9.第四章 因式分解 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）四川专版

真题圈数学 同步 调研卷 八年级下11M 9.第四章学情调研 (时间：120分钟满分：150分) A卷（共100分)】 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项 符合题目要求) 1.下列自左向右两个变形中， 甲：4x2y=2x·2xy;乙：4x2-8x-1=4x(x-2)-1. 说法正确的是() A.甲、乙均为因式分解 B.甲、乙均不是因式分解 C.甲是因式分解，乙是整式乘法 D.甲是整式乘法，乙是因式分解 2.把-4a2b2+12a2b2-8a㎡b2c分解因式，提出公因式后，另一个因式不再有公因式，则提出的公因式 是() A.-Aa2b2c B.-a2b2 C.-4a2b2 D.-4ab2c 3.(开学考·24-25成都西川实验)下列因式分解结果正确的是( ) 部 A.-x2+4x=-x(x+4) B.4x2-y2=(4x+y)(4x-y） C.x2y-2xy xy (x-2) 金D.x2-3x-4=(x-1)(x+4) 4.在下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是( A.a2+4 B.a2-4 C.a2+m2 D.-a2-4 5.（期中·24-25成都石室北湖)把多项式3x2+ax-2分解因式，结果是(3x+1)(x+b),则a,b的值 为( A.a=7,b=2 B.a=5,b=2 C.a=-7,b=-2D.a=-5,b=-2 禁 6.教材习题改编如图，长方形的长、宽分别为a,b,周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为( 些咖 H 圍 第6题图 品 A.120 B.128 C.240 D.250 国 7.情境题小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a-b,m-n,8,a+b,a2+b2, m,分别对应六个字：爱，我，嘉，祥，学，校。现将8m(a2-b2)-8n(a2-b2)因式分解，结果呈现的密 码信息可能是( ) A.嘉祥爱我 B.嘉祥学校 C.嘉祥爱学 D.我爱学校 3 8.（期中·23-24成都外国语)已知a,b,c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2=2ab+2bc,据此判断 △ABC的形状是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9.（期中·24-25成都青羊实验)因式分解：32-2m2= 10.开放性试题（中考·2025成都）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那 么加上的单项式可以是 (填一个即可)。 11.计算：20262-20252= 12.（期中·23-24成都七中育才改编)若a2+a+1=0,则-a2-a+2026的值为 13.情境题两位同学将一个二次三项式因式分解时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成了 3(x-1)(x+2),另一位同学因看错了常数项而分解成了3(x+2)(x-3)。 相信聪明的你能写出正确的分解结果是 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14.(期中·24-25成都七初)(8分)将下列各式因式分解： (1)xy(x-y)-x(x-y)2。 (2)a-8a2b2+16b4。 爱学子 拒绝盗印 15.(8分)利用因式分解进行简便运算： (1)-247×号+号×13-6号×号。 (2)8992+202×899+1012。 16.教材习题改编(10分)若(x-2)(x2+x-8b)的展开式中不含x的二次项和一次项。 (1)求b的值。 (2)4-1可以被10和20之间的某两个整数整除，试求出这两个数。 直题圈 金星教育精品图书 17.(期末·22-23成都高新区)(10分)数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分 解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解。如图①，共有三种卡片：A型卡片是边长为 x的正方形；B型卡片是长为y,宽为x的长方形；C型卡片是边长为y的正方形。 (1)用1张A型卡片，2张B型卡片可以拼成如图②的图形，根据图②，多项式x2+2y因式分解 的结果为 (2)请用1张A型卡片、2张B型卡片、1张C型卡片拼成一个大正方形，并在图③的虚线框中 画出这个大正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解。 , ① ② ③ 第17题图 盗印必劳 关爱学子 拒绝盗印 32 18.思维探索整体思想（期中·24-25成都外国语）(12分) 阅读材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1 匹狗 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2, 再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2。 共蝴 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列 细 问题： (1)因式分解：(x-y)2-2(x-y)+1= (2)因式分解：(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4。 (3)求证：无论n为何值，式子(n2-2n-3)(n2-2n+5)+17的值一定是一个不小于1的数。 卷 % 精品图书 金星教育 巡加 H B卷（共50分) 品 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） ● 1以.（期末·24-25成春或候区）已知点4(m,m)在直线y=方x2上，则代数式m-4m*4r的值为 20.已知a,b,c是正整数，且a>b,a2-ab-ac+bc=7,则a-c等于 3 21.类比探究我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证。观察图①，a2-1=a(a-1)》 +（a-1)=(a-1)(a+1)。接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解a3-1= a-1 ① 第21题图 22.方法探索丽丽在做一道计算题目(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)×（216+1)的时候是这样分 析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比较，发现，如果添加 两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运算。她尝试添了因式(2-1)，很快得到计算 结果。参考丽丽的方法进行运算：(5+1)×(52+1)×(54+1)×·×(5248+1)的值为 23.（中考·2023成都)定义：若一个正整数能表示为两个正整数m,n的平方差，且m-n>1,则称这个正整 数为“智慧优数”。例如，16=52-32,16就是一个智慧优数，可以利用m2-n2=(m+n)(m-n)进行研究。 若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ;第23个智慧优数是 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24.（期中·23-24成都外国语改编)(8分)小明观察多项式x2+2x-3,发现x2+2x-3=(x-1)(x+3),说 明此多项式有一个因式为x-1,把x=1代入原多项式发现原式=0。根据小明的发现，解答以 下两个问题： (1)若x+1是多项式2x2+ax+5的一个因式，求a的值，并将多项式2x2+ax+5因式分解。 (2)若多项式2x3+ax2+bx-2中含有因式(x+1),(x-2),求a,b的值，并将多项式2x3+ax2+bx-2因式 分解。 25.方法探索(10分)《义务教育数学课程标准(2022年版)》关于运算能力的解释为：运算能力主要 是指根据法则和运算律进行正确运算的能力。因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创 新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答。下面介绍一种因式分解的新方法一拆项 补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的 方法，进而分解因式。 例题：用拆项补项法分解因式：x3-9x+8。 解：添加两项-x2+x2, 原式=x3-x2+x2-9x+8 =x3-x2+x2-x-8x+8 =x2(x-1)+x(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8)8 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：x3+9x-10 (2)分解因式：x3-2x2-5x+6。 (3)分解因式：x4+5x3+x2-20x-20。 精品图书 金星教育 3 26.(12分)【发现与探索】 (1)如图①，根据小明的解答将下列各式因式分解： ①a2-12a+20; ②(a-1)2-8(a-1)+7; ③a2-6ab+5b2。 小明的解答： 小丽的思考： a2-6a+5 代数式(a-3)2+4无论a取何值， =a2-6a+9-9+5 (a-3)2都大于等于0，再加上4， =(a-3)2-4 则代数式(a-3)2+4大于等于4， =(a-5)(a-1)。 则(a-3)2+4有最小值4。 ① ② 第26题图 (2)如图②，根据小丽的思考解决下列问题： ①说明：代数式a2-12a+20的最小值为-16； ②请仿照小丽的思考解释代数式-(a+1)2+8的最大值为8，并求代数式-a+12a-8的最大值。 印必 爱学子 拒绝盗印.直线12：y=mx+n=mx-2m+6=m(x-2)+6, 直线1，经过定点(2,6)，∴M点的坐标为(2,6)。 ②当∠CMQ=90时，存在两种情况： 情况一：如图③，过点M作MF⊥x轴于点F,过点Q作 QD⊥FM于点D,连接MR,RQ,设RQ交直线，于点G,DQ 交y轴于点H,则∠CFM=∠MDQ=90°， .R(1,0),C(3,0),M(2,6),∴.RF=CF,∴.MR=CM。 由对称得QG=GR,MQ=MR,∴.MQ=CM。 ∠CMQ=90°，∴.∠FCM+∠CMF=∠CMF+∠DMQ=90°， .∴.∠DMQ=∠FCM,∴.△DQM2△FMC(AAS), ∴DQ=FM=6,DM=CF=1, .∴.QH=6-2=4,0H=6-1=5, 六Q(4,5),RQ的中点G的坐标为3， 2'2 可知MG的解析式为y=x+4,∴.A(1,4)。 情况二：如图④，过点M作MF⊥x轴于点F,过点Q作 QD⊥FM于点D,连接MR,RQ,设RQ交直线l,于点G, 同理得：RM=CM=MQ,△DQM≌△FMC(AAS), ∴DQ=FM=6,DM=CF=1, 同理得Q(8,7),∴RQ的中点G的坐标为(4.5,3.5)， 同理可得MG的解析式为y=-x+8,".A(-1,8)。 综上，点A的坐标为(1,4)或(-1,8)。 V=2x D M R FC OR FCL ③ ④ 第26题答图 9.第四章学情调研 题号12345678 答案BCCBDA A B 1.B2.C3.C4.B 5.D【解析】3x2+ar-2=(3x+1)(x+b),.b=-2,∴.3x2+ax-2 =(3x+1)(x-2)=3x2-5x-2,∴.a=-5。故选D。 6.A【解析】由题意可得，a+b=8,ab=15,.2b+ab2=ab(a +b)=15×8=120。故选A。 7.A【解析】8m(a2-b2)-8n(a2-b2)=8(a2-b2)(m-n)=8(a+b)(a -b)(m-n),∴.对应的四个字是嘉、祥、爱、我，∴.密码信息可能 是嘉祥爱我。故选A。 8.B【解析】'a2+2b2+c2=2ab+2bc,∴.a2-2ab+b2+b2-2bc+c2= 0,即(a-b)2+(b-c)2=0,∴.a-b=0且-c=0,即a=b且 b=c,.a=b=c,.△ABC是等边三角形。故选B。 9.2(4+m)(4-m)10.4x(或-4x) 真题圈数学八年级下11M 11.4051【解析】原式=(2026+2025)×(2026-2025)=4051 ×1=4051。故答案为4051。 12.2028【解析】a2+a+1=0,.a2+a=-1,.a3-a2-a+2026 =3+a2-2a2-a+2026=a(a2+a)-2a2-a+2026=a×（-1)- 2a2-a+2026=-a-2a2-a+2026=-2a2-2a+2026=-2(a2+a) +2026=2+2026=2028。故答案为2028。 13.3(x-2)(x+1)【解析】设原多项式为ax2+bx+c(其中a,b,c均 为常数，且abc≠0)， .3(x-1)(x+2)=3(x2+x-2)=3x2+3x-6,∴.a=3,c=-6。 又3(x+2)(x-3)=3(x2-x-6)=3x2-3x-18,.b=-3。 ∴.原多项式为3x2-3x-6,∴.3x2-3x-6=3(x2-x-2)=3(x-2)· (x+1)。故答案为3(x-2)(x+1)。 14.【解】(1)原式=x(x-y)[y-(x-y)]=x(x-y)(2y-x)。 (2)原式=(a2-4b2)2=(a+2b)2(a-2b)2。 15解11)原式=号×（-247+13-6}=号×(-30)=-24。 (2)原式=8992+2×101×899+1012=(899+101)2 =10002=106。 16.【解】(1)(x-2)(x2+a-8b)=x3+ax2-8bx-2x2-2ax+16b =x2+(a-2)x2-(2a+8b)x+16b, :(x-2)(x2+ax-8b)的展开式中不含x的二次项和一次项， 200解得a=2,6=水-(-分 2a+8b=0, (2)由(1)知，a=2, a4-1=24-1=(232-1)×(232+1)=(216-1)×(216+1)×(22+1) =(28-1)×(28+1)×(216+1)×(232+1)=(24-1)×(24+1)× (28+1)×(216+1)×(22+1)=15×17×(28+1)×(216+1)× (22+1),,a64-1可以被10和20之间的某两个整数整除， .这两个数分别为15,17。 17.【解】(1)x(x+2y) (2)拼成的正方形如图所示。x2+2y4y2=(x+y)2。 A B 18.(1)【解】(x-y-1)2 分析：令x-y=A,原式=A2-2A+1=(A-1)2, 将“A”还原，得原式=(x-y-1)2。 B C (2)【解】令a2-4a=A, 第17题答图 原式=(4+2)(4+6)+4 =A2+8A+12+4 =(A+4)2, 将“A”还原，得原式=(a2-4a+4)2=(a-2)4。 (3)【证明】令n2-2n=A, 原式=（A-3)(A+5)+17 =A2+2A-15+17 =A2+2A+2 =(A+1)2+1, 将A=n2-2n还原， 原式=(m2-2n+1)2+1=(n-1)4+1, 因为无论n为何值，(n-1)4≥0，所以(n-1)4+1≥1， 即式子(m2-2n-3)(2-2n+5)+17的值一定是一个不小于1的数。 1识16【解折点4(m,m)在直线y=方x2上n=)m2, 整理得m-2n=4,.m2-4m+4n2=(m-2n)2=42=16。故 答案为16。 20.1或7【解析】：a2-ab-ac+bc=7,∴.(a-b)(a-c）=7。 .a,b,c是正整数，a>b,7=1×7, ∴.当a-b=7时，a-c=1;当a-b=1时，a-c=7。 .a-c=1或7。故答案为1或7。 21.(a-l)(a2+a+1)【解析】观察题图②，可得式子：a3-1=a2· (a-1)+a(a-1)+(a-1)=(a-1)·(a2+a+1)。故答案为(a-1)(a +a+1)。 2【解析】原式=×(5-1)×(5)x(541)×(64 ×…×(52+1)=号×(5-1)x(5+1)×(5+1)×…x(5 2+1)=子×(5-1)×(541)×…×(52+1)=子×(5-1)× 答案与解析 （541)X…×(5m+1)==号×(36w-1）=5%1。 4 故答案为-1 4 23.1557【解析】注意到m-n>1,知m-n≥2，.m≥n+2。 当m=n+2时，由(n+2)2-n=4+4n产生的智慧优数为8， 12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64, 当m=n+3时，由(n+3)2-r=9+6n产生的智慧优数为15， 21,27,33,39,45,51,57,63,… 当m=n+4时，由(n+4)2-n2=16+8n产生的智慧优数为24， 32,40,48,56,64,… 当m=n+5时，由(n+5)2-2=25+10n产生的智慧优数为35， 45,55,65,… 当m=n+6时，由(n+6)2-n2=36+12n产生的智慧优数为48， 60,72,… 当m=n+7时，由(n+7)2-2=49+14n产生的智慧优数为63， 77,91,… 当m=n+8时，由(n+8)2-m=64+16n产生的智慧优数为80， 96,… 综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8,12,15,16， 20,21,24,27,28,32,33,35,36,39,40,44,45,48,51,52,55, 56,57,…故第3个智慧优数是15；第23个智慧优数是57。 故答案为15；57。 24.【解】(1)由题可得x+1=0,即x=-1时，2x2+ac+5=0,∴.2- a+5=0,∴.a=7,2x2+7x+5=(2x+5)(x+1)。 (2)当x=-1时，原式=-2+a-b-2=0,则a-b=4; 当x=2时，原式=16+4a+2b-2=0,则2a+b=-7。 解得a=-1,b=-5。.2x3-x2-5x-2=(2x+1)(x+1)(x-2)。 25.【解1(1)x3+9x-10=x3-x+10x-10=x(x2-1)+10(x-1) =x(x+1)(x-1)+10(x-1)=(x-1)(x2+x+10)。 (2)x3-2x2-5x+6=x3-2x2+x-6x+6=x(x2-2x+1)-6(x-1)=x(x 1)2-6(x-1)=(x-1)(x2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)。 （3)x4+5x3+x2-20x-20=x4+2x3+3x3+6x2-5x2-10x-10x-20 =x3(x+2)+3x2(x+2)-5x(x+2)-10(x+2) =(x+2)(x3+3x2-5x-10)=(x+2)(x3-2x2+5x2-10x+5x-10) =(x+2)[x2(x-2)+5x(x-2)+5(x-2)] =(x+2)(x-2)(x2+5x+5)o 26.【解】(1)①a2-12a+20=a2-12a+36-36+20=(a-6)2-42= (a-10)(a-2)。 ②(a-1)2-8(a-1)+7=(a-1)2-8(a-1)+16-16+7=(a-5)2_-32 =(a-8)(a-2)。 ③a2-6ab+5b2=a2-6ab+9b2-9b2+5b2=(a-3b)2-4b=(a-5b) (a-b)。 (2)①a2-12a+20=a2-12a+36-36+20=(a-6)2-16, 无论a取何值，(a-6)2都大于等于0，再加上-16，则代数式(a- 6)2-16大于等于-16，则代数式a2-12a+20的最小值为-16。 ②无论a取何值，-(a+1)2都小于等于0，再加上8， 则代数式-（a+1)2+8小于等于8，则-（a+1)2+8的最大值为8。 -a2+12a-8=-(a2-12a+8）=-(a2-12a+36-36+8)=-(a- 6)2+36-8=-(a-6)2+28,无论a取何值，-(a-6)2都小于等 于0，再加上28，则代数式-(a-6)2+28小于等于28，则代数 式-a2+12a-8的最大值为28。 10.第五章学情调研 题号1234 56 1 8 答案CBBDCA A B 1.C2.B3.B4.D 5c【解折：2号2==号告，分试的值缩小为 原来的号。故选C。 A【()(=6苦=6 六兰兰=6，=6，放选A 7.A【解析】去分母，得2+m=x-3。由原分式方程有增根，得x-3 =0,即x=3。把x=3代人2+m=x-3,得2+m=3-3, 解得m=-2。故选A。 8.B9.310.6x3y(x-y) 1.-5【解析】：代数式3-比2的值少2,2。-3== x+2x+2 x+2x+2 2,X-=2,-1=2(x+2),x-1=2x4,解得x=-5。 x+2 当x=-5时，x2=-5+2=-3≠0，x=5是方程2 "x+2 _3-x=2的解。故答案为-5。 x+2 12.ab 【解析】设该工程总量为1，二人合作完成该工程所需 a+b 时间1+（日》1+的。故答案为。的 atb 13.2【解析]设登=兮=导=k《k为非零实数)，则x=2k,y= 3站，2=4k=2“-能=2。放答案为2。 y 3k 14.【解】(1)方程两边都乘(x+2)(x-2),得(x-2)2-(x2-4)=16,解 得x=-2。检验：当x=-2时，(x+2)(x-2)=0, .x=-2是原方程的增根，即原分式方程无解。 (2)方程两边都乘x(x+3),得2(x+3)+x2=x2+3x,解得x=6。 检验：当x=6时，x(x+3)≠0，∴.x=6是原分式方程的解。 15.【解】(1)W= 1 2a a-2+a+2】÷a2-4a a+2+a-2.(a-2)2_ 2a =8-2a+2·2a-a+2a-7 .a-2y=a-2 2a a+29 (2),a,2,3恰好是△ABC的三边长，.3-2<a<3+2, .1<a<5。又(a+2)(a-2)≠0，a≠0，∴.a≠±2，a≠0， a可以取整数3或4，当a=3时，m=号=： 当a=4时即=号= 16.【解解不等式组2x-a<得，x<4t 2, 1x-2b>3,x>2b+3, :不等式组的解集为-1<x<1,.2b+3=-1,a+1=1,解得 2 a=1,b=-2。 解分式方程名号+1=y得y=3兮， 3 ,关于y的分式方程的解为正数， 3m>0,且1-2×3与m≠0，m<3且m≠多。 3 3 17.【解(1)1-1 'nn+1 验证：右边=片中=计=号 -n+1-n=,1 =左边，.猜想成立。 2)n++++2x阿=录， 1 1 1 1 1 + 去分母，得4(x+3)-4x=3(x+3),解得x=1。 经检验，x=1是原方程的根，∴.原方程的根为x=1。 18【解】初步应用：4是2，(+2=4，即242+是= 44=2。 拓展拨高：①：a--1,a-=1,即-24之=1， a