精品解析：广东广州市西关外国语学校2025-2026学年度第二学期综合素养训练（一） 初三数学

2025学年度第二学期综合素养训练（一） 初三 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 2. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，其总长度为55000米，则数据55000用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 4. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象经过（ ） A. 第一、三、四象限 B. 第一、二、三象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 6. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 8. 如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，直线与相切于点，过，分别作，，垂足分别为点、，连接、，若，，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，则矩形ABCD的面积等于 （ ） A. B. C. D. 16＋12 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 12. 因式分解：________． 13. 如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于_ 14. 如图，在中，点，分别在，上，，若，则__________． 15. 一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为________．（结果保留） 16. 如图1，在中，，D为边上一点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线—匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，y的最大值为_________． 三、解答题（共72分） 17. 解方程组： 18. 求代数式的值，其中． 19. 如图，已知． （1）尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若．求证：． 20. 智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． （1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） （2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 21. 善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）： 组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95 组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96 （1）求组同学得分的中位数和众数； （2）现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率． 22. 如图，在中，，点E在上，以为直径的经过上的点D，与交于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 学习平行四边形后，某数学兴趣小组对有一个内角为的平行四边形的折叠问题展开研究，过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，并说明理由； 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，如图②．求证：四边形是平行四边形； 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 24. 已知抛物线（，为常数）的图象经过点和，顶点为． （1）用含的代数式表示； （2）当时，求面积的最大值； （3）已知点，当抛物线有部分图象落在内部（不包含边界）时，将这部分图象记为．设，为图象上两点，当时，总有，求的取值范围． 25. 如图1，内接于，点E为的内心，连接并延长交于点D，交于点F，连接． （1）若，求的度数． （2）如图2，连接，若，求的长． （3）如图3，连接，若的半径为4，弦，设，求y与x之间的函数关系式及y的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第二学期综合素养训练（一） 初三 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】A、原式=m4，不符合题意； B、原式=x2+2x+1，不符合题意； C、原式=27m6，不符合题意； D、原式=2a7，符合题意， 故选D． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 2. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组．根据题意将不等式分别解出并在数轴上画出即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴解不等式得， ∴解不等式得：， ∴， ∴将解集表示在数轴上为：， 故选：C． 3. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，其总长度为55000米，则数据55000用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】数据55000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得，由邻补角性质得，然后求解即可，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5. 一次函数的图象经过（ ） A. 第一、三、四象限 B. 第一、二、三象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．熟练掌握一次函数的图象与系数的关系，是解题的关键． 根据一次函数的增减性质与k符号的关系，与y轴交点和b符号的关系解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴函数图象经过第一、三象限， ∵， ∴函数图象与y轴负半轴相交， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：A． 6. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长．求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 8. 如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，特殊角的三角函数值，等边对等角．根据旋转的性质可得，，，再由，可得，再根据，可得，然后求出，据此求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，是的直径，直线与相切于点，过，分别作，，垂足分别为点、，连接、，若，，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由切线的性质得，而，，所以，则，而，，所以，因为是的直径，所以，推导出，由，求得，则，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 直线与相切于点， ， ，，垂足分别为点、，，，， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ，， ， 故选：C． 【点睛】此题重点考查切线的性质、平行线分线段成比例定理、直径所对的圆周角是直角、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10. 如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，则矩形ABCD的面积等于 （ ） A. B. C. D. 16＋12 【答案】C 【解析】 【分析】依据△A′EP∽△D′PH，△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，即可得出△A′EP与△D′PH的相似比为2：1，设AB=A'P=x，则CD=D'P=x，D'H=x，A'E=x，再根据△D′PH的面积为2，即可得到x=2，进而得出A'E=AE=4，A'P=2=D'P，D'H=DH=，依据勾股定理可得Rt△A'EP中，EP=2，Rt△D'PH中，PH=，最后根据矩形ABCD的面积等于AD×AB进行计算即可． 【详解】由折叠可得，∠A'PF=∠B=90°，∠D'PH=∠C=90°，而∠FPG=90°， ∴∠A'PD'=90°， ∴∠A'PE+∠D'PH=∠A'PE+∠A'EP=90°， ∴∠A'EP=∠D'PH， 又∵∠A'=∠D'=90°， ∴△A′EP∽△D′PH， ∵四边形ABC是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x， 由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x， ∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2， 又∵△A′EP∽△D′PH， ∴A′P：D′H=2，∵PA′=x， ∴D′H＝x， ∵•x•x=2， ∴x=2（负根已经舍弃）， ∴AB=CD=2，PE=，PH=， ∴AD=， ∴矩形ABCD的面积=AB×AD=． 故选：C 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式直接分解即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 13. 如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于_ 【答案】-4 【解析】 【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|=2，然后根据反比例函数所在的象限确定k的值． 【详解】∵△POM的面积等于2，∴|k|=2． ∵反比例函数图象过第二象限，∴k＜0，∴k=﹣4． 故答案为﹣4． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质． 14. 如图，在中，点，分别在，上，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为：． 15. 一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算，根据已知得母线长，再利用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键． 根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，相加即可得出该几何体的全面积． 【详解】解：由图示可知，该几何体是圆锥，圆锥的高为，底面圆的直径为， 圆锥的母线为：， 圆锥的侧面积为：， 底面圆的面积为：， 该几何体的全面积为：． 故答案为：． 16. 如图1，在中，，D为边上一点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线—匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，y的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数图象经过点，，求得，当动点E运动到达点C时，求得，当AE=4时，求得，再证明，然后证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵函数图象经过点，， ∴， 当动点E运动到达点C时，， 当时，，图象如图所示， 作于点，连结， 当点E与点B重合时，y的值最大， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴y的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，等边对等角，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是能读懂题意，结合图象进行分析． 三、解答题（共72分） 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可. 【详解】， ①+②得： 3x=6， x=2， 把x=2代入①得： 2﹣y=1， y=1． 则原方程组的解为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，灵活选取二元一次方程组的解法是解题的关键. 18. 求代数式的值，其中． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 19. 如图，已知． （1）尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若．求证：． 【答案】（1） 如图所示，，，即为所求； （2） 证明：为平分线， ． 又， ． 在和中， （SAS）． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握是解题的关键． （1）根据尺规作图作角平分线即可； （2）由题意得，，，，根据全等三角形判定边角边即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． （1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） （2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】（1）元 （2）这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用； （1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可； （2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； 【小问2详解】 解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 21. 善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）： 组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95 组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96 （1）求组同学得分的中位数和众数； （2）现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率． 【答案】（1）组同学得分的中位数为分，众数为分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了中位数与众数，列表法或树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）由题意可知，、两组得分超过90分的同学各有2名，画树状图法求出概率即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，每组学生人数为10人， 中位数为第5、6名同学得分的平均数， 组同学得分的中位数为分， 分出现了两次，次数最多， 众数为分； 【小问2详解】 解：由题意可知，、两组得分超过90分的同学各有2名， 令组的2名同学为、，组的2名同学为、， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中这2名同学恰好来自同一组的情况有4种， 这2名同学恰好来自同一组的概率． 22. 如图，在中，，点E在上，以为直径的经过上的点D，与交于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 在和中， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明解析； （2）设的半径为，由题意求出半径，再根据特殊角的三角函数值求出，再求出，再由弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角函数的计算，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 23. 学习平行四边形后，某数学兴趣小组对有一个内角为的平行四边形的折叠问题展开研究，过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，并说明理由； 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，如图②．求证：四边形是平行四边形； 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 【答案】[探究发现]：四边形是菱形， 理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形； [探究证明]：证明：如图： 将沿翻折得到， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； [探究提升]：能，四边形为轴对称图形时，的值为或 【解析】 【分析】[探究发现]由将沿翻折得到，即知，，而，故，根据四边相等的四边形是菱形即可证明； [探究证明]同探究发现可知四边形是菱形，有，而为边的中点，为边的中点，四边形是平行四边形，即可得，，又，，故，，从而四边形是平行四边形； [探究提升]若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形，分两种情况进行讨论：当四边形是矩形时，过作于，过作于，设，则，可得，，求出，即可得；当四边形是菱形时，延长交于，设，求出，即可得． 【详解】[探究发现]： 略 [探究证明]： 略 [探究提升]： 解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图： ， ， ， 设，则， ， 为中点， ，， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ∴， ， ， ， ； 当四边形是菱形时，延长交于，如图： 设，则， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ， △是等边三角形， ， ， ； 综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，矩形，菱形、等边三角形，角直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理． 24. 已知抛物线（，为常数）的图象经过点和，顶点为． （1）用含的代数式表示； （2）当时，求面积的最大值； （3）已知点，当抛物线有部分图象落在内部（不包含边界）时，将这部分图象记为．设，为图象上两点，当时，总有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、三角形面积求解以及根据函数图象位置关系确定参数范围，解题关键是熟练运用二次函数相关知识，结合点与函数、点与直线的位置关系，通过分类讨论确定的取值范围． （1）将点A的坐标代入抛物线的表达式，得到关于m和t的等式，通过移项化简，用含t的代数式表示出m． （2）先根据第一问结果得到抛物线表达式，化为顶点式求出顶点坐标，再代入求出点坐标．利用、两点坐标求出直线表达式．．作轴交于，求出长度．根据列出面积表达式，化为顶点式，结合的取值范围求出面积最大值． （3）由得出，结合抛物线开口向上及与对称轴位置关系确定初步范围．分点在对称轴右侧和左侧两种情况讨论：点在对称轴右侧时，直接满足条件．点在对称轴左侧时，求出直线与抛物线交点横坐标，再分点在对称轴右侧（满足条件）和左侧（不满足条件）进行分析，最终确定的取值范围． 【小问1详解】 ∵经过点 ∴ ∴； 【小问2详解】 由（1）知，代入抛物线得， ， ∴顶点的坐标为． ∵抛物线经过， 把代入，得， ∴． ∵ ∴点在A，之间 过点作轴交于点， ∵，， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为： ∵轴 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当时的面积有最大值； 【小问3详解】 ∵对于图象上任意两点，，当时，总有， ∴抛物线是单调递增的， ∵点A，在抛物线上，且抛物线开口向上， ∴点必须在抛物线下面，内部才包含的部分图象， ∴点在点的下方， 即， 由（1）可知抛物线的解析式为， ∴， ∴， 解得， ∴点在对称轴直线的右侧， ①当点A也在对称轴的右侧时， 如图所示， ∵，， ∴， ②当点A在对称轴左侧即时， 设与抛物线交于另一点， ∵，， ∴直线的解析式为：， 联立， ∴， ∵， ∴， ①当点在对称轴的右边时， 此时 ∴ 解得 ∴ ②当点在对称轴左侧时 如图所示， ∵抛物线开口向上，对称轴左侧随增大而减小，而在内部，从点到点，增大时减小，从点到对称轴右侧随增大而增大， ∴在内部会出现先减小后增大的情况，不满足当时，总有的条件，舍去． 综上所述或． 25. 如图1，内接于，点E为的内心，连接并延长交于点D，交于点F，连接． （1）若，求的度数． （2）如图2，连接，若，求的长． （3）如图3，连接，若的半径为4，弦，设，求y与x之间的函数关系式及y的最大值． 【答案】（1） （2） （3），y的最大值 【解析】 【分析】本题考查三角形的内心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理； （1）由点E为的内心，可得和是的角平分线，则，，再根据圆周角定理得到，即可得到，最后根据求解； （2）由，，可得，得到，则，，再证明，得到，代入解方程即可； （3）连接交于，连接，过作于，先利用垂径定理求出，则，再根据，得到， ，代入后整理得到，再根据二次函数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：∵点E为的内心， ∴和是的角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：连接交于，连接，过作于， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴当即与重合时，最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $