, CD=HE,所以△DCM≌△EHM(AAS), 所以CM=HM,所以CM=)CH=7AB=4 故答案为4. 3.【解】(1)如题图①，因为BD⊥直线1，CE⊥直线1，所以∠BDA =∠CEA=90°，所以∠BAD+∠ABD=90°.因为∠BAC =90°，所以∠BAD+∠CAE=90°，所以∠CAE=∠ABD. 在△ADB和△CEA中，∠BDA=∠AEC,∠ABD=∠CAE,AB= CA,所以△ADB≌△CEA(AAS),所以BD=AE,AD=CE,所 以DE=AE+AD=BD+CE. (2)结论DE=BD+CE仍成立.理由如下： 因为∠BDA=∠BAC=a,所以∠DBA+∠BAD=∠BAD+ ∠CAE=I80°-a,所以∠DBA=∠CAE.在△ADB和△CEA中， ∠BDA=∠AEC,∠DBA=∠EAC,AB=CA, 所以△ADB≌△CEA(AAS),所以BD=AE,AD=CE,所以 DE=AE+AD=BD+CE. (3)如图，过点E作EM⊥HⅡ于点M,过点G作GN⊥HI,交HⅡ 的延长线于点N,