3.第二章 相交线与平行线 学情调研-【真题圈】2025-2026学年七年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）山西专版

真题圈数学 同步调研卷 七年级下3B 3.第二章学情调研 (时间：120分钟满分：120分)》 彐期 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.(期中·23-24山西省实验)如图，直线AB与CD相交于点O,若∠1=40°， 0 则∠2的度数为( ) A.20° B.30 C.40° D.50 第1题图 2.(期中·23-24太原)在下列图形中，线段PQ的长能表示点P到直线MW的距离的是( A B D 3.如图，轮船航行到B处观测到小岛A在北偏西32°方向上，那么在小岛A处观测轮船的方向是( A.南偏西32° B.南偏东32° C.南偏西58° D.南偏东58 第3题图 第4题图 第5题图 4.(期中·22-23大同)如图，梯子的各条横杆互相平行，∠1=80°，则∠2的度数是( A.80° B.90° C.100° D.110 警加 5.教材内容改编（月考·23-24山大附中）古希腊数学家埃拉托色尼是第一个测算地球周长的人，他 H唰 在当时的城市塞恩（图中的点A)竖立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚 题)点 历山大（图中的点B)竖立杆子的影子却偏离垂直方向约7°（∠a=7°），由此他得出∠α=∠B,那 ® 么∠B的度数也就是360°的0，所以从亚历山大到塞恩的距离也就等于地球周长的0 0 其中“∠α=∠B”所依据的数学定理是( ) A.两直线平行，同位角相等 B.两直线平行，内错角相等 C.两直线平行，同旁内角互补 D.内错角相等，两直线平行 6.如图，将一副透明的三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α=∠B的图形有( 第6题图 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.(期中·23-24运城)如图，已知直线a∥b,则下列条件不能判定直线c∥d的是() A.∠1=∠2 B.∠3+∠5=180°C.∠4=∠5 D.∠2=∠5 4 20 3 d C 第7题图 第8题图 第9题图 8.(月考·22-23大同一中)如图，把一张长方形纸片ABCD沿MN折叠后，点D,C分别落在点D',C 的位置，C'D交BC于点F,若∠AMD'=36°，则∠MNC的度数为() A.72° B.108° C.144° D.126° 9.（月考·24-25山大附中)将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其 中含30°角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含45°角的直角三角板的一个顶点与含30°角的 直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含45°角的直角三角板的 另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么∠1的度数是() A、 1 A.10° B.15° C.30° D.45° D 10.如图，直线a∥b,直角三角形ABC的顶点C在直线a上，AB与直线a交于 B 点D,CB的延长线交直线b于点E,已知∠ACB=90°，∠A=30°，∠1= 2 -D 55°，则∠2的度数是() E A.45° B.55° C.65 D.75° 第10题图 第Ⅱ卷非选择题（共90分）】 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.情境题（期中·24-25大同多校联考）如图，小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练， 他从场地一边的P点处出发，选择到对面的 (填A,B或C)点处折返一次回到P点时， 跑过的路程最短. 第11题图 7 12.（月考·23-24山西现代双语南校改编)若∠A=40°，则∠A的补角等于 13.（期中·23-24山西省实验)如图，把一块透明的含有45°角的三角尺（∠F=90°）的两个顶点放 在直尺的对边上，如果∠1=20°，那么∠2等于 ② ③ ④ 第13题图 第14题图 14.教材习题改编（期中·24-25太原）如图①，一张透明的正方形纸片上有线段α和点P,小明依次 按照图②、图③的方法折叠，展开后如图④所示，其中过点P的折痕b与α平行，判断a∥b的 依据是 15.（月考·23-24太原师院附中)一副三角尺叠放如图①所示，现将含45°角的三角尺ADE固定 不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图②位置的过程中，使两块三角尺至 少有一组边互相平行.如图③，当∠CAE=15时，BC∥DE.则其他符合条件的∠CAE的度 数为 B ① ② ③ 第15题图 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(8分)如图，直线AB,CD,EF相交于点O,直线CD与射线FM交于点M,若MF∥AB,∠2+ ∠3=90°，那么直线CD与射线FM是否垂直，请说明理由 第16题图 17.(期中·23-24山西省实验)(6分)如图，点D是∠CAB边AC上一点，用尺规作出直线DE,使 DE∥AB(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) D 第17题图 18.(期中·22-23忻州)(8分)如图，直线a∥b,c,d是截线，已知∠1=80°，∠5=105°，求∠2， ∠3，∠4的度数 5 盗印必究 第18题图 关爱学子 拒绝盗印 19.(期中·23-24晋中揄榆次区)(8分)已知：如图，点D,E,F分别是线段BC,CA,AB上的点，连接 DE,DF若DE∥AB,∠A=∠EDF,试判断线段DF与AC的位置关系.补充完整下列解答过程 最 为 (括号内填写依据) 解：因为DE∥AB, 共嫩 所以∠A= ( 图出 又因为∠A=∠EDF, 彐卿 所以 所以DF AC( B D 第19题图 20.(期中·21-22大同云州区)(10分)如图，直线AB,CD交于点O,OB平分∠DOE,OF是∠BOC 製 的平分线 (1)说明：∠AOC=∠BOE, (2)若∠AOC=46°，求∠E0F的度数 (3)若∠EOF=30°，求∠AOC的度数 精品图书 金星教育 0 第20题图 巡咖 9 21.探究性试题（期末·22-23太原）(10分)数学课上，老师提出问题：如果两个角的两边分别平行， 那么这两个角有怎样的数量关系？小颖认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论.请 按她的思路完成探究： 问题 已知∠ABC与∠DEF,AB∥DE,EF∥BC,探究∠ABC与∠DEF的数量关系 ③两边方向均相反，点E在 ①两边方向均相同，射线 ②一边方向相同，一边方向相反，射线 情况 ∠ABC的外部.反向延长射 BA与EF交于点O EF与BA交于点P 线EF交射线BA于点Q 0 D A A A ---2 Q E 图示 5 R F E B 结论 ∠ABC=∠DEF ∠ABC+∠DEF=180° ∠ABC=∠DEF 因为AB∥DE, 因为AB∥DE, 所以∠E=∠1（依据） 所以∠DEF=∠2. 因为EF∥BC, 因为EF∥BC, 说理 所以∠1=∠B, 所以∠2=∠B, 所以∠E=∠B, 所以∠DEF=∠B, 即∠ABC=∠DEF 即∠ABC=∠DEF 结论 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系为 (1)情况①说理过程中的“依据”是 (2)请补全情况②的说理过程. (3)补全小颖发现的结论： 22.情境题（月考·22-23山大附中）(12分)阅读下列材料，完成相应任务. 台球中的数学 图①是台球桌面实物图，图②是抽象出的数学图形，已知长方形桌面ABCD中，AD∥BC, 一个球在桌面上的点E处滚向桌边AD,碰到AD边上的点F处后反弹，再碰到BC边上的点G 处后，再次反弹进入底袋点D.在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角∠1等于反弹 线与桌边的夹角∠2 (1)任务一：如图②，试说明：EF∥GD. (2)任务二：如图③，若球在桌面的点E处，经过两次反弹后碰到AD边上的点H处，若 ∠CFG+∠CGF=90°，请你判断EF与GH的位置关系，并说明理由 D D H G E B ① ② ③ 第22题图 精品图书 金星教育 1 23.模型探索（月考·23-24太原师院附中）(13分)综合与实践 问题情境： 数学课上，老师出示了这样一道题： 如图①，已知AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，EP⊥FP,∠1=60°.求∠2的度数 同学们经过小组讨论后，勤奋小组、创新小组、拼搏小组用不同的方法添加辅助线，交流了自己 的想法： 勤奋小组：“如图②，通过作平行线，发现∠1=∠3，∠2=∠4，由已知EP⊥FP,可以求出∠2的 度数.” 创新小组：“如图③，作平行线，经过推理，得∠2=∠3=∠4，也能求出∠2的度数.” 拼搏小组：“如图④，作平行线，也能求出∠2的度数.” 解决问题： (1)请你根据勤奋小组的同学所画的图形（如图②），描述辅助线的作法： (2)这三种解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，三种解题思路都利用了平行线的“等 角转化”的功能，它体现了 的数学思想（从“分类讨论”“数形结合”“转化”中选 一个填空) (3)请你根据以上创新小组所画的图③或者拼搏小组所画的图④选择其中一种作图的方法求出 ∠2的度数. 拓展应用： 请大家参考这三种方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题： (4)如图⑤，AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，FP平分∠EFD,∠PEF=∠PDF,若∠EPD=a, 请探究∠CFE与∠PEF的数量关系： (用含a的式子表示) E B 、74 3 22----- Q 2 27 37 D QD ① ② ③ E Q B B 3 2入4 ④ ⑤ 第23题图答案与解析 20.B 21.C 22.D【解析】A.由图形面积可得(a+b+c)d=ad+bd+cd,故本选 项不符合题意； B.由图形面积可得(a+b)(c+d)=ac+ad4bc+bd,故本选项不符 合题意； C.由图形面积可得(a+b)2=a2+2ab+b2,故本选项不符合题意； D.由图形面积可得(a-b)2=a2-2ab+b,故本选项符合题意. 故选D. 23.B【解析】设x-2025=a,已知等式可变为(a+1)2+(a-1)2 =18,所以a2+2a+1+a2-2a+1=18,所以2a2+2=18,所以 a2=8,即(x-2025)2=8. 故选B. 24.A【解析】A-B=x2+2x-6y-(-y2+4x-11) =x2+2x-6y+y2-4x+11=x2-2x+y2-6y+11 =x2-2x+1+y2-6y49+1=(x-1)2+(y-3)2+1. 因为(x-1)2≥0,0y-3)2≥0， 所以(x-1)2+(y-3)2+1>0, 即A-B>0,所以A>B. 故选A 25.7【解折】因为品m=3,所以六+网=9.所以记*m4 2=9,所以是+m=7 故答案为7. 26.【解1(1)因为a2+b2=10,ab=3, 所以(a-b)2=a2+b2-2ab=10-2×3=4,所以a-b=±2. (2)设a=x+26,b=x+15,则a-b=11,ab=20, 所以(x+26)2+(x+15)2=a2+b2=(a-b)2+2ab =112+2×20=161. 27.【解】(1)(a-b)2=(a+b)2-4ab分析：图④中阴影部分是边长 为a-b的正方形，因此面积为(a-b)2,图④中阴影部分的面积 也可以看作大正方形与四个长方形面积之差，即(a+b)2-4ab,所 以有(a-b)2=(a+b)2-4ab. (2)设4迟=xCB=y则xw=4C=7,方+方户=空， 即x2+y2=35, 所以S种章=y =x+)2-(x2+y) 2 =49-35 2 =7. 3.第二章学情调研 题号123456789 10 答案CDBCBCCBBC 1.C2.D 3.B【解析】如图，在A处标记方向，易得AC∥BD,则∠CAB= ∠ABD=32°，即轮船在小岛A的南偏东32方向上.故选B. 北 北 3 时东 第3题答图 第4题答图 4.C【解析】如图，因为梯子的各条横杆互相平行，∠1=80°， 所以∠3=80°，所以∠2=180°-∠3=100°.故选C. 5.B 6.C【解析】题图①中，∠a=∠B=45°，符合题意； 题图②中，根据同角的余角相等得∠α=∠β，符合题意； 题图③中，∠a+45°=180°，∠B+45°=180°， 所以La=∠B,符合题意； 题图④中，∠a+∠B=180°，不符合题意】 综上，∠a=∠B的图形有3个.故选C. 7.C【解析】A.因为∠1=∠2，所以c∥d,不符合题意 B.因为∠3+∠5=180°，所以c∥d,不符合题意 C.因为∠4=∠5，所以a∥b,不能判定c∥d,符合题意 D.因为a∥b,所以∠4=∠5.因为∠2=∠5，所以∠2=∠4，所 以c∥d,不符合题意.故选C 8.B【解析】因为∠AMD=36°，所以∠DMD=144°， 由折叠知∠DWN=2DMD=72. 因为D'M∥CN,所以∠D'MNW+∠MWC=180°， 所以∠MNC=180°-72°=108°.故选B. 9.B【解析】过点E作EF∥AB,如图，因为AB∥CD,所以 EF∥CD,所以∠1=∠BEF,∠DEF=∠CDE=30°.因为 ∠BED=45°，所以∠BEF=45°-30°=15°，所以∠1=15°. 故选B. A ---------F D -H B 人2 D 第9题答图 第10题答图 10.C【解析】如图，过点A作AF∥a, 所以∠FAD=∠1=55°，∠FAC=∠ACD. 因为a∥b,所以∠DCB=∠2. 因为∠ACB=90°， 所以∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-∠2， 所以∠DAC=∠FAD-∠FAC=55°-∠ACD=55°-(90°-∠2) =30°，解得∠2=65°.故选C. 11.B12.140 13.25°【解析】因为含有45°角的三角尺中∠F=90°， 所以∠FEC=45° 由题意知，AB∥CD,∠1=20°，所以∠AEC=∠1=20°， 所以∠2=∠FEC-∠AEC=45°-20°=25° 故答案为25° 14.同位角相等，两直线平行（答案不唯一） 15.60°或105°或135°【解析】如图①，当AE∥BC时，∠CAE =90°-30°=60°；如图②，当DE∥AB(或AD∥BC)时， ∠CAE=45°+60°=105°；如图③，当DE∥AC时，∠CAE= 45°+90°=135°.综上所述，旋转后两块三角尺至少有一组边 平行，则∠CAE其他所有可能符合条件的度数为60°或105°或 135°. 故答案为60°或105°或135°. ③ 第15题答图 16.【解垂直.理由：因为∠1=∠3，∠2+∠3=90， 所以∠1+∠2=90°，即∠MOB=90°. 因为MF∥AB, 所以∠FMO+∠MOB=180°， 所以∠FMO=180°-∠MOB=90°， 所以CD⊥FM 17.【解】如图所示，直线DE即所求（作法不唯一）. 第17题答图 18.【解】因为直线a∥b,c,d是截线， 所以∠2=∠1=80°，∠3+∠5=180°，∠3=∠4， 所以∠3=180°-105°=75°，所以∠4=75°， 即∠2，∠3，∠4的度数分别为80°，75°，75° 19.【解】∠DEC两直线平行，同位角相等∠DEC=∠EDF∥ 内错角相等，两直线平行 20.【解】(1)因为OB平分∠DOE,所以∠BOE=∠BOD 因为∠AOC=∠BOD,所以∠AOC=∠BOE. (2)因为∠AOC=46°， 所以∠B0C=180°-∠AOC=134°，∠B0E=46°. 因为OF是∠B0C的平分线，所以∠B0F=∠B0C=6N, 所以∠EOF=∠BOF-∠BOE=21°. (3)设∠AOC=a,则∠BOE=a,∠BOC=180°-a 真题圈数学七年级下3B 因为∠EOF=30°，所以∠BOF=a+30° 因为OF是∠BOC的平分线， 所以∠BOC=2∠BOF=2a+60°=180°-a, 解得a=40°，所以∠A0C=40°， 21.【解】(1)两直线平行，同位角相等 (2)因为AB∥DE,所以∠E+∠APE=180° 因为EF∥BC,所以∠APE=∠B, 所以∠E+∠B=180°，即∠ABC+∠DEF=180° (3)相等或互补 22.【解(1)因为AD∥BC,所以∠2=∠3. 又因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1=∠2=∠3=∠4 因为∠EFG=180°-（∠1+∠2），∠FGD=180°-（∠3+∠4）， 所以∠EFG=∠FGD,所以EF∥GD. (2)EF∥GH.理由如下： 由题意可知∠EFB=∠GFC,∠FGC=∠HGD, 因为∠HGF=180°-（∠HGD+∠CGF)=180°-2∠CGF, ∠EFG=180°-（∠EFB+∠GFC)=180°-2∠GFC, ∠CFG+∠CGF=90°， 所以∠HGF+∠EFG=180°-2∠CGF+180°-2∠GFC =360°-2（∠CGF+∠GFC)=360°-2×90°=180°， 所以EF∥GH. 23.【解】(1)过点P作PQ∥AB (2)转化 (3)如图①，过点E作EQ∥PF 因为EP⊥FP,所以EP⊥QE,即∠PEQ=90° 因为AB∥CD,EQ∥PF, 所以∠4=∠3，∠2=∠3，所以∠2=∠4. 因为∠1+∠4=90°，所以∠1+∠2=90°， 因为∠1=60°，所以∠2=90°-60°=30° 如图②，过点F作FQ∥PE,则∠PFQ=90° BA E QB 1y4 P6 2入 31 274 QDC D ① ② y Q 入 D ③ 第23题答图 因为AB∥CD,FQ∥PE, 所以∠4=∠3，∠1=∠3，所以∠1=∠4. 因为∠2+∠4=90°，所以∠1+∠2=90° 因为∠1=60°，所以∠2=90°-60°=30°.（选其中一种即可） (4)∠CFE-2∠PEF=180°-a 分析：设∠CFE=x,∠PEF=∠PDF=y, 一答案与解析 如图③，过点P作PQ∥AB, 所以∠BEP+∠EPQ=180° 因为AB∥CD,所以AB∥PQ∥CD, 所以∠CFE=∠FEB=x,∠PDF=∠DPQ, 所以∠DPQ=∠PEF=∠PDF=y 因为∠CFE=∠FEB=x=∠FEP+∠BEP, 所以x=y4(180°-a+y),所以x-2y=180°-a, 即∠CFE-2∠PEF=180°-a. 4.重难题型卷（二）平行线 1.D【解析】因为DE∥BC,所以∠ADE=∠B=44°. 由折叠得∠A'DE=∠ADE=44°， 所以∠A'DB=180°-44°-44°=92°.故选D. 2.A【解析】设∠EFB=x,则∠EFC=3x,∠GFC2=4x. 因为AD∥BC,所以∠DEF=∠EFB=x 由折叠可得∠GEF=∠FED=x,∠GFC,=∠GFC2=4x, 所以∠EFC1=4x+x=5x. 因为ED,∥FC1,所以LGEF+∠EFC,=x+5x=180°， 解得x=30°，即∠GEF=30°.故选A. 3.105°【解析】因为DE∥AC,所以∠EDF=∠C=30°， 所以∠ADB+∠ADE=180°+∠EDF=210°.根据折叠可知， ∠ADB=∠ADE,所以∠ADB=∠ADE=3×210°=105°.故 答案为105°. 4.96°【解析】如图，延长BC到点G, A 4 2 B CG 第4题答图 因为AF∥BE,所以∠1=∠3=42°.因为AD∥BC,所以∠3= ∠4=42°.因为BE∥CD,所以∠DCG=∠4=42°.由折叠得 ∠DCG=∠HCD=42°，所以∠2=180°-∠HCD-∠DCG= 96°.故答案为96° 5.①③④【解析】因为四边形ABCD是长方形， 所以AD∥BC,所以∠1=∠FED. 由折叠知∠FEH=∠FED,所以∠1=∠FEH,故①正确. 因为BC∥AD,所以∠2+∠AEH=180°. 因为∠1=∠FEH=∠FED,∠FEH与∠AEH不一定相等， 所以∠1与LAEH不一定相等， 所以∠1与∠2不一定互补，故②错误. 若∠1=60°，则∠1=∠FEH=∠FED=60°， 所以∠AEH=60°. 由AD∥BC知∠2+∠AEH=180°， 则∠2=120°，故③正确. 因为∠P=90°，∠P+∠PFM4∠PMF=180°， 所以∠PMF=90°-∠PFM 由折叠知∠CFE=∠PFE=∠1+∠PFM, 因为∠1+∠CFE=180°，所以2∠1+∠PFM=180°， 所以∠1=90°-∠PFM 2 所以∠1-∠PMF=90°-∠PFL-(90°-∠PFM0 2 =3PP0, 所以∠1>∠PMF,故④正确. 故答案为①③④. 6.46°【解析】因为AD∥BC,∠BFD=88°，所以∠ADF= 180°-∠BFD=92°，所以∠CDC=∠ADC-∠ADF=∠ADC 2.由折叠的性质得∠CDE=∠CDC'=方<ADC-46, ∠CD0=∠AD0=)∠ADC,所以∠ODE=∠CD0-∠CDE= 2∠ADC-(3∠ADC-46)=46. 故答案为46°. 7.C【解析】根据第1个图形∠1+∠2=180°， 第2个图形∠1+∠2+∠3=2×180°， 第3个图形∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°，…， 得∠1+∠2+…+∠n=(n-1)·180°.故选C. 8.B【解析】如图所示，过点A作AG∥MN,过点B作BH∥ CD,因为CD∥MN, C D 所以AG∥MN∥BH∥CD. 因为OA⊥MN,所以AG⊥OA, 即∠0AG=90°. 因为∠BA0=158°， G------A 所以∠BAG=∠BAO-∠OAG=68°， -N 所以∠ABH=∠BAG=68° 第8题答图 因为CE∥AB,BH∥CD, 所以∠ABC+∠BCE=180°=∠CBH+∠BCD, 所以∠ABH+∠CBH+∠BCE=I80°=∠CBH+∠BCE+∠DCE, 所以∠DCE=∠ABH=68°.故选B. 9.【解】(1)∠EAB∠DAC (2)过点C作CF∥AB,如图①. 因为AB∥DE,所以CF∥DE∥AB, 所以∠D+∠FCD=180°，∠B+∠FCB=180°， 所以∠B+∠FCB+∠FCD+∠D=360°， 所以∠B+∠BCD+∠D=360°. R P------------------C G---- ------⊙ D ① 第9题答图 (3)如图②，过点E作EG∥AB, 因为AB∥CD,所以EG∥CD, 所以∠GED=∠EDC