命题大赛 甘肃临潭县第一中学2025-2026学年第二学期期中考试模拟试卷高一数学

**基本信息** 临潭县高一数学期中模拟卷聚焦湘教版必修第二册第1-3章，以原创题（如复数几何意义题）和几何直观情境（如平行四边形向量、矩形动点最值）为载体，覆盖向量、复数、三角等核心知识，通过基础巩固（如向量坐标运算）与能力提升（如三角函数图像综合题）的梯度设计，适配期中检测需求，发展抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量线性运算、三角恒等变换|结合图形（如平行四边形）考查数学眼光| |多选|3/18|复数性质、解三角形判定|多选项设计培养批判性思维| |填空|3/15|复数模、三角求值、动态几何最值|动态问题（如半圆动点）渗透模型意识| |解答|5/77|向量运算、三角函数图像与性质、复数综合|大题（如复数与向量夹角）体现知识融合，发展数学语言表达|

临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高一数学期中考试模拟试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)必修第二册第1-3章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1,如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,AB=a,AD=b,点G是CD上靠近 点D的三等分点，则OG=() D G B A.a+3 B. 3a+1b C. a+ D.a+26 4 4 4 4 6 2 【答案】D 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可， 【详解1而=元-o0c-号丽-写丽-0君丽-0a5 2.(原创)sin50°sin10°-sin40°sin80°=() A B.2 D.3 2 【答案】B 【详解】原式sin50°sin10°-sin40°sin80°=cos40°cos80°-sin40sin80°= c0s(40°+80)=-克 3.(原创)若复数z满足zi=1-2i,则z在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【分析】由复数的运算可得z=-2一i,即可得答案。 【详解】因为在12i,所以2=1,2-学-2- 所以z在复平面内对应的点位于第三象限 4.设三角形ABC的三个角A,B,C,所对的边分别为a,b,c.已知a=V6,b=2,∠A=60°， 则∠C=() A.30 B.45 C.75 D.105 【答案】C 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理a=b,b<a得simB=bsim42sim60=2 VG ,故B=45°， sinA sin B 2 则C=180°-A-B=180°-60°-45°=75° 5.已知mu-2,则m(2如《） 4 3 3 4 A.- C. D. 5 B. 5 5 5 【答案】C ,结合诱导公式和二倍角的余弦公式计 1 【分析】根据同角的商数、平方关系可得cos2a= 算即可求解 【详解】由tana=2,得sina=2cosa, 又sin2&+cos2a=1,所以4cos2a+cos2au=1,解得cos2a= 1 所以sn(2a-受=-cos2a=1-2cosa=号故选：C 6.如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=6,M、N分别为边BCCD上的动点，且MN=4.则 AM+A的最小值为() D N M B A.8 B.16 C.413 D.85 【答案】B 【分析】取线段N的中点O,连接AO、OC、AC,可得出AM+AW=2AO2AC+CO: 结合向量模的三角不等式可求得AM+AW的最小值 【详解】取线段MN的中点O,连接AO、OC、AC,如下图所示： N M A B 因为CM⊥CW,所以OC=MN=2, 因为四边形ABCD为矩形，则AC=√AB2+AD2=V82+62=10, 因为AM+AW=(Ao+OM+A0+ON2AO, 所以M+AW=24⊙=24C+C≥24Cc可=2x(10-2)=16, 当且仅当AC与CO方向相反时，等号成立，故AM+AW的最小值为16. 18 16 7 7 A. 25 B. 25 C. 25 D. 25 【答案】C 【分析】根据题意利用三角恒等变换可得sina+ 》行以a?为整体，结合诱号公式 3 和倍角公式运算求解， 【详解】由cos+ a手 1 4 -cos a--sin a+sin a=- 6 2 即oma-所以ma写 所以个a我a+引a引-fa- -fo引--( 8.已知向量AC=(1,2),AD=(2,1),向量AB在AC上的投影向量的坐标为(-2，-4)，AB在 D上的投影向量的坐标为(4,2)，则A西=() A.20 B.10W2 C.10 D.√1o 【答案】B 【分析】设AB=(x,y),借助投影向量定义计算可得x+2y=-10,2x+y=10,解出即可得 A正，再利用模长定义计算即可得 【详解】设AB=(x,y),由向量AB在AC上的投影向量的坐标为(-2，-4)， AB.AC AC x+2v AC 则 =+2 _AC- x+2y2(x+2y) AC ACVP+222+25 5 5 故+2y=-2,即x+2y=10:由5在D上的投影向量的坐标为(4,2)， 5 2(2x+y)2x+y 则 AB.AD AD2x+yAD-2本+上A0 ADAD2++ 5 5 -，5 故2+y=2,即2x+y=10:即有 x+2y=-10 x=10 2x+v=10 ，解得 y=-10则AB=10,-10), 则AB=10+(10)}'-105 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则() A.at=2 B.(a+b)1(a-b) c.(2a+b)11(a-2b) D.<d-6>I 4 【答案】ABD 【详解】由ā=(1,1)，6=1，-1)，则a+b=(1,1)+(1,-1)=(2,0),所以a+=2,故A正确： 由a=(1,1),b=1,-1),则a-b=(1,1)-(1,-1)=(0,2), 所以（ā+b)(a-b)=(2,0)(0,2)片0，即(a+)1(a-b),故B正确： 由a=(1,1),b=1,-1),则2a+b=21,1)+1,-1)=,1), a-25=(山-21，-)-(1.因为子产：所以(2a+列与（位-20）不共线，故c错误： 由coaa-列后g当，且a-列e小则<a-i子故DE 10.己知3，二2为复数，i是虚数单位，下列说法正确的有() A.若3=(x2-x)+xi为纯虚数，其中x∈R,则x=0或1 B.若+22=0，则=2=0 C.若复数z满足eR,则zER D.若=2=1，则5-2的最大值为2 【答案】BCD 【分析根据复数的概念计算可判断A:根据复数的几何意义判断BD:设：=a+bi,a,b∈R, 根据二∈R及复数的运算得到b=0,求出z即可判断C. [x2-x=0 【详解】对于A,若3=(x2-x)+xi为纯虚数，则 x≠0，解得x=1,故A错误 对于B:复数的模≥0，若+=0，则=3=0，所以=2=0，故B正确 a-bi a-bi a b 对于c,设z=a+bi,a,beR,则三(a+bma-bma+8a2+ba2+BF 因为R,所以行=0，年6=0a=0,则：=aeR,放c正确 对于D,若==1，则名，二2对应复平面内单位圆上的两动点，可得5-的最大值是 2,故D正确 11.在三角形ABC中，角ABC所对的边分别为4，b,c,如下命题正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若c2=b(a+b),则C=2B C.若bcosB-ccosC=0,则三角形ABC是等腰三角形 D.若三角形ABC为锐角三角形，C=-T,b=2,则BABC的取值范围是(0,12) 3 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理判断选项A;利用正弦定理结合三角变换判断选项B:利用正弦定理 结合己知条件判断选项C;利用正弦定理结合向量数量积构造方程，结合二次函数性质得出 取值范围，判断选项D. 【详解】根据大角对大边，A>B,则a>b, 由正弦定理得a=b =2R,a=2Rsin A,b=2Rsin B, sin A sinB sinA>sinB,故A正确； 已知c2=b(a+b),由正弦定理得a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 RsinC, 则sin2C=sinB(siA+sinB)①， :A=-(B+C),.sinA=sin(B+C),代入①得sin2c=siB(sin(B+C)+sinB), sin'C=sin'B+sinBsin(B+C),sin'C-sin2B=sinBsin(B+C), sin'C-sin?B=1-cos2C 1-cos2B cos 2B-cos2C 2 (2B+2C 2B-2C -2sin sin 2 、2 sin(B+C)sin(B-C) 2 sin(B+C)sin(C-B)=sin Bsin(B+C), :sin(B+C)=siA≠0，.sin(C-B)=sinB, C,B∈(0，T),C-B∈(-兀，π)，故C-B=B,即C=2B,故B正确： 由正弦定理得b=2 Rsin B,c=2 Rsin C,则sinBcosB-sin CcosC=0, ∴.sin2B=sin2C, 在三角形中，2B=2C或2B=L-2C,即B=C或B+C=C台A= 2 2 故三角形ABC可能是等腰三角形或直角三角形，不一定是等腰三角形，故C错误； BA.BC=ac cosB, 由正弦定理 得。bsin C 2x3 2 3, sin B sin C C= sin B sin B Sin B _bsinA 2sinA a sin B sin B .BA.BC=ac cosB= 2sin A 3 cosB、 2sin Acos B sin B sin B sinB A=π-B-C= B,.sinA=sin 3 (2r-B= (3 3cosB+2sinB, 2 2V3 1 CoSB+-sinB cosB .BA.BC 3cos'B+sinBcosB 33, sin'B sin'B tan'B tanB 已知三角形ABC是锐角三角形，故A,B,C<亚 A=2n -B< 3 ,则B 6故Be) (62 1 令t= tanB' 则1在B∈匹， 上单调递减，故t∈(0，V3), tan B （62 BA.Bc=3+51,是开口向上的二次函数，对称轴为f= 6 :y=BA.BC在t∈(O,V5)上单调递增， 当t→0时，y→0，当t→5时，y→33+55=12， :.BA.BC的取值范围为(0,12)，故D正确. 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知复数z= 1-i3 1-)2 (i是虚数单位)，则= 【答案】 【详解】因z= 塔则g-9 13.若cs(a-P)= 5,c0s2a= V10 并且a,B均为锐角，且a>B,则a+B= 10 【答案】牙 【分折】i题意知0<aB:子，02a<x,0<a+0<,进而得(a-A)5 5 sin2a=31 10 2,再根据(a+P)-=2a-(a-®，结合余弦差角公式求得cos(a+B)=Y5,最后 根据余弦函数性质即可求得答案， 【详解】因为a,B均为锐角，且a>B,即o<B<a<受， 以0<a-B<,0<2a<元，0<a+B<π，所以sin(a-P)>0,sim2aΣ 因为cos(a-)=25 ,c0s2a= 0,所以sim(a-B)=-cosa-P)= 25 5 10 5 sin 2a=v1-cos22a= v10 310 10 10 所ma-月aose外wwa-:兰-+兰平-兰 因为0<a+B<元，所以a+B-平 14.如图，三角形ABC是边长为2的等边三角形，以AC为直径作一个半圆，点P为此半 圆弧上的一个动点，若BP=xBA+yBC,则x+y的最大值为 0 B 【答案】3+3 3 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，利用三角函数参数表示点P,推导出x+y的表达式， 再利用三角函数的性质求最大值 【详解】取AC中点O(圆心)为原点，AC在x轴上，由△ABC是边长为2的等边三角形， 三线合一得B0⊥AC,BO=√5，因此各点坐标为：O(0,0),A(-1,0),C(L,0),B(0,-5), 设P(cos8,sin)(O为OP与x轴夹角)，由P在上半圆，得Be[0,]。 BP=(cos0,sim0+V5),BA=(-l,√3)，BC=1,3), COS=-x+ 由BP=xBA+yBC,对应坐标相等得： sin+3=3(x+y)' 则x+y= in0+3 √阝 ,因为8e0,,sm9的最大值为1， =1+sin e 所以(x+)mx=1+ 13+√3 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说朋、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),求： (1)a+2b的坐标： (2)a.b的值： 3)a-的值， 【答案】(1)(4，-3) (2)0 (3)V10 【分析】(1)根据平面向量线性运算的坐标表示公式进行计算即可： (2)根据平面向量数量积的坐标表示公式进行计算即可； (3)根据平面向量减法和模的坐标表示公式进行计算即可。 【详解】(1)a+2b=(2,1)+2(1,-2)=(2,)H2,-4(2+2,1-9(4,-3: (2)a.b=2x1+1×(2)=0; (3)因为a-五=(2-1,1+2)=4,3)，所以a-=2+32=10 16.(15分)己知函数f(x)=2 sin xcosx+√3cos2x. 球的值： (2)求函数f(x)的最小正周期： 3)求函数f(y在区间0，四 上的最大值及相应的x的值， 【答案】(1)5； (2)π； (③)最大值为2，此时x= 2 【分析】)先化简解析式为J)=2sm2x+写到，再计算/（石 的值即可： 2π (2)根据T= 计算函数f()的最小正周期即可： (3)由0≤x号计算行<2x+号行，进面求出函数)在区间0月 33 上的最大值，再 求解相应的x的值即可. 【详解】(1)因为f(x)=2 sinx cosx+V3cos2x=sim2x+Bcos2x=2sin 2x+ 所以 =2$in2π-3； 2π (2)由T= 得7-2 2 -=π，故函数∫(x)的最小正周期为π： 3≤2n2x+写)s2,所以函数/（在区间0引上的最大值为2， 此时sim2x+四 3 12 放函数f()在区间0上的最大值为2，此时=及 -12 17.（15分)己知复数z=(m2+8+12)+(m2-m-6i,m∈R. (1)若复数z是纯虚数，求实数m的值： (2)若在复平面内，复数z表示的点在第二象限，求m的取值范围： (3)当=-1时，复数z所对应的平面向量为a;当m=-3时，复数z所对应的平面向量为b, 若向量a+2b与ta-b的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 【答案】(1)m=-6 (2)(-6,-2) m2+8m+12=0 【详解】(1)因为复数z是纯虚数，所以 m2-m-6≠0 (+2)(m+6)=0 即 (m+2(m-3)≠0'解得m=-6. m2+8m+12<0 (2)因为复数z表示的点在第二象限，所以 m2-m-6>0 (om+2)m-3)>0’解得-6<m<-2,即m的取值范围为(-6，-2). (m+2)(+6)<0 即 (3)当m=-1时，z=5-4i,则a=(5,4):当m=-3时，二=-3+6i,则b=(3,6), 所以ā+2b=（-1,8),ta-b=(t+3,-4H-6),因为向量a+2b与ta-b的夹角为钝角， 所以(a+2b)(ta-b)<0且向量a+2b与ta-b不反向共线， 即(a+2b)(a-b)=-(t+3+8（4t-6大0且(-1)(-4t-6)-8(5t+3)≠0， 解得：一分即实数的取值包（分式（宁 18.(17分)在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c. (1)若a=7,b=8,cosB=- 1 7,求A: (2)若b=acos C,试判定△ABC的形状. 【答案】0四号 (2)直角三角形 【分析】(1)根据余弦定理求出C,再由余弦定理求A: (2)根据余弦定理及条件化简即可得解 【详解】(1)由余弦定理，b2=d+c2-2 ac.cos B,即8=7+c2-2×7×c 化简可得c2+2c-15=0,解得c=3或c=-5(舍去)， 所以sA-b+L_6409-号又0<A<,所以A= 兀 2bc2x8×32 2》因为cosC-a广+c,6=acosc,所以6_心+6- ,即2b2=ad2+b2-c2, 2ab a 2ab 化简可得：b2+c2=a2,所以三角形ABC为直角三角形，其中A为直角 19.(17分)已知函数f(x)=Asin(ox+p)(A>0,w>0,p<π)的部分图象如图所示. 8元 3 3 (1)直接写出函数∫(x)的解析式和最小正周期： (2)求f(x)在区间[0,2π]上的最大值与最小值： (3)若g(x)=2f(x)+f(-2x),0≤x≤2m,求g(x)的值域. 1兀 【答案】0/()=2sim2x+6)最小正周期为4 (2)f(x)的最大值为2，最小值为-1. 3[-1,3] 【分析】(1)根据图象求出A,周期T,得出@，P即可写出函数解析式： (2)根据正弦型函数值域的求法得解； (3)利用换元法，化简函数解析式，再由二次函数值域的求法得解 【详和11)由图可如，4=2，翠-含蟹（到 3沉，所以T=4r,所以0=2红-21 T4元2 将点-2代入=am专+p可得2m}[p-2 即经小-1，所以智+p=经2aez,解得9=会+加，由小<x,可知9= 2 6 6 所以函数解析式为f(x)=2sim 1x+ 2 6 ,最小正周期为4π。 2当ea2如时+后】 1 666 所以m[传1，所以-1f=a2 即f(x)的最大值为2，最小值为-1. 8)g)-27(2x4m臣}2mf-周 令君0，则=29景所以君20号 6 由(2)知，0≤x≤2π时，8∈[7匹]， 66$ 原晒数可转化为m(@)-45m0-2m20月 =2cos 20+4sin0 =20-2am+45n84sm0-4a024m0号3. 所以当sn0=时，mo)=-1,当sn9=时，m(o=3, 所以g(x)的值域为[-1,3]。 临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高一数学期中考试模拟试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1-3章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，平行四边形的两条对角线相交于点，，，点是上靠近点的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 2．（原创）（    ） A． B． C． D． 3．（原创）若复数满足zi=1-2i，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．设三角形ABC的三个角A，B，C，所对的边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（    ） A．8 B．16 C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，，向量在上的投影向量的坐标为，在上的投影向量的坐标为，则（   ） A．20 B． C．10 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，为复数，是虚数单位，下列说法正确的有（    ） A．若为纯虚数，其中，则或 B．若，则 C．若复数满足，则 D．若，则的最大值为2 11．在三角形ABC中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则三角形ABC是等腰三角形 D．若三角形ABC为锐角三角形，，则的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数（是虚数单位），则__________． 13．若，并且均为锐角，且，则________． 14．如图，三角形ABC是边长为2的等边三角形，以为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，若，则的最大值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量，，求： (1)的坐标； (2)的值； (3)的值． 16．（15分）已知函数． (1)求的值； (2)求函数的最小正周期； (3)求函数在区间上的最大值及相应的的值． 17．（15分）已知复数，． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求的取值范围； (3)当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 18．（17分）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c． (1)若，，，求A； (2)若，试判定的形状． 19．（17分）已知函数的部分图象如图所示． (1)直接写出函数的解析式和最小正周期； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)若，，求的值域． 学科网（北京）股份有限公司 $临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高一数学期中考试模拟试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)必修第二册第1-3章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1,如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,AB=a,AD=b,点G是CD上靠近 点D的三等分点，则OG=() D G B A.a+36 B.2a+6 c.a+ 4 D.-a+6 4 4 4 6 2 2.(原创)sin50°sin10°-sin40°sin80°=() A.月 R C.-3 D. 3 2 3.(原创)若复数z满足zi=1-2i,则z在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.设三角形ABC的三个角A,B,C,所对的边分别为a,b,c.已知a=√6，b=2,∠A=60°， 则∠C=() A.30 B.45 C.75 D.105 5.已知ma-2,则sm(2红-引-（) A c. D. 6.如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=6,M、N分别为边BCCD上的动点，且MN=4.则 AM+AN的最小值为() D N M A.8 B.16 C.413 D.85 16 7 B.25 C. 25 8.已知向量AC=(1,2),AD=(2,1),向量4E在4C上的投影向量的坐标为(-2，-4)，4E在 AD上的投影向量的坐标为(4,2)，则AB=() A.20 B.10W2 C.10 D.10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则() A.a+=2 B.(a+b)1(a-b) c.(2a+b)11(a-2b) D.<a.a-6> 4 10.己知，2为复数，i是虚数单位，下列说法正确的有() A.若3=(x2-x)+xi为纯虚数，其中x∈R,则x=0或1 B.若+32=0，则5=2=0 C.若复数z满足上eR,则zeR D.若=2=1，则5-的最大值为2 11.在三角形ABC中，角ABC所对的边分别为a,b,c,如下命题正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若c2=b(a+b),则C=2B C.若bc0sB-ccosC=0,则三角形ABC是等腰三角形 D.若三角形AC为锐角二角形，C=号b=2,则，C的取值花周是(Q1) 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数2=1- -)2 (i是虚数单位)，则= 13.若c0s(Q-P)= 5.cos2a= W ,并且a,B均为锐角，且>B,则a+B= 10 14.如图，三角形ABC是边长为2的等边三角形，以AC为直径作一个半圆，点P为此半 圆弧上的一个动点，若BP=xBA+yBC,则x+y的最大值为 B C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（13分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),求： (1)a+2五的坐标： (2)a.b的值； 3)a-的值. 16.(15分)已知函数f(x)=2 sin xcosx+√3cos2x. @床 的值 (2)求函数f(x)的最小正周期： ®)求函数1()在区间[0 上的最大值及相应的x的值. 17.(15分)已知复数z=(2+81+12)+(m2-m-6i,m∈R. (1)若复数z是纯虚数，求实数m的值； (2)若在复平面内，复数z表示的点在第二象限，求m的取值范围： (3)当m=-1时，复数z所对应的平面向量为a；当m=-3时，复数z所对应的平面向量为b, 若向量a+2b与ta-b的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 18.(17分)在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c. 山若a=7,b-8,cosB=7,求A: (2)若b=acos C,试判定△ABC的形状. 19.(17分)已知函数f(x)=Asin(ox+p)(A>0,w>0,p<元)的部分图象如图所示. 8π 3 3 (1)直接写出函数∫(x)的解析式和最小正周期： (2)求f(x)在区间[0,2元上的最大值与最小值： (3)若g(x)=2f(x)+f(-2.x),0≤x≤2π，求g(x)的值域. 临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高一数学期中考试模拟试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1-3章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，平行四边形的两条对角线相交于点，，，点是上靠近点的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可. 【详解】. 2．（原创）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式. 3．（原创）若复数满足zi=1-2i，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由复数的运算可得，即可得答案. 【详解】因为zi=1-2i，所以， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 4．设三角形ABC的三个角A，B，C，所对的边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得,故， 则． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角的商数、平方关系可得，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以，解得. 所以.故选：C 6．如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值. 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示：    因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用三角恒等变换可得，以为整体，结合诱导公式和倍角公式运算求解. 【详解】由，得， 即，所以. 所以 . 8．已知向量，，向量在上的投影向量的坐标为，在上的投影向量的坐标为，则（   ） A．20 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】设，借助投影向量定义计算可得，，解出即可得，再利用模长定义计算即可得. 【详解】设，由向量在上的投影向量的坐标为， 则， 故，即；由在上的投影向量的坐标为， 则， 故，即；即有，解得，则， 则. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，则，所以，故A正确； 由，则， 所以，即，故B正确； 由，则， ，因为，所以与不共线，故C错误； 由，且，则，故D正确. 10．已知，为复数，是虚数单位，下列说法正确的有（    ） A．若为纯虚数，其中，则或 B．若，则 C．若复数满足，则 D．若，则的最大值为2 【答案】BCD 【分析】根据复数的概念计算可判断A；根据复数的几何意义判断BD；设，，根据及复数的运算得到，求出即可判断C. 【详解】对于A，若为纯虚数，则，解得，故A错误. 对于B：复数的模，若，则，所以，故B正确. 对于C，设，，则. 因为，所以，即，则，故C正确. 对于D，若，则，对应复平面内单位圆上的两动点，可得的最大值是2，故D正确. 11．在三角形ABC中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则三角形ABC是等腰三角形 D．若三角形ABC为锐角三角形，，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理判断选项A；利用正弦定理结合三角变换判断选项B；利用正弦定理结合已知条件判断选项C；利用正弦定理结合向量数量积构造方程，结合二次函数性质得出取值范围，判断选项D． 【详解】根据大角对大边，，则， 由正弦定理得，则， ，故A正确； 已知， 由正弦定理得， 则①， ，，代入①得， 即，即， ， ， ， ，，故，即，故B正确； 由正弦定理得，则， ， 在三角形中，或，即或， 故三角形ABC可能是等腰三角形或直角三角形，不一定是等腰三角形，故C错误； ，由正弦定理得， ， ， ， ， ， 已知三角形ABC是锐角三角形，故， ，则，故， 令，则在上单调递减，故， ，是开口向上的二次函数，对称轴为， 在上单调递增， 当时，，当时， ， 的取值范围为，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数（是虚数单位），则__________． 【答案】 【详解】因，则. 13．若，并且均为锐角，且，则________． 【答案】 【分析】由题意知，，，进而得，，再根据，结合余弦差角公式求得，最后根据余弦函数性质即可求得答案. 【详解】因为均为锐角，且，即， 所以，，，所以 因为，所以， ， 所以， 因为，所以 14．如图，三角形ABC是边长为2的等边三角形，以为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，若，则的最大值为______________. 【答案】 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，利用三角函数参数表示点，推导出的表达式，再利用三角函数的性质求最大值. 【详解】取中点（圆心）为原点，在轴上，由△ABC是边长为2的等边三角形，三线合一得，，因此各点坐标为：，，，， 设（为与轴夹角），由在上半圆，得。 ，，， 由，对应坐标相等得：， 则，因为，的最大值为， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量，，求： (1)的坐标； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示公式进行计算即可； （2）根据平面向量数量积的坐标表示公式进行计算即可； （3）根据平面向量减法和模的坐标表示公式进行计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）因为，所以. 16．（15分）已知函数． (1)求的值； (2)求函数的最小正周期； (3)求函数在区间上的最大值及相应的的值． 【答案】(1); (2); (3)最大值为，此时. 【分析】（1）先化简解析式为，再计算的值即可； （2）根据计算函数的最小正周期即可； （3）由，计算，进而求出函数在区间上的最大值，再求解相应的的值即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）由得，故函数的最小正周期为； （3）因为，所以，所以，，所以函数在区间上的最大值为， 此时，又，所以，解得， 故函数在区间上的最大值为，此时. 17．（15分）已知复数，． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求的取值范围； (3)当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以， 即，解得． （2）因为复数表示的点在第二象限，所以， 即，解得，即的取值范围为． （3）当时，，则；当时，，则， 所以，，因为向量与的夹角为钝角， 所以且向量与不反向共线， 即且， 解得且，即实数的取值范围是． 18．（17分）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c． (1)若，，，求A； (2)若，试判定的形状． 【答案】(1) (2)直角三角形 【分析】（1）根据余弦定理求出，再由余弦定理求； （2）根据余弦定理及条件化简即可得解. 【详解】（1）由余弦定理，，即， 化简可得，解得或（舍去）， 所以，又，所以. （2）因为，，所以，即， 化简可得：，所以三角形ABC为直角三角形，其中为直角. 19．（17分）已知函数的部分图象如图所示． (1)直接写出函数的解析式和最小正周期； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)若，，求的值域． 【答案】(1)，最小正周期为. (2)的最大值为，最小值为. (3) 【分析】（1）根据图象求出，周期，得出即可写出函数解析式； （2）根据正弦型函数值域的求法得解； （3）利用换元法，化简函数解析式，再由二次函数值域的求法得解. 【详解】（1）由图可知，， ，所以，所以， 将点代入可得， 即，所以，解得，由，可知， 所以函数解析式为，最小正周期为. （2）当时，， 所以，所以， 即的最大值为，最小值为. （3）， 令，则，所以， 由（2）知，时，，， 原函数可转化为 ， 所以当时，，当时，， 所以的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 双向细目表 序号 题型 知识点 难度系数 分值 1 单项选择题 平面向量线性运算（平行四边形、三等分点） 0.65 5 2 单项选择题 三角恒等变换（诱导公式、两角和差） 0.65 5 3 单项选择题 复数运算、复平面内点的位置 0.85 5 4 单项选择题 解三角形（正余弦定理应用） 0.65 5 5 单项选择题 同角三角函数基本关系 0.65 5 6 单项选择题 平面向量数量积最值（矩形几何背景） 0.4 5 7 单项选择题 三角函数性质（单调性、最值） 0.65 5 8 单项选择题 平面向量投影向量、坐标运算 0.4 5 9 多项选择题 平面向量模长、数量积、平行与垂直判定 0.65 6 10 多项选择题 复数概念、运算、几何意义、模的最值 0.65 6 11 多项选择题 解三角形、形状判断、范围问题综合 0.4 6 12 填空题 复数模长计算 0.85 5 13 填空题 三角恒等变换（两角和差、锐角范围） 0.65 5 14 填空题 平面向量分解、数量积最值（等边三角形 + 半圆） 0.4 5 15 解答题 平面向量坐标运算、数量积、模、夹角 0.65 13 16 解答题 三角函数化简、周期、区间最值 0.65 15 17 解答题 复数纯虚数、复平面象限、向量夹角钝角 0.65 15 18 解答题 解三角形求角、三角形形状判定 0.65 17 19 解答题 三角函数解析式、周期、最值、值域综合 0.4 17 Sheet2 Sheet3 $