专题01 二次根式（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题01 二次根式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式的概念与识别（常考重点） 1 题型二、二次根式有意义的条件（必考重点） 2 题型三、含参数的二次根式问题（常考重点） 3 题型四、利用二次根式的性质化简（常考重点） 4 题型五、最简二次根式（常考） 4 题型六、同类二次根式（常考重点） 5 题型七、二次根式的运算（必考重点） 7 题型八、二次根式与分式的化简综合（必考重点） 7 题型九、二次根式的大小比较问题（必考重点） 11 题型十、二次根式的应用（必考重点） 12 B综合攻坚・能力越升 题型一、二次根式的概念与识别（常考重点） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数是非负数，依次对各选项验证即可． 【详解】解：A、∵被开方数，∴不是二次根式，故该选项不符合题意； B、∵该式根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，故该选项不符合题意； C、∵任意实数的平方满足，∴，且根指数为2，满足二次根式的定义，∴一定是二次根式，故该选项符合题意； D、∵当时，，此时无意义，不是二次根式，因此它不一定是二次根式，故该选项不符合题意； 2．下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式． ∵选项A中的根指数为3，是三次根式， ∴A不符合要求． ∵选项B中的被开方数，式子无意义， ∴B不符合要求． ∵选项C中的被开方数可能小于0，此时式子无意义， ∴不是一定为二次根式，C不符合要求． ∵对任意实数，都有， ∴，根指数为2，满足二次根式的定义，一定是二次根式， ∴D符合要求． 3．下列各式中为二次根式的是（   ） A． B． C． D．2025 【答案】B 【分析】二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、的被开方数，无意义，不是二次根式； B、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，是二次根式； C、的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式； D、2025是整数，不是二次根式． 题型二、二次根式有意义的条件（必考重点） 4．要使有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列出不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义，需满足， 解不等式得． 5．若二次根式在实数范围内有意义，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D．5 【答案】D 【详解】解：由题意得：， 解得； 四个选项中，只有D选项满足题意． 6．代数式在实数范围内有意义，的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，利用被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义时，被开方数为非负数， ∴要使有意义，需满足， 解不等式得． 题型三、含参数的二次根式问题（常考重点） 7．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先分解被开方数的质因数，再根据二次根式为整数的要求，即可求出正整数n的最小值； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 要使为整数，则需为完全平方数， ∵，两个质因数的指数都为1，要使为完全平方数，其所有质因数的指数都必须是偶数， ∴正整数n的最小值为． 8．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 9．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 题型四、利用二次根式的性质化简（常考重点） 10．对于式子，计算结果正确的是（    ） A．5 B． C．25 D． 【答案】A 【详解】解：． 11．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A. ，计算正确； B. ，原计算错误； C. ，原计算错误； D. ，原计算错误． 12．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质判断各式是否正确，二次根式中被开方数必须非负，商的算术平方根性质为 ，积的算术平方根性质为． 【详解】解：A选项：，，等式成立； B选项：，和在初中实数范围内无意义，等式不成立； C选项：，，∴，等式不成立； D选项：，等式中无意义，∴结果错误，等式不成立． 题型五、最简二次根式（常考） 13．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件，即被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可 【详解】解：A选项 ==，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B选项 ，没有能开得尽方的因数，也不含分母，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； C选项 =，原式不是最简二次根式； D选项 ==，被开方数含分母，不是最简二次根式 14．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； B．，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式； C．，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式； D．，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式． 15．下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 选项B：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，符合题意； 选项C：的被开方数是小数，即含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 选项D：的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意． 题型六、同类二次根式（常考重点） 16．下列各式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，即化简为最简二次根式后被开方数为，将各选项化简后判断即可． 【详解】解：同类二次根式化简后被开方数相同才可合并 对各选项依次化简： 选项A，，被开方数为，不能与合并； 选项B，，被开方数为，能与合并； 选项C，，被开方数为，不能与合并； 选项D，，被开方数为，不能与合并； 17．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：，则与不是同类二次根式，故A错误； ，则与不是同类二次根式，故B错误； ，则与是同类二次根式，故C正确； ，则与不是同类二次根式，故D错误． 18．若最简二次根式与能够合并，那么的值为（ 　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】能合并的最简二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可得到a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并， ∴两个二次根式的被开方数相等， 即， 移项得， 解得， 检验：当时，且，符合题意． 题型七、二次根式的运算（必考重点） 19．计算： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） 解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （3）先根据二次根式的性质化简，再运算乘除法，最后运算加减法，即可作答． （4）先结合完全平方公式，平方差公式展开，然后去括号，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 21．计算下列各式的值． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先将带分数化为假分数，再计算二次根式的乘除即可； （3）先计算括号里面和除法，再计算加减即可； （4）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 题型八、二次根式与分式的化简综合（必考重点） 22．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先求得和的值，根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式将原式转化为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ． 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】; 【分析】先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，同时对分子分母进行因式分解，约去公因式完成化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时，原式． 24．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； ， 原式 ． 题型九、二次根式的大小比较问题（必考重点） 25．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解： ， ，，， ∵， ∴． 26．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， ∴. 27．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 题型十、二次根式的应用（必考重点） 28．等腰三角形的两条边长为和，则这个三角形的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】等腰三角形未明确腰和底，需分两种情况讨论腰长，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，排除不成立的情况后计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：若腰长为，底边长为， ∵两腰之和为 ， ∵ ，， ∴，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况舍去； 情况2：若腰长为，底边长为， ∵两腰之和，满足三角形三边关系， ∴三角形周长为 ． 29．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定公式分别表示出和，再计算的比值即可得到结果． 【详解】解：由题意得 ，， ． 30．如图，小明家有一块长方形空地，长为 宽为 现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为 宽为 (1)求长方形空地的周长； (2)求小明家种草莓的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方形的周长公式求解即可； （2）小明家种草莓的面积等于长方形的面积减去长方形水池的面积，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， 答：长方形空地的周长为； （2）解： ， 答：小明家种草莓的面积为． 1．下列是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A中的被开方数，无意义，不是二次根式， 选项B中的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义， 选项C、D根指数不为2，不符合二次根式的定义． 2．要使式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，列出不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得． 3．已知、、在数轴上的对应点如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，，，， ∴，，， ∴ ， ， ， ． 4．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的大小，即可得到的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， ， 即． 5．已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 【答案】B 【分析】因为已知，所以先对其进行变形，求出的值，同时推导的整式关系式，用于降次．如果得到的整式关系式，那么利用该关系式对进行降次化简，最后将降次后的结果与的计算结果合并，代入求值． 【详解】解：已知 ， 移项，得 ， 两边平方，得， 展开得， ∴ ， ∴， ∴ ． 对 分母有理化， ∴ ∴ 原式． 6．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的减法运算法则求解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．求代数式的值：，其中． 【答案】 【分析】原式将除法转换为乘法，约分后得，再通分可得，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 8．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：_____． (2)计算：． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)2026 (3)10 【分析】（1）根据分母有理化的方法，进行求解即可； （2）先分母有理化，然后根据实数混合运算法则，进行计算即可； （3）先变形为，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：∵，， ∴ ． 9．阅读理解：已知，为非负实数，因为 ，所以 ，当且仅当时，等号成立，这个结果就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例如：已知，求代数式的最小值． 解：令， ，则由，得 当且仅当 ，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． (2)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ． (3)某物流公司的一辆货车要从甲地匀速开往乙地，两地相距千米．根据经验，该货车每小时的耗油成本 与行驶速度 的平方成正比，比例系数为 ；而司机的工资、车辆折旧等其他固定成本为每小时元．设货车从甲地到乙地的总成本为元，为了使总成本最低，货车的行驶速度应为多少千米小时？此时的最低总成本是多少元？(注：假设道路限速允许该速度行驶) 【答案】(1)正数时，代数式有最小值，最小值为 (2)， (3)当货车的行驶速度为时，总成本最低，最低成本是元 【分析】（1）根据例题求得代数式的最小值； （2）根据，进而求得，即可求解． （3）根据题意得出，进而求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：令 ，则由，得 当且仅当 ，即正数时，代数式有最小值，最小值为8． （2）解： 当且仅当时， ∴， 又∵ ∴ ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （3）由题意得： 当且仅当时，即 当货车的行驶速度为时，总成本最低，最低成本是120元． 10．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，已知点A，画一个，使它的三边长分别为，，； (2)请判断的形状并说明理由； (3)在（1）的条件下，求点A到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用勾股定理结合网格画出，使得，，即可； （2）根据勾股定理逆定理即可解答； （3）过点作，交于点，则即为点到直线的距离，利用等面积法计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， （3）解：过点作，交于点，则即为点到直线的距离． ， 由（1）可得：是直角三角形，， ∵， ∴，即点到直线的距离为． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式的概念与识别（常考重点） 1 题型二、二次根式有意义的条件（必考重点） 1 题型三、含参数的二次根式问题（常考重点） 1 题型四、利用二次根式的性质化简（常考重点） 2 题型五、最简二次根式（常考） 2 题型六、同类二次根式（常考重点） 2 题型七、二次根式的运算（必考重点） 3 题型八、二次根式与分式的化简综合（必考重点） 4 题型九、二次根式的大小比较问题（必考重点） 4 题型十、二次根式的应用（必考重点） 4 B综合攻坚・能力越升 题型一、二次根式的概念与识别（常考重点） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中为二次根式的是（   ） A． B． C． D．2025 题型二、二次根式有意义的条件（必考重点） 4．要使有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．若二次根式在实数范围内有意义，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D．5 6．代数式在实数范围内有意义，的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型三、含参数的二次根式问题（常考重点） 7．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 9．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型四、利用二次根式的性质化简（常考重点） 10．对于式子，计算结果正确的是（    ） A．5 B． C．25 D． 11．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 12．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 题型五、最简二次根式（常考） 13．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 14．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 15．下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 题型六、同类二次根式（常考重点） 16．下列各式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 17．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 18．若最简二次根式与能够合并，那么的值为（ 　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型七、二次根式的运算（必考重点） 19．计算： (1)； (2) (3)； (4) 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．计算下列各式的值． (1) (2) (3) (4) 题型八、二次根式与分式的化简综合（必考重点） 22．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 23．先化简，再求值：，其中． 24．先化简，再求值：，其中． 题型九、二次根式的大小比较问题（必考重点） 25．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 26．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 27．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 题型十、二次根式的应用（必考重点） 28．等腰三角形的两条边长为和，则这个三角形的周长为（   ） A． B． C． D．或 29．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 30．如图，小明家有一块长方形空地，长为 宽为 现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为 宽为 (1)求长方形空地的周长； (2)求小明家种草莓的面积． 1．下列是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．要使式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知、、在数轴上的对应点如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 4．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 6．计算： (1) (2) 7．求代数式的值：，其中． 8．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：_____． (2)计算：． (3)已知，，求的值． 9．阅读理解：已知，为非负实数，因为 ，所以 ，当且仅当时，等号成立，这个结果就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例如：已知，求代数式的最小值． 解：令， ，则由，得 当且仅当 ，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． (2)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ． (3)某物流公司的一辆货车要从甲地匀速开往乙地，两地相距千米．根据经验，该货车每小时的耗油成本 与行驶速度 的平方成正比，比例系数为 ；而司机的工资、车辆折旧等其他固定成本为每小时元．设货车从甲地到乙地的总成本为元，为了使总成本最低，货车的行驶速度应为多少千米小时？此时的最低总成本是多少元？(注：假设道路限速允许该速度行驶) 10．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，已知点A，画一个，使它的三边长分别为，，； (2)请判断的形状并说明理由； (3)在（1）的条件下，求点A到直线的距离． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $