7.重难题型卷(三)行四边形-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（人教版·新教材）山西专版

真题圈数学 同调研卷 八年级下RJ3B 7.重难题型卷（三） 棉 平行四边形 题型一 折叠问题 图细 彐期 1.(期中·22-23运城实验中学)如图，在△ABC中，∠A=50°， 点D,E分别是AB,AC上的一点，将△ADE沿直线DE折叠， 点A落在A'处，若四边形ADA'E是菱形，则∠1的度数 为( ) A.55° B.65° C.50° D.609 D B 第1题图 第2题图 2.如图，在☐ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在 DC的延长线上的点E处.若∠B=60°，AB=3,则△ADE 的周长为( A.12 B.15 C.18 D.21 D 靴 3.(期中·22-23忻州实验中学)如图，在矩 形纸片ABCD中，已知AD=8,折叠纸 片使AB边与对角线AC重合，点B落在 点F处，折痕为AE,且EF=3,则AB 的长为 第3题图 4.如图，边长为√2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O, 将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的 点E处，连接CE,折痕DF交AC于点M,交CE于点F,求 OM的长度. 巡0 阳图 品 第4题图 ● 5.（中考·2021山西)综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①， 在□ABCD中，BE⊥AD,垂足为E,F为CD的中点，连接 EF,BF,试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明. 【独立思考】(1)请獬答老师提出的问题 【实践探究】(2)希望小组受此问题的启发，将口ABCD沿着 BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图②，点C的对应 点为C,连接DC并延长交AB于点G,请判断AG与BG的 数量关系，并加以证明 G ① ② 第5题图 —21 题型二最值问题 6.(月考·22-23运城运康中学)如图，在矩形ABCD中，AB=4, BC=3,点E为AB上一点，连接DE,将△ADE沿DE折叠， 点A落在A处，连接A'C,若F,G分别为A'C,BC的中点， 则FG的最小值为( A.2 B. c.5-1 D.1 2 D D 4 ⊙ E 第6题图 第7题图 7.(模考·2023朔州朔城区一模)如图，菱形ABCD的边长为8， ∠ABC=60°，点E,F分别是AB,CD边上的动点，且AE=CF, 过点B作BG⊥EF于点G,连接AG,则AG的最小值是() A.2W7B.2V3 C.2W7-2W3 D.2W7+2W3 8.如图，正方形ABCD的边长为5，E是AB上一点，且BE:AE =1:4,若P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是 (结果保留根号). D ONB花 绝第8题图 第9题图 9.如图，点A(0,4),点B(3,0),P为线段AB上一个动点，作 PM⊥y轴于点M,PN⊥x轴于点N,连接MN,当MN的长最 小时，PN的长为 10.如图，边长为8的菱形ABCD两条对角线相交于点O,以 AD为斜边向外作Rt△ADE,连接OE,则线段OE长度的最 大值为 第10题图 第11题图 11.（月考·24-25太原三十六中)如图，线段AB的长为10，点 D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与 CD垂直的射线DP,过DP上一动点G(不与点D重合)作 矩形CDGH,记矩形CDGH的对角线交点为O,连接OB, 则线段BO的最小值为 12.如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点M是边AD 的中点，点N是对角线BD上一动点，求△AMN周长的最 小值. 第12题图 题型三动点问题 13.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E为AD的中点， F为线段EC上一动点，P为BF的中点，连接PD,则线段 PD的取值范围是() A.2W2≤PD≤V10 B.3<PD<V10 C.2<PD<4 D.2W2≤PD≤4 A-P Q 第13题图 第14题图 14.（月考·22-23山西省实验)如图，在口ABCD中，AB= 8cm,AD=16cm,点P在AD边上以每秒1cm的速度从 点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从 点C出发，在C,B间往返运动，两个点同时出发，当点P到 达点D时停止（同时点Q也停止），在运动过程中（不包含 起始位置)，当运动时间= s时，以P,D,Q,B四 点组成的四边形是平行四边形 15.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB= 8cm,AD=12cm,BC=18cm,点P从点A出发，以1cm/s 的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速 度向点B运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点 也随之停止运动.设点P,Q运动的时间为ts.解答下列问题： (1)CD边的长度为 cm,t的取值范围为 (2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD? (3)从运动开始，当t为 时，PQ=CD, A±P 第15题图 —22 16.综合与探究 如图，在口ABCD中，点A,B,C在坐标轴上，点C的坐标是 (6,0),CD=2W2cm,∠AB0=45°，点M,N分别以A,C 为起点，以1cms的速度沿AD,CB方向同时运动，设点M, N的运动时间为ts(0≤t≤6) (1)求点B的坐标 (2)连接AN,CM,当t为何值时，四边形AMCN为菱形？ (3)若点P是x轴上一动点（点P不与B,C重合），点Q是y 轴上一动点，试判断是否存在这样的点P,使得以点C,D,P, Q为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由· y D 第16题图 学子 拒绝盗印(3)【解】2+2√5 分析：在等边三角形ABC中，由点O为两条中线的交点， 易得∠0EA=90°，LEB0=∠ABC=30,， .∠EOB=60°.，F为BO的中点， .EF=OF=BF=1,△EF0为等边三角形， .在矩形DEFG中，∠FEG=60°， ∴.EG=2EF=2,.由勾股定理可得FG=√5， ∴.四边形DEFG的周长为 2(EF+FG)=2×(1+V5)=2+25 23.(1)【解】一定 (2)【证明】连接BD,如图① 第23题答图① ,四边形ABCD是菱形， ·.AB=BC=CD=AD,LABD=∠CBD=∠ABC=60, ∴.△ABD,△BDC都是等边三角形， ·∠BDM=∠BCN=60°，DB=CB. .∠MBN=60°=∠DBC, ∴.∠DBM=∠CBN, .∴.△DBM≌△CBN(ASA), ∴.BM=BN, ∴.四边形BMDN是“等邻边四边形” (3)【解】4V5+8或18或12. 分析：如图②，过点A作AH⊥BC于点H,过点E作EN⊥AD 于点N,则四边形AHEN是矩形. B4 H 第23题答图② AB=2√5，BC=7,AC=√4I, ∴AB2-BHP=AC-CP, .(2V5)2-BP=(V41)2-(7-BH)2, .BH=2,AH=EN=AB2-BH2 =4. :BE=4,.AN=HE=4-2=2. ①当AP=AB=25时，Sm(8EHP)·AH)×(425)× 4=4V5+8; ②当PA=PE时，设PA=PE=x, 在Rt△PEN中，PE=NE+PWP, x2=42+(x-2)2,.x=5, ·S港(BE+AP)·A=方×(4+5)×4=18； ③当PE=BE=4时，点P与N重合， St(B+MP:AH=号×(4+2)×4=I2 综上，四边形ABEP的面积为4V5+8或18或12. 真题圈数学八年级下RJ3B 7.重难题型卷（三）平行四边形 1.B【解析】由折叠可得，∠A=∠A'=50°.：四边形ADA'E是 菱形，AE=4rD,.∠1=180°∠4=180-50=65° 2 2 故选B. 2.C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°。 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,∴.∠BAC=∠ACD=90°」 又：∠B=60°，∴.∠ACB=30°， .BC=2AB=6,AD=6. 由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，∴.∠DAE=60°， ∴.△ADE是等边三角形，.△ADE的周长为6×3=18. 故选C. 3.6【解析】：四边形ABCD为矩形，AD=8, .BC=AD=8,∠B=90°. 根据折叠的性质可得，AB=AF,BE=EF=3,∠AFE=∠B =90°，∴.CE=BC-BE=5,∠CFE=90°. 在Rt△CEF中，CF=VCE2-EF2=V5-3?=4. 设AB=AF=x,则AC=AF+CF=x+4 在Rt△ABC中，AB2+BC=AC,.x2+82=(x+4)2, 解得x=6,.AB=6. 故答案为6. 4.【解四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD=BC=CD=V2,∠DCB=90°，AC⊥BD, AC=BD,OD=]BD,OC=]AC, ∴.∠COD=∠B0C=90°，OD=OC, ∴.由勾股定理可得BD=√2AB=2,∴.OD=B0=OC=1. :将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的 点E处，∴.DE=DC=√2，DF⊥CE, ∴.OE=V2-1,∠EDF+∠FED=∠ECO+∠OEC=90°， ∴.∠ODM=LECO, ∠EOC=∠DOC=90°， 在△OEC与△OMD中，{OC=OD ∠OCE=∠ODM, .△OEC≌△OMD(ASA), ∴.OM=OE=V2-1. 5.【解】(1)EF=BF证明如下： 如图①，分别延长AD,BF相交于点M:四边形ABCD是平 行四边形，.AD∥BC,.∠2=∠C,∠M=∠1. :F为CD的中点，.DF=CF,.△MDF≌△BCF(AAS), ·FM=FB,即F为BM的中点，BF=专BM BE⊥AD,∴.∠BEM=90°， 在Rt△BEM中，EF=号BM,EF=BR 2 2 ① ② 第5题答图 (2)AG=BG.证明如下： 如图②，连接CC交FB于点N 由折叠的性质可知FC=FC,CC⊥FB,∴.∠CNB=90° 答案与解析 “F为CD的中点，FC=FD=号CD, ∴FC=FD,∠1=∠2. FC=FC,.LFC'C=ZFCC'. 在△DCC中，∠1+∠DCC+∠DCC=180°， ..∠1+∠2+∠FCC+∠FCC=180°， .2∠2+2∠FCC=180°， ∴.∠2+∠FCC=90°，∴.∠DCC=90°， .∠DCC=∠CNB,.DG∥FB. :四边形ABCD是平行四边形， ∴DC L AB,.四边形DGBF是平行四边形， BG=FD,BG=号AB,AG=BG. 6.D【解析】如图，连接AB,BD. :AB=4,AD=BC=3,∴.BD=√AB2+AD2=√16+9=5. :将△ADE沿DE折叠，点A落在点A'处， .A'D=AD=3. 在△ADB中，A'B>BD-A'D, .当点A'在DB上时，A'B有最小值为BD-A'D=2. F,G分别为A'C,BC的中点， ∴FG=)AB,FG的最小值为1.故选D, D A A G G M 第6题答图 第7题答图 7.C【解析】如图，连接AC与EF相交于点O. ,四边形ABCD是菱形，∴.AB∥CD,.∠OAE=∠OCF :∠AOE=∠COF,AE=CF,∴.△AOE≌△COF(AAS), .OA=0C,点0是菱形的中心. 连接OB,取OB的中点M,连接MA,MG,则MA为定长 BGLEF,MG-OB. :菱形ABCD的边长为8，∠ABC=60°， .AC⊥BO,∠ABO=30°，OA=OC=4. 由勾股定理可得OB=√AB2-OAP=V82-42=4V5 :M是0B的中点，0M=30B=3×4W5=25 在Rt△AOM中，AM=VOA+OM2=2万. 在RtABOG中，GM=)OB=2N3 :AG≥AM-MG=2√万-23，当A,M,G三点共线时，AG 的最小值为2√7-2√3.故选C 8.√4I【解析】如图，连接BD,则点D 为点B关于AC的对称点，连接DE 交AC于点P,由对称的性质可得， P PB=PD,故PE+PB=DE,由两 点之间线段最短可知，DE的长为 PE+PB的最小值. AB =AD=5,BE:AE =1:4, .BE=1,AE=4. 第8题答图 在Rt△ADE中，DE=√AD2+AE2=V52+42=√4I. 故答案为√41. 9.治【解析如图，连接OP,易得四边形ONPM是矩形， 25 .OP MN. 当OP⊥AB时OP最短，即MN的长最小 A(0,4),B(3,0,A0=4,B0=3. 根据勾股定理可得AB=5. 当oP1MB时，Saam=号40：B0=号4BOP, 即3×4x3=3×50P, 解得OP-号，即OP的最小值为号 在Rt△OPB中，由勾股定理，得 即×号×号3×3PN.解得PN=碧 放答案为碧 yA B O ON B 第9题答图 第10题答图 10.8【解析】如图，取AD的中点F,连接OF,EF :四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD. :点F是AD的中点，OF=)D=4 :以AD为斜边向外作Rt△ADE,点F是AD的中点， 六EF=号AD=4.在△OEF中，OB<OF+EF, 当O,F,E三点共线时，OE=OF+EF, .0E≤4+4， OE≤8，.线段OE长度的最大值为8.故答案为8. 11.5【解析】如图，连接 H P AO.:四边形CDGH是 矩形，∴CG=DH,OC= 号cG,0D=Dm0c G A -B =OD.:△ACD是等边 第11题答图 三角形，∴.AC=AD,∠CAD=60°.在△ACO和△AD0中， AC=AD, AO=AO,∴.△ACO≌△ADO(SSS),∴.∠OAB=∠CAO= C0=D0. 30°，∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，∴当OB⊥A0时， OB的长度最小.：∠OAB=30°，∠AOB=90°， :B0=2AB=3×10=5,即B0的最小值为5. 故答案为5. 12.【解如图，根据菱形的性质可知， 点A关于BD的对称点为点C, B 连接CM,交BD于点N',此时 △AMN的周长最小，即AM+CM. ∠BAD=120°， .∠ADC=60°. 第12题答图 ,AD=CD,∴.△ACD是等边三角形. ,M是AD的中点， ∴.CM⊥AD,.CM=VCD2-MD2=V42-22=25」 ∴.△AMN周长的最小值为AM+CM=2+2√3 13.A【解析取BC,BE的中点P,P2,连接PP2,PP,如图，当 点F与点C重合时，点P在点P,处，CP,=BP,当点F与点 E重合时，点P在点P2处，EP2=BP2: PP,∥EC且PP,=3EC当点F在EC上且不与E,C重 合时，有BP=FP由中位线定理可知，PP∥CF且P,P= 号CF,P,P,P,三点共线，点P的运动轨迹是线段PB, :在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E为AD的中点， ·△ABE,△BEC,△DCP为等腰直角三角形， ∴.∠ECB=45°，∠DP,C=45°. PP2∥EC,.∠P,PB=∠ECB=45°，∴.∠P,PD=90°， DP的长度的最小值为DP的长，最大值为DP,的长， CD CP DE =2, .DP,=2√2，CE=2N2, .PP2=V2,∴DP2=V2W22+(W2)2=10 ∴2√2≤DP≤√10.故选A. D A PN、 P B 第13题答图 第14题答图 14.2或兰或4【解析如图，：PD∥BQ, 5 3 5 当DP=BQ时，以点P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四 边形，设运动时间为1s,分为以下情况： ①点Q的运动路线是C→B,0<1≤4时，16-4t=16-1,解得 t=0,不符合题意： ②点Q的运动路线是C→B→C,4<1≤8时，4t-16=16-t, 解得1=碧： ③点Q的运动路线是C→B→C+B,8<t≤12时，16-(4t- 32)=161,解得1=号： ④点Q的运动路线是C→B→C→B→C, 12<t≤16时，方程为41-48=16-1，解得1=64 5 故答案为号或号或 15.【解(1)100≤t≤9 分析：如图①所示，过点D作DE⊥BC于点E,则∠DEB= ∠DEC=90°. :AD∥BC, ..∠A+∠B=180° ,∠B=90°，.∠A=∠B=∠DEB=90°， ∴四边形ABED是矩形， .'DE AB=8 cm,BE AD 12 cm. BC=18 cm, ..CE=18-12=6(cm). 由勾股定理，得CD=V62+82=10(cm). 真题圈数学八年级下RJ3B :点P从点A出发，以1cms的速度向点D运动，AD= 12cm,.点P运动到点D所用时间为12s. 同理，点Q运动到点B所用时间为=9(s). :其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动， .0≤t≤9. A」 A-P D B QE+C ① ② BQ F E+C ③ 第15题答图 (2)如图②所示，AD∥BC,∴.PD∥CQ. 当PD=CQ时，四边形DPQC是平行四边形， 此时PQ∥CD且PQ=CD. .12-t=2t,.t=4, 即当t=4时，PQ∥CD,且此时PQ=CD. (3)8或4 分析：如图③所示，过点P作PF⊥BC于点F,过点D作DE⊥ BC于点E当PQ=CD时，PF=DE, .Rt△PQF≌Rt△DCE(HL), .QF=CE =6 cm. ,∠PFE=∠DEF=∠ADE=90°， .四边形DPFE是矩形， ∴.PD=EF=12-t, ∴.CQ=QF+EF+CE,即6+6+12-t=2t,∴.t=8. 又由(2)得当t=4时，PQ=CD, 故当t=8或4时，PQ=CD 16.【解】(1)：四边形ABCD是平行四边形，CD=2V2cm, ∴.AB∥CD,AB=CD=2W2cm :∠AB0=45°，∠A0B=90°， ∴.△AOB是等腰直角三角形， .A0=B0,AO2+BO2=2B0=AB2, 40=80=94B=2×25=2cm 2 .点B的坐标为(-2,0) (2)如图①. C(6,0),.0C=6cm. 由题意可知AM=CN=1×t=t(cm), .'ON =OC-CN=(6-1)cm. ,∠A0N=90°，A0=2cm, ∴.AN=VA02+ON2=V22+(6-t)2(cm). :'AM∥CN,AM=CN, .四边形AMCN是平行四边形， ∴.当AM=AN时，四边形AMCN是菱形， 此时V2+6-=1,解得1=9， .当1为9时，四边形AMCN是菱形. 答案与解析 y ③ 第16题答图 (3)存在，P(2,0)或P(14,0). 分析：如图②，当CD为边时，PQ∥CD且PQ=CD. AB∥CD,AB=CD,.PQ∥AB,PQ=AB, ∴.四边形ABQP是平行四边形， .OP=OB=2,OQ=OA=2,.P(2,0) 如图③，当CD为对角线时，DQ∥PC,DQ=PC, ∴点Q与点A重合，.CP=AD=8, .OP=0C+PC=14,.P(14,0). 综上，P(2,0)或P(14,0). 34 A(Q) B 第16题答图③ 8.期中学情调研（一）】 题号12345678910 答案BA BD BCA ACA 1.B【解析】V.5的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次 根式，50是最筒二次根式，的被开方数中的因数不是整数。 不是最简二次根式，√2的被开方数中含有能开得尽方的因数， 不是最简二次根式，即最简二次根式的个数是1.故选B. 2.A 3.B【解析】由题图可知，AB=VP+22=√5，BC=V2+22= √5，AC=V12+32=V10,所以AB2+BC=AC,AB=BC, 所以△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°， 则∠ACB=45°.故选B. 4.D【解析】如图， 第4题答图 :∠2=6-2×180°=120，∠1=5-2）×180°=108， 6 ∠1+∠2+∠3=360°，.∠1=132° 故选D. 5.B【解析】A.(3V3)2=32×3=27≠9，本选项不符合题意； B《引=号，本选项符合题意 22 C.√9+16=√25=5≠√9+√16，本选项不符合题意； D.√(-9)×(-16=9×√16≠√9×√16，本选项不符合题意 故选B. 6.C【解析】，四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC 的中点，.AB=CD,AD=BC,OA=OC ,点E是边AD的中点，∴.OE是△ACD的中位线， 0B=3CD=34B, 故A,B,D错误，不符合题意；C正确，符合题意， 故选C. 7.A 8.A【解析】设点D的坐标为(x,10),则DB=-x, 由折叠的性质可知，AE=AC=10,DE=CD=8+x A0=8, ∴.根据勾股定理，可得EO=6,BE=OB-OE=4 在Rt△BDE中，D=DB2+BE,即(8+x)2=x2+42, 解得x=-3.则点D的坐标为(-3,10).故选A 9.C【解析J如图，过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D. 由题意，得∠CAD=30°，设CD=x n mile. 在Rt△CAD中，，∠CAD=30°， .AC=2CD=2 xn mile,AD=√AC2-CD2=√5 xn mile. 在Rt△CBD中，，∠CBD=45°， ∴.BD=CD=x n mile. AD-BD=AB,.√3x-x=20(V3-1), 解得x=20, ∴.BC=VBD2+CD2=√2CD=20W2 n mile. ,救援艇的速度为30 n mile/h, ·救援艇到达C处所用的时间为202=2y2(h).故选C. 30 3 C北 西+东 A 南 60 459 A B 第9题答图 第10题答图 10.A【解析】如图，过点D作DE⊥a于点E,DF⊥c于点F, :四边形ABCD是正方形，.DA=DC,∠ADC=90°， .∠ADE+∠CDF=90°. 又∠CDF+∠DCF=90°，∴.∠ADE=∠DCF ∠AED=∠DFC, 在△DAE与△CDF中，∠ADE=∠DCF AD=DC, .△DAE2△CDF(AAS),∴.DE=CF=2, .CD2=FC+DFP=22+42=20, ∴.△AOD的面积为20÷4=5.故选A. 11.x≥2 12.1或2.5【解析】等腰三角形的腰长为5cm,周长为12cm,则 底边长为2cm,当中位线平行于底边时，其长度为1cm,当中 位线平行于腰时，其长度为2.5cm.故答案为1或2.5. 13.9【解析】，四边形ABCD是平行四边形， .AO=CO,AD BC,AB CD. :平行四边形ABCD的周长为18cm, .DC+AD=9cm.又，OE⊥AC,.AE=CE,