9.第四章 因式分解 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）陕西专版

真题圈数学 同步 调研卷 八年级下 9.第四章学情调研 (时间：120分钟满分：120分) 图 期 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1.把多项式ab4-abc因式分解时，提取的公因式是ab4,则n的值可能为( A.5 B.3 C.2 D.1 2.(期末·23-24西工大附中)下列从左到右的变形，是分解因式的是( A.(a+2)(a-2)=a2-4 B.a2-a-2=a(a-1)-2 c21=x2+ D.2a2-4a=2a(a-2) 型 3.把5(a-b)+m(b-a)提公因式后一个因式是(a-b),则另一个因式是( A.5-m B.5+m C.m-5 D.-m-5 4.(月考·23-24西安高新一中)若x2+x-15能分解为(x+5)(x-3),则k的值是( ) A.-2 B.2 C.-8 D.8 5.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( 批 A.a2+(-b)2 B.5m2-20mn C.-x2-y2 D.-x2+9 6.如图，用图①中的三种纸片拼成如图②的长方形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各式正 确的是( 0 ① ② 槛咖 第6题图 附 A.3a2+3ab+b2=(a+b)(3a+b) 丽) B.3a2-3ab+b2=(a-b)(3a+b) 袋 C.3a2+4ab+b2=(a+b)(3a+b) D.3a2+4ab+3b2=(a+b)(3a+b) 7.（月考·24-25西安滨河学校改编)已知实数满足m2-m-2=0,则2m3-3m2-3m+2026=( A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 8.教材习题改编224-1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是() A.63,64 B.61,65 C.61,67 D.63,65 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9.开放性试题一个多项式，把它进行因式分解后有一个因式为α-2，请你写出一个符合条件的多项 式： 10.(期中·23-24西工大附中)若多项式4x2-mxy+9y2能因式分解为(a+b)2的形式，则m的值 为 11.如图，长与宽分别为a,b的长方形，它的周长为10，面积为6，则ab+2a2b2+ab3的 值为 12.因式分解x2+ax+b时，小明同学看错了a的值，分解的结果为(x+6)(x-1),小刚同 a 学看错了b的值，分解的结果为(x-2)(x+1),则a+b= 第11题图 13.(月考·23-24西安八十五中改编)已知a2+子=2a-b-2,则3a-号b的值为 14.新定义试题规定：如果一个正整数能表示为两个正整数m,n的平方差，且m-n>1,则称这个正整 数为“智慧优数”.例如，16=52-32,16就是一个智慧优数，可以利用m2-n2=(m+n)(m-n)进行 研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 第23个智慧优数是 三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程） 15.(期中·24-25西安交大附中改编)(6分)因式分解： (1)c3-4a2+4a. (2)x2(x-1)+9(1-x) 拒绝盗印 16.(6分)利用因式分解简便计算： (1)32×2026+42×2026+72×2026. (2)652×10-352×10. 29 17.(月考·24-25西安高新一中)(5分)已知y=-3,x-2y=3,求-244xy-4y的值. 18.(5分)如图，一个长方形模具的长为2a,宽为a,中间开出两个边长为b的正方形孔· (1)求图中阴影部分的面积（用含a,b的式子表示） (2)利用因式分解计算当α=66.7，b=33.3时，阴影部分的面积. 品 第18题图 精品图书 金星教育 19.方法探索（月考·24-25西安高新一中）(5分)阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因 式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2-2y+y2-16,我 们细心观察就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公 式进行分解.过程如下：x2-2xy+y2-16=(x-y)2-16=(x-y+4)(x-y-4),这种分解因式的方法叫分 组分解法.利用这种分组的思想方法解决问题： 已知a,b,c为△ABC的三边的长，且a2-b2-ac+bc=0,试判断△ABC的形状，并说明理由. 20.(月考·23-24西安八十五中)(5分)仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(x+3)(x+n), 则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, n+3=- m=3n, 解得n7 m=-21 ∴.另一个因式为x-7,m的值为-21. 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是2x-5,求另一个因式以及k的值 21.情境题(6分)在全国中学生编程比赛中，某校学子用“因式分解法”生成密码：将一个多项式因 式分解，如将多项式x3-4x分解的结果为x(x+2)(x-2).当x=20时，x-2=18,x+2=22,此时 可得到数字密码201822或182022等，绝瓷印 (1)根据上述方法，当x=16,y=4时，多项式x3-xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写 出两个即可) (2)将多项式x+(m-n)x2+x因式分解后，利用题干中所示的方法，当x=10时可以得到密码 101213,求m,n的值. 烯 0 22.(6分)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如： 8=32-12,16=52-32,24=72-52,则8、16、24这三个数都是奇特数 ® 抱 (1)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n取正整数)，由这两个连续奇数构造的奇特数是8的 p 倍数吗？为什么？ 共嫩 (2)如图，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，…，按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长 图州 为39，求阴影部分的面积. 墨抑 第22题图 精品图书 金星教育 23.思维探索（期中·22-23西安经开一校）(7分)阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简 化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把 这种因式分解的方法称为“换元法”。 制 下面是小涵同学用换元法对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)+9进行因式分解的过程 解：设x2-4x=y, 些0 原式=(y+1)(y+7)+9(第一步) 阳 =y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步) 最 品 =(x2-4x+4)2.（第四步) 国 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 A.提公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法 3 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： (3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解. 24.（期中·23-24西安西光中学)(7分)利用完全平方公式进行因式分解，是我们常用的一种公式 法.我们有些时候也会应用完全平方公式进行二次根式的因式分解， 例：7+4V3=4+45+3=22+2×2×√5+(V3)2=(2+V3)2 仿照例子完成下面的问题（参考例题要把结果进行化简） (1)若㎡=9-4V5,求a的值. (2)如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=15°，点D为BC上的点，满足AD=CD=4,求AC的长. 第24题图 25.（期中·23-24西安高新一中)(8分)数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形 的相互转化来解决数学问题的思想.我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法 (1)探究一：将图①的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图②的形状，拼图前后图形的面积不变，因此 可得一个多项式的因式分解： (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为α的大正方体进行以下探索： 在大正方体一角截去一个棱长为b(b<a)的小正方体，如图③所示，则得到的几何体的体积 为 再将图③中的几何体分割成三个长方体①②③，如图④所示，则根据图中的数据， 长方体①的体积为ab(a-b).类似地，表示出长方体②的体积为 ,长方体③的体积 为 当用两种不同的方法表示图③中几何体的体积时，就可以得到恒等式（将一个多项 式因式分解) (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6,ab=2,求a3-b的值 B M∠ b ① ② E 0 ③ ① ② ③ ④ 第25题图 精品图书 金星教育 3 26.方法探索(12分)阅读下面材料： 在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫作配方 法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式 分解，还能求代数式的最大值、最小值等问题 例如：求代数式x2-12x+200的最小值 解：原式=x2-12x+62-62+200=(x-6)2+164, ∴.当x=6时，(x-6)2的值最小，原式的最小值为164. 例如：分解因式：x2-120x+3456. 解：原式=x2-2×60x+602-602+3456=(x-60)2-144=(x-60)2-122 =(x-60+12)(x-60-12)=(x-48)(x-72) 请回答下列问题： (1)分解因式：x2-64x+1008. (2)若y=-x2+6x+1200,求y的最大值 (3)当m,n为何值时，代数式9m2+8n2+12mn-24n+45有最小值？并求出这个最小值 盗印必乳 关爱学子 拒绝盗印在Rt△CEG中，由勾股定理得EG=CE2-CG=27, 在Rt△BEG中，由勾股定理得BE=√BG+EG=2√19， ∴.PA+PB+PC的最小值为2√19 D ① ② 第26题答图 (3)存在.如图②，过点Q分别作AB,BC的垂线，垂足分别为T, S,连接CQ,AC,BQ ∴.∠QTM=∠QSN=∠QSB=90°. .∠B=90°，.∠TQS=90°=∠MQN, ∴.∠TQM=∠SQN=90°-∠MQS. .△MNQ是等腰直角三角形，∠MQN=90°， ∴.QM=QN,.∴.△TQM≌△SQN(AAS), .TQ=SQ,TM=SN, ∴点Q在∠ABC的平分线上，∠ABQ=∠CBQ=45°， ,∴.∠TQB=∠QBS=45°=∠TBQ=∠QBS,.BT=QT=QS=BS BM=CN,.'BM+TM=CN+SN,.'BT=CS, ·BS=Cs=3BC=20米， .∠QCS=∠QBS=45°. :AB=BC,∠ABC=90°， .∠BAC=∠ACB=45°， ∠ACB=∠QCB,.A,Q,C三点共线 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=√AB2+BC2=40N2(米)， 在Rt△QSC中，由勾股定理得QC=VQS2+CS2=20√2（米）， ·QC=)4AC,即点Q为4C的中点。 ,'∠BAD=105°，∴.∠CAD=∠BAD-∠BAC=60° 又AD=AC=40N2米， .△ADC是等边三角形， .DQ⊥AC,∴.DQ=VAD2-Ag2=206(米). 如图②所示，将△DPQ绕点Q顺时针旋转60°得到△GHQ,连 接PH,AG, 同理可得，PA+PQ+PD的最小值为线段AG的长， 过点G作GF⊥AC,交AC的延长线于点F,如图②， 由旋转的性质可得QG=DQ=20√6米，∠DQG=60°， ..∠GQF=180°-90°-60°=30°， :FG=3QG=106米， .QF=V0G2-FG2=30√2（米）， .AF=AQ+QF=50V2(米)， ∴.AG=VAF2+FG2=20N14(米)， ∴.PA+PD+PQ的最小值为20W14米 9.第四章学情调研 题号 1 2345678 答案 1.A【解析】：多项式的公因式是各项的数字因式的最大公因 数与同底数幂的最低次幂的乘积，∴.n≥4. 真题圈数学八年级下 又5>4，∴.A符合题意，B、C、D均不合题意。 故选A. 2.D3.A 4.B【解析】根据题意，得x2+-15=(x+5)(x-3)=x2+2x-15, 则k=2.故选B. 5.D【解析】A.a2+(-b)2=a2+2,不能因式分解； B.5m2-20mn=5m(m-4n),不符合题意； C.-x2-y2=-(x2+y2),不能因式分解； D.-x2+9=9-x2=(3+x)(3-x),符合题意.故选D. 6.C【解析】根据题图，得题图②是由题图①中的3个面积为a2 的正方形，4个面积为ab的长方形，1个面积为b2的正方形拼 成的，而题图②的面积为(a+b)(3a+b),则有3a2+4ab+b2=(a+ b)(3a+b).故选C. 7.B【解析】，m2-m-2=0,则2m3-3m2-3m+2026=2m3-2m2- 4m-m2+m+2026=2m(m2-m-2)-(m2-m-2)+2024=2024. 故选B. 8.D【解析】224-1=(212-1)(212+1)=(26-1)(26+1)(212+1)=63× 65×(22+1),则这两个数为63与65.故选D. 9.a(a-2)+b(a-2)(答案不唯一) 10.±12【解析】.·多项式4x2-mxy+9y2能因式分解为(a+b)2, ∴.m=±(2×2×3)=士12.故答案为士12. 11.150【解析】由题意可知a+b=5,ab=6,则a3b+2a2b2+ab3 =ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=6×52=150. 故答案为150. 12.-7【解析】(x+6)(x-1)=x2+5x-6, 小明看错了a的值而b的值没有看错，.b=-6. ,(x-2)(x+1)=x2-x-2,小刚看错了b的值，而a的值没有看 错，.a=-1..a+b=-1+(-6)=-7. 故答案为-7. 13.4【解析】a2+4=2a-b-2,-2a1+44b+1=(a 2 1024(3+1=0,即(a-102=0,(2+1=0,解得a=1, b=-2把a和b的值代人3a-)b,得3×1-号×(-2)=4 故答案为4. 14.1557【解析】注意到m-n>1,知m-n≥2，.m≥n+2 当m=+2时，由(n+2)2-n2=4+4n产生的智慧优数为8， 12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76, 80,…;当m=n+3时，由(n+3)2-2=9+6n产生的智慧优 数为15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81，…；当m= n+4时，由(n+4)2-2=16+8n产生的智慧优数为24,32,40， 48,56,64,72,80,…;当m=n+5时，由(n+5)2-2=25+10n 产生的智慧优数为35,45,55,65,75,85，…；当m=n+6时， 由(n+6)2-2=36+12n产生的智慧优数为48,60,72,84，…； 当m=n+7时，由(n+7)2-2=49+14n产生的智慧优数为63， 77,91,…;当m=n+8时，由(n+8)2-=64+16n产生的智 慧优数为80,96，…综上，将上述产生的智慧优数从小到大 排列为8,12,15,16,20,21,24,27,28,32,33,35,36,39,40， 44,45,48,51,52,55,56,57,60,63,64,65,68,69,…,故第3 个智慧优数是15；第23个智慧优数是57.故答案为15；57. 15.【解】(1)原式=a(a2-4a+4) =a(a-2)2 (2)原式=(x-1)(x2-9) =(x-1)(x+3)(x-3). 16.【解】(1)原式=2026×(32+42+72)=2026×(3+7)2 =2026×100=202600. (2)原式=10×(652-352)=10×(65+35)×(65-35) =10×100×30=30000. 17.【解】-xy2+4xy3-4x3y =-x3y2(x2-4xy+4y2) =-(xy)2(x-2y)2, 答案与解析 当y=-3,x-2y=写时， 原式=-3x(周)=x1 18.【解】(1)阴影部分的面积=2a·a-2b2=2a2-2b2. （2)当a=66.7,b=33.3时，阴影部分的面积=2a2-2b2- 2(a2-b2)=2(a+b)(a-b)=2×(66.7+33.3)×(66.7-33.3)= 6680. 19.【解】△ABC是等腰三角形.理由如下： 由条件可知(a+b)(a-b)-c(a-b)=0, .(a-b)(a+b-c)=0. a,b,c为△ABC的三边的长， ∴.a+b-c>0, 则a-b=0,即a=b, .∴.△ABC是等腰三角形 20.【解】设另一个因式为x+a,得2x2+3x-k=(2x-5)(x+a), 则2x43-k=24（2a-5x-5a,:2a-5=3解得a -5a=-k,fk=20, .另一个因式为x+4,k的值为20 21.【解】(1)x3-xy2=x(x-y)(x+y). 当x=16,y=4时，x-y=12,x+y=20, 则得到的数字密码为161220或162012等.（答案不唯一） (2)当x=10时，密码为101213，且x3的系数为1，由(1)知 x+2=12,x+3=13,.∴.x3+(m-n)x2+x=x(x+2)(x+3)= x3+5x2+6x,∴.m-n=5,n=6,即m=11,n=6. 22.【解】(1)由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数 理由：：(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2+1)=4n2=8n, .由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数. (2)S阴影都分=392-37+352-332+…+72-52+32-12=(39+37)(39-37） +(35+33)(35-33)+…+(7+5)(7-5)+(3+1)(3-1) =(39+37+35+…+3+1)×2 =(1+39)×20÷2×2 =800. 23.【解】(1)C (2)(x-2)4 (3)设x2+2x=y,则原式=y(y+2)+1=y2+2y41=(0y+1)2= (x2+2x+1)2=[(x+1)2]2=(x+1)4. 24.【解】(1)9-45=4-4V5+5=22-2×2×V5+(V5)2=(2- V5)2,a2=9-4V5,∴.a=2-V5或5-2. (2)AD=CD=4,.∴.∠C=∠CAD=15°， .∠ADB=∠C+∠CAD=30°. 在R△ABD中，“∠B=90,∴AB=)AD=2, ∴.BD=2√3，.BC=CD+BD=4+2√5， .AC=VAB2+BC=V2+(4+23=4+16+16W3+12= V32+165=V8(4+2√3)=V(2W2)21+V3)2=V(2√2+26)2 =2√2+2√6，即AC的长为2√2+2√6 25.【獬J(1)a2-b2=(a+b)(a-b) (2)a-b3 b2(a-b)a(a-b)a-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 分析：如题图③所示，得到的几何体的体积为α3-b3. .EN=b,DE=b,DM=a-b,.长方体②的体积为b(a-b). ,GH=a,FG=a-b,HR=a,.长方体③的体积为a(a-b), ∴.a3-b3=ab(a-b)+b2(a-b)+a2(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2), 则可以得到恒等式（将一个多项式因式分解）3-b3=(a-b)· (a2+ab+b2) (3)a-b=6,ab=2, ∴.a2+b2=(a-b)2+2ab=62+2×2=40, ∴.a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=6×(40+2)=252. 26.【解】(1)x2-64x+1008=x2-2×32x+322-322+1008 =(x-32)2-16=(x-32+4)(x-32-4)=(x-28)(x-36). (2)y=-x2+6x+1200=-(x2-6x)+1200 =-(x2-2×3x+32-32)+1200=-[(x-3)2-9]+1200 =-(x-3)2+1209, 当x=3时，-(x-3)2的值最大，.y的最大值为1209. (3)9m2+8n2+12mn-24n+45=9m2+12mn+4n2+4n2-24n+36+9 =(3m+2n)2+(2n-6)2+9, 当2n-6=0,3m+2n=0时，原代数式有最小值，∴.原式的最 小值为9，此时n=3,m=-2. 10.第五章学情调研 题号 12 3 45 67 8 答案CD DCA DAD 1.C2.D3.D4.C 5.A【解析】由题意得2x2y 4xy 25=2x+2v三x+y,·将分式 是中的x,y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为 原来的2倍，故选A 6D【解折1w:N=÷点2-网×= 2x 子2由条件可知x≠士2，x≠0，“子2≠0，放A选项不符 合题意：当子2-时，则x=2(舍去人选项B不符合题意： 当子2=1时x二0含去，法C不符合驱意：当子2=2 时，x=-1,选项D符合题意，故选D. 7.A 8.D【解析】分式方程去分母得m-5=x-1,解得x=m-4,由分 式方程的解是非负数，得到m-4≥0，且m4≠1，解得m≥4 且m≠5.故选D. 9.6x3y 10.1【解析】分式x的值为零， x+1 x-1=0解得x=1. x+1≠0， 故答案为1. 号·点效故答 1山.头【解析】油题知，被污染的代数式为·之 案为数 12.3【解析】设若==号=k,则x=6k,y=4k,z=3k,将其 代入分式中得+3=+2=1跳=3.故答案为3. 3y-2z12k-6k-6k 13.10oa。【解析】轮船在静水中的速度为akm/h,水流的 2 速度为b km/h(b<a),∴.顺流速度为(a+b)km/h,逆流速度为 (a-b)km/h:甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距 50m轮船往返两个谐日一次共需的时间为，”。+9。 孤p8D=.放答案为”0 (a+b)(a-b) a2-b2 14.1或-2解析】去分母，得2m(x+1)+m(x-1)=4,由分式 方程有增根，得x=1或x=-1,把x=1代人整式方程，得 2m×(1+1)+m×（1-1)=4,解得m=1;把x=-1代入整 式方程，得2m×(-1+1)+m×(-1-1)=4,解得m=-2.∴.m 的值为1或-2.故答案为1或-2. x