第三章《问题解决活动：最短距离》专项练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第三章《问题解决活动：最短距离》2025-2026学年北师大版数学大版八年级下册 一、单选题 1．如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．如图，在中，，，，是的平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B．7 C． D． 4．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 5．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点C的坐标是（  ）． A． B． C． D． 6．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 9．直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（  ） A． B． C． D． 10．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 12．如图，一个圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C．这只蚂蚁爬行的最短路程为______（用含根号的式子表示）． 13．如图，直线与，轴分别相交于点，，点在线段上，且点坐标为，点为线段的中点，点为上一动点，则当的周长最小时，点的坐标为___． 14．如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为____． 15．如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是________． 三、解答题 16．如图的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使的值最小．（保留必要作图痕迹）． 17．如图，在由长度均为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点，，均在小正方形的顶点上（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)的面积为____________； (3)在直线上找一点，使得的值最小； (4)在直线上找一点，使得的值最大． 18．如图，平原上有，，，四个村庄，为解决当地饮水问题，政府准备出资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位置，使它到四个村庄的距离之和最小． (2)计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短？请画出来，并说明依据． 19．如图①，，两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现规划修建一座过街人行天桥． (1)天桥应建在何处才能使由单位经过天桥走到单位的路程最短？在图②中作出此时桥的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）． (2)根据图①中提供的数据计算由单位经过天桥走到单位的最短路线的长（单位：）． 20．综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 21．请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是__________米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若． （1）求的最小值，并说明理由； （2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 22．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 23．探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为； (1)则的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离； 探索材料2（填空）： (2)①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到的距离与到的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点往三个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到三点的距离之和最小？ (3)结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时的范围是______； ②代数式的最小值是______，此时的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章《问题解决活动：最短距离》2025-2026学年北师大版数学大版八年级下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D A D C C B A D 1．A 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点O，可得，则，由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．设点关于的对称点为，关于的对称点为，根据当点、在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：如图，分别作点P关于，的对称点C，D，连接，，，，． 点P关于的对称点为点C， ，，， 点P关于的对称点为点D， ，，， ，， 是等边三角形， ， 的周长， 即周长的最小值是7． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H，根据角平分线定义以及对称可以得到，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积求出的长即可得到结果． 【详解】解：如图，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H， 是的角平分线，与关于对称， 点在上，， ， ， ∴ 解得， ， 的最小值为． 故选：D． 4．A 【分析】连接，，由等边三角形的性质，可得，，，可得，从而可得当点为与的交点时，取得最小值，最小值为，由的面积可得，即可得的最小值． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形， ∴， 又∵于点， ∴， ∵点是上一个动点， ∴， ∴， 当点为与的交点时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值是． 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，最短路径，与三角形的高相关的计算，找到取最小值的位置是解答的关键． 5．D 【分析】本题主要考查了轴对称与最短路径问题，一次函数的概念与图象，熟练掌握轴对称的性质和线段的性质定理是解题关键． 在中，为定值，因此当最小时，的周长最小．作点B关于y轴的对称点，连接，，当点C 在上时，最小．利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出点C的坐标． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为和， ∴为定值， ∴当最小时，的周长最小， 如图，作点B关于y轴的对称点，连接，， 由轴对称的性质可知，，点的坐标为， ∴， 当A、C、三点共线时，取最小值， 设直线的解析式， 将，；，代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式， 当时，， ∴点的坐标为． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 7．C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接、，由于是等腰三角形，点是底边边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接、， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴ ∵ ∴当A、M、D三点共线时，值最小， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，最短距离等知识，连接、,由勾股定理求得,再由直角三角形斜边上的中线性质得出，当在同一直线上时，取最小值，即可得出答案，熟练掌握其性质得出三点在同一直线上时，取最小值是解决此题的关键． 【详解】解：如图，连接, 在中，, 由勾股定理得：, ,点、分别是、的中点， ,, 当在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：, 故选：． 9．A 【分析】本题考查了平移﹣最短路径问题，掌握转化思想是解题的关键．先根据平移的性质，把问题转化为最短路径问题，再轴对称的性质作图． 【详解】解：∵， ∴先把和点P向上平移，使与重合，点P平移到，再连接交于点F， 再反方向平移回原来位置即可， 故选：A． 10．D 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键． 求的最小值，因为是定值，则当的值最小时即可，将线段沿着方向，平移得到，当点重合时，点三点共线，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】解：从点到的路径为的值， ∵是定值， ∴当的值最小时，从点到的路径最短， 如图所示，将线段沿着方向，平移得到，点与点重合， 当时，点三点共线，， ∴由两点之间线段最短得，的值最小， 故选：D ． 11．正确 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 【详解】解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 12． 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是会掌握圆柱的侧面展开图，并利用勾股定理解答．先把圆柱体沿剪开，则的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示，圆柱体的侧面展开图为： 底面圆周长为， ， 又， 在中，， 蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了一次函数的性质，中点坐标公式，轴对称求最短路径的几何模型，熟练掌握轴对称求最短路径是解题的关键． 作关于轴对称点，连接，交轴于点，把转化为，的周长转化为，当点与点重合时，的周长最小，由直线求出和的坐标，根据点为线段的中点，求出对称点的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，令即可求出的坐标． 【详解】解：如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，当点与点重合时，的周长最小， ， 的周长， 点在直线上， ， ， 由直线，当时，， ， 点为线段的中点， ， ， 设直线解析式为，把和代入得：，解得， ， 当时，， 点的坐标为． 故答案为：． 14．4 【分析】作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，得到，则，当、、三点共线时，有最小值等于的长，最后判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， ，， 平分， ， ． 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值等于的长， 又，，， ， 是等边三角形， ，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短和等边三角形的判定，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 15． 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． 如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ，，，， ， ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小， 最小值为， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 16．(1)见解析，点的坐标为 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，利用网格求三角形的面积，最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）分别作出点，，关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）用割补法求面积即可； （3）根据两点之间，线段最短，连接，与轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为； （2）解：； （3）解：如图所示，点即为所求． 17．(1)见解析 (2)11 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积可得出结论； （3）连接，交直线于点，由此即可得解； （4）连接，并延长交直线于点，由此即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：．如图： ． （3）解：如图，点即为所求． （4）解：如图，点即为所求． 【点睛】本题考查的是作图，轴对称变换，熟知轴对称的性质，正确利用轴对称求最短路线是解答此题的关键． 18．(1)见解析 (2)见解析；依据：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接、交于，则为蓄水池位置； （2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直的线段． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如图，过点作，垂足为．沿线段开渠最短． 依据：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 【点睛】此题主要考查了线段的性质以及垂线段的性质，正确掌握相关线段的性质是解题关键． 19．(1)画图见解析   作法见解析 (2) 【分析】（1）由经过天桥走到的最短路程为，由于是定值，因此只需要考虑使最短．因为它们是分散的两条线段，故先将其中一条平移，如图平移到，此时连接交于，即可得桥的位置； （2）过点作的垂线，垂足为，则由经过天桥走到的最短路线的长：，在中，运用勾股定理求出的长，即可求出最短路线的长． 【详解】（1）解：作法：①将点竖直向下平移到点，使（长度如题图①）， ②连接，与交于点， ③过点作于点， ④连接，． 天桥建在处能使由单位经过天桥走到单位的路程最短，如图①． （2）解：过点作的垂线，垂足为，如图②． 由（1）得，，， 连接， ， 在和中 ， ， ． 在中，，， ， 则， ． 故由单位经过天桥走到单位的最短路线的长为． 【点睛】本题主要考查了平移最短路线问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，有一定难度，根据“两点之间，线段最短”找到桥址的位置是解题的关键． 20．（1）见解析；（2）见解析；（3）图见解析，整个过程所行的路程为． 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】解：（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径． 由题意，得， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 21．任务1：520米 任务2：（1）6，理由见解析      （2）10 任务3：9 【分析】本题考查了最短路径问题（涉及轴对称、垂直平分线的性质），解题的关键是利用轴对称或垂直平分线“到线段两端点距离相等”的性质，将折线路径转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解． 任务1通过作对称点，结合中点与的条件转化路径求最短距离； 任务2利用垂直平分线性质转化线段，结合线段最短求及三角形周长的最小值； 任务3作对称点转化折线路径，结合角度条件求面积和． 【详解】任务1 解：作关于河岸的对称点，设的中点为M，连接， ∵，且点到中点的距离为米， ∴到该中点的距离为米， ∵， ∴， ∴，， 又点C、M、D在同一条直线上，则, ∴, ∴点在同一条直线上， 最短距离（米）． 故答案为：． 任务2 （1）解：由“两点之间线段最短”，当在与直线的交点时， ∴的最小值为． （2）解：∵直线是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的最小值为, ∴的最小值为6, ∴周长最小值． 任务3 解：作关于的对称点，关于的对称点，连接交于、交于，则此时，取得最小值．连接． 则，，，， ，， ∵，， ∴． 22．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 23．(1)6，，x, (2)①点A和点B之间；②点B上 (3)①7，②；③ 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离最值问题，掌握数轴上两点之间的距离公式、绝对值的性质是解题的关键． （1）探索材料1（填空）：根据给出的材料填写即可； （2）探索材料2（填空）：分情况讨论点P的位置，使点P到其他点的距离之和最小； （3）结论应用（填空）：根据探索材料2得出的结论填写即可． 【详解】（1）∵ 故答案为： （2）①（i）当点P在点A左边时， （ii）当点P在点A与点B之间时， （iii）当点P在点B右边时， ∴当点P在点A和点B之间，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小． 故答案为：点A和点B之间 ②（i）当点P在点A左边，， （ii）当点P在点A和点B之间，， （iii）当点P在点B和点C之间， （iv）当点P在点C右边， ∴最小值为，当点P在点B上时，值最小为 ∴当点P在点B上时，才能使P到A，B，C三点的距离之和最小 故答案为：点B上． （3）①由探索材料2得，当时，有最小值，最小值为 ②由探索材料2得，这是在求点x到三个点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为 ③由探索材料2得，这是在求点x到四个点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为 故答案为：①②③ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $