湖南衡阳市衡州高级中学2025-2026学年下学期二调考试高一年级数学试题

**基本信息** 覆盖复数、向量、立体几何、解三角形等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查空间观念、运算能力与推理意识，适配高一年级期中检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|复数运算、向量共线、斜二测画法面积|基础概念辨析，如复数虚部求解| |多选|3题18分|复数性质、向量命题判断|选项分层，如向量共线与单位向量辨析| |填空|3题15分|向量垂直、正方体异面直线、复平面向量|空间想象与符号运算结合，如异面直线计数| |解答题|5题77分|复数分类、解三角形多问、圆柱体积与最值|分层设问，如16题结合余弦定理判断三角形形状，18题空间最值考查直观想象|

2025-2026学年下学期二调考试 高一年级数学试题 本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共计 150分，考试时间 120 分钟； 第Ⅰ卷（选择题 58 分） 1、 单选题（每题5分，共计40分） 1．在复平面内，复数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，．若，则（    ） A． B． C． D．6 3．如图，在平行四边形中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 5．已知复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 6．圆台的上下底面半径为2和3，圆台的高为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 7．在中，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的3倍，则其底面圆的半径为（    ） A． B．2 C． D． 2、 多选题（每题6分，部分选对得部分分，选错得零分，共计18分） 9．已知复数，，则（    ） A．是纯虚数 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D． 10．已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（    ） A．若，则 B．单位向量都相等 C．方向相反的两个非零向量一定共线 D．若，满足，且与同向，则 11．已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（   ） A． B．当为中线时， C．当为高线时， D．当为角平分线时， 第Ⅱ卷（非选择题 92分） 3、 填空题（每题5分，共计15分） 12．已知向量，若，则_____． 13．如右图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有____________条． 14．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 四、解答题（15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分，共计77分） 15．已知复数， (1)为实数，求实数的值； (2)为纯虚数，求实数的值； (3)在复平面内对应的点位于第三象限，求m的范围． 16．在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，判断的形状． 17．已知平面向量，，，且， (1)求在方向上的投影向量； (2)求与的夹角. 18．如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 19．在中，角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)已知． （i）若的外接圆半径为，，求的值； （ii）求的值 2025-2026学年下学期二调考试 高一年级数学试题答案 1．D【详解】由，则. 2．B【详解】因为，且，则，即. 3．B【详解】E为的中点，，是平行四边形，， . 4．A【详解】根据斜二测画法的特征，可得底不变，为4，高为 ， 所以直观图的面积是.故选：A 5．A【详解】，，故的虚部为. 6．D【分析】圆台的体积为.故选：D 7．B【详解】在中，； 由余弦定理，解得，即.故选： 8．A【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为， 因为圆锥的体积是，其侧面积是底面积的3倍， 所以即，解得． 9．AC【详解】因为是纯虚数，所以A正确； 因为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确； 因为的共轭复数为，所以C正确； 因为，所以D不正确．故选：AC 10．BD【详解】对于A，若，则，故A正确；对于B，单位向量的模为，但是方向不一定相同，故B错误；对于C，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故C正确；对于D，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故D错误；故选：BD 11．ABD【详解】由以及正弦定理可得，，得，故A正确； 因为的面积为，所以，即，因为，所以，因为，所以，则，则， 在中利用余弦定理可得，， 则，当为中线时，，则， 即，得，故B正确； 当为高线时，，得，故C错误； 当为角平分线时，则， 由，得， 则，故D正确.故选：ABD 12．2【详解】由题意得，，解得． 13．6【详解】与直线有公共点的棱均与直线不异面，有共6条，与直线异面的棱有，共6条.故答案为：6 14．【详解】由点A，B，C对应的复数分别为，，，得，则，设，则，由， 得，则，解得，所以点D表示的复数为. 15．(1)或(2)(3) 【详解】（1）由题意，得，解得或．------------------------------4分 （2）由题意，得解得．--------------------------------------------------8分 （3）由，解得，所以．---------------------------13分 16．(1)；(2)；(3)正三角形． 【详解】（1）在中，由及余弦定理得，-----3分 而，-----------------------------------------------------------------------------------------------4分 所以.-------------------------------------------------------------------------------------------------5分 （2） 由，及，-----------------------------------------------------------7分 得， 所以.------------------------------------------------------------------------------------------------9分 （3） 由及，得，则，-------------------------------13分 由（1）知，所以为正三角形.-------------------------------------------------------15分 17．(1)(2) 【详解】（1），，解得.--------------------------------------------2分 . ，，.-------------------------------------------------------------4分 . ，------------------------------------------------------------------------------6分 . 所以在方向上的投影向量为．-------------------------------------------------------------------7分 （2） 由（1）知，， ，----------------------------------------------------------------------9分 ，，.--------------11分 设，的夹角为，则：.--------------------------------------13分 ， 即向量与向量的夹角为．----------------------------------------------------------------------15分 18．(1)，；(2). 【详解】（1）由题知，底面半径为2，母线长为4， 所以圆柱的侧面面积，-----------------------------------------------------------------4分 圆柱的体积.-------------------------------------------------------------------------------7分 （2）记底面圆心为O，连接， 因为底面半径为2，， 将三角形旋转到，使得和轴截面共面，----------------------------------10分 如图： 则，---------------------------------------------------------------------------12分 当三点共线时，取得最小值----------------------------------------------------14分 .-----------------------------------------------------------------------------------------17分 19．(1)(2)（i），；（ii） 【详解】（1）由，整理得， 由余弦定理，故；-----------------------------------------------------4分 （2）由正弦定理可得，由，则， 即，所以，；---------------------------------------------------------------6分 （i）由，故，------------------------------------------------------8分 由正弦定理可得，故，则，故；------------11分 （ii）由可知， 故，-----------------------------------------------------------------12分 ，----------------------------------------------------------------------------------13分 由，---------------------------------------------------------------------14分 ，---------------------------------------------------------------------15分 故-----------17分 第 1 页 共 1 页 高一年级数学学科 学科网（北京）股份有限公司 $