第十一章 二次根式（知识清单）数学新教材苏科版八年级下册

第十一章 二次根式 一、二次根式的概念 1. 一般地,我们把形如 的式子叫作二次根式,可以是一个 ,也可以是一个 .当是一个非负数时,表示的 . 2.（1）二次根式有意义条件：当 时，有意义； （2）二次根式无意义条件：当 时，无意义； （3）二次根式值为0条件：当 时，的值为0. 二、二次的性质： 1.二次根式性质1： 2.二次根式性质2： 3.二次根式性质3： 4.二次根式性质4： . 三、二次根式的运算： 1.二次根式的乘法： 2.二次根式的除法： 3.二次根式的加减：二次根式相加减,先化简每个二次根式,然后合并同类二次根式. 四、二次根式的分母有理化： 当一个根式的被开方数是分数或分式时,只要分子、分母都乘适当的数或式,就可以使被开方数中不含分母 . 当一个式子的分母中有根号时,分子、分母都乘适当的数或式,可以使分母中不含有根号 。 上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化 . 五、最简二次根式： 1.最简二次根式的概念： 一般地,如果一个二次根式满足: (1) ; (2) ；这样的二次根式叫作最简二次根式。 2.将一个二次根式化成最简二次根式的步骤和方法： 化简含二次根式的代数式时,一般先通过 使得代数式的分母中 ,然后将其中的每个二次根式化为 . 3.同类二次根式：经过化简,可以使 相同的二次根式,叫作同类二次根式. 一、二次根式的概念的理解： 错误：认为只要是的都是二次根式． 注意：根据二次根式的定义可知， 的式子叫作二次根式，这里要求被开方数,所以判断一个式子是不是二次根式要满足两个条件，一是要有二次根号，二是被开方数必须为非负数。一般被开方数含有字母的要注明字母的取值范围，除非能保证被开方数为非负，例如，很显然被开方数为大于等于1的数，无论这里的取什么数，这样可以无需注明范围。 二、二次根式的性质 1.错误：认为． 注意：很显然是错误的，例如。 所以，化简二次根式时，一定要注意。 2.错误：认为“”是相同的 注意：这里的两个式子有三点不同：一是运算的顺序不同，第一个式子是对先开方再平方，第二个式子是先平方，再开方；第二个不同是对 的要求不同，中的,而中的可以是任何实数；第三点不同是运算的结果不同，，。 三、二次根式的运算 注意：二次根式的运算包括二次根式的加、减、乘、除、乘方、分母有理化等，二次根式的运算一般需要综合运用各种运算律、运算法则和运算性质.所以把握运算的顺序，熟练掌握二次根式的运算法则和性质，灵活使用运算律是解决二次根式运算问题的关键。 知识点1训练：利用二次根式的概念识别二次根式 1．下列各式中为二次根式的是（   ） A． B． C． D．2025 2．下列式子中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 知识点2训练：二次根式有意义的条件 4．若二次根式有意义，则x可以取的数值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．要使式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 知识点3训练：利用二次根式的性质化简二次根式 7．的值为_____． 8．________． 9．计算：_____． 知识点4训练：求二次根式的值 10．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．当时，二次根式的值为____________． 12．当时，二次根式的值是_______． 知识点5训练：求二次根式中的参数 13．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 14．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 15．若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点6训练：最简二次根式的概念 16．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 17．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 18．下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 知识点7训练：二次根式的加减运算 19．计算： (1)； (2)； (3)． 20．计算： (1)； (2)． 21．计算： (1)； (2)． 知识点8训练：同类二次根式的概念与识别 22．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 23．若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值是（    ） A．14 B．5 C．2 D． 24．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 知识点9训练：二次根式的乘除运算 25．计算： (1)； (2)． 26．计算： (1)； (2)． 27．计算： (1)； (2)； (3)． 知识点10训练：二次根式的混合运算 28．计算： (1) (2) 29．计算： (1)； (2)． 30．计算： (1)； (2)． 知识点11训练：已知字母的值（含二次根式），求代数式的值 31．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 32．先化简，再求值：，其中． 33．先化简，再求值：，其中． 知识点12训练：比较二次根式的大小 34．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 35．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 36．我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9； (2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 二次根式 一、二次根式的概念 1. 一般地,我们把形如 的式子叫作二次根式,可以是一个数,也可以是一个代数式 .当是一个非负数时,表示的算术平方根 . 2.（1）二次根式有意义条件：当时，有意义； （2）二次根式无意义条件：当时，无意义； （3）二次根式值为0条件：当时，的值为0. 二、二次的性质： 1.二次根式性质1： 2.二次根式性质2： 3.二次根式性质3： 4.二次根式性质4：. 三、二次根式的运算： 1.二次根式的乘法： 2.二次根式的除法： 3.二次根式的加减：二次根式相加减,先化简每个二次根式,然后合并同类二次根式. 四、二次根式的分母有理化： 当一个根式的被开方数是分数或分式时,只要分子、分母都乘适当的数或式,就可以使被开方数中不含分母 . 当一个式子的分母中有根号时,分子、分母都乘适当的数或式,可以使分母中不含有根号 。 上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化 . 五、最简二次根式： 1.最简二次根式的概念： 一般地,如果一个二次根式满足: (1)被开方数中不含分母; (2)被开方数写成乘积形式时,不含能开得尽方的因数或因式；这样的二次根式叫作最简二次根式。 2.将一个二次根式化成最简二次根式的步骤和方法： 化简含二次根式的代数式时,一般先通过分母有理化使得代数式的分母中不含二次根式,然后将其中的每个二次根式化为最简二次根式. 3.同类二次根式：经过化简,可以使被开方数相同的二次根式,叫作同类二次根式. 一、二次根式的概念的理解： 错误：认为只要是的都是二次根式． 注意：根据二次根式的定义可知， 的式子叫作二次根式，这里要求被开方数,所以判断一个式子是不是二次根式要满足两个条件，一是要有二次根号，二是被开方数必须为非负数。一般被开方数含有字母的要注明字母的取值范围，除非能保证被开方数为非负，例如，很显然被开方数为大于等于1的数，无论这里的取什么数，这样可以无需注明范围。 二、二次根式的性质 1.错误：认为． 注意：很显然是错误的，例如。 所以，化简二次根式时，一定要注意。 2.错误：认为“”是相同的 注意：这里的两个式子有三点不同：一是运算的顺序不同，第一个式子是对先开方再平方，第二个式子是先平方，再开方；第二个不同是对 的要求不同，中的,而中的可以是任何实数；第三点不同是运算的结果不同，，。 三、二次根式的运算 注意：二次根式的运算包括二次根式的加、减、乘、除、乘方、分母有理化等，二次根式的运算一般需要综合运用各种运算律、运算法则和运算性质.所以把握运算的顺序，熟练掌握二次根式的运算法则和性质，灵活使用运算律是解决二次根式运算问题的关键。 知识点1训练：利用二次根式的概念识别二次根式 1．下列各式中为二次根式的是（   ） A． B． C． D．2025 【答案】B 【分析】二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、的被开方数，无意义，不是二次根式； B、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，是二次根式； C、的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式； D、2025是整数，不是二次根式． 2．下列式子中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式需要满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，两个条件同时满足才一定是二次根式． 【详解】解：选项A的根指数为3，是三次根式，不满足二次根式定义，∴A不符合要求； 选项B中，被开方数，式子无意义，∴B不符合要求； 选项C中，根指数为2，被开方数，满足二次根式的定义，一定是二次根式，∴C符合要求； 选项D中，当时，无意义，不是二次根式，因此不一定是二次根式，∴D不符合要求． 3．下列是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A中的被开方数，无意义，不是二次根式， 选项B中的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义， 选项C、D根指数不为2，不符合二次根式的定义． 知识点2训练：二次根式有意义的条件 4．若二次根式有意义，则x可以取的数值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数非负，列出不等式求解的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴x可以取的数值是． 5．要使式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，列出不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得． 6．若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件、一元一次不等式．根据被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式即可． 【详解】解：由题意，得 ． ． 知识点3训练：利用二次根式的性质化简二次根式 7．的值为_____． 【答案】6 【详解】解：． 8．________． 【答案】 3 【分析】先计算被开方数的乘方运算，再根据算术平方根的定义计算结果． 【详解】解： = =． 9．计算：_____． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质化简，先判断的符号，再根据绝对值的性质去绝对值即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质，得 = ， ， 根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，得． 知识点4训练：求二次根式的值 10．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 11．当时，二次根式的值为____________． 【答案】 【分析】把代入求解即可． 【详解】解：当时，． 12．当时，二次根式的值是_______． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 知识点5训练：求二次根式中的参数 13．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先分解被开方数的质因数，再根据二次根式为整数的要求，即可求出正整数n的最小值； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 要使为整数，则需为完全平方数， ∵，两个质因数的指数都为1，要使为完全平方数，其所有质因数的指数都必须是偶数， ∴正整数n的最小值为． 14．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 15．若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，结合为整数的要求，得出是非负完全平方数，列举所有符合条件的完全平方数，即可得到满足要求的自然数的个数． 【详解】∵是二次根式， ∴，可得， 又∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴是非负完全平方数，满足条件的可取， 对应得到的值为，均为自然数， ∴满足条件的自然数共有个． 知识点6训练：最简二次根式的概念 16．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项：=，被开方数含分母，不是最简二次根式， B选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， C选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式， D选项：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 17．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义，判断各选项是否满足“被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，即可得到答案． 【详解】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式； B、的被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 18．下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟记其定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义“被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式”，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：∵A、==，被开方数含分母，不满足最简二次根式定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； B、==，被开方数含能开得尽方的因数，不满足定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； C、=，被开方数含分母，不满足定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； D、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，故选项是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 知识点7训练：二次根式的加减运算 19．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 知识点8训练：同类二次根式的概念与识别 22．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 观察选项，只有的被开方数为， 故选：B ． 23．若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值是（    ） A．14 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】先化简已知二次根式，再根据同类二次根式定义列方程求解即可． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 24．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：，则与不是同类二次根式，故A错误； ，则与不是同类二次根式，故B错误； ，则与是同类二次根式，故C正确； ，则与不是同类二次根式，故D错误． 知识点9训练：二次根式的乘除运算 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照二次根式乘除运算法则逐步计算，然后合并即可； （）利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】根据二次根式乘法法则和除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 知识点10训练：二次根式的混合运算 28．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式的乘除运算法则化简，再合并同类二次根式即可； （2）结合平方差公式、完全平方公式展开计算，最后进行加减计算即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2）解：原式 ． 29．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 知识点11训练：已知字母的值（含二次根式），求代数式的值 31．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先求得和的值，根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式将原式转化为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ． 32．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式； 当时，原式． 33．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； ， 原式 ． 知识点12训练：比较二次根式的大小 34．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解： ， ，，， ∵， ∴． 35．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， ∴. 36．我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9； (2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方法比较大小即可； （2）构造三边为， 的三角形，根据三边关系比较大小即可；根据平方法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：构造线段法：如图； ， ； 平方法：， ， ， ． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $