6.重难题型卷(二)图形的平移与旋转-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）陕西专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级下 6.重难题型卷（二） 湘粑 图形的平移与旋转 图州 题型一 图形的平移 些即 类型1平移中的坐标变化 1.（月考·24-25西安滨河中学)在平面直角坐标系中，将点 M(3m-1,m-3)向上平移2个单位长度得到点M,若点M在 x轴上，则m的值是( A.2 B.1 C.-1 D.-2 2.(期中·22-23西安铁一中)在平面直角坐标系xOy中，线段AB 的两个端点坐标分别为A(-1,-1),B(1,2),平移线段AB,平移 后其中一个端点的坐标为(3，-1)，则另一端点的坐标为( 9 A.(1,4) B.(5,2) 製 C.(-5,2)或(1，-4) D.(1,-4)或(5,2) 3.（期中·22-23西安交大附中)如图，在平面直角坐标系中，正 三角形OAB的顶点B的坐标为(4,0)，点A在 第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移 至△O'A'B的位置，此时点A'的横坐标为5，则 点B的坐标为( ) 批 A(6,23) B.(7,23 C.(6,33) D.(7,33) 第3题图 4.（月考·23-24西工大附中)如图，在△OAB 中，已知OA=OB=4,∠AOB=120° C为OB的中点，过点C作CD⊥y轴， 垂足为D.将△OCD向右平移，当点C 崇 的对应点C落在AB边上时，点D的 对应点D的坐标为 第4题图 类型2平移中的周长、面积问题 加 5.（期末·24-25西安高新一中)如图，两个直角三角形重叠在一 阳 起，将△ABC沿AB方向平移3cm得到△DEF,CH=4cm, 胞 EF=8cm,下列结论：①AC∥DF;②AD 最 =BE;③BE=BH;④∠C=∠EDF;⑤阴 影部分的面积为18cm2.其中正确的是( A.①②③④⑤ B.①②⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤ 第5题图 6.如图，△ABC的周长为12cm,将△ABC沿BC方向平移，得到 △DEF,连接AD,则阴影部分的周长为 cm 第6题图 第7题图 7.（期中·24-25西安三中)在平面直角坐标系中，点A在x轴上， 点B(0,-7),线段AB向右平移3个单位长度得到线段CD, 线段CD与y轴交于点E,若图中阴影部分面积是15，则点E 的坐标为 类型3平移中的最值问题 8.四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0,4),B(3,0),C(4, y),D(4,y+1),则四边形ABCD周长的最小值为() A.12 B.6+25 C.6+√17 D.6+√34 9.（月考·23-24陕师大附中)如图，在四边形ABCD中，对角线 AC⊥BD于点O,若AC=6,BD=9,则AB+CD的最小值 为 A O B B'C 第9题图 第10题图 第11题图 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(-2,0),B(0,1),C(0, 4),将线段AB向右平移，则在平移过程中，AC+BC的最小值 是 11.（期末·23-24西安铁一中)如图，在长方形ABCD中，AB= 4,BC=8,连接AC,在AC上方过点A作AE⊥AC,且AE =AC.将△ABC沿BC方向平移，得到△A'BC,连接EA', EC',则EA'+EC的最小值为 题型二图形的旋转 类型1旋转中的边角问题 12.（月考·24-25西安滨河学校)如图，∠CAB=25°，∠ABC= 40°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED,连接CD,若点D, 19 C,B在同一条直线上，则∠BDE的度数为( A.65° B.60° C.55o D.50° ① ② 第12题图 第13题图 13.(期中·22-23西安爱知中学)把一副三角尺按如图①所示 的位置放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D= 30°，斜边AB=12,DC=14,把三角尺DCE绕点C按顺时 针方向旋转15得到△D,CE,(如图②)，此时AB与CD,相交 于点O,连接AD,则线段AD,的长为( A.6V2 B.10 C.12 D.√85 14.(月考·23-24西工大附中)如图，将△ABC绕点C顺时针旋 转得到△A'BC,旋转角为a(0°<a<180°)，其中点A'与点A 是对应点，点B与点B是对应点.若点B恰好落在AB边上， 且A'B⊥AC,∠ACB'=26°，则旋转角a的度数为 拒绳 B 第14题图 第15题图 15.(期中·23-24西安爱知中学改编)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD,将CD绕点 C逆时针旋转90°得到CE,连接AE.若AD=3√2，BD= √2，则四边形AECD的面积为 16.（期中·23-24陕师大附中)旋转是几何图形运动中的一种重要 变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题， 某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探 究：△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF= 90°，D为BC中点，将△DEF绕点D旋转，连接AE,CF 观察猜想：(1)如图①，在△DEF旋转过程中，AE与CF的 位置关系为 探究发现：(2)如图②，当点E,F在△ABC内且C,E,F三 点共线时，试探究线段CE,AE与DE之间的数量关系，并说 明理由 解决问题：(3)若在△ABC中，AB=√5，则在△DEF旋转过 程中，当AE=√2且C,E,F三点共线时，直接写出DE的长 D B ① ② 备用图 第16题图 类型2旋转中的最值问题 精品 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时 针旋转得到△A'B'C,M是BC的中点，P是A'B的中点，连 接PM若BC=2,∠BAC=30°，则线段PM的最大值是() A.4 B.3 C.2 D.1 第17题图 第18题图 18.（月考·23-24西安铁一中)如图，在等边三角形ABC中，AB= 6,BD⊥AC,垂足为D,E为AB中点，M为EB中点，点N 在边AC上，且DN=2NC,点F从BD的中点Q出发沿 射线QD运动，连接EF,将线段EF绕点E顺时针旋转60° 得到线段EP,连接FP,MP,MP,当P+MP最小时， 题型三构造旋转 类型1借助旋转解决几何问题 19.(期中·22-23咸阳启迪学校)如图，点E为D C 正方形ABCD内一点，如果BE=30,CE =20,DE=10,那么正方形ABCD的面 积为 4 20.情境题问题提出： 第19题图 (1)如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=8, 则AB= 问题解决： (2)如图②，某社区有一块六边形空地ABCDEF,其中AF =CD,EF=ED,∠BAF=105°，∠FED=120°，∠BCD= 135°.连接AE,CE后发现四边形ABCE为长方形.该社 区计划将长方形ABCE内部作为休闲广场区域，△AEF和 △ECD内部作为绿化区域.设AE的长为x(单位：m),CE 的长为y(单位：m). ①求y与x之间的函数关系式； ②若x=100,求绿化区域的面积.（△AEF和△ECD的面积 之和，结果不取近似值) ① ② 第20题图 20 类型2借助旋转解决最值问题 21.（月考·22-23西安滨河学校)如图，在平面直角坐标系中， 已知A(2,0),B(5,0),点P为线段AB外一动点，且PA =2,以PB为边作等边三角形PBM,则线段AM的最大 值为( A.3 B.5 C.7 D.√21 49 0 A B B H 第21题图 第22题图 22.(期中·22-23西工大附中)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=30°，点P是底边上的高AH上一点.若AP+2BP的最小 值为2√2，则AC的长为( A.2 B.2 C.2W2 D.4 23.(期中·23-24西工大附中改编)如图，点P是长方形ABCD生 内部一点，若点P到A,B,C三点的距离之和的最小值为 2√万，BC=√3AB,则这个长方形的面积是 D D 第23题图 第24题图 24.(模考·2024西安铁一中陆港八模改编)如图，在边长为2√5 的等边三角形ABC中，点D是三角形内部的一个动点，连接 DA,DB,DC,点E为△BCD内部的一个动点，连接BE,CE, DE,则AD+DE+CE+BE的最小值是 25.（期末·22-23西安铁一中)如图，△ABC 为等边三角形，点P为△ABC内一点，且 M PB=3,PC=5,∠BPC=150°，M,N分 别为AB,AC上的动点，且AM=AN,则 B PM+PW的最小值为 第25题图23.(1)【证明】，∠ACB=90°，AC=BC=4,CD⊥AB, ∴.∠CAD=∠B=45°，AB=√42+42=4V2,.△ADC, △CDB均为等腰直角三角形，∴.CD=AD=BD=2V2. 由题意可知∠DCF=90°=∠ADC,CD=CF,'.CF=AD. 又LAGD=∠FGC,∴.△ADG≌△FCG(AAS),∴.AG=GF 2)[解1：△MDG≌△FCG,∴CG=DG=号CD=2. ∠GCF=90°，CF=CD=2√2， :△GCF的面积=)CG·CF=3×V2×22=2 :AG=GF,.△ACF的面积=2S△GC=2×2=4. 24.【解】如图，连接AP,PP, A 由旋转，知BP=BP,∠ABP +∠ABP'=∠PBP=90°. ,△ABC是等腰直角三角形， ∴.AB=BC,∠CBP+ ∠ABP=∠ABC=90°， P .∠ABP=∠CBP', B ∴.△ABP≌△CBP'(SAS),. 第24题答图 AP=P'C. .P A:P'C=1:5,..AP P'C=5 P'A. 在Rt△PBP中，BP=BP,.∠PPB=45°， 由勾股定理易知PP=√2PB.:∠APB=135°， ∴.∠APP=135°-45°=90°，即△APP是直角三角形 设P'A=x(x>0),则AP=√5x,由勾股定理得PP'= √AP2-P'A=2x,PP'=√BP2+PB2,.Pp'=√2P'B= 2x,解得PB=V2x, 25.【解】(1)，·一次函数y=2x+6的图象分别交x轴，y轴于A,B 两点，.A(-3,0),B(0,6), ∴.OA=3,OB=6. ,将一次函数y=2x+6的图象绕点0顺时针旋转90°得到直 线L,且直线1分别交x轴，y轴于C,D两点， ∴.OD=OA=3,OC=OB=6, ∴.D(0,3),C(6,0) 设直线1的表达式为y=ac+b(k≠0)， 1 63解得k=方 6k+b=0, b=3, 直线1的表达式为y=-)x+3. (2)将直线1沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度后，得到直 线y=-(x-m)+3, 平移后的直线恰好经过点B(0,6), “5m+3=6,解得m=6, 26.【解】(1)2V5分析：由旋转可知△ADB≌△AFC, ∴AD=AF,∠B=∠ACF,DB=FC. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC .∠B=∠ACB=45°，∴.∠FCE=90° 由旋转可知∠BAC=∠DAF=90°， :∠DAE=45°，.∠FAE=45°，.∠DAE=∠FAE. AE=AE,∴△ADE≌△AFE(SAS),∴.DE=FE CF=BD=4,CE=2, .由勾股定理可得EF=2√5，∴.DE=2√5 (2)①EF=BE+DF 证明：如图①，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AB与AD重合， .∴.△ABM≌△ADF,∴.AF=AM,∠DAF=∠BAM 真题圈数学八年级下 :∠EAF=)∠BAD,LBAD=2∠EAE, .∠DAF+∠BAE=∠EAF, ∴.∠BAM+∠BAE=∠EAM=∠EAF :AE=AE,.△FAE≌△MAE(SAS), ∴.EF=EM=BE+BM=BE+DF,即EF=BE+DF G 、、H 、D F E ② 第26题答图 ②如图②，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG,连接 AF,过点A作AH⊥GD,垂足为H. :∠BAD=150°，∠DAE=90°，.∠BAE=60° 又：∠B=60°，∴.△ABE是等边三角形. 由旋转可得△ADG≌△ABE,∠ADG=∠B=60°，△ADG是等 边三角形. AH L GD,DH GD-AD-40 m,ZHAD=30. 由勾股定理可得AH=40v5m ∠ADF=120°，.∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上. .DF=(40N3-40)m, .HF=HD+DF=40+40W5-40=40W5(m),.HF=AH, ∴.∠HAF=45°，∴.∠DAF=∠HAF-∠HAD=45°-30°= 15°，从而∠EAF=∠EAD-∠DAF=90°-15°=75° 又.·∠GAF=∠GAD+∠DAF=60°+15°=75°=∠EAF,且 AG=AE,AF=AF,∴.△AGF≌△AEF(SAS),.EF=GF =GD+DF=80+40√5-40=(40W5+40)m,即这条道路EF 的长为(40W5+40)m 6.重难题型卷（二）图形的平移与旋转 1.B【解析】由题知，将点M(3m-1,m-3)向上平移2个单位 长度后，所得点M的坐标为(3m-1,m-1),点M在x轴上， .m-1=0,解得m=1.故选B. 2.D【解析】分情况讨论：①若点A(-1,-1)平移后得到的点的 坐标为(3，-1)，则线段AB向右平移了4个单位长度，.点B(1, 2)平移后对应点的坐标为(1+4,2)，即(5,2)： ②若点B(1,2)平移后得到的点的坐标为(3，-1)，则线段AB向 右平移了2个单位长度，向下平移了3个单位长度，.点 A(-1,-1)平移后对应点的坐标为(-1+2，-1-3)，即(1，-4). 综上，另一端点的坐标为(1，-4)或(5,2).故选D. 3.D【解析】如图，过点A作AD⊥OB于点D,:△OAB是正三 角形，点B的坐标是(4,0)，AD⊥OB, A ∴.OB=OA=4,OD=2, ∴.AD=2√3，.点A的坐标是(2,2W3) 设直线OA的表达式为y=x, 把点(2,2W3)的坐标代入得k=√3， ∴.直线OA的表达式为y=V3x, .点A'的坐标为(5,5V3),点A向右平移 第3题答图 3个单位长度，向上平移35个单位长度得到点A",.B的坐标 为(7,33).故选D. 4.(2,V5)【解析】：OA=OB=4, 42 ∠AOB=120°，C为OB的中点， B ∴.∠B=∠BA0=30°，OC=2. :∠AOD=90°，.∠COD= 30,CD=30c=1,00= OE O' OC2 CD2=, 第4题答图 答案与解析 .点D的坐标为(0，√3) 将△OCD向右平移，当点C的对应点C落在AB边上时，点D 的对应点为D',如图，作CE⊥x轴于点E,则CE=OD=√3， AC=2√5，根据勾股定理可知AE=3,.OE=4-3=1, ∴.O0=OE+E0=2, ∴.△OCD向右平移了2个单位长度， .点D的对应点D的坐标为(2，√3). 故答案为(2，√3). 5.B【解析】：'△ABC沿AB方向平移3cm得到△DEF, .AC∥DF,AD=BE=3cm,故①②正确，符合题意： ,△ABC沿AB方向平移3cm得到△DEF,CH=4cm,EF= 8 cm,.'.BC=EF=8 cm,.'BH BC-CH=8-4 =4(cm), .BH≠BE,故③错误，不符合题意；AC∥DF,∴∠C= ∠BHD,∠A=∠EDF,故④错误，不符合题意；阴影部分的面积= Suc-SADSDMx(4+8)x3-18(cm), 故⑤正确，符合题意.综上所述，正确的是①②⑤.故选B. 6.12【解析】·将△ABC沿BC方向平移得到△DEF, ∴.AD=BE,AB=DE,∴.阴影部分的周长=AD+EC+DE+AC= BE+EC+AB+AC=BC+AB+AC 12 cm. 故答案为12. 7.(0,-3)【解析】连接BC,AE(图略).设OC=x,OE= y:CE∥AB,·SAom=SAe,7x3x7=7×(7-y) x(3+)①，又：7×(3+x)×7-7=15②，由①②可得 x=2.25,:E(0,-3).故答案为(0，-3).【方法二：过点D作 y=3, DF上x轴于点F(图略由平移得S開影=S四边形oe(OB+7) ×3=15,.0E=3,E(0,-3).】 8.D【解析】如图所示，作点A关于直线x=4的对称点A'(8,4), 将点B向上平移1个单位长度得到点B (3,1),再连接AB',交直线x=4于点D, A' 此时四边形ABCD周长最小，最小值为 AB+CD+A'B.A(0,4),B(3,0), .AB=5,A'B=V34」 B 又CD=BB=1, 第8题答图 ∴.AB+CD+A'B=5+1+N34=6+V34, .四边形ABCD周长的最小值为6+√34.故选D 9.3V3【解析】如图，将AB平移至CE,使A,C两点重合 连接BE,DE,则AB∥CE,AB=CE, D ,∴.∠ABC=∠ECB. 又.BC=CB,.△ABC≌△ECB 0 .AC=BE,∠ACB=∠EBC, .AC∥BE,.∠DBE=∠DOC=B 90°. .AB+CD=EC+CD,∴.要使AB+CD 取得最小值，即CE+CD取得最小值 .CD+EC DE,AC=6,BD=9, .当D,C,E三点共线时，CE+CD取 得最小值，且最小值为DE的长.，DE 第9题答图 =√BE2+BD2=VAC2+BD2=3V13,∴.AB+CD的最小值为 313.故答案为33 10.√53【解析】当线段AB向右平移时，AC+BC的值，可看作线 段AB不动，点C向左平移同样距离后AC+BC的值，此时，点 C在直线y=4上向左移动.作点B关于直线y=4的对称点 D(0,7),连接AD(图略)，则BC=CD.当A,C,D三点共线时， AC+BC有最小值，最小值为AD的长，由勾股定理可得AD= √22+72=V53.故答案为53， 11.4√29【解析】如图①，建立如图所示的平面直角坐标系. 设A(m,0),则C(m+8,-4).由题意得E(0,8),则A'E+CE =V82+m2+V122+(m+8)2,欲求V82+m2+V122+(0m+82的 最小值，相当于在x轴上找一点M(m,0),使得点M到P(0,8), Q(-8,12)的距离之和最小，如图②，作点P关于x轴的对称点 P',连接QP'交x轴于点M,此时MP+MQ的值最小，最小值为 线段PQ的长.：P(0,-8),Q(-8,12),.PQ=V82+202 =429,∴.A'E+CE的最小值为429.故答案为4N29 8A Q M 2 B ① ② 第11题答图 12.D【解析】∠CAB=25°，∠ABC=40°，.∠ACB= 180°-∠CAB-∠ABC=115°.点D,C,B在同一条直线上， .∠ACD=∠CAB+∠ABC=65°.由旋转的性质得，∠ADE= ∠ACB=115°，AD=AC,∴.∠ADC=∠ACD=65°，∴.∠BDE =∠ADE-∠ADC=50°.故选D. 13.B【解析】·∠ACB=∠DEC=90°，∠D=30°， .∠DCE=90°-30°=60°，.∠ACD=90°-60°=30° :旋转角为15°，.∠ACD,=30°+15°=45 又：∠CA0=45°，.∠AOC=90°，.△AC0和△BCD都是 等腰直角三角形， ·40=C0=B0=3AB=3×12=6 DC=14,.D,C=DC=14,.D,0=14-6=8. 在Rt△AOD,中，AD,=V62+82=10.故选B. 14.52°【解析】'B'LAC,.∠BDC=90°，∴.∠DBC= 90°-∠DCB'=90°-26°=64°.由题意可知BC=B'C,∠B =∠A'BC=64°，∴.∠CBB=∠B=64°，.∠BCB'=180°- 2×64°=52°，即旋转角a的度数为52°.故答案为52°. 15.8【解析】AD=3V2,BD=V2,.AB=4V2. 'AC=BC,∠ACB=90°， ,.AC2+BC2=32,可知AC=BC=4. 由旋转的性质得CD=CE,∠DCE=90° 又：∠ACB=90°，.∠ACE=LBCD. BC=AC. 在△ACE与△BCD中，{∠BCD=∠ACE, CD=CE, .△BDC≌△AEC(SAS), .SABDC=SAAEC S边形HBcn=SAAFC+SAACD=SAD+SM△cD 即Sa边形CD=SAM=3AC·BC=3×4×4=8 故答案为8. 16.【解】(1)AE⊥CF (2)CE-AE=√2DE理由如下： 如图①，连接AD,△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，D 为BC中点，.AD⊥BC,∠B=∠ACB=∠BAD=∠CAD=45°， .AD=BD=DC,∠ADC=90, .∠ADE=∠EDF-∠ADF=90°-∠ADF,∠CDF=∠ADC ∠ADF=90°-∠ADF, ∴.∠ADE=∠CDF AD=CD. 在△AED和△CFD中，{∠ADE=∠CDF DE=DF, ∴.△AED≌△CFD(SAS), .∠EAD=∠FCD,AE=CF, .CE=CF+EF=AE+EF,..CE-AE EF :△DEF是等腰直角三角形，即DE=DF, ∴.EF2=DE+DF2=2DE, :EF=2 DE, .CE-AE=√2DE. (3)Y6,-2或2+6 2 2 分析：已知AB=√5，AE=√2，C,E,F三点共线 ①如图2，由(2)可知，DE=5ER,∠EAD=∠FCD. :∠ACD=∠ACE+∠FCD=45°，∠DCF+∠FCAH∠DAC=90°， ∴.∠EAD+∠FCA+∠DAC=90°， ∴.∠AEC=90°. 在Rt△ACE中，AB=AC=V5,AE=CF=V2, .CE=VAC2-AE2=5-2=V5, .EF CE-CF=3-, 0e=兽-6-2 2 ②如图③， :△ADE≌△CDF,AE=CF=V2,∠DAE=∠DCF, .∠DCF+∠EAC+∠ACD=∠DAE+∠EAC+∠ACD=90°， .∴.∠AEC=90°， .CE=AC2-AE2=5-2=3, ∴.EF=CF-CE=√2-V3(不符合题意舍去). ③如图④，，△DEF是等腰直角三角形， .∴.∠F=∠DEF=45° 同理可证△ADE≌△CDF, ∴.∠AED=∠F=45°， ∴∠AED+∠DEF=45°+45°=90°=∠AEC, 即△ACE是直角三角形. 在Rt△ACE中，AC=AB=√5，AE=CF=√2， .CE=√AC2-AE2=√5-2=√5， .EF=CF+CE3 由勾股定理得EF=√2DE, ·DB=2E=Y2(5+=2+6 2 2 2 综上所述，DE的长为V6,-2或2+V6 2 2 ② ⊙ ④ 第16题答图 17.B【解析】如图，连接PC.在Rt△ABC 中，∠A=30°，BC=2,∴.∠B= A 60°，AB=4.根据旋转的性质，得 ∠A'CB'=90°，∠A'=30°，∠B'=60°， 4'B'=AB=4,.'.B'C=TA'B'=2.P 是A'B的中点，.B'C=PB=2, M 第17题答图 真题圈数学八年级下 ∴△B'CP 是等边三角形， ∴PC=2. ∵CM=BM=1，PM≤PC+CM， 即 PM≤3， ∴ 当点 P，C，M 共线时，线段 PM 取最大值，为3. 故选B. $$1 8 . \frac { 4 \sqrt 3 } { 3 }$$ [解析]在等边 △ABC 中，4B A =6，BD⊥AC，E 为 AB 的中点， $$\therefore A D = C D = \frac { 1 } { 2 } A C = 3 ， \angle A =$$ E $$\angle A B C = 6 0 ^ { \circ } ， \angle A B D = \angle C B D = 3 0 ^ { \circ } ，$$ $$A E = B E = \frac { 1 } { 2 } A B = 3 .$$ M N ∵DN=2NC，∴DN=2. B P C 过点 E 作 EK⊥BF 交 BF 于点 K G $$\because \angle A B D = 3 0 ^ { \circ } ， B E = 3 ，$$ 第18题答图 $$\therefore E K = \frac { 3 } { 2 } ， B K = \sqrt { B E ^ { 2 } - E K ^ { 2 } } = \frac { 3 } { 2 } \sqrt 3 . Q Q =$$ 为BD的中点，BD $$= \sqrt { A B ^ { 2 } - A D ^ { 2 } } = 3 \sqrt 3 ， \therefore B Q = \frac { 1 } { 2 } B D = \frac { 3 } { 2 } \sqrt 3 ， \therefore B K = B Q ，$$ ，即点 K，Q 重合，如图 $$\angle B E Q = \angle A = 6 0 ^ { \circ } ， E Q \bot B D . \because M$$ 为EB中 点， $$\therefore M E = \frac { 1 } { 2 } B E = \frac { 3 } { 2 } = E Q . \because$$ 将线段EF绕点E顺时针旋 转 $$6 0 ^ { \circ }$$ 得到线段 EP， $$\therefore \angle F E P = 6 0 ^ { \circ } = \angle B E Q ， E P = E F ， \therefore \angle M E P = \angle Q E F ，$$ $$\therefore \triangle M E P \cong \triangle Q E F \left( S A S \right) ， \therefore \angle E M P = \angle E Q F = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ∴ 点 在线段 BE 的垂直平分线上运动， 如图，以M为顶点， MP 为一边，作 $$\angle P M G = 3 0 ^ { \circ } ，$$ ，过点P作 PG⊥MG， 则 $$P G = \frac { 1 } { 2 } M P ， \therefore N P + \frac { 1 } { 2 } M P = N P + P G .$$ ∴ 当点 N，P，G 共线时， NP+GP 最小，即 $$N P + \frac { 1 } { 2 } M P$$ 最小.当 点 N，P，G 共线时， $$\because \angle B M G = \angle B M P - \angle P M G = 6 0 ^ { \circ } = \angle A ，$$ $$\therefore M G \parallel A C ， \therefore \angle G H D = \angle H D N = \angle H G N = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，易知四边形 HGND 是长方形， $$\therefore H D = G N ， H G = D N = 2 ， \angle G N D = 9 0 ^ { \circ }$$ $$\because B M = \frac { 3 } { 2 } ， \angle M B H = 3 0 ^ { \circ } ， \therefore M H = \frac { 1 } { 2 } B M = \frac { 3 } { 4 } ， B H =$$ $$\sqrt { B M ^ { 2 } - M H ^ { 2 } } = \frac { 3 \sqrt 3 } { 4 } ， \therefore G N = H D = B D - B H = \frac { 9 \sqrt 3 } { 4 } ， M G$$ $$= M H + H G = \frac { 1 1 } { 4 } . \because \angle P M G = 3 0 ^ { \circ } ， \angle P G M = 9 0 ^ { \circ } ， \therefore M P =$$ $$2 G P ， \therefore M G ^ { 2 } + G P ^ { 2 } = M P ^ { 2 } = \left( 2 G P \right) ^ { 2 } ，$$ $$G P = \frac { \sqrt 3 } { 3 } M G = \frac { 1 1 \sqrt 3 } { 1 2 } ，$$ $$\therefore P N = G N - G P = \frac { 4 \sqrt 3 } { 3 } ， \therefore S _ { \triangle D F N } = \frac { 1 } { 2 } D N \cdot P N = \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times \frac { 4 \sqrt 3 } { 3 }$$ $$= \frac { 4 \sqrt 3 } { 3 }$$ 故答案为 $$\frac { 4 \sqrt 3 } { 3 }$$ $$1 9 . 5 0 0 + 2 0 0 \sqrt 2$$ 【解析】如图，将 △CDE 绕点C逆时针旋转 $$9 0 ^ { \circ }$$ 得到 “△CBE'， ，连接 EE'， ，过点 B 作 BH⊥CE'， ，交 CE 的延长线于 点 H，∴△CEE 是等腰直角三角形，由勾股定理易得 EE'= $$\sqrt 2 C E = 2 0 \sqrt 2 ， \therefore E E ' = 8 0 0 .$$ D $$\because B E ' ^ { ' 2 } = D E ^ { 2 } = 1 0 0 ， B E ^ { 2 } = 9 0 0 ，$$ E $$\therefore E E ' ^ { 2 } + B E ' ^ { ' 2 } = B E ^ { 2 } ，$$ $$\therefore \angle E E ' B = 9 0 ^ { \circ } .$$ E' $$\because \angle C E ' E = 4 5 ^ { \circ } ， \therefore \angle B E ' H = 4 5 ^ { \circ } ， A$$ B 即 △BHE 是等腰直角三角形， 第19题答图 ∴ 由勾股定理易得 $$B H = E ' H = 5 \sqrt 2 ，$$ $$\therefore C H = 2 0 + 5 \sqrt 2 .$$ $$\because B C ^ { 2 } = B H ^ { 2 } + C H ^ { 2 } = \left( 5 \sqrt 2 \right) ^ { 2 } + \left( 2 0 + 5 \sqrt 2 \right) ^ { 2 } = 5 0 0 + 2 0 0 \sqrt 2 ，$$ ∴ .正方形的面积为 $$5 0 0 + 2 0 0 \sqrt 2 .$$ 故答案为 $$5 0 0 + 2 0 0 \sqrt 2 .$$ 答案与解析 20.【解】(1)4V5 M (2)①将△EDC绕点E顺时针旋 4、 F 转120°，得到△EFM,连接AM,如A: 图. :四边形ABCE为长方形， ∴.∠BAE=∠AEC=∠BCE= 2 90°. ∠BAF=105°，∠BCD= 第20题答图 135°，.∠PFAE=15°，∠3=45° 由旋转，得ME=CE,CD=MF=AF,∠MEF=∠CED,∠4= ∠3=45°，∠MEC=∠FED=120°，故∠MEA=30°， ∴·∠AFM=∠FAE+∠AEF+∠FEM4∠4=∠FAE+∠4+∠MEA= 15°+45°+30°=90°. .MF=AF,.∠1=∠2=45°， ∴.∠AME=∠2+∠4=45+45°=90°， .∴.在Rt△AME中，∠MEA=30°， ÷AM=2AE, 由勾股定理可得ME=√3AM, ∴.CE=ME=V5AM, cE=9AB,即y=9x ②在Rt△AMF中，由勾股定理可得AM=√2AF=√2MF, 故SAMe=号AF·MF=子AMP 当x=100时，y=50W5,AM=50m,ME=50V3m, SAME=24M:ME=7×50×50W3=1250W5(m, SAe=子AMP=625m2, 故绿化面积=SAAEF+SAECD=SAAB+S△MBr=S△AwE-S△Mr= (1250W5-625)m2. 21.B【解析】如图，将△APM绕着P点顺时针旋转60°，得到 △DPB,连接AD,则DP=AP, ∠APD=60°，AM=BD, ∴△ADP是等边三角形， ∴.BD≤AD+AB,可得当点D在BA 的延长线上时，BD最长，此时点D 与点0重合. B :点A的坐标为(2,0)，点B的坐标 A 为(5,0)，.AB=3,AD=AO=2, 第21题答图 ∴BD的最大值为AD+AB=5=AM, ∴.线段AM的最大值为5.故选B. 22.B【解析】如图，将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG, .'MG=BP,MA BA. 4 连接PG,CM ,AB=AC,AH⊥BC, M ∴.∠BAP=∠CAP :PA=PA,∴.△BAP≌△CAP (SAS),∴.PB=PC AG=AP,∠GAP=60°， ∴△GAP是等边三角形， .PA=PG, 第22题答图 .PA+PB+PC=PG+GM+PC, ∴当点M,G,P,C四点共线时，PA+PB+PC的值最小，最小 值为线段CM的长. ,·AP+2BP的最小值为2√2，即PA+PB+PC的最小值为2V2, ∴.CM=2√2..∠BAM=60°，∠BAC=30°， ∴.∠MAC=90°.∴.由勾股定理易得AM=AC=2.故选B. 23.45【解析】将△BCP绕点B顺时针旋转60得到△BTG,连 接PG,AT,如图，过点T作D TH⊥AB交AB的延长线于 点H.由旋转可得PC=GT, BP=BG,∠PBG=60°， .△PBG是等边三角形， .'PB=PG, ww .PA+PB+PC=PA+PG+GT, B .当点T,G,P,A共线时， 第23题答图 PA+PB+PC的值最小，最小值为线段AT的长，则AT=2√万 设AB=m,则BC=√3m, :BC=BT=√5m,∠ABC=90°，∠CBT=60°，.∠TBH= 30m=号7=9，Bn=Br-m-号，h =多m由题意得4：=7H2h:=寻m2+孕m2=7m= 7AB2,.7AB2=(2√7)2， 则AB=2,∴BC-2V5, .此长方形的面积为2×2√3=4V3.故答案为4V3 24.6【解析】将△CEB绕点C逆时针旋转60°得到△CEB',连接 EE,BB',易证△CEE为 等边三角形， .CE=EE',根据旋转 H 的性质，可知 △CEB≌△CE'B', D :BE B'E',.AD +DE+CE+BE AD+ 第24题答图 DE+EE'+B'E'. 当点A,D,E,E,B'共线时，AD+DE+CE+BE的值最小，连接 AB,AC=BC=2√3，△ACB为等腰三角形 又∠ACB'=∠ACB+∠BCB=60°+60°=120°，.∠CAB'=30° 过点C作CH⊥AB交AB于点H, 在Rt△ACH中，∠CAH=30°， .CH=3,AH=AC2-CH2=3,.AB'=2AH=6, ∴.AD+DE+CE+BE的最小值是6.故答案为6. 25.√34【解析】如图①，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到 △ACE,连接EP,AP,易证△PCE是等边三角形，∠AEC= ∠BPC=150°，∠PEC=60°，∴∠AEP=90° .AE=BP=3,PC=PE=5, .PA=V32+5=V34 如图②，将△APM绕点A逆时针旋转60°得到△AFN,连接 PF易证△PAF是等边三角形，PM=NF,.PF=AP=√34 :PM+PN=NF+NP≥PF,.PM+PN≥√34， .PM+PN的最小值为√34. 故答案为√34 、E M P ① ② 第25题答图