专题05勾股定理压轴专项训练(10大题型+突破题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题05勾股定理压轴专项训练 题型01.勾股定理与折叠综合 题型02.勾股定理与平面直角坐标系综合 题型03.勾股定理与特殊平行四边形综合 题型04.勾股定理分类讨论题 题型05.勾股定理与动点综合 题型06.勾股定理与最值综合 题型07.勾股定理实际应用建模 题型08.勾股定理与三角形全等综合 题型09.勾股定理存在性问题 题型10.勾股定理再立体图形展开中的应用 题型一 勾股定理与折叠综合 【典例】如图，在三角形纸片中，，，． （1）如图，在中，斜边长为_____． （2）如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题关键是利用勾股定理计算斜边长度，结合折叠的性质找到线段等量关系，再通过勾股定理列方程求解。 （1）直接利用勾股定理计算的长度； （2）根据折叠性质得到线段和角等量关系，设未知数，利用勾股定理列方程求解的长度． 【详解】解：（1）在中，，根据勾股定理： ， 故答案为：； （2）由折叠的性质可知： ，，， 在中，， ， ， 设，则，因此， 在中，根据勾股定理：， 代入，得：， 解得，． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点E，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由折叠知：， 设，则， 在中，， ， 解得， 即的长为． 【跟踪专练2】如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理求得，由翻折后，点A始终落在边上，可得即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， 如图，作于， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵翻折后，点A始终落在边上， ∴，即，，即， 解得，， ∴． 【跟踪专练3】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：∵长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处． ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即． 题型二 勾股定理与平面直角坐标系综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，且，，若以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点的坐标______． 【答案】 【详解】解：∵为直角三角形，且，， ∴， ∵点在第三象限， ∴点的坐标为 ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，在中，斜边上的高是，则与的长度关系是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，得，根据三角形的面积求出，即可得出结论． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴ ∴， 又， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为，，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．.4个 【答案】C 【分析】易得，分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：由题意，轴， ∵点是的中点， ∴， ∵是腰长为5的等腰三角形， ∴①当时，则， ∴； ②当，点在点左侧时，作轴，则， ∴， ∴， ∴； 当，点在点右侧时，作轴，则， ∴， ∴， ∴； 综上点共有3个. 【跟踪专练3】阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】已知平面内两点、，由勾股定理可得这两点间的距离为． 例如，如图1，，，则． (1)【直接应用】已知，，求P、Q两点间的距离； (2)【直接应用】如图2，在平面直角坐标系中，已知，，点B的横坐标是1． ①求点B的坐标； ②求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）根据材料中两点的距离公式求解金库； （2）①设，，根据列方程求解； ②利用勾股定理的逆定理证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：①∵点B的横坐标是1， ∴设，， ∵， ∴， ∴或（舍去） ∴； ②∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且． 题型三 勾股定理与特殊平行四边形综合 【典例】如图，将矩形沿直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，，则的长是______． 【答案】10 【分析】由矩形的性质可得，，即得，由折叠的性质可得，即可得，得到，设，则，在中，由勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又由折叠可得，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 【答案】 【分析】由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点H，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点H，连接， 点为的中点，点H为的中点， ，， ， ， ， ， 【跟踪专练2】如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数；②由，可得；③由，可得的面积的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，即可证得，易证得四边形是菱形；⑤由菱形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得． 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得： 故，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 故四边形是菱形，故④正确． 四边形是菱形， ， ， ， ， 同理可得．故⑤正确． 综上，正确的结论有①④⑤． 【跟踪专练3】如图1，将矩形放在平面直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，，．把矩形沿对角线所在直线翻折，点C落到点D处，交于点E． (1)点E坐标为_________；点D坐标为_________． (2)如图2，过点D作，交于点，交于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点M是平面直角坐标系内一点，且以O、D、G、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M坐标． 【答案】(1)； (2)菱形，见解析 (3)满足条件的点M的坐标为，，． 【分析】（1）证明，设，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （3）根据平行四边形的性质分三种情况分析：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，，， ∴， ∴ ∵把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴点E的坐标为，， 如图，过点D作于点L，交于点K，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：由（1）（2）得点D的坐标为，， ∴点G到x轴的距离为， ∴， ∵，， 设， 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴； 当为对角线时，，，， 由中点坐标公式得： 解得：， ∴； 当为对角线时，，，， 由中点坐标公式得： 解得：， ∴． 综上所述，满足条件的点M的坐标为，，． 题型四 勾股定理分类讨论题 【典例】直角三角形中，，，则的长为________． 【答案】15或/或15 【分析】需分为斜边和为直角边两种情况讨论，利用勾股定理计算的长． 【详解】∵，故分两种情况讨论： ①当为直角时，为斜边，和为直角边，由勾股定理得： ； ②当为直角时，为斜边，和为直角边，由勾股定理得： ； 综上所述，的长为15或． 【跟踪专练1】已知，在中，，，边上的高，则边的长为______． 【答案】10或2 【分析】分两种情况讨论：高在内部和高在外部，利用勾股定理分别求出，的长度，再计算的长即可． 【详解】解：∵ 是边上的高， ∴ ， ①当高在内部时， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 此时； ②当高在外部时， 同理可得，， 此时． 综上，的长为2或10． 【跟踪专练2】已知在中，； （1）边上的高为______； （2）将沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原不全等的新三角形，则折痕的长为_____． 【答案】 或 【分析】（1）设边上的高为，利用勾股定理列方程求解即可． （2）分两种情况讨论：折痕过顶点A，折痕过顶点B，折痕过顶点C ，分别利用勾股定理计算折痕长度即可． 【详解】解：（1）设边上的高为，垂足为G， 设，则， 由勾股定理得 ，， ， 代入得 ， 解得． ． （2）分两种情况讨论∶ ① 当折痕过点A，且为边上的高时，剪开后两个直角三角形可拼成与原不全等的新三角形，如图， ，， ． 由勾股定理得 ． ② 当折痕过点B，且为边上的中线时，剪开后两个三角形可拼成与原不全等的新三角形，如图， 为中点，， ． 由（1）得 ，， ． 由勾股定理得 ； ③当折痕过点C，且为边上的中线时，剪开后两个三角形可拼成与原不全等的新三角形，如图，同② 可求， 综上，折痕的长为或． 【跟踪专练3】在中，，，一个内角为（），则边的长为______． 【答案】2或14或 【分析】本题根据已知条件分情况讨论角的位置，排除的情况，得到和两种情况，再结合高的位置分类，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算的长． 【详解】解：分情况讨论如下： 情况1：当时， 过点作于点， ，，， 是等腰直角三角形，， ∵， ∴， 在中，，由勾股定理得，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，； 情况2：当时， 过点作于点， ，，， 是等腰直角三角形， 同理可求， ， ， 在中，由勾股定理得，， 综上：边的长为2或14或． 【跟踪专练4】已知中，cm，cm，边上的高是，请画出图形并求出边的长． 【答案】画图见解析，边的长为或 【分析】设边上的高为，先在和中用勾股定理算出和的长度，再分高在三角形内部和外部两种情况，分别用与的和或差求出的长即可． 【详解】解：设边上的高为，为垂足，，分两种情况讨论： 情况1：高在内部（垂足在线段上），如图所示： 在中，， 在中，， ∴； 情况2：高在外部（垂足在的延长线上），如图所示： 在中，， 在中，， ∴， 综上，的长为或． 题型五 .勾股定理与动点综合 【典例】如图，在中，，，，取中点，取上的一个动点，连接，将沿翻折至，点是点的对应点，连接，则的最小值为____ 【答案】2 【分析】由，的中点得到，根据折叠的性质得到，连接，当点在线段上时，最短，根据勾股定理得到，进而求得的最小值． 【详解】解：∵，的中点， ∴， ∵将沿翻折至，点是点的对应点， ∴， 如图，连接， ∴当G、A、D在同一直线上时，最短， ∵，， ， ∴， ， ∴的最小值为2． 【跟踪专练1】如图，在中，，，于点，是的中点，是上的一个动点，则的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】 如图，连接，，根据等腰三角形三线合一性质推出是的垂直平分线，得，继而得到当点、、三点共线时，的最小值是的长，证明是等边三角形，再结合线段的中点可推出，，最后根据勾股定理得即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵，， ∴是边上的中线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点、、三点共线时，的最小值是的长， ∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴，即， ∴． 【跟踪专练2】如图，是等边三角形，是的角平分线，点是射线上一动点，连接，以为边在下方构造等边，连接，；有以下结论：①；②当时，；③当时，则的最小值为；④当，，三点共线时，；其中正确结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用等边三角形的性质证，进而证明线段相等，再结合角平分线的性质和垂线段最短的性质来判断各个结论的正确性即可解答． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； 是等边三角形，是的角平分线， ，，， 当时，设，则，， 在中，， ，， ， 在中，， ， ，故②正确； ， ， 点在与夹角为的直线上运动， 根据垂线段最短，当时，的值最小， ， ， 在中，， ，故③正确； 当，，三点共线时，如图， 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ，， ，， 设，则， ， ， ，故④正确； 【跟踪专练3】如图1，中，，，．动点从点出发沿着射线移动． (1)在点移动过程中，的最小值是多少？ (2)在点移动过程中，若，长为多少？ (3)如图2，点在延长线上，，另一动点从点处出发沿着与垂直的射线移动，点与点同时同速移动，连接．当点移动到某一位置，使得，此时长为_________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用勾股定理求出直角三角形斜边的长度，根据垂线段最短确定当时，的值最小，然后根据等面积求解； （2）过点作于点，根据三线合一得出，然后利用勾股定理进行求解； （3）射线相交于点，连接，证明，得出相等的线段，利用勾股定理求出，假设，则，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，当时，的值最小， ∵，，， ∴由勾股定理得， ∴由等面积得， ∴的最小值是； （2）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）可得， 由勾股定理得， ∴； （3）解：如图2所示，射线相交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即， 解得， 由勾股定理得， 假设，则， ∴，， 由勾股定理得， 即， 解得或， ∴长为或． 题型六 勾股定理与最值综合 【典例】如图，，，点为射线上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】过点作射线，使，且射线在的下方，过点作于点，得出，则，根据垂线段最短可知，当三点共线且时，取得最小值，最小值为点到直线的距离，从而利用“垂线段最短”求出最小值． 【详解】解：如图，过点作射线，使，且射线在的下方，过点作于点， 在中，， ， ， 根据垂线段最短可知，当三点共线且时，取得最小值，最小值为点到直线的距离， ∵， ， 过点作于点， 则的长即为所求最小值 在中，，， ∴ ， ∴， 的最小值为． 【跟踪专练1】如图，在中，是的平分线．若P、Q分别是，上的动点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， ∵， ∴． 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， 的最小值为． 【跟踪专练2】如图，，点是内的定点，且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C．2 D．1.5 【答案】A 【分析】设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在线段上时，的周长最小，再依据勾股定理，即可得到周长的最小值． 【详解】如图，分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、． 点关于的对称点为，关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ． 的周长的最小值， 即周长的最小值是． 【点睛】最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【跟踪专练3】图1为5个边长为1的小正方形组成的图形，图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，点都落在网格的格点上． (1)线段__________；线段__________； (2)以某边为边长，在图2中画出一个大正方形，使其与图1中5个小正方形组成的图形面积相等（顶点落在格点上）． (3)点为轴上的动点，则的最小值为_______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意以为边画正方形，即可求解； （3）作关于轴的对称点，连接，进而可得的最小值为的长，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴，； （2）解：∵图1为5个边长为1的小正方形组成的图形， ∴图1中5个小正方形组成的图形面积为，边长为， 又∵， ∴以为边画正方形， 如图所示，正方形即为所求， （3）解：如图，作关于轴的对称点，连接，此时 ∵ ∴ 又∵ ∴的最小值为． 题型七 勾股定理实际应用建模 【典例】如图是两个型号的圆柱形笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面部分分别为和，则铅笔长为__________． 【答案】 【详解】解：设铅笔长为， 根据题意得， 整理得， 解得， 故铅笔长为． 【跟踪专练1】如图，四边形是长方形地面，在它中间有一长方体木条．若，，，一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走（   ）． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】将长方体木条的侧面展开，把问题转化为平面上两点间的最短路径问题，再利用勾股定理计算出最短路径的长度． 【详解】解：如图，将长方体木条的侧面及地面展开，得到新的长方形，其长为，宽为． 蚂蚁从点爬到点的最短路径为展开图中线段的长度，， 由勾股定理得： ， ∴一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走． 【跟踪专练2】如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，甲船从B处行至小岛C的速度是（    ） A．海里/小时 B．15海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】C 【分析】过点B作，垂足为M，根据题意知，可推知，，分别在与中依据已知的特殊角、已知边，可逐一求出的长，于是的长度可求出．先依据的距离与乙船航行的速度可求得乙船航行的时间，然后求出甲船从B处行至小岛C的时间，最后求得甲船此段航行的速度． 【详解】（1）解：如图，过点B作，垂足为M， 由题意得，，°， 设指示南北方向，点N在线段上，则， ∴． 由题意知，， ∴ 在中，海里， ∴海里，海里， 在中，， ∴海里， ∴海里， 在中，海里， ∴ （海里）， ∴乙船行驶的时间为小时， ∴甲船从B处行至小岛C的时间为（小时）． ∴甲船从B处行至小岛C的速度为（海里/时）． 【跟踪专练3】如图，已知射线表示一艘轮船东西方向的航行路线，在的北偏东方向上有一灯塔，灯塔到处的距离为100海里． (1)求灯塔到航线的距离； (2)在航线上有一点，且，若轮船的航速为50海里/时，求轮船从到处所用的时间为多少小时？（结果保留根号） 【答案】(1)50海里 (2)小时 【分析】（1）由题意得到海里，求得，过点A作于T，根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）根据三角形的外角的性质得到，求得海里，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意可得 ，海里， 过点作于， ， ， 答：灯塔到航线的距离是50海里； （2）解：， ， ， ∴为等腰直角三角形，且， （海里）， 在中，，根据勾股定理得， （海里）， 海里， 小时； 答：轮船从到处所用的时间为小时． 题型八 勾股定理与三角形全等综合 【典例】如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为3，则的长为______． 【答案】 【分析】作于点，作于点，证明，得到，根据题意结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：作于点，作于点，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由题意，， ∴. 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且，点B在y轴上，且，则线段的长为______；若点E在线段上，点F在第四象限内，且，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据点A，B的坐标得到，再根据勾股定理求，先证明，然后根据，求解即可． 【详解】解：，， ∴，； ， 在和中， ∵ ∴ ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．则下列结论：①垂直平分；②的周长为8；③的长是；④的面积为．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．根据角平分线的定义和垂线的定义，易证，可判断①结论；由勾股定理求出，再结合全等三角形的性质，可判断②结论；设，利用勾股定理解方程，可判断③结论；根据等高三角形面积之比等于高所在的边之比，可判断④结论． 【详解】解：平分 ， ， ， 又， ， ，， 垂直平分，①结论正确； 在中，，，， ， ， ，， ， 的周长，②结论正确； 设，则 在中，， ， 解得：， 的长是，③结论正确； 在中，，，， ， 和是等高三角形， ， ，④结论正确， 故选：D． 【跟踪专练3】【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G，，，，．请你回答以下问题： (1)与的位置关系为 ． (2)填空： （用含c的代数式表示）． (3)请尝试利用此图形证明勾股定理． (4)【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹） (5) (6)请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______． (7) 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)见解析，9 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到 ，求得 ，得到 ，根据垂直的定义可得． （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． （3）根据三角形面积和梯形面积公式用两种方法求得四边形 的面积，可得到结论． （4）过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接，可得，得，，可得，进而即可得解；过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下， ， ， ， ， ， ； （2）解：， = （3）解： = ， ， ， 即； （4）解：如图，即为所求； 问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 题型九 勾股定理存在性问题 【典例】已知：如图，在平面直角坐标系中，A，C两点分别在x轴，y轴上．点A的坐标为，点C的坐标为，点P为射线上一动点，点O关于直线的对称点为点B，当为直角三角形时，点P的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据轴对称性质可得：，由为直角三角形，可分类讨论：或或，利用勾股定理和全等三角形性质即可求得答案． 【详解】解：设， ∵点O关于直线的对称点为B， ∴， ∴，，，， ∴， 当为直角三角形时，或或． ①若，如图1， ∵， ∴A、B、C三点共线， ∵， ∴， ∵，即， 解得：， ∴； ②若，如图2， ∵， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴； ③若，则，与矛盾，故不存在． 综上所述：点P的坐标为或． 【跟踪专练1】如图，在中，，，P在边上运动．连接，若使长为整数的点共有12个，那么的面积是______________． 【答案】15 【分析】先估算出，，设点到的距离为，则，由内的正整数有、、、、、、、、，共个，且长为整数的点共有12个，，得出的长能为、、，且这三个长度的点只有一个，的长能为、、、，且这四个长度的点均有个，此时还差个点，进而得出的最短的长度为，此时，最后再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 设点到的距离为， ∵P在边上运动． ∴， ∵内的正整数有、、、、、、、、，共个，且长为整数的点共有12个，， ∴的长能为、、，且这三个长度的点只有一个，的长能为、、、，且这四个长度的点均有个，此时还差个点， ∴的最短的长度为，此时， ∴由勾股定理可得：， ∴的面积是． 【跟踪专练2】在长方形中，，，点在边上，，将沿折叠，点的对应点为点，若点恰好落在长方形的对称轴上，则____． 【答案】或 【分析】本题考查折叠的性质以及勾股定理，确定折叠后点的位置以及准确添加辅助线是解题的关键． 长方形的对称轴有两条，故分类讨论：①当点落在竖向的对称轴上时，取中点为，中点为，先求出的值，得出的值，令，则，由勾股定理得出方程，求解即可；②当点落在横向的对称轴上时，取中点为，中点为，过点作交于点，求出的值，由得出的长度，令，则，且，由勾股定理得，得出方程，求解即可． 【详解】解：∵长方形的对称轴有两条，故分类讨论， 当点落在竖向的对称轴上时，取中点为，中点为，如下图所示： ∵，， ∴， ∴， 令，则， 由, 得方程， 解得； 当点落在横向的对称轴上时，取中点为，中点为，过点作交于点，如下图所示： ∵，， ∴， ∴， 令，则，且， 由， 得方程， 解得， 综上，的长度为或． 故答案为：或 【跟踪专练3】如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，、分别与交于点、．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求的值； (2)当为何值时，点在的平分线上？ (3)当点为的中点时，求的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，或或 【分析】（1）先利用勾股定理求出直角三角形边长，再根据垂直平分线定义建立方程求解运动时间； （2）根据角平分线性质，通过全等三角形得到线段相等关系，进而建立关于的方程求解； （3）利用平移性质得到平行线，结合中点与垂直平分线的关系，推导出线段相等，再利用等腰三角形性质建立方程求解； （4）对为等腰三角形的三种情况（、、）分别讨论，结合几何性质和线段长度关系，求出对应的值． 【详解】（1）解：在中，， 运动秒后，，，， 垂直平分时，， 即， 解得：； （2）解：如图，连接， 点在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， 由平移的性质可得， ，即， ， 点为的中点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：当时，过点作于点， 在图①中，， ， ， 由平移的性质得， ， 在和中， ， ， 点和点重合， ，， ， ； 当时，； 当时，则点在的垂直平分线上， 同理可得，， ， 综上所述，的值为或或9． 【点睛】本题考查了角平分线性质、垂直平分线性质、等腰三角形分类讨论以及动点运动过程中的几何图形变化，熟练运用相关几何定理和分类讨论思想是解答本题的关键． 题型十 勾股定理再立体图形展开中的应用 【典例】如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是________． 【答案】 【分析】首先将圆柱的侧面展开，得到矩形，根据已知条件即可得到矩形的长和宽，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，将圆柱的侧面展开，得到矩形， ∵圆柱的底面周长是，高是， ∴， 在中， ， ∴从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是． 【跟踪专练1】如图①所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）切掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为______cm． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可画出最短路径，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意可得最短路径为，如图所示： 由图可知：，，， ∴是等边三角形，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【跟踪专练2】蚂蚁在如图所示的圆柱表面爬行，从点爬到点．若圆柱的高与底面周长均为，点离上沿，则蚂蚁爬行的最短路程为_____． 【答案】5 【分析】此题考查了平面展开－最短路径问题．先将图形展开，根据两点之间，线段最短，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示， ∵圆柱的高与底面周长均为，点离上沿， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：5． 【跟踪专练3】如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从A处爬向B处，已知，圆柱底面圆周长为，高为2，求蚂蚁走的最近距离是________． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理的应用．将圆柱体展开，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在圆柱表面行走问题需将侧面展开再计算， 圆柱侧面展开为矩形， 如图，点为所在边的中点， 根据勾股定理， 蚂蚁走的最近距离． 【跟踪专练4】【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点在点的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______（填字母） A．    B． C．    D． (2)【拓展应用】如图②，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱，为底面．现在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，画出示意图，并求出此最短路程的长度．（木板的厚度忽略不计，只画出路程最短的一种情况即可） 【答案】(1) (2)示意图见解析， 【分析】本题主要考查了立体图形展开、平面几何基本原理以及勾股定理的应用，解题的关键在于将立体表面转化为平面，利用平面几何知识解决最短路径问题． （1）根据圆柱的侧面展开图为长方形，再结合过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，即可得出结论； （2）先将长方体的侧面和侧面展开，再作点关于的对称点，连接交于点，则，把立体表面的折线路径转化为平面内的线段，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：由题知，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝， 根据两点之间线段最短可知，将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是， 故选：； （2）如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点关于的对称点，连接交于点，则， 所以， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，即的值最小， 此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程， 在中，，根据勾股定理，得， 所以最短路程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05勾股定理压轴专项训练 题型01.勾股定理与折叠综合 题型02.勾股定理与平面直角坐标系综合 题型03.勾股定理与特殊平行四边形综合 题型04.勾股定理分类讨论题 题型05.勾股定理与动点综合 题型06.勾股定理与最值综合 题型07.勾股定理实际应用建模 题型08.勾股定理与三角形全等综合 题型09.勾股定理存在性问题 题型10.勾股定理再立体图形展开中的应用 题型一 勾股定理与折叠综合 【典例】如图，在三角形纸片中，，，． （1）如图，在中，斜边长为_____． （2）如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是_____． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点E，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 【跟踪专练2】如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 题型二 勾股定理与平面直角坐标系综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，且，，若以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点的坐标______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，在中，斜边上的高是，则与的长度关系是（　　） A． B． C． D．无法判断 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为，，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．.4个 【跟踪专练3】阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】已知平面内两点、，由勾股定理可得这两点间的距离为． 例如，如图1，，，则． (1)【直接应用】已知，，求P、Q两点间的距离； (2)【直接应用】如图2，在平面直角坐标系中，已知，，点B的横坐标是1． ①求点B的坐标； ②求证：． 题型三 勾股定理与特殊平行四边形综合 【典例】如图，将矩形沿直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，，则的长是______． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 【跟踪专练2】如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 【跟踪专练3】如图1，将矩形放在平面直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，，．把矩形沿对角线所在直线翻折，点C落到点D处，交于点E． (1)点E坐标为_________；点D坐标为_________． (2)如图2，过点D作，交于点，交于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点M是平面直角坐标系内一点，且以O、D、G、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M坐标． 题型四 勾股定理分类讨论题 【典例】直角三角形中，，，则的长为________． 【跟踪专练1】已知，在中，，，边上的高，则边的长为______． 【跟踪专练2】已知在中，； （1）边上的高为______； （2）将沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原不全等的新三角形，则折痕的长为_____． 【跟踪专练3】在中，，，一个内角为（），则边的长为______． 【跟踪专练4】已知中，cm，cm，边上的高是，请画出图形并求出边的长． 题型五 .勾股定理与动点综合 【典例】如图，在中，，，，取中点，取上的一个动点，连接，将沿翻折至，点是点的对应点，连接，则的最小值为____ 【跟踪专练1】如图，在中，，，于点，是的中点，是上的一个动点，则的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 【跟踪专练2】如图，是等边三角形，是的角平分线，点是射线上一动点，连接，以为边在下方构造等边，连接，；有以下结论：①；②当时，；③当时，则的最小值为；④当，，三点共线时，；其中正确结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】如图1，中，，，．动点从点出发沿着射线移动． (1)在点移动过程中，的最小值是多少？ (2)在点移动过程中，若，长为多少？ (3)如图2，点在延长线上，，另一动点从点处出发沿着与垂直的射线移动，点与点同时同速移动，连接．当点移动到某一位置，使得，此时长为_________． 题型六 勾股定理与最值综合 【典例】如图，，，点为射线上的动点，则的最小值为_____． 【跟踪专练1】如图，在中，是的平分线．若P、Q分别是，上的动点，则的最小值是___________． 【跟踪专练2】如图，，点是内的定点，且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C．2 D．1.5 【跟踪专练3】图1为5个边长为1的小正方形组成的图形，图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，点都落在网格的格点上． (1)线段__________；线段__________； (2)以某边为边长，在图2中画出一个大正方形，使其与图1中5个小正方形组成的图形面积相等（顶点落在格点上）． (3)点为轴上的动点，则的最小值为_______． 题型七 勾股定理实际应用建模 【典例】如图是两个型号的圆柱形笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面部分分别为和，则铅笔长为__________． 【跟踪专练1】如图，四边形是长方形地面，在它中间有一长方体木条．若，，，一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走（   ）． A．11 B．12 C．13 D．14 【跟踪专练2】如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，甲船从B处行至小岛C的速度是（    ） A．海里/小时 B．15海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【跟踪专练3】如图，已知射线表示一艘轮船东西方向的航行路线，在的北偏东方向上有一灯塔，灯塔到处的距离为100海里． (1)求灯塔到航线的距离； (2)在航线上有一点，且，若轮船的航速为50海里/时，求轮船从到处所用的时间为多少小时？（结果保留根号） 题型八 勾股定理与三角形全等综合 【典例】如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为3，则的长为______． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且，点B在y轴上，且，则线段的长为______；若点E在线段上，点F在第四象限内，且，，则的值为______． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．则下列结论：①垂直平分；②的周长为8；③的长是；④的面积为．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G，，，，．请你回答以下问题： (1)与的位置关系为 ． (2)填空： （用含c的代数式表示）． (3)请尝试利用此图形证明勾股定理． (4)【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹） (5) (6)请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______． (7) 题型九 勾股定理存在性问题 【典例】已知：如图，在平面直角坐标系中，A，C两点分别在x轴，y轴上．点A的坐标为，点C的坐标为，点P为射线上一动点，点O关于直线的对称点为点B，当为直角三角形时，点P的坐标为________． 【跟踪专练1】如图，在中，，，P在边上运动．连接，若使长为整数的点共有12个，那么的面积是______________． 【跟踪专练2】在长方形中，，，点在边上，，将沿折叠，点的对应点为点，若点恰好落在长方形的对称轴上，则____． 【跟踪专练3】如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，、分别与交于点、．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求的值； (2)当为何值时，点在的平分线上？ (3)当点为的中点时，求的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 题型十 勾股定理再立体图形展开中的应用 【典例】如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是________． 【跟踪专练1】如图①所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）切掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为______cm． 【跟踪专练2】蚂蚁在如图所示的圆柱表面爬行，从点爬到点．若圆柱的高与底面周长均为，点离上沿，则蚂蚁爬行的最短路程为_____． 【跟踪专练3】如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从A处爬向B处，已知，圆柱底面圆周长为，高为2，求蚂蚁走的最近距离是________． 【跟踪专练4】【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点在点的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______（填字母） A．    B． C．    D． (2)【拓展应用】如图②，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱，为底面．现在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，画出示意图，并求出此最短路程的长度．（木板的厚度忽略不计，只画出路程最短的一种情况即可） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $