17.专题复习卷(三)因式分解，分式与分式方程-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）陕西专版

真题圈数学 专题复习卷 八年级下 17.专题复习卷（三） 湘粑 因式分解、分式与分式方程 蝴 尽 图出 命题点一因式分解 些期 1.（期中·24-25西安交大附中)下列各式由左边到右边的变形 中，是因式分解的是( A.a(x+y）=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4 C.10x2-5x=5x(2x-1) D1=x- 2.（月考·23-24西安铁一中)下列多项式中不能用公式法分解 因式的是( ) A.dta B.2ab+a2+b2 C.-a2+25 D.-4-b2 3.（月考·24-25西安高新三初)若x2--24=(ax+12)(x-2), 製 则k的值是( A.10 B.-10 C.±10 D.14 4.(期中·23-24西安高新一中)因式分解：a-4a= 5.(期末·23-24西安曲江一中改编)已知多项式x2-4x+m可以 分解因式，一个因式是x-6,则另一个因式为 6.方法探索由多项式乘法：(mx+a)(x+b)=mnx2+(na+mb)x+ αb,将该式子从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因 式分解的公式：mnx2+(na+mb)x+ab=(mx+a)(x+b).利用这 总 种方法，将下列多项式分解因式： (1)x2+7x+10= (2)2y2-5y+2= (3)-x2+7x+18= 7.(期末·23-24陕师大附中)因式分解： (1)4a2-12ab+9b2 (2)m2(m-1)+4(1-m) 加 阳 8.（期中·22-23西安高新一中)阅读以下材料： 因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1. 解：令x+y=A,则原式=A+2A+1=(A+1)2, 再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2 上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题 中常用的一种思想方法.请你解答下列问题： (1)因式分解：1-2(x-y)+(x-y)2 (2)当n为何值时，代数式(n2-2n-3)(n2-2n+5)+17有最小值？ 最小值为多少？ 9.（期中·23-24西安爱知中学)我校数学社团的小亮、小颖两 名同学利用分组分解法进行因式分解： 小亮：m2-mn+2m-2n 小颖：4x2-y2-z2+2yz =(m2-mn)+(2m-2n) =4x2-(y2+z2-2yz） =m(m-n)+2(m-n) =(2x)2-(y-z)2 =(m-n)(m+2). =(2x+y-z)(2x-y+z). 请你在他们解法的启发下，解决下面问题： (1)因式分解：a3-3a2+a-3. (2)已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2-2ac+c2=ab- bc,判断△ABC的形状并说明理由 53 命题点二因式分解的应用 10.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一 条信息：x-y,a-b,2,x2-y2,a,x+y,分别对应下列六个字：华、 我、爱、美、游、中，现将2a(x2-y2)-2b(x2-y)因式分解，结果 呈现的密码信息可能是( A.爱我中华B.我游中华 C.中华美 D.我爱美 11.(期中·23-24陕师大附中)若a,b,c是△ABC的三边长，则 代数式a2-2ac+c2-b2的值( A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.以上三种情况均有可能 12.(期末·23-24西工大附中)已知x-y=1,则代数式2x2 4xy+2y2的值为 13.若9-0×1-D=8×10×12,则k= 14.新定义试题（期中·23-24西安铁一中改编）如果一个正整 数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为 “和谐数”.如：2=13-（-1)3,26=33-13，则2和26均为“和 谐数”.在不超过2026的正整数中，所有的“和谐数”之和 为.[提示：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)] 15.(期中·24-25西安交大附中)如图，将一张长方形纸板按图 中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形， 两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m,宽为n的全 等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm) (1)观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解 为 (2)若每块小长方形的面积为12cm,四个正方形的面积和 为50cm,试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和 第15题图 命题点三分式 16.下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是( A. 1 2x2+1 B C.1 D. 2x2 17.下列等式成立的是( A品-号 B.a+1=a-1 a2-1 c8=8=1 D.(atb)"_atb a2-b2a-b 18.（月考·23-24西安交大附中)为锻炼身体，增强体质，小明 长期坚持在环形操场上跑步.如果小明跑第一圈的速度为 y,km/h,小明跑第二圈的速度为y,km/h,那么小明跑这两圈 的平均速度是( A.当+业kmh B.2vv km/h 2 v+v C.vv2 km/h D.(v+v,)km/h v+V 19.(期中·24-25西安高新-中)如果使分式2a6有意义的a 和b的值都扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的4 倍，那么整式A可以是( A.a+b B.2a+2b C.ab D.ab 20.(月者·24-25西安经开一中)已知+=3，则的 值为( ) A.2 B司 金星教 C.3 D 21.（期中·24-25西安交大附中)如图所示，图①是一个边长为 a的正方形剪去一个边长为b的小正方形，图②是一个边长 为a的正方形剪去一个长为a,宽为b的长方形.若图①，图 ②中阴影部分的面积分别记为3，S心b0,设长=是则 有( b ① ② 第21题图 A.0<K号 B<K1 C.1<k<2 D.k>2 22.（期中·22-23西安高新一中)八年级某班同学原来计划租 一辆大巴车去研学，大巴车的租价为800元，实际又增加了 3名同学，租车价不变.若设原来计划参加研学的同学有x 名，实际每名同学比原来少分摊车费 元. 23.(期中·24-25陕师大附中)先化简： x2-2x3 x2-4x+4x-2 ÷再从1,23,4这四个数中取-个你喜欢的数作为 x的值代入求值. 命题点四分式方程 24.下列关于x的方程中，是分式方程的是() A.3-X=3+x 5 6 B-3=青 C.3 D3x=1 25.（期末·23-24西安交大附中)某校计划组织540名同学去 植物园研学学习，现有A,B两种不同型号的客车可供出行 租用，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A 型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车 少租6辆.设A型客车满座时每辆坐x人，则根据题意可列 方程为( A.540-540=6 x+15x B0-05=6 C.540-540=6 D.540-540 ”x-15x xx-15=6 26.(月考·23-24西安铁一中)已知关于x的分式方程1 + 弘无解，则k的值为( A.0 B.0或-1 c.0或 D.-1或0或号 27.(期中·24-25西安高新一中)已知关于x的方程m -3 3产=2的解为正数，则m的取值范围是 -54 28.解分式方程： (1①452= 5-x (2)a-2- 2a-1=1 a+2-a2-4 29.（期末·23-24西安莲湖区)周末小雅一家准备自驾前往某 景点游玩，她在导航上查到两条较短的路线：一是走国道， 全程30km,但因道路施工比较拥堵；二是走高速，全程 40km,平均速度是走国道的2倍，到达目的地的时间比走国 道要早l0min.求走国道到达该景点需要的时间. 30.传统文化宣纸是中国古典书画用纸，享有“千年寿纸”的美 誉，被誉为“国宝”.已知一家宣纸厂生产生宣和熟宣两种纸， 该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是平均每天生产熟 宣数量的2倍，生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天 时间.（该工厂每天不能同时生产两种纸) (1)求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？ (2)若该宣纸厂计划生产生宣和熟宣共1万张，生产工期不燃 超过12天，则最多生产熟宣多少张？答案与解析 18.B【解析】如图，分别求出三条直线的交点坐标A22), 33 (}.c(9) y总取y,y2,y中的最小值， ·当x<时，y=y: -y2 当K时，y=% 当写≤x<9时，y=y: 10 17 当x≥0时，y=y, 第18题答图 17 ∴y的取值为图中虚线部分，则y的最大值为C点的纵坐标 y一韶故选B 19.之3【解析】正比例函数y=写x也经过点A,x+b<写x 的解集为x>3.故答案为x>3. 20.【解】(1)x>0 (2)①：A(0,4),C(-2,0)在一次函数y,=x+b的图象上， 6=4, 解得 -2k+b=0, 得6=4乃=2x+4 不等式+b>-4x+a的解集是x>1,∴.点B的横坐标x=1. 当x=1时，y1=2×1+4=6,.点B的坐标为(1,6). ②-2<x<1 21.【解J(1)当300≤x<500时，yz=300x;当x≥500时，yz= 500×300+300×0.8(x-500)=240x+30000. 300x(300≤x<500), ∴y2和x的函数关系式为yz=240x+30000(x≥500)， (2)根据题意，得y甲=300×0.9x=270x, ∴y甲与x的函数关系式为y甲=270x(x≥300). y甲y2与x的函数图象如图所示。 y元1 yz 0300500 xl人 第21题答图 当两图象相交时，得270x=240x+30000,解得x=1000. 由图象可知，当300≤x<1000时，y甲y乙， ∴当300≤x<1000时，学校选甲公司更合算 22.D 23.3【解析】设小宏能买x瓶甲饮料，则能买(10-x)瓶乙饮料. 根据题意，得7x+4(10-x)≤50，解得x≤3号，所以小宏最多能 买3瓶甲饮料.故答案为3. 24.218或225或232【解析】设横式纸盒做了x个，竖式纸盒做 了y个，由题意得a=4y+3x整理得a+b=5x+5y b=y+2x, ,a+b的值在285和315之间（不含285与315）， ..285<a+b<315,.285<5x+5y<315. 又y=x+30,∴285<5x+5(x+30)<315,解得13.5<x<16.5. x为整数，.x=14或15或16. 当x=14时，a=218;当x=15时，a=225; 当x=16时，a=232. ∴.a的值可能是218或225或232. 故答案为218或225或232. 25.【解设这次义卖售出x个小熊，则售出(200-x)个抱枕 依题意，得22(200-， 解得400≤x≤136. 50x+100(200-x)≥13200， 3 又.x为正整数，∴.x可以为134,135,136. 答：这次义卖售出的小熊数量可能是134个或135个或136个 26.【解】(1)由题意可得y=(3.5-1-0.2)x+(4.2-1.5-0.3)×(4-x) =-0.1x+9.6,.y与x之间的函数关系式为y=-0.1x+9.6. (2):A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5 倍， .x≥1.5(4-x),解得x≥2.4. y=-0.1x+9.6,k=0.1<0,.y随x的增大而减小， .当x=2.4时，y取得最大值，此时y=9.36. 答：A品种樱桃种植2.4亩时利润最大，最大利润是9.36万元. 27.【解】(1)设B种冰箱贴的单价为x元，则A种冰箱贴的单价 为(x+2)元. 由题意，得144=180 x-x+2’ 解得x=8, 经检验，x=8是原分式方程的解，且符合题意， 则A种冰箱贴的单价为8+2=10（元）， 答：A种冰箱贴的单价是10元，B种冰箱贴的单价是8元. (2)设购买A种冰箱贴m个，则购买B种冰箱贴(120-m)个 由题意，得m≥2020-m, 解得80≤m≤87，m为整数 10m≤870， 设总费用为w元，w=10m+8(120-m)=2m+960, :2>0,∴.w随m的增大而增大。 .当m=80时，w取得最小值， 此时w=2×80+960=1120(元)， 购买B种冰箱贴120-80=40（个）. 答：购买80个A种冰箱贴，40个B种冰箱贴总费用最少，最 少费用为1120元 17.专题复习卷（三）因式分解、分式与分式方程 1.C 2D【餐折1人名(a+引，能用院全平方公式证行因试 分解，不符合题意；B.2ab+a2+b2=(a+b)2,能用完全平方公式 进行因式分解，不符合题意；C.-a2+25=(5+a)(5-a),能用平方 差公式进行因式分解，不符合题意：D.-4-b2=-(4+b2),不能 用公式法进行因式分解，符合题意.故选D. 3.B【解析】x2--24=(ax+12)(x-2),.x2--24=a2- 2ax+12x-24,∴.x2--24=2-(2a-12)x-24,∴.a=1,2a-12 =k,把a=1代入2a-12=k中，得2-12=k,∴.k=-10.故 选B. 4.a(a+2)(a-2) 5.x+2【解析】，多项式x2-4x+m分解因式后的一个因式是x-6, ∴.当x=6时多项式的值为0，即62-4×6+m=0,∴.12+m=0, ∴.m=-12..x2-4x+m=x2-4x-12=(x-6)(x+2),.另一个 因式是x+2.故答案为x+2. 6.(1)(x+2)(x+5)(2)(2y-1)(y-2)(3)(x-9)(-x-2) 7.【解1(1)4a2-12ab+9b2=(2a-3b)2 (2)m2(m-1)+4(1-m)=(m-1)(m2-4)=(m-1)(m+2)(m-2). 8.【解】(1)将“x-y”看成整体，令x-y=A,则原式=1-2A+A2= （1-A)2,再将“A”还原，得原式=(1-x+y)2. (2)将“2-2n”看成整体，令n2-2n=A, 则原式=(A-3)(A+5)+17=2+2A+2=(A+1)2+1, 再将“A”还原，得原式=(2-2+1)2+1=(n-1)4+1. (n-1)4≥0，∴.(n-1)4+1≥1， .当n=1时，代数式(2-2n-3)(n2-2n+5)+17有最小值，最小 值为1. 9.【解】(1)3-3a2+a-3=(3-32)+(a-3)=a2(a-3)+(a-3)×1 =(a2+1)(a-3). (2)△ABC是等腰三角形.理由如下： .d2-2ac+c2=ab-bc, ..d2-2ac+c2-ab+bc =0, .(a-c)2-b(a-c)=0,∴.(a-c)(a-c-b)=0, .a-c=0或a-c-b=0. a,b,c是△ABC的三边长， ∴.a-c-b<0,∴.a=c, .△ABC为等腰三角形 10.A【解析】2a(x2-y2)-2b(x2-y2)=2(x2-y2)(a-b)=2(x+y)· (x-y)(a-b),信息中的汉字有：华、我、爱、中，所以结果呈现的 密码信息可能为爱我中华.故选A 11.A【解析】原式=(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b).a,b,c是 △ABC的三边长，∴.a+b>c,a<b+c,∴.a-c+b>0,a-c-b<0, ∴.(a-c+b)(a-c-b)<0,∴.代数式a2-2ac+c2-b2<0.故选A. 12.2【解析】.x-y=1,.2x24y+2y2=2(x2-24y2)=2(x-y)2 =2×12=2.故答案为2. 13.10【解析】9-x-=8×10×12,方程两边都乘k, 得(92-1)×(112-1)=8×10×12k,(9+1)×(9-1)×(11+1)×(11 -1)=8×10×12k,10×8×12×10=8×10×12k,得k=10, 经检验，k=10是原方程的解.故答案为10. 14.6860【解析】(2k+1)3-(2k-1)3=[(2k+1)-(2k-1)][(2k+ 1)2+(2k+1)(2k-1)+(2k-1)2]=2(12k2+1)(其中k为非负整 数.由2(121≤26，得k≤厚k=0,1289, 即得所有不超过2026的“和谐数”，∴.它们的和为[13-(-1)3] +(33-13)+(53-33)++(173-153)+(193-17)=193+1=6860. 故答案为6860. 15.【解】(1)(m+2n)(2m+n) （2).'每块小长方形的面积为12cm, ∴.mn=12. ,四个正方形的面积和为50cm2, .2m2+2n2=50,即m2+n2=25, .∴.(m+n)2=m2+n+2mn=25+24=49. :m>n>0,.m+n=7, 则所有裁剪线（虚线部分）的长度之和是 (2m+n)×2+(m+2n)×2 =4m+2n+2m+4n =6m+6n =6(m+n) =6×7 =42(cm) 答：图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和是42cm. 16.A17.D 18.B【解析】设一圈的路程为s,则跑第一圈所需的时间为三，跑 第二圈所需的时间为.“总时间=+三=s心+)， V2 4V22 :平均速度=25÷s+》=2业(（kmh).故选B, ViV2 V+v 19D【解折】A若A=cb,那么+-=品格分式的值 不变，则A不符合题意；B.若A=2a+2b,那么22a+2 2(2a+b) 20+2,分式的值不变，则B不符合题意；C.若A=ab,那么 2a+b 心可=。分式的值扩大为原来的2倍，则C不符合 4ab ● 真题圈数学八年级下 4a'b 题意：D,若A=ab,那么2物=06了 ,分式的值扩大为 原来的4倍，则D符合题意.故选D. 20.A【解析：+=3，+少=3，.” y xy “+3 ·原式=6×号2故选A 21.C【解析】由题图知S,=a2-b2,S,=a2-ab, . _S_a2-b_(a+bXa-b)_a+b-I+b S2 a2-ab a(a-b) a a>b>0,.1<1+b<2,即1<k<2.故选C a 22.2400 ”x(x+3) 【解析实际每名同学比原来少分摊车费.800-800 x x+3 ≥000x+3)800x800x+2400-800x=2400(元). x(x+3)x(x+3) x(x+3) 故答案为2400 x(x+3) 23.【解)-2x-3)） 4 =x2-2x-3x-2).x+2x-2) (x-2)2 x-3 =2-2x-3x+6.(x+2x-2) (x-2)2 x-3 =x-2x-3).x+2x-2) (x-2)2 x-3 =x+2. 当x=±2或3时，原分式无意义，.x可以为1或4， 当x=1时，原式=1+2=3； 当x=4时，原式=4+2=6. 24.C25.B 26.C【解析】分式方程去分母，得x=3+3k,即(3k-1)x=-3k 当3张1=0，即k=号时，方程无解；当k时，x=兴= 0或-1，分式方程无解，此时k=0.综上，k的值为0或3，故 选C 27.m>-6且m≠-3【解析】原分式方程去分母，得m+x= 2x-6,解得x=m+6.:该分式方程的解为正数，.m+6>0且 m+6≠3，解得m>-6且m≠-3.故答案为m>-6且m≠-3. 28.【解】(1)方程两边都乘(x-5),得4+2(x-5)=2-x,解得x=号 检验：当x=时，x-5≠0.所以x=是原分式方程的解. a+2(a+2a-2=1,方程两边都乘(a+ (2)方程变形为a-2-,2a-1 2a-2.得（a-22-(2a-1）=(a2)a-2,解得a=2 检验：当a=时，(a+2)(a-2)≠0所以分式方程的解是a-多， 29.【解】设走国道到达该景点需要的时间为xh,则走高速到达该 景点需要的时间为x品)h 由题意，得40。=30×2，獬得x=0.5 .10 x一60。 X 经检验，x=0.5是原方程的解，且符合题意 答：走国道到达该景点需要的时间为0.5h. 30.【解】设该工厂的工人平均每天生产熟宣x张，则平均每天生 产生宣2x张， 根据题意得700-400=1， 2x 解得x=500, 经检验，x=500是所列方程的解，且符合题意， 答案与解析 ..2x=2×500=1000. 答：该工厂的工人平均每天生产生宣1000张，平均每天生产 熟宣500张. (2)设生产熟宣y张，则生产生宣(10000-y)张， 根据题意得动0+1000。≤12， 1000 解得y≤2000，.y的最大值为2000 答：最多生产熟宣2000张. 18.专题复习卷（四）平行四边形 1.D【解析】：∠A=40°，AB=AC,.∠ABC=∠C=70°. :四边形BCDE是平行四边形，∴，∠E=∠C=70°.故选D. 2.A【解析】四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,CD =AB=11,BC=AD=7.AE平分∠BAD,.∠DAE= ∠BAE.AB∥CD,∴∠DEA=∠BAE,.∠DEA=∠DAE, ∴DE=AD=7.同理可得CF=BC=7,∴.EF=CF+DE- DC=7+7-11=3.故选A. 3.B【解析】由题意知CG平分∠BCD,∴.∠DCM=∠BCM AD∥BC,∴.∠DMC=∠MCB.∴.∠DMC=∠DCM,∴.DM =DC=V(7-4)2+4=5,.AM=2,.M(2,4).故选B. 4.D【解析】：口ABCD的周长为9：设BC=AD=x,则 CD=方×9x=9x:E1BC于点E,MF1CD于点R, 根据“等面积法”得AE·BC=4AF·CD,即4=69-， 解得x=8..口ABCD的面积=4x=4×8=32.故选D. 5.D【解析】，四边形ABCD为平行四边形，，AO=CO= )AC=3.:AB=6,PB=2PA,PA=2,PB=4由翻折 的性质可知PB'=PB=4.如图，连接PO,,∠BAC=90°， .PO=PA2+402 D =√22+32=13. 由三角形三边关系可知PB'-B∠ B C PO<OB.当P,O,B三点共线时， PB'-PO=OB',此时，OB'的长 第5题答图 最小，最小值为PB-PO=4-√3.故选D. 6.3【解析四边形ABCD是平行四边形，且AD=5,∴BC= AD=5,AD /BC,OC =OA,SANoC=SMRc:AB=3, AC=4,∴AB+AC=BC,∴△ABC是直角三角形，且∠BAC =90P,SaMc=74B4C=克×3X4=6S%e=3在 ∠OCE=∠OAF, △COE和△AOF中，{OC=OA, .∴.△COE2△AOF(ASA), ∠COE=∠AOF, ∴.S△cOE=SA4OF,则S阴影=S△4Or+S△BOE=SACOE+S△BOE= SAoc=3.故答案为3. 7.3或3√3【解析】分情况讨论：(1)如图①，四边形'CEF是平 行四边形，且点A与点F在直线AC的同侧，，AC=6,点E 为4C的中点，AE=CE=方4C=3由折叠的性质得4E =AE=3.:A'F∥CE,A'F=CE,.A'F∥AE,A'F= AE,∴。四边形A'EAF是平行四边形，∴.AF='E=3. A----- FG) ① ② 第7题答图 (2)如图②，四边形A'CFE是平行四边形，且点A'与点F在直 线AC的异侧，作CG⊥AB于点G.:∠AGC=90°，∠A= 30,.CG=)AC=3.AE=AE=3,.CF=AE=3. ∴.CF=CG.若点F与点G不重合，则CF>CG,这与CF= CG不符，∴.点F与点G重合.∴.∠AFC=∠AGC=90°，∴AF =VAC2-CF2=V62-32=33. 综上所述，线段AF的长为3或3√5.故答案为3或35. 8.【解】(1)设直线l的解析式为y=+b(k≠0)， :直线马与直线，x轴分别交于点4L引点C(4,0), k+6=弓解得 4k+b=0,b=2, :直线4的解斩析式为y=一方x2 (2)存在.“直线1y=)x+1与x轴交于点B,B(-2,0). 设D名，-号+2，E(0,m,分情况讨论： ①当D为平行四边形的对角线时，如图①.：A引，8(-2,0以 [-2+0-1+ 2 2 m+0=21 2 2 2 E B O ① ② 第8题答图 ②当c为平行四边形的对角线时，如图2.：4引B(-2,0》 0+1=-2+t 2 2 号1+2+0解得 m+22 2 2 综上所述，点D的坐标为-3，引(3，》 9.C 10.A【解析】：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC,OB=OD,OA=OC, ∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC. 甲：AF=CW,AM=CP, ∴.DF=BN,BM=DP, .△AMF≌△CPN(SAS),△BMN≌△DPF(SAS), ∴.MF=NP,N=PF, 则四边形MNPF是平行四边形， 故甲能判定四边形MNPF是平行四边形； 乙：，平行四边形ABCD的对角线交于点O,MP,NF均经过 点O,∴.OF=OWN,OP=OM, 则四边形MNPF是平行四边形， 故乙能判定四边形MWPF是平行四边形； 丙：NF经过点O,AM=PD,F,N的位置未知， 故丙不能判定四边形MNPF是平行四边形； 综上所述：能判定四边形MNPF是平行四边形的有甲、乙. 故选A.