1.第一章 三角形的证明及其应用 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）四川专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级下11M 1.第一章学情调研 夏预幸中后牛义 (时间：120分钟满分：150分) A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项 符合题目要求) 1.情境题如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA=OB,若剪刀张开的角度为40°，则 ∠A的度数是( A.40° B.50° C.60° D.70° 製 B 40C A ② 的 第1题图 精品 第2题图 2.(期中·23-24成都七中育才改编)如图，在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,AD⊥BC于点D, 则AD的长为( ) A.10 B.11 C.12 D.13 3.一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是( A.5 B.6 C.7 D.8 茶 4.(期末·24-25成都武侯区)下列条件中，可以判断△ABC是直角三角形的是( ) A.AB:BC:AC=3:4:5 B.AB+BC>AC C.∠A=65°，∠B=35° D.∠A∠B:∠C=3:4:5 些加 5.教材习题改编如图，点C是∠BAD内一点，连接CB,CD,∠A=80°，∠B=10°，∠D=40°，则 阳删 ∠BCD的度数是() 题卓 ® 品 D 第5题图 A.130° B.110° C.150° D.120° 6.(期中·22-23成都树德中学改编)下列说法中错误的是( A.三角形的三条内角平分线必定交于一点，且这一点到三边的距离相等 B.等边三角形的每条高线都是角平分线和中线 C.等边三角形必定是等腰三角形 D.每一个命题一定有逆命题，每一个定理一定有逆定理 7.(期中·23-24成都西川中学)如图所示，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中有A,B两个 格点，在网格的格点上任意放置点C(点A,B除外)，恰能使△ABC为直角三角形的概率是()】 A音 B月 c房 A: 公 第7题图 第8题图 8.(月考·24-25成都铁中)如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，M是AB边上的中点，点D, E分别是AC,BC边上的动点，DE与CM相交于点F且∠DME=90°。则下列5个结论： ①CD=BE;②△DEM是等腰直角三角形；③AD+BE=AC;④四边形CDME的面积会发生改 变；⑤∠CDM=∠CFE。其中正确的结论有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9.(期中·23-24成都七中英才改编)用反证法证明命题“在△ABC中，∠A≠∠B,则AC≠BC”,应 先假设 10.（期中·24-25成都铁中)已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为2，则它的周长为 0 11.开放性试题若△ABC,∠B=∠C,请添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是 (写出一个即可)。 12.（期中·24-25成都泡桐树中学)如图，钓鱼竿AB的长为6m,露在水面上的鱼线BC长为2mo 钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿AB转到AB'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长为 3√2m,则CC的长为 第12题图 1 13.（模考·2024成都锦江区二诊)如图，在△ABC中，按以下步骤操作： ①分别以点B和点C为圆心，以大于)BC的长为半径作弧，两弧相交 于点M和N;②以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC,BC 于点E,F;③分别以点E和F为圆心，以大于)EF的长为半径作弧， 两弧交于点O;④作射线CO,交直线MN于点P,连接BP。若∠BAC 第13题图 =110°，∠ABP=7°，则∠PBC= 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14.教材习题改编(8分)如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC和DB相交于点O,AB= CD。求证：△ABC≌△DCB。 第14题图 精品图书 金星教育 15.(10分)如图，六边形ABCDEF的各个内角都相等，且∠DAB=60°。 (1)求∠E的度数。 (2)判断AB与DE的位置关系，并说明理由。 60 A 第15题图 16.情境题(10分)如图，小明家装修剩有一块损坏的四边形砖ABCD,他想从中取一块长方形砖作 二次使用，于是在四边形砖的D点向边AB,CB作垂线，垂足分别为M,N,沿着垂线割出长方形 砖MBD,其余部分视为损耗部分，他想通过测量一些数据了解该部分的损耗面积，于是测得如 下数据：∠ABC=90°，∠DAB=60°，∠DCB=45°，AD=DC=1m,请问小明根据以上数据能 否计算出损耗面积。若能，请求出损耗面积若不能，请说明理由。 B N 第16题图 17.(期中·24-25成都嘉祥外国语)(10分)如图，等腰△ABC中，AB=AC,D为BC延长线上一点， ∠ADB=∠BAC,BE⊥AD,BE与AC交于点F。 (1)求证：AD=BD。 (2)当FC=BC时，求∠BAC的度数。 拒绝盗印 第17题图 18.探究性试题（期中·23-24成都七中万达）(10分)课本再现：在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上。 为 (1)如图①，已知DB=DC,DB⊥AB,DC⊥AC,若∠CAB为60°，则∠ADB为 (2)如图②，DB=DC,∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：AD平分∠BAC。 共 (3)如图③，四边形ABDC中，DB=DC=a,∠B=45°，∠C=135°，求AB-AC的值（用含a的 州 代数式表示)。 ② ③ 第18题图 精品图书 金星教 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19.（期末·23-24成都武侯区)如图，已知用边长相等的三种不同形状的正多边形恰好可以实现平 崇 面镶嵌，其中有两种正多边形的形状分别是正方形和正六边形，则第三种正多边形的形状是 坚加 H 最 品 E 第19题图 第20题图 20.(月考·24-25成都石室联中)如图，等边△ABC中，D为AC中点，DE⊥BC,AB=4,则线段DE 的长度为 21.（期中·22-23成都嘉祥外国语)如图，△ABP的面积为4cm2,△APC的面积为3cm2,BP平分 ∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC,则△ABC的面积为 cm。 0 E D 第21题图 第22题图 第23题图 22.(期中·23-24成都树德中学)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点E是AB 边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D,将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的 点F处，连接FC,当△BCF为等腰三角形时，AE的长为 23.（期中·22-23成都七初)如图，在△ABC中，AB=AC=6,∠A=120°，点D在边AC上，且AD =2,长度为1的线段EF在边AB上运动（点E在点A,F之间），则线段DE的最大值为 四边形DEFC面积的最大值为 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24.新定义试题(8分)阅读下面的情境对话，然后解答问题。 老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形。 小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ (1)根据“奇异三角形”的定义，判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，是 (填“真”或“假”)命题。 绝盗印 (2)在Rt△ABC中，两边长分别是a=5V2,c=10,另一边长为b,这个三角形是不是奇异三 角形？请说明理由。 (3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt△ABC是奇异三角 形，求a:b:c。 25.(期中·22-23成都石室联中)(10分)如图，△ABC和△ADE是两个完全相同的等腰直角三角 形，且∠ABC=∠AED=90°。 (1)如图①，当△ADE的AD边与△ABC的AB边重合时，连接CD,求∠BCD的度数。 (2)如图②，当点A,B,D不在同一条直线上时，连接CD,EB,延长EB交CD于点F,过点A作 AG⊥EB,垂足为G,过点D作DT⊥EB,垂足为T,连接AF,求证：EG=FT。 (3)在(2)的条件下，若AF=3,DF=2,求EF的长。 ① ② 第25题图 直题 精品图书 金星教育 26.(期中·24-25成都铁中)(12分如图①，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E, AD与CE相交于点O。 (1)求证：OA=2D0。 (2)如图②，若点G是线段AD上一点，CG平分∠BCE,延长CE到点F,使得CF=CA,连接 BF,GF,BG,求∠BGF的度数。 (3)如图③，点G,H在线段AD上，若CG平分∠ACE,CH平分∠BCE,CH延长线交BG于点N, BG与CE交于点M,若K=BN-GM(K为常数)，求K的值。 MN GL E M E F E ① ② ③ 盗印必秀 第26题图 关爱学子 拒绝盗印答案与解析 同步调研卷 1.第一章学情调研 题号1 234 56 8 答案 AD D 1.D 2.C【解析在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,∴.BD=DC=5。 在Rt△ABD中，AB=AD+BD2,即132=AD+53,解得AD= 12。故选C。 3.C【解析】设这个多边形边数为n,依题意得(n-2)·180°= 900°，解得n=7,.这个多边形的边数是7。故选C。 4.A 5.A【解析】延长BC交AD于点E,如图，'∠BED是△ABE的 一个外角，∠A=80°，∠B=10°，∴.∠BED=∠A+∠B=90°。 .∠BCD是△CDE的一个外角，.∠BCD=∠BED+∠D= 130°。故选A。 A C B C6. 第5题答图 第7题答图 6.D 7.D【解析】如图，可以找到6个点C恰好能使△ABC为直角三 角形，概率为6.2=号故选D。 8.C【解析】AC=BC,∠ACB=90°，M是AB边上的中点， ∴.∠A=∠B=∠ACM=∠BCM=45°，∠AMC=∠BMC=90°， .∴.CM=AM=BM,.∠AMD+∠CMD=90°。 :∠DME=90°，.∠AMD+∠BME=180°-90°=90°， '.∠DMC=∠BME,同理∠AMD=∠CME,在△AMD和△CME 中，∠A=∠MCE,AM=CM,∠AMD=∠CME,.∴.△AMD ≌△CME(ASA),.AD=CE,DM=EM,.AC-AD=BC- CE,即CD=BE,故①正确，符合题意； ,DM=EM,∠DME=90°，∴.△DEM是等腰直角三角形，故 ②正确，符合题意； △AMD≌△CME,AD=CE,:AC=BC,∴.AC=BC =BE+CE=BE+AD,故③正确，符合题意； △AMD≌△CME,.△AMD的面积=△CME的面积，∴.四边 形CDME的面积=SACDM+SAcM=S△cDM+S△n=S△wc= )S。c,即四边形CDME的面积不变，故④错误，不符合题意； :∠DME=90°，∴∠DEM=45°=LA,:LAMD=∠CME, ∠CDM=∠A+∠AMD,∠CFE=∠DEM+∠CME,'.∠CDM= ∠CFE,故⑤正确，符合题意。正确的结论有4个。故选C。 9.AC=BC 10.12【解析】分两种情况：当腰长为2时，2+2=4<5，不能构 成三角形；当腰长为5时，2+5>5，能构成三角形，.周长是 5+5+2=12。故答案为12。 11.∠A=∠B(答案不唯一) 12.V2m【解析】在Rt△AB'C中，BC=3W2m,AB=6m,∴AC =√AB2-B'C=V62-(3√2)2=3W2(m),在Rt△ABC中， BC=2 m,AB =6 m,:'AC=4B2 BC2=62-22=42 (m),.CC=AC-AC=4V2-3V2=√2(m)。故答案为√2m。 13.21°【解析】由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平 分线，CP为∠ACB的平分线，∴.PB=PC,∠ACP=∠BCP, ∴，∠PBC=∠BCP=∠ACP。:∠BAC+∠ABC+∠ACB= 180°，即∠BAC+∠ABP+∠PBC+∠BCP+∠ACP=180°，..110 +7°+3∠PBC=180°，∴.∠PBC=21°。故答案为21°。 14.【证明】.∠A=∠D=90°，BC=BC,AB=CD,.Rt△ABC ≌Rt△DCB(HL),∴.△ABC≌△DCB。 15.【解】(1).'六边形ABCDEF的各个内角都相等， 一个内角的大小为6-2)x180°=120，.∠E=120°。 6 (2)AB∥DE,理由如下： 由(1)可知：∠F=∠FAB=∠E=120°， ∠DAB=60°，∴.∠FAD=∠FAB-∠DAB=60°， ∠EDA=360°-∠E-∠F-∠FAD=60°， ∠EDA=∠DAB,∴AB∥DE。 16.【解】能。 .四边形MBND是长方形，∴.∠AMD=∠CND=90°， 在Rt△ADM中，∠DAM=60°，AD=1m, .Z4DM=30,AM=4D=m DM=AD-AM =9(mSam=号AM:DM=5m2y 在Rt△CDW中，∠DCN=45°，CD=1m,CW+DW2=CD2, ∴.∠CDN=∠DCN=45°，.CN=DN,∴.2CN2=1, cw=DN=9m,iSam=号Cw·DN=my 六损耗面积=Sao+Saov=5+(m。 8 17.(1)【证明】：AB=AC,∠ABC=∠ACB。 ,D为BC延长线上一点，∠ADB=∠BAC, ∴.∠DAB=180°-∠ADB-∠ABC=180°-∠BAC-∠ABC= ∠ACB,∴.∠DAB=∠ABC,∴.AD=BD。 (2)【解】：FC=BC,∴.∠CFB=∠CBF。 :BE⊥AD于点E,交AC于点F,∠BED=∠AEF=90°， .∠CFB=∠AFE=90°-∠CAD,∠CBF=90°-∠ADB, .90°-∠CAD=90°-∠ADB,∴.∠CAD=∠ADB=∠BAC, ·∴.∠ABC=∠ACB=∠CAD+∠ADB=2∠BACO :∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴.2∠BAC+2∠BAC+∠BAC =180°，.∠BAC=36°。 18.(1)60° (2)【证明】如图①，过点D作DE⊥AB,垂足为E,作DF⊥ AC的延长线，垂足为F, .∠DCF+∠ACD=180°，∠F=∠DEB=90°。 :∠ABD+∠ACD=180°，.∠ABD=∠DCF, DB=DC,.△DBE≌△DCF(AAS),.DE=DF, 又DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD平分∠BAC。 、、D EB A M ① ② 第18题答图 (3)【解】过点D作DM⊥AB,垂足为M,作DN⊥AC的延长 线，垂足为N,连接AD,如图②，DB=DC,∠B+∠C= 45°+135°=180°，.同(2)可得，△DBM≌△DCN(AAS),AD 平分∠BAC,'.BM=CN,∠NAD=∠MAD, 'AD=AD,∠N=∠AMD=90°，∴.△ADN≌△ADM(AAS), .'AN AM=AC+CN,.'AB AM+BM=AC+CN+BM= AC+2BM,∴.AB-AC=2BM ∠B=45°，DM⊥AB,.∠B=∠BDM,∴DM=BM,由勾 股定理可得DB=√DM2+BM2=√2BM, DB DC a,BM=a,AB-AC 2BM= 19.正十二边形【解析】：正方形的每个内角是90°，正六边形的 每个内角是120°，∴.第三种正多边形的一个内角的度数为360°- 90°-120°=150，.第三种正多边形的边数为180150=12， 360° ,第三种正多边形的形状是正十二边形。 故答案为正十二边形。 20.√5【解析】等边△ABC,.∠C=60°，AB=AC=4,:D 为AC中点，.CD=2,DE⊥BC,∠CDE=30°，∴.CE= 1 CD-x2=1.DE=DC2-CE=- 故答案为√3。 21.14【解析如图，延长AP交BC于点Q。:BP平分∠ABC, .∠ABP=∠QBP。.BP⊥AP,.∠BPA=∠BPQ=90°， ∴∠BAQ=∠BQA,.BA=BQ,∴AP=QP, ∴.△BPQ的面积=△ABP的 面积=4cm2,△CPQ的面积 =△APC的面积=3cm2, ∴.△ABC的面积=△ABP的 P 面积×2+△APC的面积×2 =4×2+3×2=14(cm2)。 故答案为14。 Q 2.1或或石【解析】由翻折 第21题答图 4 变换的性质得，AE=EF,DF=AD,:∠ACB=90°，AC=4, BC=3,AB=V42+3=5。 设AE=EF=x,则BF=5-2x。 B 分三种情况讨论： ①当BF=BC时，5-2x=3, 解得x=1,.AE=1; G ②当BF=CF时，F在BC的 垂直平分线上，易知F为AB的 中点，.AF=BF,x+x= 5-2x,解得x=“AE=: ③当CF=BC时，过点C作A C CG⊥AB于点G,如图，则BG 第22题答图 =FG=)BF,由等面积法可得CG·AB=AC·BC,·5CG =4×3,CG=号，在Rt△BCG中，由勾股定理易得BG- 景5-2)=号解得x=品4证=0 综上所述，当△BCF为等腰三角形时，ME的长为1或或 故答案为1或或行。 23.V39 133【解析】当点F与点B重合时，DE最长，如图 ①，过点E作EMLAC于点M,:AB=6,EF=1,AE=5。 ∠BAC=120°，∴∠EAM=60°，∴.∠MEA=30°， :AM=方AB=多，由勾股定理可得EM= 2 81+5= :AD=2,MD=号DE=MD2+M-婴+平 √39，.线段DE的最大值为V39; M N 、、A A D D E BF) CB P ① ② 第23题答图 在△ABC中，AB=AC=6,∠BAC=120°，.∴.∠B=∠C= 30°，.△ABC的边BC上的高为3，BC=6V3。 如图②，过点E作EN⊥AC于点N,过点F作FP⊥BC于点P。 设AE=x,则BF=5-x,N=9xP=号BF=s-》 :Sa边形DEc=SAANC-SADE一SARPCT,S边形DEc=号×65X× 真题圈数学八年级下11M 3-号40：方C:P=9w5-×2x9-x65 ×号5-动=5x49。:5>0,5m5元随x的增大 而增大。：x的最大值为6-1=5，∴.四边形DEFC面积的最 大值为55+-35，放答案为6丽，1 2 29 24.【解】(1)真 (2)①当c为斜边长时，Rt△ABC不是奇异三角形； ②当b为斜边长时，Rt△ABC是奇异三角形。理由如下： ①当c为斜边长时，b=c2-a2=52。.a=b,.a2+c2≠ 2b2(或b2+c2≠2a2),∴.Rt△ABC不是奇异三角形。 ②当b为斜边长时，b=Vc2+a2=5V6。,a2+b2=200,2c2 =200,.a2+b2=2c2,.Rt△ABC是奇异三角形。 (3)在Rt△ABC中，a2+b2=c2。,'c>b>a>0,∴.2c2>a2+b2 2a2<b2+c2。.Rt△ABC是奇异三角形，.a2+c2=2b2, ∴.2b2=a2+(a2+b2),∴.b2=2a2,∴.b=√2a。 c2=a2+b2=3a2,.c=V5a。.a:b:c=1:V2:V3。 25.(1)【解】：△ABC和△ADE是两个完全相同的等腰直角三角 形，∴AB=CB,∠BAC=∠BCA=45°，AD=AC, ·∠ACD=LADC=7×(180°-45)=67.5， ∴.∠BCD=∠ACD-∠BCA=67.5°-45°=22.5°」 (2)【证明】：△ABC和△ADE是两个完全相同的等腰直角三 角形，∴.AB=AE=DE,AC=AD,∠BAC=∠DAE=45°， ∴.∠ACD=∠ADC,∠ABE=∠AEB,∠CAD=∠BAE, ∴.∠ADC=∠AEB,由三角形内角和定理可得∠DFT=∠DAE =45°。.'AG⊥EB,DT⊥EB,∴.∠EGA=∠DT℉=90°， .△DFT是等腰直角三角形，∴.DT=FT。 .'∠DET+∠AEG=∠GAE+∠AEG=90°，∴.∠DET=∠GAE, .△DTE≌△EGA(AAS),'.DT=EG。∴.EG=FT。 (3)【解】由(2)可知，EG=FT,△DTE≌△EGA,.ET=AG, .FG=ET=AG,∴.△AGF是等腰直角三角形， Rt△MG中，FG+AG=AP=3=9,FG=AG=32, Rt△DFT中，FT+DT=DF2=22=4,∴FT=DT=V2, G=5EP=Pc+EG-5,EF的k为35。 26.(1)【证明】.△ABC为等边三角形， ∴.AB=BC=AC,∠BAC=∠ACB=60°。 :AD⊥BC,CE⊥AB,∴.AD平分∠BAC,CE平分∠ACB, ∴.∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，∴.OA=OC。 在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°， ∴.OC=2OD,∴.OA=2OD。 (2)【解】.'AB=AC=BC,∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°， AD⊥BC,CE⊥AB, '.BD=CD,AD垂直平分BC,∠BCE=∠ACE=30°， ∴.BG=CG,.∠GCB=∠GBC。 :CG平分∠BCE,∠FCG=∠BCG=∠BCE=15, ∴∠BGC=180°-2×15°=150°。CF=CA,∴.CB=CF, 在△CGB和△CGF中，CG=CG,∠GCB=∠GCF,CB=CF, .△CGB≌△CGF(SAS),.∠FGC=∠BGC=150°， .∴.∠BGF=360°-∠FGC-∠BGC=60°。 (3)【解】过点M作MQ⊥N于 点Q,如图。 在等边△ABC中，AD⊥BC, CE⊥AB,∴.AD平分∠BAC,CE D 平分∠ACB,AD垂直平分BC, ∴.∠OAC=∠OAB=∠OCA= Q ∠OCB=30°，CG=BG, M '.∠GBC=∠GCB。 A E ,'CG平分∠ACE,CH平分∠BCE, 第26题答图 答案与解析 ∴.∠ACG=∠GCE=∠MCN=∠BCN=15°， ∠GCB=45°，.∠GBC=∠GCB=45°，∠CGB=90°， .∠HWM=60,CN=2GN,.∠WMQ=30°，CG=√5GN, 设N=x,则ON=MW=3 :∠GCM=∠NCM=15°，MG⊥CG,MQ⊥CN, MG=MQ-MV-ONF5 MNx 2 2 六GN=GM4w=y5x x.GB-GC-GN-3xx 2 2 ·BN=GB-GN=5+ x, 2 3+1.V .k=BN-GM 2 2x1 MN 2.重难题型卷（一）特殊三角形 1.C【解析】：|m-3+(n-5)2=0,.m-3=0,n-5=0,解得 m=3,n=5。当腰长为3时，三边长分别为3,3,5，能构成三 角形，周长为3+3+5=11；当腰长为5时，三边长分别为3,5,5， 能构成三角形，周长为3+5+5=13。综上，它的周长是11或 13。故选C。 C. 2.D【解析】如图，符合题意的点C有2 个。故选D。 3.38°或142°【解析】AB的垂直平分 线与AC所在直线相交所得的锐角为 52°，即∠ADE=52°，∠AED=90°。 ①如图①，当△ABC是锐角三角形时，B ∠A=38°： 第2题答图 ②如图②，当△ABC是钝角三角形时，∠BAC=90°+52°= 142°。故答案为38°或142°。 D D B B ⊙ ② 第3题答图 4.36°或90°【解析】当顶角度数是底角度数的号时，顶角度数= 180°÷(2+2+1)=36°；当底角度数是顶角度数的号时，顶角度 数=180÷（侵+号+90。故△4BC的顶角度数为36°或 90°。故答案为36°或90°。 5.2√5或226【解析】如图，过点F作FD⊥AM于点D,连接 ED交CF于点N。:等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AB=4, .∴.∠BAC=45°，∠BCM=90°。 由勾股定理可得AB=√2AC, :AC=5B=22。 :CF平分∠BCM,∴.∠FCM= 45°，.AB∥CF,∠CFD=45°。 .∠FCM=∠CFD=45°， 第5题答图 ∴.CD=FD, 又CE=EF,∴.ED垂直平分CF,则∠CND=90°。.·AB∥ CF,∴.∠AED=∠CWD=90°，可得AE=ED,由勾股定理可 得AD=√2AE,则DF=CD=AD-AC=√2AE-2√2。 AE=3BE,分情况如下： ①当点E在线段AB上时，AE=子AB=3,则AD=V巨AB= 3√2，DF=√2AE-2√2=3√2-2√2=V2,由勾股定理可得 AF =AD2+DF2=25; ②当点E在AB的延长线上时，AE=多AB=6,同理可得AF =2√26。综上，AF的长为2√5或2√26。 6.4y5或5-25【解析】∠CAB=60°，AD平分∠CAB, 3 ·∠CAD=∠DAB=CAB=30。分情况讨论： ①当AD=BD时，如图①所示，此时∠B=∠DAB=30°， ∴.∠C=180°-∠CAB-∠B=90°，.AB=2AC,AD=2CD。 ”4C+MB=2,AC+2AC=2,可得AC=号， 在△1CD中，根据勾股定理，得AC4CD=AD,即得)+ cD=(2CD)2,解得CD=25(负值舍去，D=45; 0 0 ① ② 第6题答图 ②当AD=AB时，过点D作DE⊥AC交AC于点E,如图②所示， 此时∠B=180°-，DAB=75,∠C=180°-∠CAB-∠B= 45°。设ED=x,·DE⊥AC,.CE=ED=x,AB=AD= 2ED=2x,由勾股定理得AE=V3ED=√3x,∴AC=AE+CE =5x+x。:AC+B=2,.V5x+x+2x=2,解得x=3=5 3 AD=2x=6-23 3 ③当BA=BD时，∠BAD=∠BDA=30°，此时∠B=180° -∠BAD-∠BDA=120°。：∠CAB+∠B=180°，故无法构 成△ABC,故此种情况不存在。综上所述，AD的长为y或 6-25。故答案为45或6-25 9 3 7.(1)【解】∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴.∠ABC=60°。 :BD平分∠ABC,∠CBD=∠ABD=∠ABC=30, ∠B4C=∠aBD.cD=号B0.4D=B0=2CD. AC=6,.AD=BD=4。 :△BDE是等边三角形，.BE=BD=4。 (2)【证明】如图①，连接EF,在CG上截取CH=FG,连接DH。 ZACB,ZBCC,BCB :点F是4B的中点，BF=4B,BC=B那， ,.△BCF是等边三角形，.∠BCF=∠BFC=60°。 .'△BDE是等边三角形，∴.BD=BE,∠DBE=60°， ∴.∠CBD=∠FBE,又BC=BF,BD=BE, '.△CBD≌△FBE(SAS),∴.CD=FE,∠BCD=∠BFE=90°。 :'∠DCH=∠ACB-∠BCF=30°，∠EFG=18O°-∠BFE-∠BFC =30°，∴.∠DCH=∠EFG,又CH=CF,CD=EF, '.△DCH≌△EFG(SAS),∴.DH=EG,∠DHC=∠EGF, ∴∠DHG=∠DGH,DH=DG,∴.DG=EG。