5.1.1 变化率问题（第二课时）导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦“导数的概念及其意义”，核心内容为抛物线切线的定义、斜率求法（极限法）及几何意义。课堂导入通过“从圆的切线到一般曲线的切线”探究，先回顾圆切线特点，再对比抛物线，引导学生发现公共点个数不能定义一般曲线切线，搭建旧知到新知的学习支架。 特色在于以合作探究和自主梳理为主，通过割线斜率表格计算让学生直观感受极限过程，培养数学眼光，利用极限符号推理切线斜率，发展数学思维，结合切线方程步骤与习题巩固，强化数学语言表达，帮助学生理解变化率的统一性，提升知识应用能力。

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 一5.1.1 变化率问题 第2课时 【学习目标】 1. 理解抛物线的割线与切线的关系，体会“无限逼近”的极限思想. 2. 会用割线斜率的极限求抛物线在某点处的切线斜率. 3. 能结合具体函数（如 ）求切线的斜率与切线方程. 4. 理解瞬时速度与切线斜率的统一性（变化率的几何意义）. 【学习重点】 1. 抛物线切线的定义及切线斜率的求法（极限法）. 2. 瞬时速度与切线斜率的联系. 【学习难点】 1.理解“当点 无限趋近于点 时，割线斜率无限趋近于切线斜率”的极限过程. 2.用极限表达式求切线斜率的一般步骤. 学习任务一 从圆的切线到一般曲线的切线 【合作探究】 1.在圆中，直线与圆相切时，它们有几个公共点？ 对于一般曲线（如抛物线），直线与曲线只有一个公共点就能保证它们是相切吗？请举例说明. 2.观察下图（抛物线 及点 处的切线 ）： 当点 沿着曲线无限靠近 时，割线 的位置会怎样变化？什么是曲线在一点处的切线？ 3.为什么不能用判断直线与圆相切的方法（看公共点个数）来定义一般曲线的切线？这体现了数学概念的什么发展？ 【自主梳理】 1.切线的定义（极限观点）： 对于曲线 ，在点 处，当曲线上的点 沿曲线______时，割线 如果趋于一个确定的位置，则称该位置的直线为曲线在点 处的______. 2.切线与割线的关系： 切线是割线的______位置，其斜率是割线斜率的______（当 时） 学习任务二 抛物线切线的斜率（以 为例） 【合作探究】 1.已知抛物线 ，求它在点 处切线的斜率. 提示： 设点 ； 计算割线 的斜率 ； 化简后求 时的极限. 2.完成下列表格（计算当 取不同值时割线斜率的近似值）： 割线斜率（计算值） 0.01 0.001 -0.1 -0.01 -0.001 观察当 时，割线斜率趋近于哪个数？ 3.用极限符号表示上述过程： 4.类似地，求抛物线 在点 处切线的斜率.写出计算过程. 【自主梳理】 1.割线斜率公式： 对于函数 ，在点 及邻近点 ， 割线 的斜率为 . 2.切线斜率： 当 时，割线斜率的______即为切线斜率，记作 3.几何意义： 函数在某点处的瞬时变化率（如瞬时速度）对应着函数图象在该点处的______. 极限符号： 读作：当 无限趋近于 0 时，表达式______的极限等于 2. 学习任务三 切线方程与一般抛物线的求法 【合作探究】 1.已知抛物线 ，求它在点 处切线的斜率，并写出切线方程. （提示：先求斜率 ，再利用点斜式写方程） 2.对比瞬时速度的求法： 高台跳水运动员在 s 时的瞬时速度与抛物线在 处的切线斜率，两者在数学表达式上有什么相同点？ 【自主梳理】 1.切线方程的步骤： 求斜率 ； 2.由点斜式得切线方程：. 【自查自纠】 1. 若一条直线与曲线只有一个公共点，则这条直线一定是曲线的切线. （ ） 2. 抛物线的割线斜率与切线斜率没有关系. （ ） 3. 求切线斜率时， 必须取正值. （ ） 4. 瞬时速度的几何意义是位移函数图象上对应点的切线斜率. （ ） 5. 对于函数 ，在 处的切线斜率为 0. （ ） 【典例】例：求抛物线 在点 处的切线方程. 【习题巩固】 1.抛物线 在点 处的切线斜率为（ ） A.  B.  C.  D. 2.下列说法正确的是（ ） A. 曲线的切线一定与曲线只有一个公共点 B. 割线斜率的极限就是切线斜率 C. 抛物线的切线不可能与抛物线相交 D. 函数 在 处的切线不存在 3.已知函数 ，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.抛物线 在点 处的切线方程是（ ） A.  B.  C.  D. 5.（选做）求曲线 在点 处的切线斜率及切线方程. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $