1.第一章 三角形的证明及其应用 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）陕西专版

真题圈数学 同步 调研卷 八年级下 1.第一章学情调研 (时间：120分钟满分：120分) 图州 坐聊 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1.(月考·24-25西安交大附中)在△ABC中，AB=AC,若∠A=40°，则∠C为( A.40° B.50° C.60° D.70° 2.如图，已知∠1=45°，∠B=65°，则∠2的度数为( A.105° B.120° 如 D C.115 D.110° 第2题图 3.情境题（月考·23-24西安高新三初）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC,工人师 傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D,就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种 操作方法的依据是( A.等边对等角 B.等角对等边 C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一” /345678910 D D B B 0 第3题图 第5题图 第6题图 4.（月考·24-25西安铁一中)在用反证法证明“△ABC中至少有一个内角小于或等于60°”时，应先 假设这个三角形中( A.有一个内角大于60° B.有一个内角大于等于60° C.每一个内角都大于60° D.每一个内角都小于60° 5.(期中·22-23西工大附中)如图，射线OC平分∠AOB,点D,Q分别在射线OC,OB上，若OQ=4, △ODQ的面积为10，过点D作DP⊥OA于点P,则DP的长为( 警加 H A.10 B.5 C.4 D.3 品 6.(期末·23-24西安新城区)如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上.若直尺的下沿 国 MN⊥DE,且经过点B,直尺的上沿PQ经过点E,则∠ABN的度数为() A.52° B.54° C.60° D.72° 7.（期末·22-23西安高新一中)在△ABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边，有下列结论：①若 ∠B=∠C-∠A,则△ABC是直角三角形；②若a2=(b+c)(b-c),则△ABC是直角三角形；③若a:b:c =1:√2：√3，则△ABC是直角三角形；④若∠A:∠B:∠C=3:4:5,则△ABC是直角三角形.其中 错误的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 8.（月考·23-24陕师大附中)如图，在△ABC中，AB=AC=13,BC=24,点D为BC边上一点， 将△ACD沿AD翻折至△AC'D,AC交BC于点E,若CD∥AB,则AD的长为() 第8题图 A.6 B.√26 C.√29 D.11 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9.请写出“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题： 10.(月考·23-24西安三中)已知等腰三角形的一条边长等于4，一条边长等于9，则这个三角形的 周长为 11.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8,点M,N在边OB上，PM=PN.若MN=2, 则OM的长是 N 正n边形 正n边形 人60 —B 正n边形 B B 第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 12.如图是某小区花园内用正n边形铺设的小路的局部示意图，若用3块正n边形围成的中间区域 是一个小正三角形，则n的值为 13.(期中·22-23西安铁一中)如图，已知四边形ABCD中，AB=AD=√2，CB=CD=√5， ∠DAB=90°，若线段DE平分四边形ABCD的面积，则DE= 14.(期中·23-24西安交大附中)直角三角形ADE和ABC的直角顶点重合在点A,∠E=45°，∠C =60°，DE=AB=2,M,N分别是边AC,DE上的动点，且DN=AM,则AN+BM的最小值 是 三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程） 15.(5分)如图，在△ABC中，∠ACB=85°，∠B=70°，∠ACD=35°，求∠BDC的度数. 第15题图 16.(5分)求一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多180°，求这个多边形的边数 精品图书 金星教 17.(5分)如图，△ABC的外角平分线与BC的延长线交于点E.求证：AB≠AC D A B 第17题图 18.(5分)三个村庄A,B,C的位置如图所示，线段AB,BC,AC分别是连通两个村庄之间的公路.现 要修一个水站P,使水站不仅到村庄A,C的距离相等，并且到公路AB,AC的距离也相等，请在 图中作出水站P的位置.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） B 第18题图 19.(月考·23-24西安八十五中)(5分)如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮， 经测量，∠B=90°，AB=12m,BC=9m,CD=20m,AD=25m,求种植草皮的面积是多少. o B 第19题图 盗印必 爱学子 拒绝盗印 20.(5分)如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且BE=CF,∠BDE= 30°.求证：△ABC是等边三角形 D 第20题图 21.情境题（模考·2024西安滨河学校八模）(6分)中考英语听力测试期间需要杜绝考点周围的噪 声.如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500m的C点处有一消防队.在 令 狗 听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援.已 知消防车的警报声传播半径为400，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改 6 道行驶.试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由.（√3≈1.732） 图州 北 墨即 h5° 750 第21题图 载 22.(7分)如图，在四边形ABCD中，AD=DC,AB∥DC,∠ABC=90°.过点C作CE⊥AD交AD 的延长线于点E,连接BE,AC 精品 数 求证：(1)CE=CB. 金星教育 (2)AC垂直平分BE. 第22题图 巡咖 23.（期中·24-25西安交大附中)(7分)如图，在△ABC中，∠A=100°，D为AC边上一点，连接 BD,BD=DC,过点D作BC的垂线，垂足为E. (1)若∠ABD=20°，求∠C的度数. (2)若CE=5,△BDC的周长为24，求BD的长. 第23题图 24.(8分)如图①是一个平分角的仪器，其中OD=OE,FD=FE. (1)如图②，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D,E分别在边AB,AC上，沿AF画 一条射线AP,交BC于点P试证明仪器画出的AP是∠BAC的平分线 (2)如图③，在(1)的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q,若PQ=3,AB=7,△ABC的面积是 19.5,求AC的长. 拒绝盗印 A0) 0 P ① ② ③ 第24题图 25.(8分)如图，在Rt△ABC中，AB=3,BC=4,动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动 点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回.点P,Q的运动 速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，同时点Q也停止运动，设它们的运动 时间为ts (1)设△CBQ的面积为S,请用含有t的代数式来表示S. (2)记线段PQ的垂直平分线为直线1，当直线1经过点C时，求AQ的长. D 第25题图 直题 精品图书 金星教 26.(期中·24-25西工大附中改编)(12分)问题发现： (1)如图①，已知边长为4的等边三角形ABC,AE是△ABC的中线，点D为AC的中点，点P为 AE上一动点，则PC+PD的最小值为 问题探究： (2)如图②，已知在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°，∠ABC+∠D=135°，连接AC,且 CD=20,AC=26,求BC的长. 问题解决： (3)某公园规划一个四边形花园ABCD,如图③，其面积为(1600V3-1200)平方米，设计一条 观赏路BD将花园分成两部分，分别种植不同的花卉，根据设计要求，∠ABC=60°，BD平分 ∠ABC,由于地形需要，计划在其四周围上护栏，公园已有长度为(80√3-60)米的护栏恰好全部 用于AB和BC处，AD与CD两处需购买新的护栏，若护栏20元/米，为了节约成本，求公园购 买护栏的最少费用.（观赏路的宽度和护栏的厚度忽略不计） C○ ① ② ③ 第26题图 关爱学子 拒绝盗印答案与解析 同步调研卷 1.第一章学情调研 题号12345678 答案DDD C BBA B 1.D【解析】：AB=AC,∴.∠B=∠C.又：∠A=40°，.∠C =(180°-∠A)=)×(180°-40)=70°.故选D. 2.D【解析】∠2是△ABD的一个外角，∴∠2=∠1+∠B= 45°+65°=110°.故选D. 3.D4.C 5.B【解析】过点D作DE⊥OB于点 E,如图，：0Q=4, ÷5A0=7×4×DE=10, -C ∴.DE=5. OC是∠AOB的平分线，DP⊥OA,O —B DE⊥OB,.DP=DE=5.故选B. 第5题答图 6.B【解析】：五边形ABCDE是正五边形，∴.∠A=∠AED= 5-2)×180°=108°，由图形可得MN将原正五边形分成两个 5 四边形，MN上方的四边形的内角和为(4-2)×180°=360°. ,MW⊥DE,∴.∠ABN=360°-108°-108°-90°=54°.故选B 7.A【解析】∠B=∠C-∠A,∴.∠A+∠B=∠C.∠A+∠B+ ∠C=180°，∴.2∠C=180°，.∠C=90°，∴.△ABC是直角 三角形，故①正确. a2=(b+c)(b-c）,.a2=b2-c2,∴a2+c2=b,.△ABC是 直角三角形，故②正确. :a:b:=1:2:5,.a2+b2=c2,∴.△ABC是直角三角形， 故③正确. ,∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°，.最大角∠C =180°×3+4+5=750<90°，△4BC不是直角三角形，故 5 ④错误.即错误的个数为1.故选A 8.B【解析】如图，过点A作AG⊥BC于点G, ,AB=AC=13, ·∠ABC=∠C,BG=2BC= .G B E 12,AG=AB2-BG2=5. .'CD∥AB,.∠BAE=∠C, 第8题答图 ∠ABC=∠C'DE. 由折叠的性质得∠C=∠C,AC=AC=13,',∠ABC=∠BAE =∠C=∠CDE,∴.AE=BE,CE=DE,.BD=AC=AC =13,∴.DG=BD-BG=13-12=1, ∴.Rt△ADG中，AD=√AG2+DG2=√26.故选B. 9.一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形 10.22【解析】，·等腰三角形的一条边长等于4，一条边长等于9， ∴.当腰长为4时，三边长分别为4,4,9,4+4<9，不构成三角形； 当腰长为9时，三边长分别为4,9,9，可构成三角形，三角形的 周长=9+9+4=22.故答案为22. 11.3【解析J如图，过点P作PD⊥OB于点D, 在Rt△OPD中，.∠ODP=90°，∠POD= 60,∠0PD=30,10D=20P=方× -4 PM-PN.PDLMN.MV-2.MD-0460 M D NB ND=号MN=1,.OM=OD-MD=4-1=第11题答图 3.故答案为3. 12.12【解析】，正三角形的一个内角是60°，.正n边形的一 个内角=(360°-60°)÷2=150°，.正n边形的一个外角= 180°-150°=30°，.n=360°÷30°=12.故答案为12. 13.53【解析】如图，连接BD交AC于点O,过点D作DM1 BC于点M.:AB=AD=V2,CB=CD=V5, .点A,C在线段BD的垂直平分 D 线上，即AC垂直平分BD. .'∠DAB=90°， .BD=AB2+AD2=2, SAm=)AB·AD=之X5× 2=1, 第13题答图 .D0=B0=1,.C0=VBC2-OB2=2, ·Sam=2BC·DM=7BD·0C=7×2×2=2, 四边形ABCD的面积为1+2=3，DM=45 51 BM-JBD-DAF-4--25 :线段DE平分四边形ABCD的面积，.SAce=3,SAne= 方BE:C5=1:3,B服=原BM=8M-8服=5 201 ÷E=VD+BW=停+易=厚故答案为厚 4 14.√0【解析】方法一：如图①，过点D作ED的垂线FD,使 FD=AB=2,连接FN,:DN=AM,∠FDN=∠BAM=90°， '.△FDN≌△BAM(SAS), .FN=BM,∴.AW+BM=AW+FPN≥AF当点F,N,A三点共线 时，AN4BM取到最小值，即FA的长.过点F作AD的垂线交AD的 延长线于点G,:△EDA为直角三角形，且LE=45°，∴.∠EDA= 45°，.∠FDA=90°+45°=135°，∴.∠FDG=45°.在等腰直 角三角形FGD中，根据勾股定理得，FG+GD2=FD,即2FG =4,得FG=DG=V2,同理AD=4E=V2,∴AG=2√2 在Rt△FGA中，根据勾股定理，得AF=√FG+AG=√0，则 AW4BM的最小值为V0.故答案为√0. F E ---.N M B ① y Q 0 H Q' ③ 第14题答图 方法二：如图②，过点A作AF⊥DE于点F,则DF=EF= 4=1设N=AM=0<x2）则AN=aD+ =VP+I-x),BM=VAB2+AM=V22+x2,进而得AW4BM =V2+1-x)2+V22+x2.如图③，在直角坐标系中，设点H(x 0),P(1,1),Q(0,2),则HP+HQ=√12+1-x+V2+x2,因 此要求AW+BM的最小值，只需求出HP+HQ的最小值即可.作 点Q(0,2)关于x轴的对称点Q(0,-2),连接PQ'交x轴于点R, 连接HQ',当点H与点R重合时，HP+HQ最小，最小值为线段 PQ'的长，然后求出PQ'=√10，由此可得AN+BM的最小值为 √0.故答案为√0 15.【獬】.∠B=70°，∠ACB=85°， ..∠A=180°-∠B-∠ACB=25° ∠ACD=35°，.∠BDC=∠A+∠ACD=60°. 16.【解】设这个多边形的边数是n, (n-2)×180°=2×360°+180°， 解得n=7. 这个多边形的边数是7 17.【证明】假设AB=AC. AB=AC,.∠B=∠ACB, 又∠DAC=∠B+∠ACB,∠DAC=2∠DAE=2∠CAE, ∴.∠ACB=∠CAE, ,·AE∥BC,与△ABC的外角平分线与BC的延长线交于点E 相矛盾，.AB≠AC 18.【解】如图，点P即所求 N D 第18题答图 19.【解】如图，连接AC,∠B=90°，.AC=AB+BC=122+ 92=152. 在△ADC中，AD2=252,CD2= 202,而152+202=252， ∴AC2+CD2=AD2,△ADC是 直角三角形，∠ACD=90°， 种植草皮的面积为S。DcA SAMc=2AC·CD-2AB·BC 第19题答图 =2x15x20-2×12x9=96(m). 答：种植草皮的面积是96m?, 20.【证明】：D是BC的中点， ∴.BD=CD. :DE⊥AB,DF⊥AC, ∴△BED和△CFD都是直角三角形 在Rt△BED和Rt△CFD中， BD=CD, BE=CF, ∴.Rt△BED≌Rt△CFD(HL), ∠B=∠C,∴AB=AC. ∠BDE=30°，DE⊥AB, .∠B=60°，∴.△ABC是等边三角形 21.【解】消防车不需要改道行驶，理由如下： 过点A作AD⊥CF于点D,如图 由题意得∠CAG=15°， .∠ACE=15°. .∠ECF=75°，∴.∠ACD= 15G 60°，.∠CAD=30°. :CD=34C=250m E 在Rt△ACD中，AD= 75 D √AC2-CD2=V5002-2502= 250√3≈433(m),433>400, 第21题答图 .消防车不需要改道行驶 真题圈数学八年级下 22.【证明(1)如图，：AD=DC, .∠1=∠3. AB∥DC,.∠2=∠3， D .∠1=∠2， .AC是∠BAD的平分线. :∠ABC=90°，CB⊥AB. CE⊥AD,.CE=CB. (2),·CB⊥AB,CE⊥AD, .△ACB,△ACE均为直角三角形. 第22题答图 [AC=AC, 在Rt△ACB和Rt△ACE中， CB=CE, .Rt△ACB≌Rt△ACE(HL),∴.AB=AE. 又CE=CB,∴.AC垂直平分BE. 23.【解】(1)BD=DC, ∠DBC=∠C. ∠BDC=∠ABD+∠A=120°， ∠DBC=∠C=180°，120°=30 2 (2).BD=DC,DE⊥BC, .BC=2CE=10.△BDC的周长为24， ∴.BD+DC=24-10=14,.BD=7. 24.(1)【证明]在△ADF和△AEF中， A AD=AE, DF=EF, AF=AF, G .△ADF≌△AEF(SSS), ∴.∠DAF=∠EAF, ∴.AP平分∠BAC 第24题答图 (2)【解】如图，过点P作PG ⊥AC于点G,:AP平分∠BAC,PQ⊥AB, PG=PQ 3.SAABC SAABP+S AACP, ÷号A8P0+74CPG=195, .(4B+AC)-PQ =19.5.AB 7,PQ =3,.AC=6. 25.【解(1)：Rt△ABC中，AB=3,BC=4, .AC=VAB2+BC2=V32+42=5. 如图①，当0<1≤3时，BQ=4,BC=4,S=2×4×1=2L 如图②，当3<1≤5时，AQ=t-3,则BQ=3-(-3)=6-, S=2×4×(6-0=12-2z综上，5=20<1≤3引 12-2t(3<t≤5). A B ① ② B ③ 第25题答图 (2)如图③，：线段PQ的垂直平分线1过点C,∴.CP=CQ =5-t. 在Rt△BCQ中，BC+BQ=CQ,由(1)知，分两种情况讨论： ①4=(5-识，解得1=品：②44(6-2=(5-识，解得 答案与解析 1=受>5，不符合题意.4Q=3品=沿即4Q的长为器 26.【解】(1)2√5分析：如图①，连接BP,BD,:△4BC是等边 三角形，AE是△ABC的中线，D是AC的中点，∴.AE⊥BC, BD⊥AC,.PC=PB,∴PC+PD=PB+PD≥BD,∴.当点P 在BD上时，PC+PD的值最小.由题知AB=4,AD=AC=2, .BD=√AB2-AD2=2√5，∴.PC+PD的最小值为2√3 W H ③ 第26题答图 (2)如图②，过点A作AE⊥AC,并截取AE=AC,连接CE, BE,过点E作EF⊥BC,交CB的延长线于点F,连接BE, ∴.∠CAE=∠F=90°. ,∠BAD=90°，.∠CAE=∠BAD .'.∠CAE-∠BAC=∠BAD-∠BAC, ∴∠BAE=∠CAD. AB=AD,.△EAB≌△CAD(SAS), ∴.BE=CD=20,∠ABE=∠D .∠ABC+∠D=135°， ,∴.∠ABE+∠ABC=135°， .∠EBF=180°-（∠ABE+∠ABC)=45° 在Rt△BEF中，EFP2+BF2=BE2, F=B歌=要aE=105 .∠CAE=90°，AE=AC=26, ∴.CE=VAE2+AC2=26√2， ∴.CF=VCE2-EF2=V(26W2)}2-10W22=24V2, .BC CF-BF =142 (3)如图③，在BA的延长线上截取AE=BC,过点D作 DF⊥BC交BC的延长线于点F,作DG⊥BE于点G,作 EH∥BD,截取EH=BD,连接AH,DH,设BE和DH交于点 A',作A'W⊥EH于点W, ,∴.∠AEH=∠ABD=∠CBD=30°， .∴△AEH≌△CBD(SAS), .'AH=CD, ∴.CD+AD=AH+AD≥DH, ∴，当H,A,D三点共线时，AH+AD最小，即CD+AD最小，此 时点A在点A'处. :BD平分∠ABC,∴.DF=DG. 由S AABD+S△BCD=S四边形ABCD, 得2ABDG+号BCDF=(MB+BC)DG=1600W5-1200, ∴7×(805-60)DG=1600W5-120, 解得DG=40米.，'∠ABD=30°， .BD=2DG=80米， .EH=BD=80米. 在△A'BD和△A'EH中， ∠BA'D=∠EAH, ∠ABD=∠AN'EH, BD=EH, .△A'BD≌△A'EH(AAS), ∴.AE=AB,A'D=A'H, ·.A'E=2BE=(AB+AE)=(AB+BC)=(805-60)= (40√3-30)米， A'W=3A'B=(205-15)米，Ew=AE2-Am= (60-15√3)米，.HW=EH-EW=(20+15√3)米， .AH=VHW2+A'W2=V(20+15V3)2+(20√3-15)2=50（米）， .DH=2AH=100米， .20×100=2000(元)， ∴.公园购买护栏的最少费用为2000元。 2.重难题型卷（一）特殊三角形 1.D【解析】如图，过点B作 B BM⊥AC于点M,过点D 作DN⊥CE于点N A M N BC⊥CD,BM⊥AC, 第1题答图 ∴.∠MBC+∠BCM=90°， ∠BCM+∠NCD=90°，.∠MBC=∠NCD.又.'BC=CD, ∠BMC=∠CND,∴.△BCM≌△CDN(AAS),∴.CN=BM AB=BC CD DE,.AM=MC=3 cm,CN NE. 在Rt△BMC中，由勾股定理得BM=4cm, .∴.CW=BM=4cm,∴.CE=2CWN=8cm.故选D. 2.45【解析诞长AP到点D,点D为网格线交点，连接BD(图 略)，则PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,.PD+ DB2=PB2,∴.∠PDB=90°，.∠DPB=∠PAB+∠PBA=45 故答案为45. 3.4.5【解析J延长AP交BC于点E,如图.，BP平分∠ABC, .∠ABP=∠EBP:AP⊥BP, ∴.∠APB=∠EPB=90°. 在△ABP和△EBP中， 「∠ABP=∠EBP, PB=PB. ∠APB=∠EPB, 第3题答图 ∴.△ABP≌△EBP(ASA), .AP PE,SAABP SAEBP:SAACP=SAECP' ·SAc=7SAc=7×9=45(cm2). 故答案为4.5. 4.2√厅【解析如图，连接AC交BD于点O, ,△ABD是等边三角形，∴.AB=AD= BD=8,∠BAD=60°.BC=DC,∴.AC 垂直平分BD,.∠BAO=∠DAO=30°， BO=OD=4.CE∥AB,∴.∠BAO= B ∠ACE=30°，∠CED=∠BAD=60°， ∴.∠DAO=∠ACE,∴AE=CE=6, C ∴.DE=AD-AE=2.:∠CED=∠ADB= 第4题答图 60°，.△EDF是等边三角形，∴EF=DF=DE=2,∴CF= CE-EF=4,OF=OD-DF=2由勾股定理可得OC=VCF2-OF2 =V42-22=2√3，BC=V0B2+0C2=2W7. 故答案为2√7