17.专题复习卷(三)因式分解、分式与分式方程-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）山西专版

真题圈数学 专题复习卷 八年级下3B 17.专题复习卷（三） 湘 因式分解、分式与分式方程 尽 图细 命题点一因式分解 彐期 1.(月考·24-25山大附中)将多项式-4a2+16a2+12a分解因式， 应提取的公因式是() A.4a B.4a2 C.-4a D.-4a 2.(期中·24-25山西省实验)下列因式分解中正确的是( A.a4-8a2+16=(a-4)2 B.-a2+4a-4=-(a-2)2 C.x(a-b)-y(b-a)=(a-b)(x-y) D.a4-b4=(a2+b2)(a2-b2) 3.（期末·22-23太原)下列多项式中，能用平方差公式分解因 製 式的是( ) A.x2-4x B.x2-4x+4 C.x2-4 D.x2+4 4.情境题某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4■=(x2+4)· (x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的 组数字可以是( A.8,1 B.16,2 C.24,3 D.64,8 靴 5.(期末·24-25大同改编)因式分解： 金星教有 (1)2a3-12a2+18a= 总 (2)m2(m-n)+16(n-m)= 6.方法探索由多项式乘法：(mx+a)(x+b)=mnx2+(na+mb)x +ab,将该式子从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因 龄 式分解的公式：mnx2+(na+mb)x+ab=(mx+a)(x+b),利用这 种方法，将下列多项式分解因式： (1)x2+7x+10= (2)2y2-5y+2= 加 阳 (3)-x2+7x+18= 题 7.(期末·23-24长治)阅读下列材料，并完成相应的任务 数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还 有很多的多项式只用上述方法无法分解，如“m2-mn+2m-2n”,细心 观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取 公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后提取公 因式就可以完成整个式子的因式分解了，其过程如下： 续表 m2-mn+2m-2n=(m2-mn)+(2m-2n)=m(m-n)+2(m-n)=(m- n)(m+2) 此种因式分解的方法叫作“分组分解法”. 任务：(1)因式分解：a3-3a2+2a-6. (2)已知m+n=-5,m-n=2,求m2-n2+9m-9n的值. 命题点二因式分解的应用 8.已知一个三角形的三边长m,n,p满足m2-12m+36+√p-8+ (n-10)2=0,则这个三角形的面积为( A.12 B.60 C.48 D.24 9.若x,y满足+2=3，则代数式-4的值为( x-2y=-2, A.6 B.-6 C.5 D.-5 10.（模考·2023山西省实验)若三角形的三边长分别为a,b,c, 且满足ab-ac=b2-bc,则这个三角形一定是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 11.情境题在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式 分解”法生成的密码，方便记忆.如将x2-9因式分解的结果 为(x-3)(x+3),取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3= 10,x+3=16,由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方 式将x3-x因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码， 他设置的密码可能是( A.151416B.151515C.141514D.131415 12.(期末·22-23运城盐湖区)已知x+y=5,x2-y2=15,则x-y 13.(模考·2023太原五中二模)计算：40372-8072×2019 —53 14.方法探索（月考·24-25太原三十七中改编）“我们把多项 式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2叫作完全平方式”，如果一个多项 式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当 的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子 的值不变，这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决 数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分 解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大 值、最小值等问题 例如：x2+2x-3=(x2+2x+1)-4 2x2+4x-6=2(x2+2x+1)-8 =(x+1)2-4 =2(x+1)2-8, =(x+1+2)(x+1-2) 则当x=-1时，2x2+4x-6有最小 =(x+3)(x-1) 值，最小值是-8. 根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：x2-5x-6= (2)当x为何值时，多项式-2x2-8x+3有最大值？并求出这 个最大值， 命题点三分式 15.下列x的值中，使分式-2无意义的是( x-3 A.3 B.-3 C.2 D.-2 16.（月考·23-24大同一中)下列各式从左到右的变形正确 的是( A.x+1=x B. "y+1-y xy y C.=x2 D.x-Y_x-y y y2 -x+y x+y 17(月考·24-25太原师院附中）246。·十号的结果 是() A.0-2 B. C.a+2 D.a-2 a+3 a+3 a+3 a-3 18.(期末·24-25阳泉)已知M表示一个整式，若普是最简分 式，则整式M可以是( A.8 B.7x C.x-5 D.x-x2 19.如果分式-9的值为0，那么x的取值是 x+3 20.程序运算（月考·22-23山西省实验）有一个计算程序，每次 运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进 行，这种运算的过程如下： /输入第1次 2x 2y1 =中第2次4=+第3次 2y2 y=y+1 第20题图 则第4次运算的结果y4= (用含x的代数式表示) 21.(模考·2024运城一模)先化简再求值：(1-x中)÷ -且为正雅数 2x-6<0, 其中x满足不等式组 22.数学归纳数式规律（月考·23-24山西省实验）观察下列各 6=56 精 (1)由此可推断：方- 金星教 (2)依据上式规律， 1 m(m+1) 2 n m(m+2) 'm(m+n) 1 2 (3)计算：Gc-3x-2(x-3x-+(x-2x-可 命题点四分式方程 23.(期末23-24选城益湖区)解分式方程：号+2=品 x-2 可知方程() A.解为x=4 B.解为x=3 C.解为x=2 D.无解 24.新定义试题对于实数a,b,定义一种新运算“⑧”：a☒b= 306例如：1因3=3x=-名则方程x⑧(-2)- 42x-1的解是 A.x=号 Bx=-3C.x=月 D.x=-子 25.小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清 楚：吕2+3=小华的妈妈说：“我有到标准答案是： 方程的增根是x=2,原分式方程无解.”请你求出原分式方 程中“？”代表的数是 26.(月考·24-25太原三十七中节选)解方程：(1)2=4 ）x白x- (2)2-+,1=1. x-33-x 27.（月考·24-25太原师院附中改编)学校为给师生增加阅读 空间，在走廊设置学科延伸阅读区，提供更丰富的书籍资 源.现需购进弧形和直角两种书架，弧形书架的单价比直角 书架的单价高20%.已知用18000元购买弧形书架的数量比 用9000元购买直角书架的数量多6个，求弧形书架和直角 书架的单价 28.（期末·23-24阳泉)下面是小颖同学解分式方程的过程，请 认真阅读并完成相应任务. 解方程：-6-2=2x x2-9 3-x —54 方程两边同乘 ,得x-6-2(x2-9)=-2x(x+3) …第一步 去括号，得x-6-2x2+18=-2x2_6x.…第二步 移项、合并同类项，得7x=-12.…第三步 系数化为1，得x=- 7 …第四步 所以x=-是原方程的解.… 7 …第五步 (1)任务一：第一步横线处所填的内容为 ,这一步的 依据为 (2)任务二：在小组组长的引导下，小颖反思上述解答过程缺 少了一步，请你补全这一步 多 (3)任务三：在解分式方程的过程中，需要注意哪些事项，请 你写出一条，并与同学们分享. 29.情境题（月考·22-23山西省实验）开学初，学校从某商场 购买了A,B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500 元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数 量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足 球比购买一个A品牌的足球多花30元. (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元。 (2)另一所学校计划购进A,B两种品牌的足球共50个.恰 逢这个商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售 价比开学初购买时提高了8%，B品牌足球按开学初购买时 售价的九折出售.如果这所学校此次购买A,B两种品牌足 球的总费用不超过3312元，那么该学校此次最多可购买多 少个B品牌足球？24.18【解析设安排完女生后剩余x个房间，则共有男生(2x+8) 人.由题意，得亿x+8》--)≥斗解得4x≤5.5 (2x+8)-4(x-1)<4, x为正整数，x=5,.2x+8=18. 故答案为18 25.【解】设购买x个画板，则购买(10-x)盒画笔， 依题意，得15x+17(10-x)≤157， 解得x≥13 又，x为正整数，.x的最小值为7. 答：最少购买画板7个. 26.【解】(1)设A型篮球的单价为x元，B型篮球的单价为y元. 依题意得 ∫50x+20y=500,解得r=60, y=x+40, y=100. 答：购买一个A型篮球需要60元，购买一一个B型篮球需要100元， (2)设第二次购买A型篮球a个，则购买B型篮球(50-a)个. 60a+100(50-a)≤4600， 依题意得 50-a≥4a 解得10≤a≤40. ∴.A型篮球数量不少于10个且不超过40个 (3)①当10≤a≤20时，30≤50-a≤40， w=60a+100×0.8(50-a)=-20a+4000, .-20<0,∴.w随a的增大而减小， ∴.当a=20时，w最少=3600. ②当20<a<30时，20<50-a<30, w=60a+100(50-a)=-40a+5000, .-40<0,∴.w随a的增大而减小， 当a=29时，w少=3840. ③当30≤a≤40时，10≤50-a≤20， w=60×0.9a+100(50-a)=-46a+5000, -46<0,∴w随a的增大而减小， ∴.当a=40时，w最珍=3160. .3160<3600<3840, ∴购买40个A型篮球，10个B型篮球，总花费w最少，最少 费用为3160元. 17.专题复习卷（三）因式分解、分式与分式方程 1.D 2.B【解析】A.a-8a2+16=(a2-4)2=(a+2)2(a-2)2,原写法错 误，不符合题意；B.-a2+4a-4=-(a-2)2,原写法正确，符合题 意；C.x(a-b)-y(b-a)=(a-b)(x+y),原写法错误，不符合题意； D.a-b4=(a2+b2)(a2-b2)=（a2+b2)(a+b)(a-b),因式分解不彻 底，不符合题意.故选B. 3.C【解析】A.x2-4x=x(x-4):B.x2-4x+4=（x-2)2;C.x2-4= (x+2)(x-2):D.x2+4在实数范围内不能分解因式.故选C. 4.B【解析】.(x2+4)(x+2)(x-2)=(x2+4)(x2-4)=x4-16, .■为16，▲为2.故选B 5.(1)2a(a-3)2(2)(m-n)(m+4)(m-4) 【解析】(1)原式=2a(a2-6a+9)=2a(a-3)2. (2)原式=m2(m-n)-16(m-n)=(m-n)(m2-16)= (m-n)(m+4)(m-4). 故答案为(1)2a(a-3)2;(2)(m-n)(m+4)(m-4). 6.(1)(x+2)(x+5)(2)(2y-1)(y-2)(3)(x-9)(-x-2) 7.【解】(1)a3-3a㎡2+2a-6=a2(a-3)+2(a-3)=(a-3)(a㎡2+2) (2)m2-n2+9m-9n=(m+n)(m-n)+9(m-n)=(m-n)(m+n+9) ,m+n=-5,m-n=2, ,.原式=(m-n)(m+n+9)=2×(-5+9)=8. 8.D【解析】m2-12m+36+√p-8+(n-10)2=0, .(m-6)2+√p-8+(n-10)2=0, .m-6=0,p-8=0,n-10=0,解得m=6,p=8,n=10. 62+82=102,即m2+p2=2, .以m,n,p为三边长的三角形是直角三角形， :这个三角形的面积为号×6×8=24故选D, 真题圈数学八年级下3B 9.B【解析】x2-4y2=(x+2y)(x-2y)=3×(-2)=-6.故选B. 10.D【解析】：ab-ac=b2-bc,.a(b-c)=b(b-c), .a(b-c)-b(b-c）=0,.(b-c)(a-b)=0, .b-c=0或a-b=0,∴.b=c或a=b, .这个三角形一定是等腰三角形.故选D 11.A【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1),当x=15时，x+1 =16,x-1=14,结合选项只有A同时含有15,14,16.故选A. 12.3【解析】：x+y=5,x2-y2=(x+y)(x-y)=15,.x-y= =号3故答案为3， x+y 13.1【解析】原式=4037P-2×4036×2019=4037-4036× 4038=40372-(4037-1)(4037+1)=40372-(40372-1)=1. 故答案为1. 14.【解】(1)(x+1)(x-6)分析：x2-5x-6 =-5x+翠-蓉-6 (-9 =（-*x-3引 =(x+1)(x-6). (2)-2x2-8x+3 =-2(x2+4x)+3 =-2(x2+4x+4)+8+3 =-2(x+2)2+11, -2(x+2)2≤0， .当x=-2时，-2x2-8x+3有最大值，最大值是11. 15.A16.B A【解折1与8号=o292·8号=号 故选A. 1&C【解析】A当M=8时，器=警是整式，不是最简分式， 故A不符合题意：B,当M=7时，语-装=号不是最简分式。 故B不符合题意：C当M=5时登=器是最简分式，故 C符合题D当从时登=头=习=兰 3x 3x 不是最简分式，故D不符合题意.故选C. 19.3【解析】由题意，可得x2-9=0,x+3≠0，解得x=3. 故答案为3. 203【解析1：%=爷 2x2x 4x 中1==3x+' 路 4x x+1 4x 8x 2 ⅓=+1 2益-= 3+1 7x+1 3x+1 16x ·=2 16x 为+7 201- 、,8x+15x+中i5x+7 7x+1 故答案为，16x 15x+1 21.【解原式=+1.+Xx-》=-1. x+1 x 2x-6<0, 解不等式组 -等3得-23， .不等式组的正整数解为1,2. x2-1≠0，.x≠士1，.当x=2时，原式=2-1=1 答案与解析 2.(解11)日×g日号 (2)1-11-1 11 mm+1 mm+2 mm+n 2 3)1-1-x-3)-x-D=-x-3x-’ x-1-x-3=x-10(x-3) 2 1 -30x-D-xx-31 六x-30x-万-3(x-d+x-20x-可 =点气+点*点=0 11 2.D【解析原方程可变形为片登+2=2两边都乘(x-2, 得(1-x)+2(x-2)=-1,解得x=2.代人最简公分母x-2=0, 因此原分式方程无解.故选D. 24.A【解析】由题意，得、1 2 3x-（27=43x-1, 即3x24=3x241 去分母，得1=-2-(3x-4).去括号，得1=-2-3x+4. 移项、合并同类项，得3x=1,系数化为1，得x=号 经检验，x=是分式方程的解.故选A 25.-1【解析】设？为m,方程两边同时乘(x-2),得m+3(x-2) =-1.由于x=2是原分式方程的增根，所以把x=2代人上 面的等式得m+3×(2-2)=-1,解得m=-1,∴.原分式方程 中“？”代表的数是-1.故答案为-1. 26.【解(1)去分母，得2x+2=4, 解得x=1, 经检验，x=1是增根，原方程无解 (2)去分母，得2-x-1=x-3, 解得x=2, 经检验x=2是分式方程的解， 27.【解设直角书架的单价为x元/个，弧形书架的单价为(1+20%) x元/个 由题意，得18000=9000+6 (1+20%)xx 解得x=1000. 经检验，x=1000是原方程的解，且符合题意. ..(1+20%)x=1200. 答：弧形书架的单价是1200元/个，直角书架的单价是1000 元/个. 28.【解】(1)(x2-9)等式的基本性质 (2)检验：把x=-号代入得(x+3)(x-3)≠0. (3)在解分式方程的过程中，需要注意：解方程的最后一定要检 验未知数的值是不是分式方程的解（答案不唯一）. 29.【解(1)设购买一个A品牌足球需x元，则购买一个B品牌 足球需(x+30)元， 由题痘得20-200×2，解得：=50 经检验，x=50是原方程的解，且符合实际意义，x+30=80. 答：购买一个A品牌足球需50元，购买一个B品牌足球需80元 (2)设该学校此次可购买a个B品牌足球，则购买A品牌足球 (50-a)个.由题意得50×(1+8%)(50-a)+80×0.9a≤3312， 解得a≤34. :a是整数，∴.a的最大值为34. 答：该学校此次最多可购买34个B品牌足球. 18.专题复习卷（四）平行四边形 1.B 2.D【解析：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD相 交于点O,∴.OA=OC,OB=OD. :BD=4,0B=号8D=3×4=2 AB L BD,.∠ABD=90°. :∠A0B=45°，.∠0AB=LA0B=45°， ∴.AB=OB=2, .0A=√AB2+0B2=V22+22=22, ∴.AC=20A=2×2√2=4√2.故选D. 3.A【解析】，口ABCD的周长为40cm,∴.AB+BC=20cm △ABC的周长为25cm,.AB+BC+AC=25cm,∴AC= 5cm.故选A. 4.B【解析】，四边形ABCD是平行四边形，且AD=5, .BC=AD=5,AD /BC,OC=OA, Sx=25x4B=3,4C=4,4B244C2=BC2, ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90,·SAMc=支AB·AC =6,3c=7×6=3. 又·AD∥BC,.·∠OCE=∠OAE∠OEC=∠OFA. ∠OCE=∠OAF, 在△COE和△AOF中，{∠OEC=∠OFA,. OC=OA. △COE≌△AOF(AAS),.SACOE=S△MoF: 则图中阴影部分的面积是S&ROF+S△AOr=S△BOE+S△coB=S△BoC =3.故选B. 5.13【解析】：四边形ABCD为平行四边形，周长为20cm, ∴.AD+CD=10cm,OA=OC,AD∥BC,∴.∠EAO=∠FCO. ∠AOE=∠COF,.△AOE≌△COF(ASA),.OE=OF= 1.5cm,CF=AE,.四边形EFCD的周长=CF+CD+DE+EF =AE+DE+CD+OE+OF=AD+CD+OE+OF=10+1.5+1.5 =13(cm).故答案为13. 6.38°【解析】：四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠C=∠A=123°，AB∥CD, ∴.∠ADC=180°-∠A=180°-123°=57° .DA平分∠BDC,.∠A'DB=∠CDE. 又∠ADB=∠A'DB,.∠ADB=∠A'DB=∠CDE, ∴.∠CDE=19°， ∴.∠DEC=180°-∠C-∠CDE=180°-123°-19°=38° 故答案为38°. 7.√5【解析】四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,∠D=∠ABC=60°， ∴.∠BAD=180°-60°=120°. BA=BE,△ABE是等边三角形，.∠BAE=60°. 由作图可知BF平分∠ABE,∴.AO=OE,BO⊥AE. .·∠OAF=∠BAD-∠BAE=120°-60°=60°， .∠AF0=30°，∴.AF=2A0. 由勾股定理可得OF=√5AO, ÷85=58器-8=6.故答案为5 8.【解】BE∥DF,BE=DF 证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.CB=AD,CB∥AD, .∠BCE=∠DAF AE=CF, ∴.AE+EF=CF+EF,∴.AF=CE.