精品解析：湖南衡阳市衡州高级中学2025-2026学年下学期二调考试高一年级数学试题

2025-2026学年下学期二调考试 高一年级数学试题 本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共计 150分，考试时间 120 分钟； 第Ⅰ卷（选择题 58 分） 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 在复平面内，复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，．若，则（ ） A. B. C. D. 6 3. 如图，在平行四边形中，E为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 圆台的上下底面半径为2和3，圆台的高为，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的3倍，则其底面圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题（每题6分，部分选对得部分分，选错得零分，共计18分） 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 10. 已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 单位向量都相等 C. 方向相反的两个非零向量一定共线 D. 若，满足，且与同向，则 11. 已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（ ） A. B. 当为中线时， C. 当为高线时， D. 当为角平分线时， 第Ⅱ卷（非选择题 92分） 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 已知向量，若，则_____． 13. 如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有____________条． 14. 在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 四、解答题（15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分，共计77分） 15. 已知复数，求满足下列条件的实数的值： （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）在复平面内对应的点位于第三象限． 16. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 17. 已知平面向量，，，且， （1）求在方向上的投影向量； （2）求与的夹角. 18. 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 19. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求的值； （2）已知． （i）若的外接圆半径为，，求的值； （ii）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期二调考试 高一年级数学试题 本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共计 150分，考试时间 120 分钟； 第Ⅰ卷（选择题 58 分） 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 在复平面内，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由共轭复数定义即可得. 【详解】由，则. 2. 已知，．若，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行向量坐标关系计算求解. 【详解】因为，且，则，即. 3. 如图，在平行四边形中，E为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】E为的中点，， 是平行四边形，， . 4. 用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直观图画法得底不变，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果. 【详解】根据斜二测画法的特征，可得底不变，为4，高为 ， 所以直观图的面积是. 故选：A 5. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】，，故的虚部为. 6. 圆台的上下底面半径为2和3，圆台的高为，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算得解. 【分析】圆台的体积为. 故选：D 7. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理计算即可求解. 【详解】在中，； 由余弦定理，解得，即. 故选： 8. 已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的3倍，则其底面圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，然后根据题意列方程组，从而可求得结果． 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为， 因为圆锥的体积是，其侧面积是底面积的3倍， 所以即，解得． 二、多选题（每题6分，部分选对得部分分，选错得零分，共计18分） 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的概念可判定A，利用复数的除法运算及几何意义可判定B，根据共轭复数的定义可判定C，利用复数的模长公式可判定D. 【详解】因为是纯虚数，所以A正确； 因为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确； 因为的共轭复数为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：AC 10. 已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 单位向量都相等 C. 方向相反的两个非零向量一定共线 D. 若，满足，且与同向，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，单位向量的模为，但是方向不一定相同，故B错误； 对于C，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故C正确； 对于D，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故D错误； 故选：BD 11. 已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（ ） A. B. 当为中线时， C. 当为高线时， D. 当为角平分线时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用以及正弦定理可求，判断A；利用剩余两个条件可求，再利用余弦定理求出，利用判断B；利用等面积判断C；利用 判断D. 【详解】由以及正弦定理可得，，得，故A正确； 因为的面积为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以，则，则， 在中利用余弦定理可得，， 则， 当为中线时，，则， 即，得，故B正确； 当为高线时，，得，故C错误； 当为角平分线时，则， 由，得， 则，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题 92分） 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 已知向量，若，则_____． 【答案】2 【解析】 【详解】由题意得，，解得． 13. 如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有____________条． 【答案】6 【解析】 【分析】根据异面直线定义分别列举即可求得答案. 【详解】与直线有公共点的棱均与直线不异面，有共6条， 与直线异面的棱有，共6条. 故答案为：6 14. 在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合相等向量的意义求解. 【详解】由点A，B，C对应的复数分别为，，，得，则， 设，则，由， 得，则，解得， 所以点D表示的复数为. 故答案为： 四、解答题（15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分，共计77分） 15. 已知复数，求满足下列条件的实数的值： （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）在复平面内对应的点位于第三象限． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】根据复数的概念以及几何意义，建立方程与不等式，可得答案. 【小问1详解】 由题意，得，解得或． 【小问2详解】 由题意，得解得． 【小问3详解】 由，解得，所以． 16. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 【答案】（1）； （2）； （3）正三角形． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答. （2）代入给定等式计算作答. （3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由，及，得， 所以. 【小问3详解】 由及，得，则，由（1）知， 所以为正三角形. 17. 已知平面向量，，，且， （1）求在方向上的投影向量； （2）求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行及垂直的坐标表示及投影向量的定义可得； （2）根据向量的坐标运算分别求得与的坐标，利用向量数量积的定义及其坐标表示求得与夹角的余弦值，即可求得与的夹角. 【小问1详解】 ，，解得. . ，，. . ， . 所以在方向上的投影向量为． 【小问2详解】 由（1）知，，， ，，. 设，的夹角为，则：. ， 即向量与向量的夹角为． 18. 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的侧面积和体积公式直接计算即可； （2）将三角形旋转到，使得和轴截面共面，根据三点共线时，取得最小值即可求解. 【小问1详解】 由题知，底面半径为2，母线长为4， 所以圆柱的侧面面积， 圆柱的体积. 【小问2详解】 记底面圆心为O，连接， 因为底面半径为2，， 将三角形旋转到，使得和轴截面共面，如图： 则， 当三点共线时，取得最小值. 19. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求的值； （2）已知． （i）若的外接圆半径为，，求的值； （ii）求的值． 【答案】（1） （2）（i），；（ii） 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理将边化为角后结合两角差的正弦公式可得，；（i）利用同角三角函数基本关系可得，再利用正弦定理即可得，则可得、；（ii）利用三角形内角和与二倍角公式可得、，再利用两角和的余弦公式计算即可得. 【小问1详解】 由，整理得， 由余弦定理，故； 【小问2详解】 由正弦定理可得，由，则， 即，所以，； （i）由，故， 由正弦定理可得，故，则，故； （ii）由可知，故，，由， ， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $