4.重难题型卷(二)勾股定理及应用-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（人教版·新教材）山西专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级下RJ3B 4.重难题型卷（二） 勾股定理及应用 尽 鲸 题型一 面积问题 细 彐期 1.下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得 到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积.其 中S的值恰好等于10的是( 15 製 B 6 精品图书 C 教育 D 2.(月考·22-23山西省实验)如图，等腰三角形ABC的面积 为 茶 5 cm 6cm ① ② 第2题图 第3题图 加 阳 3.（月考·24-25太原师院附中改编)我国古代称直角三角形为 胸 “勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边 最 为弦.如图①所示，数学家刘徽（约公元225年-公元295年） 将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人 借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图②所示 的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若α=3， b=1,则长方形的面积为 4.图①是一幅美丽的弦图，包含着四个全等的直角三角形 (1)如图②，将这四个直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已 知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3,求该飞镖状图案的 面积 (2)如图③，将八个全等的直角三角形紧密拼接，记图③中正 方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S, S2,S3,若S+S2+S3=40,则S,= H ⊙ ② ③ 第4题图 题型二折叠问题 5.（月考·22-23大同一中南校)如图，△ABC是一张纸片，∠C =90°，AC=6,BC=8,现将其折叠，使点B与点A重合， 折痕为DE,则DE的长为() A子 B.3 c D.4 AE M 第5题图 第6题图 6.如图，在长方形ABCD中，AB=10,AD=12,点E为边AD 上的一个动点，把△ABE沿BE折叠，若点A的对应点A'刚 好落在边AD的垂直平分线MN上(MN交BC于点N,交AD 于点M),则AE的长为 11 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,将边 AC沿CE翻折，使点A落在AB边上的点D处；再将边BC 沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折 痕与斜边AB分别交于点E,F,则线段BF的长为 B --B 第7题图 8.（月考·24-25山大附中改编)如图，在长方形ABCD中， ∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，AD=BC=5,AB= CD=3.点E为射线DC上的一个动点（不与点D重合），将 边AD沿AE折叠，使点D落在点D处，连接BD',当△AD'B 为直角三角形时，求DE的长. 印必 关爱学子 第8题图 拒绝盗印 题型三最短路径 9.（月考·24-25太原三十八中改编)如图，教室墙面ADEF与 地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA=4m,AB=87m, 8 8 点P到AF的距离是5m,一只蚂 蚁要从点P爬到点B,它的最短 B 行程是( )m. 第9题图 A.16 B.65 C.13 D.6 10.（月考·22-23山西省实验)如图，一个棱长为3的正方体， 把它分成3×3×3个小正方体，小正方体的 棱长都是1.如果一只蚂蚁从点A爬到点B, 那么估计A,B间的最短路程d的值为( A.4 B.5 C.6 D.7 第10题图 11.如图，圆柱底面半径为4cm,高为18cm,点A,B分别是圆 T 柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线 从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，求这根棉线的最短长度 金星教育 第11题图 题型四实际应用 12.（期末·22-23晋中)有一辆装货的汽车，为了方便装运货物， 使用了如图所示的钢架，其中∠ACB=90°，AC=1.2m, BC=0.9m,则AB的长为( A.1.2m B.1.5m C.1.8m D.2m 第12题图 13.如图，一轮船M以12 n mile/h的速度北 从港口A出发向东北方向航行，1h后 另一轮船N以7 n mile/h的速度从港口 东 A出发向东南方向航行，又过了1h,M, N两船的距离为() 南 A.√193 n mile B.24 n mile 第13题图 C.25 n mile D.2v193 n mile 14.（期中·22-23大同)如图所示的衣架可 以近似地看成一个等腰三角形ABC,其中 AB=AC=25cm,底边BC的长为48cm, B 那么衣架的高AD= cm 第14题图 15.数学建模几何（月考·24-25太原新希望双语学校）某实践 探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘 测，得到如下记录表： 测量记录图 D 第15题图 ①测得水平距离BC的长为15m ②根据手中剩余线的长度计算出了 测量数据 边的长度 风筝拉线AB的长为17m ③小明牵线放风筝的手到地面的距 离为1.7m 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据 勘测组的全部数据就可计算出风筝离地面的垂直高度AD, 请完成以下任务： (1)根据上述信息，求风筝离地面的垂直高度AD. (2)若小明想要风筝沿DA方向再上升12m,BC长度不变， 则他应该再放出多少米风筝拉线？ 题型五动点问题 16.（月考·24-25太原志达中学)已知△ABC中，∠B=90°， BC=6cm,AB=8cm,P,Q是△ABC边上的两个动点，其 中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒2cm, 点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，在BC边上的运 动速度是每秒3cm,在AC边上的运动速度是每秒5cm,它 们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停 止，设运动时间为t秒。 (1)线段AC= (2)当t=2秒时，点P到AC的离是 (3)当AP=CP时，BP= (4若PQ将△ABC的周长分为3：5两部分，直接写出t的值. Q Q P一A P+A 第16题图 备用图 牛 关爱学子 拒绝盗印在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2, 即(x-1)2+1.52=(x-0.5)2, 解得x=3. 答：秋千支柱AD的高为3m. 21.【证明】（方法1）由题图①可知，S正方形cD=(a+b)2=a2+ b2+2ab. 又因为SE话n=方×abx4+2=2ab+2, 所以a2+b2+2ab=2ab+c2,所以a2+b=c2. (方法2)由题图2可知，S形o=(a+b)×(a+b)=(c4 b+2ab)=74号B+ab 又因为Swww=号b×2+号2=ab+号2， 所以3a2+2+ab=ab+2c2,所以ar+b= 22.(1)【证明】x2+y=(2n)2+(n2-1)2=4r+n-2n2+1=n4+ 2m2+1=(2+1)2=z2,.(x,y,z)为一组勾股数， 即以x,y,z为三边的三角形为直角三角形 (2)【解】①3=2×1+1,4=2×12+2×1,5=2×12+2×1+1， ②5=2×2+1,12=2×22+2×2,13=2×22+2×2+1， ③7=2×3+1,24=2×32+2×3,25=2×32+2×3+1， ④9=2×4+1,40=2×42+2×4,41=2×42+2×4+1， .⑥2×6+1=13,2×6+2×6=84,2×62+2×6+1=85， .第6个数组是(13,84,85). 23.【解】(1)，∠ACB=90°，AB=13cm,AC=5cm, ∴.BC=12cm ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=l2cm, ∴.t=12÷2=6; ②当∠BAP为直角时， BP 2t cm,CP =(21-12)cm,AC=5 cm, 在Rt△ACP中，AP2=52+(2t-12)2, 在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2, 132+[5+(2-12)2]=(2)2,解得1=169 24 综上，当1=6或1=2时，△ABP为直角三角形. Γ24 (2)①当BP=BA=13cm时，t=6.5; ②当AB=AP时，BP=2BC=24cm,∴.t=12; ③当PB=PA时，PB=PA=2tcm,CP=(12-2t)cm,AC= 5cm,在Rt△ACP中，AP2=AC+CP2, (2)2=54(12-2)2,解得1=162 48 综上，当t=6.5或t=12或t=16时，△4BP为等腰三角形， 48 4.重难题型卷（二）勾股定理及应用 1.B【解析】：以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形， 每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，∴·每个正 方形中的数及字母S表示所在正方形的边长的平方， A项，由勾股定理，得S=5+15=20,故选项A不符合题意； B项，由勾股定理，得S=15-5=10,故选项B符合题意； 真题圈数学八年级下RJ3B C项，由勾股定理，得S=8+6=14,故选项C不符合题意； D项，由勾股定理，得S=8-6=2,故选项D不符合题意. 故选B. 2.12cm2【解析如图，过点C作CD⊥AB于点D. 因为AC=BC,CD1AB,所以AD=2AB=3cm 由勾股定理，得CD=AC2-AD2=16,解得CD=4cm(负值 舍去)，所以SMc-号AB·CD-号×6×4=12(cm2).故答案 为12cm2 5 cm 5 cm D 44 B 6 cm 第2题答图 第3题答图 3.12【解析】由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的长方形中 如图，a=3,b=1, .CD=DE=EF=CF=b=1,..BD =BG=BC-CD=a-b =2, 设AF=AG=x,∴.AC=x+1,AB=x+2, 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2=AC+BC, ∴.(x+2)2=(x+1)2+32,解得x=3,∴.AF=3,.AC=4, .长方形的面积为3×4=12.故答案为12. 4.【解](1)24÷4=6，设AC=x,则易得AB=6-x,又易知0C =OB=3, ∴.在Rt△AB0中，根据勾股定理，得(x+3)2+32=(6-x)2, 解得x=1,分×(3+1×3×4=7×4×3×4=24 故该飞镖状图案的面积是24. (2)40 3 分析：将正方形MWKT的面积设为x,将其余八个全等的直角 三角形每一个的面积设为y, 因为正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别 为S1,S2,S3,S+S2+S3=40, 所以S,=8y+x,S2=4y4x,S3=x, 则S+5+S=3x+12y=40,所以x4=9, 所以8=x4=9 5.C【解析】.∠C=90°，AC=6,BC=8, ∴.由勾股定理可得AB=10,根据翻折可得BE=5. 设DB=x,根据图形翻折可得AD=x,CD=8-x, 在Rt△ACD中，根据勾股定理可得62+(8-x)2=x2, 解得x=25 4 在Rt△DEB中，由勾股定理可得 DE=D8-BE=%-25= 故选C 6.9【解析】：四边形ABCD为长方形，AD=12,MN是边 AD的垂直平分线，∴.MN⊥AD,MN⊥BC, 易得AM=BN=AD=6,MN=AB=10, 根据折叠的性质，可知AE=A'E,A'B=AB=10, 答案与解析 在Rt△BA'N中，AN=√'B2-BW2=V102-62=8, ∴.A'M=MN-A'N=2. 设AE=AE=x,则EM=AMAE=6-x 在Rt△EA'M中，EM2+A'M2=A'E2,即(6-x)2+22=x2, 解得x=号，：E的长为 31 故答案为号 7.号【解析】由折叠可知，AE=ED,BF=B'R,AC=CD, ∠ACE=∠ECD,∠BCF=LB'CF,∠CED=∠CEA=90°， 所以∠ECF=∠ACB 因为∠ACB=90°，所以∠ECF=45°， 所以△CEF是等腰直角三角形，CE=EF 因为AC=3,BC=4,所以在Rt△ABC中， 由勾股定理，得AB2=AC+BC2,可得AB=5, 所以Sc=34C·BC=)AB·CE,则CE=EF=号 5 因为AC=3,所以在Rt△ACE中， 由约股定霆，得4=AC-CB=3(得)-器， 解得证=号负值舍去，所以AF=AB+EF=号+号=号， 则BF=A0-AP=5-号-号 因为BF=BF,所以BF=专， 所以线段BF的长为号 故容案为号 8.【解】设DE=x,分情况讨论： ①如图①，当点E在线段CD上，∠ABD'=90时，由折叠的性 质得AD'=AD=5,D'E=DE=x,所以CE=3-x 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2=53-32=16,所以BD=4. 因为BC=5,所以CD=5-4=1. 因为∠C=90°，所以由勾股定理得CE2+D'C=D, 即(3-24=只，解得x=多， 所以DB= ②如图②，当点E在DC的延长线上，∠ABD'=90时，由折叠 的性质得AD=AD=5,D'E=DE=x,所以CE=x-3. 由勾股定理，得BD=4,所以CD'=5+4=9. 在Rt△CD'E中，由勾股定理得CE+D'C心=D'2, 即(x-3)2+92=x2, 解得x=15,所以DE=15 综上，DE的长为写或15， 0 D ⑨ 第8题答图 9.C【解析】将题图中两个平面展开，如图，过点P作PG⊥BF 于点G,连接PB,此时PB的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的 最短行程. E D P FGA B 第9题答图 因为H=智m,B-贸 8 m,点P到AF的距离是5m,所以 PG=5m所4C=r-pG-(5-图， 所以4G=号m,所以BG=4G+4B=号+g=12(m, 所以PB2=GB2+PG=122+52=132,则PB=13m,所以这 只蚂蚁的最短行程是13m.故选C. 10.B【解析】正方体侧面展开图（部分）如图所示，过点B作 BD⊥AC于点D,则AD=4,BD=3,所以d2=32+42=25,解 得d=5(负值舍去).故选B. B B D D A 第10题答图 第11题答图 11.【解】圆柱体的侧面展开图如图所示 用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的最短运动路线是 AC→CD→DB,即在圆柱体的侧面展开图的长方形中，将大 长方形平均分成3个小长方形，从A沿着3个小长方形的对角 线运动到B的路线最短 :圆柱底面半径为4cm, ∴.长方形的宽即圆柱体的底面周长为2r×4=8(cm). 又，圆柱高为18cm, .小长方形的宽是×18=6(cm). 根据勾股定理求得AC=CD=DB=√62+82=10(cm), ∴.AC+CD+DB=30cm. .这根棉线的最短长度是30cm 12.B【解析】：∠ACB=90°，AC=1.2m,BC=0.9m, .AB=VBC2+AC2=V0.92+1.22=1.5(m). 故选B. 13.C【解析】：两船航行的方向分别是东北方向和东南方向， ∴.∠MAN=90°.由题意知，船M航行的距离为12×2= 24(n mile),船N航行的距离为7 n mile,∴.M,N两船的距离 为V242+72=25(n mile).故选C. 14.7【解析】：△ABC是等腰三角形，AB=AC=25cm,底边 BC的长为48cm,且AD⊥BC,·BD=CD=号BC=24cm 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD=√AB2-BD2= √252-242=7(cm).故答案为7. 15.【解】(1)在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15m,AB=17m, 根据勾股定理得AC=AB2-BC=172-152=64, 所以AC=8m 又因为AD=AC+CD,CD=1.7m,所以AD=8+1.7=9.7(m). 答：风筝离地面的垂直高度AD为9.7m (2)因为风筝沿DA方向再上升12m后，AC=20m, 因为AB2=AC2+BC=202+152=625,所以AB=25m, 所以此时风筝线的长为25m, 则应该再放出线的长度=25-17=8(m). 答：他应该再放出8m风筝拉线， 16.【解】(1)10cm (2)号cm分析：由题知，当1=2秒时，AP=2×2=4(cm), 连接CP,过点P作PG⊥AC于点G,如图， Q1 B 第16题答图 六SMce=7AP·BC=)AC·PG, 即10PG=4x6,解得PG=号， “点P到AC的距离是号cm （3)7cm分析：由题知，AP=21cm,BP=(8-2cm, CP=√BP2+BC2=V36+(8-2)2(cm), 当AP=CP时， 有24=36+8-2解得1-瓷， BP=8-2×曾-4cm). (41的值为1或号 分析：：PQ将△ABC的周长分为3：5 两部分，又(6+810×音=9(cm.(6+310)×言=15(cm). ①当点Q在BC上运动时，根据题意得8-2+31=9， 解得t=1; ②当点Q在AC上运动时， CQ=5(t-6÷3)=5(t-2)cm, 8-246+5(1-2)=15,解得1=号 综上所述，t的值为1或 31 5.阶段学情调研（一） 题号12345678910 答案AC ACC C B BCB 1.A 2.c【解新1=2侵-要.反-=25可以与5合并 的是辰故选C 3.A【解析】A.√3×√3=√3×3=3，故本选项符合题意；B.3√5 -2√3=√5，故本选项不符合题意；C√27÷√5=√27÷3= √9=3，故本选项不符合题意；D.√5+√3=2√5，故本选项不 符合题意.故选A, 4.C【解析】由∠A-∠B=∠C,可知∠A=90°，故选项A不符合 题意； 真题圈数学八年级下RJ3B 由(c+b)(c-b)=a2,整理得a2+b2=c2,∴.∠C=90°，故选项B 不符合题意； :∠A:∠B:∠C=3:4:5,设∠A=3x,∠B=4x,∠C=5x, ∴.3x+4x+5x=180°，解得x=15°，.∠A=45°，∠B=60°， ∠C=75°，∴.△ABC不是直角三角形，故选项C符合题意； 当a:b:c=8:15:17时，a2+b=c2,.∠C=90°，故选项D 不符合题意.故选C 5.C【解析】.18-m≥0，.m≤18. m为自然数，.0≤m≤18. ,√18-m是整数，.当V18-m=0时，m=18; 当V18-m=1时，m=17; 当V18-m=2时，m=14; 当V18-m=3时，m=9; 当V18-m=4时，m=2. ∴.自然数m的所有可能值的个数为5.故选C. 6.C【解析】当5为斜边长时，a=V5-42=3;当a为斜边长时， a=V42+52=√41..a的值为3或√41.故选C 7.B【解析】由题意得x-2≥0,2-x≥0，则x=2,.y=3, ∴y=9,9的算术平方根是3.故选B. 8.B【解析】由题中数轴可知a<0<b,∴.b-a>0,.原式=b+ lb-a-la=b+b-a+a=2b.故选B. 9.C【解析】，△ABE≌△ECD, ∴.AB=EC=a,BE=CD=b,AE=DE,∠AEB=∠EDC ∠EDC+∠DEC=90°，.∠AEB+∠DEC=90°， ∴.∠AED=90°， ∴.△ADE是等腰直角三角形，∴.AE+DE=AD2=32, .AE =4=DE,AB2+BE2 AE2,.'d2+b2=16, 故A,B,D选项正确，不符合题意. SDe=)AB·DE=8,故C选项错误，符合题意.故选C 10.B【解析】设BE=a. 在Rt△BDE中，，'∠DEB=90°，∠B=60°，BE=a, .∠BDE=30°，∴.BD=2BE=2a, .'DE=BD2-BE2=3 a. :AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB, .DC DE=3 a,.BC BD+DC 2a+3 a. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°， ,∴.AB=2BC=4a+2N3a. ,∠BEC是钝角，.BC>CE,.AB≠2CE,故①错误 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4a+2√3a, BC 2a+3 a,:.AC=AB2 BC2 23 a+3a =(+2) ×√3a=(V3+2)CD,故②正确. :AD平分∠BAC,∴.∠DAE=∠DAC.又DE=DC,∠DEA= ∠DCA=90°，△DAE≌△DAC,∴AC=AE. ,DE=DC,.AD垂直平分线段EC,故③正确， aa 2a+V5a2+3a7+4W5,放④错误. 1 故选B.