7.重难题型卷(三) 特殊四边形-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（人教版·新教材）北京专版

答案与解析 (3)如图③，正方形ABCD即所求 A D B 第23题答图③ 24.(1)【证明】点D,E分别是边BC,AC的中点， ∴BD=CD,DE∥AB,则DF∥AB. 又AF∥BC,四边形ABDF是平行四边形， ∴AF=BD=CD,∴四边形ADCF是平行四边形， AB=AC,BD=CD,.AD⊥BC,即∠ADC=90°， .四边形ADCF是矩形 (2)【解如图，取CD的中点H,连接EH, 四边形ADCF是矩形，AC=DF,.ED=EC,.DH= CH=)CD,∠EHB=90°. 由(1)得∠ADC=∠ADB=90°， AB=6,BC=8,BD CD= C4..D-CD-2. D H AD=√AB2-BD2=V62-42=2√5 第24题答图 AE EC..EH=AD=5. .∴.BH=BD+DH=4+2=6, ∴.在Rt△BEH中，根据勾股定理得BE=√BH+EH= V62+(W5)2=√41. 25.(1)【证明】：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,∴.∠ABD=∠BDC BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠DBC,∴.∠BDC=∠DBC, .BC=CD,.四边形ABCD是菱形. (2)【解】由(1)可知，四边形ABCD是菱形 ∴BO=DO,∠ACD=∠BCA=∠BCD,AC⊥BD,AB∥CD, ∴.∠BCD=180°-∠ABC=180°-70°=110°，∠DCE= ∠ABC=70°，.∠ACD=∠BCD=55°. ,∠ECM=15°， .∴.∠DCM=∠DCE-∠ECM=70°-15°=55°， ∴.∠DCA=∠DCM DF⊥CM,BD⊥AC,DO=DF=V5, BD=2D0=25. 26.(1)【证明】：四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形， ∴.∠D=∠A=90°，HG=HE.又AH=DG=3, ∴.Rt△AHE≌Rt△DGH(HL),∴.∠DHG=∠HEA :∠AHE+∠HEA=90°，.∠AHE+∠DHG=90°， .∠EHG=90°，.四边形EFGH为正方形 (2)【解】如图，过F作FMLDC,交DC延长线于点M, 连接GE 矩形ABCD中，AB∥CD, D G ∴.∠AEG=∠MGE. 菱形EFGH中，HE∥GF, .∴.∠HEG=∠FGE, .∴.∠AEH=∠MGF ∠A=∠M=90°，HE=FG, 第26题答图 ∴.△AHE2△MFG(AAS), ∴.FM=HA=3,即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线 CD的距离始终为3， ·SAro=)FM·GC=3x3×(10-4)=9. (3)【解】2√2115-3√21 分析：设DG=x,则由第(2)小题得，SA=方×3×(10- x),在△AHE中，AE≤AB=10, .HE2≤109，∴.x2+25≤109，∴.x≤2W21, .当DG=2√21时，△FCG的面积最小，最小值是15-3√21， 27.(1)①解】补全图形如图①. ②[证明】：AB=BD,.∠BAD=∠BDA. ,四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD,∴.∠BAD+∠ADC=180°. .∠BDA+∠ADE=I80°，.∠ADE=∠ADC .DE =BD,.DE DC. DE=DC. 在△ADE和△ADC中，{∠ADE=∠ADC, AD=AD, ∴.△ADE≌△ADC(SAS), ∴.AE=AC ⑦ 第27题答图 (2)【解】AE+BE=2AB. 证明：如图②，延长BD至点F,使DF=BD,连接AF, 由(1)②可得△ADF≌△ADC, .∠F=∠ACD. ∠AEB=2∠ACD,.∠AEB=2∠F :∠AEB=∠EAF+∠F, ∠EAF=∠F,EF=AE, :'AE+BE EF+BE BF =2BD 2AB, 即AE+BE=2AB. 28.【解1(1)PQ1∥P2Q2T (2)5如图①中，点T(或T")即所求 分析：如图①，当T与CD的中点重合或与AD的中点重合 时，T的值最小，最小值d=P+=5 ① ② 第28题答图 (3)如图②中，弧EF即所求（以D为圆心，为半径画弧）. 7.重难题型卷（三）特殊四边形 1.B【解析设∠ADF=3x,∠FDC=x,:四边形ABCD是矩形， ∠ADC=90°， .x+3x=90°，解得x=22.5°，即∠FDC=x=22.5° DF⊥AC,∴.∠DFC=90°，∠DCE=90°-22.5°=67.5° 四边形ABCD是矩形，∴.AC=2EC,BD=2ED,AC=BD, .ED=EC,.∠EDC=∠DCE=67.5°， .∠DEC=180°-67.5°-67.5°=45°.故选B 2.D【解析】.B(3,0),∴.OB=3..∠OBA=60°，∠AOB= 90°，∴.∠OAB=30°，.AB=2OB=6..AC∥OB,∴.∠CAB =60°.，四边形ABCD是矩形，，.AE=CE=BE=DE, .△ABE是等边三角形，∴.BE=AB=6.故选D. 3.B【解析】①由有一个角是直角的平行四边形是矩形可知，这 个变化过程中，四边形ABCD由平行四边形变为矩形，故①正确； ②B,D两点之间的距离不断变化，故②错误： ③由底BC不变，高不断变化可知，四边形ABCD的面积不断变 化，故③错误； ④由四边形各边的长度不变可知四边形ABCD的周长不变，故 ④正确.所以正确的说法有①④.故选B. 4.B【解析】如图，过点P作PG⊥AH于点G,连接PO, ,PF⊥BD,AH⊥BD,.四边形PFHG D 为矩形，.FH=PG,PG∥BD, ∴.∠APG=∠ADB.四边形ABCD为 矩形，∴.AC=BD,OA=OC,OB= H OD,∴.OA=OD,∴.∠OAD=∠ODA, B ∴.∠APG=∠EAP AP=PA,∠AEP =∠AGP=90°，∴.△APE≌△PAG 第4题答图 (AAS),∴.AE=PG,∴.AE=HF SAAPO+SAPDO=S△MOD' 号40：P号0D:PF=}0D:A,PE+PF=A ∴.△APE与△DPF的周长和=AP+PE+AE+PD+PF+DF= AD+AH+HF+DF AD+AH+HD. ∴知道△APE与△DPF的周长和，一定能求出△ADH的周长.故 选B. 5.(1)【证明】，四边形ABCD是平行四边形，.AE∥BC ,CE∥BD,∴.四边形BCED是平行四边形，.CE=BD. CE=AC,∴.AC=BD,∴.四边形ABCD是矩形， (2)【解】AB=4,AD=3,∠DAB=90°， .BD=√AB2+AD2=V42+32=5. ,:四边形BCED是平行四边形， ∴.四边形BCED的周长为2(BC+BD)=2×(3+5)=16 6.D【解析】，四边形ABCD是菱形，∴，AB=BC,AB∥CD, ∴.∠B+∠BCD=180°. ∠BCD=120°，∴.∠B=60°， △ABC为等边三角形，∴AC=AB=5.故选D. 7.B【解析】四边形ABCD是菱形，.OA=OC=6,OB =OD,AC⊥BD,.AC=12.·DH⊥AB,∴.∠BHD=90°， BD=20H=2×4=8,.菱形ABCD的面积=3AC~BD =方×12×8=48故选B. &.B【解析J如图，作DF⊥BC于点F,BE⊥CD于点E. 0 9 7D8 二之之只w呼。 5567:8910 1 E 0 第8题答图 由题意可得，AD∥BC,AB∥CD, 真题圈数学八年级下RJ5E ∴.四边形ABCD是平行四边形 ∠BCE=∠DCF, 在△BEC和△DFC中，{∠BEC=∠DFC, BE=DF、 ∴.△BEC≌△DFC(AAS),∴.BC=DC, .四边形ABCD是菱形.故选B. 9.(1)【证明】：AC的垂直平分线EF分别与AC,BC,AD交于点 O,E,F,..AF=CF,AE=CE,OA OC. ·四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,∴∠FAO=∠ECO. [∠FAO=∠ECO. 在△AOF和△C0E中，{OA=OC, ∠AOF=∠COE, ∴.△AOF≌△COE(ASA),.AF=CE, AE=EC=CF=AF,∴四边形AECF为菱形. (2)【解】设AE=CE=x,则BE=3-x ,四边形ABCD是矩形，.∠B=90°。 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB+BE=AE, 即(V5)2+(3-x)2=x2,解得x=2,即AE=2, .菱形AECF的边长是2. 10.D【解析】'，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1,CE=3,∴.AD=AB=BC=1,CE=EF=3, ∠E=90°，延长AD交EF于点M,连接AC,CF,如图， 则AM=BC+CE=1+3=4, F FM=EF-AB=3-1=2, H ∠AMF=90°. 在Rt△AMF中，由勾股定理得 -------M AF=AM2+FM2=2+22= 2√5. :四边形ABCD和四边形CEFG 第10题答图 是正方形， .∠ACD=∠GCF=45°，∴.∠ACF=90°. :H为AF的中点，.CH=号AF=V5.故选D. 11.B【解析】：正方形ABDE和正方形BCGF, 设BC=a,AC=b,设SAc=m,而∠ACB=90°，SAARC=5, ÷b=5,=AB-5m=4-5m,8=BC-m=d-m :S-S2=11,.b2-5=11,即b2=16.b>0,解得b=4, a=3∴正方形ABDE的面积为AB=46=164625 =22.25.故选B. 12.3【解析，四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AB=CD,∠BAF=∠ADE=90° AE⊥BF,∴∠EAF+∠AFB=90°. :∠ABF+∠AFB=90°，.∠EAD=∠ABF 「∠ADE=∠BAF, 在△DAE和△ABF中，{AD=BA, ∠DAE=∠ABF, .△DAE≌△ABF(ASA),∴.DE=AF, ∴.EC=CD-DE=AB-AF=5-2=3.故答案为3 13.【解】(1)补全图形如图①所示. 证明：四边形ABCD是正方形， .∠DBC=45°，∠BCD=∠DCM=90° :CN为LDCM的平分线，∴.∠FCM=号∠DCM=45°， ∴.∠FCM=∠DBC,.BD∥CF,.∠BEC=∠ECF :'CE=FE,.∠ECF=∠EFC .'∠ECF+∠EFC+∠CEF=180°， 答案与解析 .∴.2∠ECF+∠CEF=180°，∴.2∠BEC+∠CEF=180° M M ① ② 第13题答图 (2)BE CF+DE. 证明：如图②所示，在BD上截取BH=CF,连接CH,DF :CN为∠DCM的平分线，∠DCF=DCM=45°。 ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠DBC=45°，BC=CD,∴.∠CBH=∠DCF, .△CBH≌△DCF(SAS),.CH=DF,∠CHB=∠DFC .CF∥BD,∴.∠BDF+∠DFC=180° :∠DHC+∠BHC=180°，∴.∠EHC=LEDF :2∠BEC+∠CEF=180°，∠BEC+∠CEF+∠DEF=180°， ..∠HEC=∠DEF,∴.△CEH≌△FED(AAS), .HE=DE..BE BH+HE,.'BE=CF+DE. (3)2√2或8√2.分析：如图③所示，当点E在线段BD上时， :在正方形ABCD中，AB=4, ∴.BC=CD=4,∠BCD=90°， ∴.BD=VBC2+CD2=4V2. BE=3DE,.BE=BD=32,DE=BD= 由(2)的结论可知BE=CF+DE, .CF=BE-DE=22. H E C M ③ 第13题答图 如图④所示，当点E在BD的延长线上时，在射线BE上截取 BH=CF,连接CH,DF,易证△CBH≌△DCF,.CH=DF, ∠CHB=∠DFC. CF∥BD, ∴.∠FDE=∠CFD,∠DEC=∠ECF,∠HEF=∠EFC, .∠FDE=∠CHE. :EC=EF,∴.∠ECF=LEFC, ∴.∠DEC=∠HEF,∴.∠DEF=∠HEC, ∴△DEF≌△HEC(AAS),∴DE=HE. 'BH=BE+EH,.'.CF=BE+DE. BE=3DE,BD=4V2,∴BE=6N2,DE=HE=2√2， .CF=BH=BE+HE=82. 综上所述，CF的长为2√2或8V2 14.B【解析】如图，连接CM.:MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于 点Q,.∠CPM=∠CQM=90°. 四边形ABCD是矩形， .BC=AD=1,CD=AB=2√2，∠BCD=90°， ∴.四边形PCQM是矩形，.PQ=CM 由勾股定理得BD=√BC2+CD2=V1+(2√2)2=3， 当CM LBD时，CM最小，则PQ最小，此时，SAsn=)BD· CM=BC·CD,∴CM=BCCD=-lx22=22 BD 3 3； PQ的最小值为22.故选B, D Q 第14题答图 第15题答图 15.B【解析】由菱形的对角线互相垂直平分，可得点B,D关于 AC对称，如图，连接DB,DP,DQ.则PD=PB, ∴.PQ+PB=PQ+PD≥DQ, 即DQ的最小值就是PB+PQ的最小值 ∠ADC=120°，.∠BAD=60°. :AD=AB,∴△ABD是等边三角形 当DQ LABE时，DQ取得最小值，此时4Q=BQ=2AB= 专0-2 在Rt△ADQ中，DQ=√AD2-AQ2=2N3. .PB+PQ的最小值为2√5.故选B. 16.603y5【解析】如图，连接BD.:菱形ABCD的边长为2， 4 ∠BAD=60°，∴.△ABD与△BCD为等边三角形， .∠FDB=∠EAB=60° .AE+DE =2,DE+DF=2,:AE DE. ,AB=BD,.△BDF≌△BAE(SAS, BE=BF,∠ABE=∠DBF,∴.∠EBF=∠ABD=6O°， ∴.△BEF是等边三角形， .当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时BE=V5, 边B5上的商为yW>-(瓷)=号，·△BE面积的放小值 为分×5×多39.故答案为60；3 4 D 第16题答图 第17题答图 17.5【解析】连接CG,DH,则CG,DH交于点O,连接AO并延 长，过点B作BM⊥AO的延长线于点M,如图所示. :△ADC为等边三角形，.AC=AD,∠CAD=60 ,四边形CDGH为正方形，.C0=DO. :A0=AO,.△ACO≌△ADO(SSS), ·∠CA0=∠DA0=3∠CAD=30, .点O一定在射线AM上. ,垂线段最短，点O在点M处时，线段BO取最小值. :∠BMM=90°，∠BAM=30°，.BM=2AB=5, .线段BO的最小值为5.故答案为5. 18.9【解析】如图，取AB的中点M,连接OM,MD. 在矩形ABCD中，AB=8,AD=3,∠DABD =90°， .AM=BM=4. M 在Rt△ADM中，DM=√AD2+AM2= 0V32+42=5. 0 B 第18题答图 在R△AOB中，OM=3AB=4. ·OD≤OM+DM=9,∴.OD的最大值是9.故答案为9. 19.13【解析】如图，连接BP 在矩形ABCD中，AD∥BC,AD=BC, .AP CQ,.'AD-AP BC-CQ,.'DP =QB. 又DP∥BQ,∴.四边形DPBQ是平行四边形， ∴PB∥DQ,PB=DQ,则PC+QD=PC+PB. 在BA的延长线上截取AE=AB=6,连接PE, ,PA⊥BE,.PA是BE的垂直平分线， .'PB=PE,.'.PC+PB=PC+PE. 连接CE,则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE. .BE=2AB=12,BC=AD=5, .CE=VBE2+BC2=V122+52=13, .PC+QD的最小值为13.故答案为13. D C 4 第19题答图 20.(1) 2 :(2)2√5【解析】(1)由题意得AB=AD=2,∠DAE =90°，∴.当E是AB的中点时，AE=1.在Rt△ADE中，DE =√AE2+AD2=√5，：Q是正方形DEFG对角线的交点， <D05=0又M是DE的中点QM=号DE-5 2 (2)如图所示，延长CD至点T,使得TD=DC,连接GT,作点 D关于TG是对称点S,连接SA,SG. D S T 第20题答图 正方形ABCD,正方形DEFG, ∴.DG=DE,∠EDG=∠ADT=∠ADC=90°，AD=DC, ∴∠ADE=∠TDG TD=DC,AD=DC,.DA=DT ∴△TDG≌△ADE(SAS),∴∠DTG=LDAE=90°. :点S是点D关于TG的对称点， ∴S,T,D三点共线，SG=DG. :M是R△MDE斜边DE上的中点，AM=号DE 又：M0=号DE, ∴.GA+AM+MQ=GA+DE=AG+DG=AG+SG≥SA, .当点G在SA上时，GA+AM4MQ取得最小值， 在Rt△SDA中，SD=2TD=2DC=4,AD=2, .最小值为VSD2+AD2=√42+22=2W5. 故答案为1)5,2)25. 21.(1)【证明】·△ABE是等边三角形， .∴.BA=BE,∠ABE=60°. ,∠MBN=60°， ∴.∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN,即∠MBA=∠NBE. 又.MB=NB,∴.△AMB≌△ENB(SAS). (2)【解】①当点M落在BD的中点时，A,M,C三点共线， 真题圈数学八年级下RJ5E AM+CM的值最小， ②如图①，连接CE,当点M位于BD与CE的交点处时，AM4 BM+CM的值最小 理由如下： 连接MN,由(1)知，△AMB≌△ENB,.AM=EN :∠MBN=60°，MB=NB, ∴△BMN是等边三角形. ∴.BM=MN,.∴.AM+BM+CM=EN+MN+CM 根据“两点之间线段最短”可知，当点E,N,M,C在同一条直 线上时，EN+NW+CM取得最小值，最小值为EC的长. AB=CB. 在△ABM和△CBM中，{∠ABM=∠CBM, BM=BM. ∴.△ABM≌△CBM(SAS), .∠BAM=LBCM,.∠BCM=∠BEN :EB=CB,∴.∠BEC=∠BCE. '∠BCM=∠BCE,∠BEN=∠BEC, .M,N可以同时在直线EC上. .当点M位于BD与CE的交点处时，AM4BM4CM的值最小， 即等于EC的长. A D D B ① ② 第21题答图 (3)【解】过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F,如图②， ∴.∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30° 设正方形BCD的边长为x,则BF=克，BF=9x。 由(2)知AM+BM4CM的最小值为EC的长， .EC=3+1. 在Rt△EFC中，EFP+FC=EC, (+9+-(5+1 ∴x=V2(负值舍去)， ∴.正方形ABCD的边长为√2 8.期中学情调研（一） 题号12345678 答案AC BCBBBA 1.A【解析】A.√a中a<0时式子无意义，不是二次根式； B.Vb+1中2+1≥1，是二次根式； C.√0是二次根式；D.√(a+b)是二次根式.故选A. 2.C【解析】菱形的面积=)×6×8=24(cm2).故选C 3.B【解析】.正n边形的一个外角是60°，n边形的外角和为 360°，.n=360°÷60°=6.故选B. 4.C【解析】52=25,122=144,92=81,152=225， 132=169, .对于A,52+92≠122，故A错误； 对于B,52+132≠152，故B错误； 对于C,52+122=132,92+122=152,故C正确； 对于D,52+122≠152，故D错误. 故选C.真题圈数学 同步调研卷 八年级下RJ5E 7.重难题型卷（三） 湘 特殊四边形 开 奥 蝴 州 题型一 特殊四边形的相关计算与证明 岩期 类型1矩形的相关计算与证明 1.(期中·北京四中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交 于点E,DF⊥AC于点F,若∠ADF=3∠FDC,则∠DEC的度 数是( ) A.30° B.45° C.50° D.55° 3 製 B 第1题图 第2题图 2.(期中·日坛中学)矩形在平面直角坐标系中的位置如图所 故 示，若∠OBA=60°，B(3,0),对角线AC与BD相交于点E, AC∥x轴，则BE的长为() A.2 B.3 C.4 D.6 批 3.情境题（期中·北京八一学校）为了研究特殊的四边形，老师 制作了一个教具（如图①）：用钉子将四根木条钉成一个平行 四边形框架ABCD,并在A与C,B与D两点之间分别用一根 橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC,用左手向右推动框架至 AB⊥BC(如图②)，观察这个变化过程和所得到的四边形，下 列说法正确的是() 崇 ①四边形ABCD由平行四边形变为矩形； ②B,D两点之间的距离不变； ③四边形ABCD的面积不变； 加 阳 ④四边形ABCD的周长不变 ① ② 第3题图 A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④ 4.（期中·北京二十中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD 交于点O,点P为边AD上一点，过点 4 P分别作PE⊥AC,PF⊥BD,垂足为E, F,过点A作AH⊥BD,垂足为H,若知 H 道△APE与△DPF的周长和，则一定能 求出( 第4题图 A.△BOC的周长 B.△ADH的周长 C.△ABC的周长 D.四边形APFH的周长 5.（期中·北京二中朝阳学校)如图，四边形ABCD是平行四边 形，CE∥BD交AD的延长线于点E,CE=AC (1)求证：四边形ABCD是矩形 (2)若AB=4,AD=3,求四边形BCED的周长 第5题图 类型2菱形的相关计算与证明 6.(期中·大兴区)如图，在菱形ABCD中，AB=5,∠BCD= 120°，则对角线AC的长是() A.20 B.15 C.10 D.5 A B H D 第6题图 第7题图 7.(期中·北京十四中)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相 交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH.若OA=6, OH=4,则菱形ABCD的面积为() A.24V7 B.48 C.72 D.96 -21 8.（期中·北京八一学校)如图，两把完全相同的直尺叠放在一 起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是( ) T平平T 012 mmm四s7客91O 第8题图 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.无法判断 9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别与 AC,BC,AD交于点O,E,F,连接AE和CF (1)求证：四边形AECF为菱形 (2)若AB=√3，BC=3,求菱形AECF的边长. 第9题图 爱学子 拒绝盗印 类型3正方形的相关计算与证明 10.（期中·陈经纶中学)如图，在正方 G 形ABCD和正方形CEFG中，点D H 在CG上，BC=1,CE=3,H是 AF的中点，那么CH的长是() A. B.2 第10题图 2 D.5 11.（期中·北京二中分校)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，分别以斜边AB,直角边BC为边作正方形ABDE和正 方形BCGF,AG与BD相交于点H,设四边形AHDE的面积 为S,四边形BFGH的面积为S2,若S,-S2=11,SAARC=5, 则正方形ABDE的面积为() A.24 B.22.25 C.21 D.20.25 D S2 第11题图 第12题图 12.（期中·大兴区)如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边 DC,AD上的点，AE⊥BF若AB=5,AF=2,则CE的长 是 13.探究性试题（期末·海淀区）在正方形ABCD中，点E在射 线BD上，点M在BC的延长线上，CN为∠DCM的平分线， 点F为射线CN上一点，且CE=FE. (1)如图，当点E在线段BD上时，补全图形，求证：2∠BEC+ ∠CEF=180° (2)在(1)的条件下，用等式表示线段CF,DE,BE之间的数 量关系，并证明 (3)若AB=4,BE=3DE,直接写出线段CF的长 第13题图 题型二最值问题 类型1利用“垂线段最短”求最值 14.（期中·北京汇文中学)如图，在矩形ABCD中，AD=1,AB =2W2,M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P,MQ⊥BC 于点Q,则PQ的最小值为( A.32 2 B.22 3 D.② 2 D 第14题图 第15题图 15.（期中·北京一零一中学)如图，在菱形ABCD中，AD=4, ∠D=120°，AC平分∠DAB,点P是对角线AC上的一个动点， 点Q是AB边上的一个动点，则PB+PQ的最小值是( A.4 B.25 C.2W3+1 D.3 16.（期末·东城区)如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD= 60°，点E是AD边上一动点（不与点A,D重合），点F是CD 边上一动点，DE+DF=2,则∠EBF=°，△BEF面积 的最小值为 D D 第16题图 第17题图 17.（期中·北京四中)如图，线段AB的长为10，点D在线段 AB上运动，以AD为边长作等边三角形ACD,再以CD为边 长，在线段AB上方作正方形CDGH,记正方形CDGH的对 角线交点为点O,连接OB,则线段BO的最小值为 类型2利用“两点之间线段最短”求最值 18.（期中·清华附中)如图，在矩形ABCD中，y4D AB=8,AD=3,点A是y轴正半轴上任 意一点，点B在x轴正半轴上，连接OD, 0 则线段OD长度的最大值是 第18题图 —22 19.(月考·首师大附中改编)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD =5,点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP=CQ,连接 CP,QD,则PC+QD的最小值为 第19题图 第20题图 20.（期中·北京四中)如图，边长为2的正方形ABCD中，点E 是AB边上一个动点，以DE为边在直线DE左侧作正方形 DEFG,Q是其对角线交点，取DE中点M,连接GA,QM, MA. (1)当E是AB的中点时，QM的长为 (2)GA+AM+MQ的最小值为 21.探究性试题如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边 三角形，点M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM 绕点B逆时针旋转60°得到BW,连接EN,AM,CM (1)求证：△AMB≌△ENB. (2)①当点M在何处时，AM+CM的值最小？ ②当点M在何处时，AMBM+CM的值最小？并说明理由 (3)当AM4BM4CM的最小值为V3+1时，求正方形ABCD 的边长 B 第21题图