专题01三角形的证明及其应用压轴专练 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题01三角形的证明及其应用压轴专练 【温馨提示】12大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲+梯度跟踪专练。 所有题目附标准答案+思路分析+步骤详解，无基础题，学生提分、教师备 课直接用，可编辑打印。 精 题型01.倍长中线构造全等 题型02.截长补短模型 题型03.手拉手模型 题型04.半角模型 题型05.一线三等角模型 题型06.等腰三角形综合 题型07.等边三角形动态问题 题型08.角平分线模型 题型09.动点定值问题 题型10.旋转全等探究题 题型11.多结论判断 题型12.角度计算综合题 题型13.线段和嗟明 题型14.直角三角形综合 题型01.倍长中线构造全等模型 1.如图，在ABC中，D为AB中点，E为AC上的一点，连接ED并延长至点F,使得 DF=DE,连接BF. (1)求证：BF∥AC; (2)若LACD=29°，连接CD,CD平分∠ACB,AB平分∠CBF,求∠A的度数. 【答案】（①）见解析 (2)61° 【分析】(1)证明△AED≌△BFD(SAS),得到∠A=∠DBF,即可得证： 试卷第1页，共3页 (2)根据平行线的性质和角平分线的性质可得∠DCB+∠DBC=90°，再根据外角的性质可 得∠ADC的度数，最后根据三角形内角和定理即可求得∠A的度数. 【详解】(1)证明：：D为AB中点， :AD=BD, 在△AED和△BFD中 AD=BD ∠ADE=∠BDF, DE=DF ∴△AED≌△BFD(SAS, ∠A=∠DBF, ..BFIl AC; (2)解：BF‖AC, :∠ACB+∠CBF=180°， :CD平分∠ACB,AB平分∠CBF, :∠DCB=∠ACB,∠DBC=∠CBF, ∠DCB+∠DBC=∠ACB+)∠CBF=∠ACB+∠CBF)=0, 2 .LADC=∠DCB+∠DBC=90°， :∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∠ACD=29°， ∠A=180°-90°-29°=61°. 2.如图，在ABC中，点D为AC边上一点，连接BD并延长到点E,过点E作EF∥BC交 AC于点F,交AB于点G. G D C (I)若BD=DE,求证：CD=DF; (②)若BG=GE,LACB=75°，LE=20°，求∠A的度数 【答案】①)见解析 (2)∠A=65° 试卷第1页，共3页 【分析】(I)只需要证明△DEF≌△DBC(AAS),则可证明CD=DF: (2)由等边对等角得到∠GBE的度数，由平行线的性质得到∠CBE的度数，则可求出 ∠ABC的度数，再由三角形内角和定理可得答案. 【详解】(1)证明：：EF∥BC, .∠DEF=∠DBC,∠DFE=∠DCB, 又：BD=DE, :△DEF≌△DBC(AAS), :CD=DF; (2)解：BG=GE,∠E=20°， .∠GBE=∠E=20°， EF∥BC, .∠FBC=∠E=20°， ∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°， 又：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠ACB=75°， .∠A=65° 3.小明与小丽共同探究一道数学题：如图①，在ABC中，点D是边BC的中点， ∠BAD=65°，∠DAC=50°，AD=2,求AC的长， 【探索发现】 (I)小明的思路是：延长AD至点E,使DE=AD,连接CE,构造全等三角形； 小丽的思路是：过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E,构造全等三角形. 请从小明和小丽的思路中选择一种方法，求AC的长. 【类比应用】 (2)如图②，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点O是BD的中点， AB⊥AC. 若∠CAD=45°，∠ADC=67.5°，A0=2,则AC的长为 试卷第1页，共3页 D k●入 D 图① 图② 【答案】(1)AC=4;(2)42 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等角对等边等知识点，解题的关 键是正确作出辅助线构造全等三角形 (1)小明：根据题意证明出△ADB≌△EDC(SAS),得到∠E=∠BAD=65°，然后求出 ∠ACE=180°-∠DAC-∠E=65°=∠E,然后利用等角对等边求解即可： 小丽：根据题意证明出aADB≌△EDC(AAS),得到DE=AD=2,然后求出 ∠ACE=180°-∠DAC-∠E=65°=∠E,然后利用等角对等边求解即可； (2)过点D作DE∥AB,交AD于点E,证明出△ABO≌△EDO(AAS),得到A0=OE=2, 然后利用勾股定理求出AD=√AE2+DE2=4√2，然后得到LACD=∠ADC,然后利用等角 对等边求解即可. 【详解】(1)解：小明：：点D是边BC的中点， :BD =CD :∠ADB=∠CDE,DE=AD=2 :△ADB≌△EDC(SAS :LE=LBAD=65° ∠DAC=50° LACE=180°-∠DAC-∠E=65°=∠E :AC=AE=AD+DE=2+2=4; 小丽：：CE∥AB .LE=LBAD=65°，∠B=∠DCE :点D是边BC的中点， .BD=CD .△ADB≌AEDC(AAS 试卷第1页，共3页 ·DE=AD=2 :∠DAC=50 .∠ACE=180°-∠DAC-∠E=65°=∠E :AC=AE=AD +DE =2+2=4; (2)解：如图，过点D作DE∥AB,交AD于点E, 图② .∠AED=∠BAC=90°，∠ABO=∠EDO, .∠DEC=90°， :点O是BD的中点， .BO =OD :△ABO≌△EDO AAS, .A0=0E=2, .∠CAD=45°， :∠ADE=450 .DE =AE=4 AD=AE2+DE2=42 :∠ADC=67.5°， .∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=180°-45°-67.5°=67.5°， .LACD=∠ADC, AC=AD=42. 题型02.截长补短模型 4.如图，在ABC中，AC=BC=8,AD,DC分别平分∠BAC,∠ACB,E为BC上一 点，若∠ADC=105°，则CD+DE的最小值为· 试卷第1页，共3页 A B 【答案】4 【分析】过点D作DF⊥AB交于点F,得出∠ABC=30°，根据AC=BC=8,得到C、D F三点共线，根据30度角的性质得到CF=2CB=4,当DE1BC时，此时CD+DE的 值最小，证明△DBF≌△DBE(AAS,得到DF=DE,根据CD+DE=CD+DF=CF即可求 解。 【详解】解：过点D作DF⊥AB交于点F, B E :AD、DC分别平分∠BAC、∠ACB, .∠BAC=2∠DAC,∠ACB=2∠DCA ZADC =105 ,LDAC+∠DCA=180°-∠ADC=75° :∠BAC+∠BCA=150 .∠ABC=180°-（∠BAC+∠BCA=30° 又：AC=BC=8 ,C在AB的垂直平分线上，∠BAC=∠ACB, .∠DAC=∠DCA, .D在AB的垂直平分线上， DF⊥AB, :C、D、F三点共线， .CF⊥AB .CF=CB=4 当DE⊥BC时，此时CD+DE的值最小， 试卷第1页，共3页 ∠DFB=∠DEB=90° ∠DBF=∠DBE BD=BD :△DBF≌ADBE(AAS :DF=DE, .CD+DE=CD+DF=CF :CD+DE的最小值为4. 5.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=I00°，BD平分∠ABC,P,Q分别为BD,BC 上一点，且BP=CQ.∠ADB= °，当AP+AQ的最小值为5时，AB的长为 【答案】 60 5 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三点共 线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定， 作CEI‖BD,使得CE=AB,连接E2,证明△ABP≌△ECQ(SAS),推出AP=EQ,可得A, Q,E三点共线时，AP+AQ的最小值等于AE的长，再证△ACE是等边三角形即可. 【详解】解：如图，作CE‖BD,使得CE=AB,连接EO, ABC中，AB=AC,∠BAC=100°， E :∠ABC=∠4CB=x180°-100)=40°， :BD平分∠ABC, ∠CBD=1∠ABC=20°， 2 :∠ADB=∠ACB+∠CBD=40°+20°=60°； CE BD, 试卷第1页，共3页 :∠CBD=∠ECQ=20°， ：LABP=LECQ, 在△ABP和△ECQ中， BP=CO ∠ABP=∠ECQ, AB=EC :△ABP≌△ECQ(SAS, 、AP=EQ, AP+AO=EO+AO, :A,Q,E三点共线时，AP+AQ的最小值等于AE的长， :AP+AQ的最小值为5， AE=5, :CE=AB=AC,∠ACE=∠ACB+∠ECQ=40°+20°=60°， :△ACE是等边三角形， ：EC=AE=5, :.AB=EC=5, 故答案为：60,5. 6.轴对称变换是现实世界运动变化的三种常见形式之一，在数学活动课上，同学们研究利 用轴对称变换探究图形中线段的数量关系 N-5 D 图1 图2 图3 4■ 01 图4 图5 【初步感知】 (I)如图1，四边形ABCD中，LA=2LC,BD平分∠ABC,求证：AB+AD=BC. ①如图2，小明同学想到了翻折△ADB,给出如下解题思路：在BC上截取BM=AB,连接 DM: 试卷第1页，共3页 ②如图3，小丽同学想到了翻折△CDB,给出了如下解题思路：延长线段BA到点N,使 BN=BC,连接ND; 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【深入探究】 (2)如图4，ABC中，∠A=90°，平面内有点D(点D和点A在BC的同侧)，连接DC, DB,∠D=45,LABD=2LACB.求证：BD+AB=5CD: 2 【拓展延伸】 (3)如图5，在(2)的条件下，若AC平分∠BCD,AB=1,请求出线段AC的长度， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2+5 【分析】(1)小丽方法：延长线段BA到点N,使BN=BC,连接ND,证明 △NBD≌aCBD(SAS),得出∠C=∠N,进而即可解决问题；小明方法：在BC上截取 BM=AB,连接DM,证明△MBD≌△ABD(SAS),得出∠DMB=∠A,AD=MD,进而即 可解决问题； (2)作CH⊥DB交DB的延长线于点H,证明△HBC≌△ABC(AAS),得出HB=AB,然后 根据等腰直角三角形的性质即可解决问题： (3)延长BA交CD于N,过N作NM⊥BD于M.证明△ABC≌△ANC(ASA),得出 AN=AB=1,再结合(2)中的结论即可得出答案。 【详解】(1)证明： 小丽方法： 如图，延长线段BA到点N,使BN=BC,连接ND, :BD平分∠ABC, .∠NBD=∠CBD, 试卷第1页，共3页 在△NBD和△CBD中， (NB=CB ∠NBD=∠CBD, BD=BD △NBD≌aCBD(SAS), ∠C=∠N, ·∠DAB=2∠C=∠N+∠ADN, .∠N=∠ADN, .AD AN :AB+AD AB+AN BN BC, :AB+AD=BC. 小明方法： 如图，在BC上截取BM=AB,连接DM, D :BD平分∠ABC, .∠MBD=∠ABD, 在△MBD和△ABD中， MB=AB ∠MBD=∠ABD, BD=BD △MBD≌△ABD(SAS), .∠DMB=∠A,AD=MD, :LA=2LC,∠DMB=∠C+∠MDC, .∠DMB=2∠C, .∠MDC=∠C, .DM =MC, :AB+AD=BM MC=BC 试卷第1页，共3页 (2)证明：如图，作CH⊥DB交DB的延长线于点H, H :∠D=45°， LHCD=90°-45°=45°， .CH=DH, :∠ABD+∠ABH=180°，∠ABC+∠ACB=90°， ∠ABD=180°-LABH,∠ACB=90°-∠ABC, :∠ABD=2LACB, ∠ABH=2∠ABC, .∠ABC=∠HBC, 在△HBC和ABC中， ∠H=∠A ∠HBC=∠ABC, BC=BC :∴△HBC≌△ABC(AAS, :HB AB, :CD=√CH2+DH2=V2DH=√2(BD+AB), BD+4R-CD. 2 (3)解：延长BA交CD于N,过N作NM⊥BD于M, :AC平分LBCD, ∠ACB=∠ACN, :∠ANC=LABM+∠D,∠ANC+∠ACN=90°， 试卷第1页，共3页 45°+LABD+LACN=90°， .∠ACB+∠ABD=45°， :∠ABD=2∠ACB, LACB=15°，∠ABD=30°， 在ABC和△ANC中， ∠ACB=∠ACN AC=AC ∠CAB=∠CAN △ABC≌△ANC(ASA), .AN AB=1, 在Rt△MBN中，∠ABD=30°，MN=1,BM=V3, 在RteMND中，∠D=45°，DM=1, :DB=BM +MD=3+1, 根据(2)中的结论可得： AC=CH=DH=DB+AB=2+3. .线段AC的长度是2+V5 7.我们知道，四边形内角和为360°，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然 互补.因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”.例如：在四边形 PQRS中，若LP+∠R=180°（或∠Q+∠S=180°），则称四边形PORS为双补四边形”. M G G 图1 图3 (1)己知四边形EFGH是“双补四边形. ①若∠E:∠F:∠G=7:4:2,则∠H= ②如图1，若∠F=90°，FG=8,GH=√93，EH=√万，则EF=; (②)如图3，四边形EFGH是“双补四边形”，EF=FG,点M,N分别在边EH,GH上，且 试卷第1页，共3页 满足EM+GN=MN,试探究∠MFN和∠H之间满足的数量关系，并证明你的结论. 【答案】(1)①100°；②6 (2)2∠MFN+∠H=180°，证明见解析 【分析】(1)①根据“双补四边形的定义得到LE+LG=180°，∠F+∠H=180°，再根据角 的大小关系可得到∠E=<G,则子∠G+∠G=180°，据此求出∠G的度数，进而求出∠F 的度数即可得到答案； ②根据“双补四边形”的定义得到上H=90°，由勾股定理求出EG的长，进而可求出EF的长； (2)延长ME到P,使得EP=NG,连接PF,可证明MP=MN;根据“双补四边形”的定义 得到∠G+∠FEH=180°，则可证明∠PEF=∠G,证明aFEP≌aFGN(SAS),得到 FN=FP,∠GFN=∠EFP,再证明△MPF≌△MNF(SSS),得到∠MFN=∠MFP,则可证 明∠EFG=2∠MFN,再由∠EFG+∠H=180°，可得2∠MFN+∠H=180°. 【详解】(1)解：①：四边形EFGH是“双补四边形”， .∠E+∠G=180°，∠F+∠H=180°， ∠E:∠G=7:2, 4B=40 <G+∠G=180°. 7 .∠G=40°， ∠F:∠G=4:2, ∠F=2∠G=80°， .∠H=100°； ②如图所示，连接EG, H 四边形EFGH是“双补四边形”， G .∠F+∠H=180°， ∠F=90°， .∠H=90°， 试卷第1页，共3页 在Rt△EHG中，由勾股定理得EG=√EH2+HG2=10, 在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=√EG2-FG2=6: (2)解：2∠MFN+∠H=180°， 证明如下：如图所示，延长ME到P,使得EP=NG,连接PF, H N..EM +GN=MN,EP=NG, P.< ,EM+EP=MN,即MP=MW; :四边形EFGH是“双补四边形”， ∠G+∠FEH=180°， :∠PEF+∠FEH=180°， ∴∠PEF=∠G, 又：EF=GF,EP=GN, .aFEP≌△FGN(SAS), FN=FP,∠GFN=∠EFP, 又：MF=MF, △MPF≌△MNF(SSS, LMFN=∠MFP, .∠MFP=∠MFE+∠EFP=-∠MFE+∠GFN, .∠MFE+∠GFN=∠MFN, .∠EFG=∠MFE+∠GFN+∠MFN=2∠MFN, :四边形EFGH是“双补四边形”， .∠EFG+∠H=180°， .2∠MFN+∠H=180° 题型03.手拉手模型 8.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D在线段AB上运动，以CD为边 试卷第1页，共3页 在左侧作等腰Rt△CDE,使∠DCE=90°，取AC的中点F,连接EF,当EF的值最小时， BD的长为 B 【答案】√2 【分析】根据等腰三角形的性质证明△ACE≌△BCD(SAS),求出 LDAE=LDAC+LCAE=90°，可得AE⊥AB,点E在过点A且垂直于AB的直线上运动， 当EF⊥AE时，EF最短，则∠AEF=90°，根据勾股定理求出AE,进而求出答案即可. 【详解】解：连接AE, :∠ACB=90°，∠DCE=90°，△CDE是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠DCE,CD=CE, .∠ACB-∠DCA=∠DCE-∠DCA,∠CAB=∠CBA=45°， LACE=∠BCD, .AC=BC,CD=CE, ∴.△ACE≌△BCD(SAS), .∠CAE=∠CBD=45°，AE=BD, .∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°， AE⊥AB, :点E在过点A且垂直于AB的直线上运动， 当EF⊥AE时，EF最短，则∠AEF=90°， :∠CAE=45°， .∠AFE=∠CAE=45°， .AE =EF, :AC=4,点F为AC的中点， A-号4C=2· :AF2=AE2+EF2=2AE2, 片BD=AE=5AF=2. 2 试卷第1页，共3页 D B 9.如图，等腰直角三角形BAC和等边三角形ADE的边BC∥DE,则∠EAC的度数为() A.30° B.20° C.159 D.25° 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形性质，等边三角形性质，平行线的性质，三角形外角定 理等腰直角三角形中两个锐角为45°，即∠C=45°等边三角形中每个角为60°，即 ∠E=60°，然后利用两直线平行内错角相等、三角形的外角等于不相邻的两个内角和，即 可求解 【详解】解：如图所示，设AE、BC相交于点F, △BAC是等腰直角三角形，△ADE等边三角形， .∠C=45°，∠E=60°， :BC∥DE, LE=LEFC=60°， :∠EFC为△AFC的外角， ∠EFC=∠EAC+∠C, .∠EAC=LEFC-∠C=60°-45°=15° 试卷第1页，共3页 故选：C 10.综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动. 问题情境：在等边三角形ABC中，O是BC边的中点，D是射线CB上一点（不与点C,B 重合)，连接AD,作等边三角形ADE(点E和点C在ADE边的同侧)，连接EO并延长交 直线AB于点F,连接CE. 图1 图2 【特例分析】 (I)如图1，当点D与点O重合时，BD与BF之间的数量关系是 ； 【拓展探究】 (②)如图2，当点D在线段BO上（不与端点重合）时，上述结论是否仍成立？若成立，请给 予证明；若不成立，请说明理由； 【推广应用】 (3)当点D在射线OB上运动时，请直接写出线段AB,BF,OD之间的数量关系. 【答案】()BD=BF (2)成立，理由见解析 (3)AB=2(BF-OD)或AB=2(BF+OD)或AB=2(OD-BF) 【分析】(1)根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°，∠ADB=90°，求出∠BDF=30°和 ∠F=∠ABC-∠BDF=30°，即可得到结论； (2)根据等边三角形得到∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC,AD=AE,证明 △ABD≌△ACE(SAS),得到BD=CE,∠ABD=∠ACE=60°，证明△BOF≌ACOE(ASA),得 到BF=CE,即可得到结论； (3)分当点D在线段OC上时，当点D在线段OB上时，当点D在线段CB的延长线上时三 种情况进行分类讨论即可。 【详解】(1)解：BD=BF,理由如下： :等边ABC,点O是BC的中点， 试卷第1页，共3页 .∠ABC=60°，∠ADB=90°， :等边 ADE, :∠ADE=60°， ∴.∠BDF=30°， LF=∠ABC-∠BDF=30°， ∠F=∠BDF, :BD =BF (2)证明：上述结论仍然成立，证明如下： :△ABC和ADE是等边三角形， ,∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC,AD=AE, :∠BAD=∠CAE, .△ABD≌△ACE(SAS) .BD=CE,∠ABD=∠ACE=60°， LBCE=120°， :∠FEC=LBCE, :点O是BC的中点， B0=C0, :∠B0F=LC0E, ∴.△BOF≌ACOE(ASA), :BF=CE, :BD=BF (3)解：①当点D在线段0C上时，连接CE, :△ABC是等边三角形， :AB =BC, :点O是BC的中点， .BC=20B, :AB =20B, 由(2)同理知：BD=CE=BF, BC=20B :OB=BD-OD=BF-OD 试卷第1页，共3页 .AB=2(BF-OD): B OD ②当点D在线段OB上时， 由①知AB=2B0, 由(2)知BF=BD, .OB=BD+OD=BF+OD, .AB=2(BF+OD); B 万 ③当点D在线段CB的延长线上时，连接CE, 由①知AB=2B0, 由(2)知BF=BD, 0B=OD-BD=OD-BF, .AB=2(OD-BF): D/B E I1.己知：ABC和ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接 CE. 试卷第1页，共3页 图1 图2 (1)如图1，求证BD=CE; (2)如图2，若∠ACE=60°，点D为BC的中点，∠CAE的平分线交BC的延长线于点F,在 不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中等于线段BD的√5倍的四条线段， 【答案】)见解析 (2 AD,AE,DE,DF 【分析】(1)利用SAS证明△ABD≌△ACE,利用全等三角形的性质即可得出BD=CE, (2)由全等三角形的性质得出AD=AE,LACE=LABD=60°，LADB=LAEC, ∠BAD=∠CAE,分别证明ABC和ADE是等边三角形，再由含30度直角三角形的性质 以及勾股定理得出AD=DE=AE=√3BD,再证明△ADF为等腰直角三角形，即可得出 AD=DF=√5BD. 【详解】(1)证明：：∠BAC=∠DAE, LBAC-∠DCA=LDAE-∠DCA,即∠ABD=∠ACE, 又：AB=AC,AD=AE, .△ABD≌△ACE(SAS), :BD =CE (2)解：：△ABD≌△ACE, .AD=AE,LACE=∠ABD=60°，∠ADB=∠AEC,∠BAD=LCAE, :ABC是等边三角形， 又：点D为BC的中点， .∠ADB=∠AEC=90°，AD平分∠BAC, &∠BAD=∠DAC=1∠BAC=30°， .∠BAD=∠CAE=30°， .∠DAE=60°， :ADE为等边三角形， 试卷第1页，共3页 :AD DE AE, 在Rt△ADB中，∠BAD=30°，则AB=2BD, :AD=AB2-BD2=3BD, :AD=DE=AE =3BD, :AF平分∠CAE, F∠CAP22CAE=15 .∠DAF=∠DAC+∠CAF=45°， :∠ADC=90°， ∠DFA=45°， .AD=DF=3BD, 综上：等于线段BD的√B倍的四条线段分别为AD,AE,DE,DF, 题型04.半角模型 12.在四边形ABCD中，∠BAD=45,∠BCD=90°，AC平分∠BCD,若BC=8,CD=6, 则对角线AC的长度为 B 【答案】12√2 【分析】过A作AD⊥AD'交CB的延长线于D,AC⊥AC'交CB的延长线于C,利用等腰 直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答. 【详解】解：如图，过A作AD⊥AD'交CB的延长线于D,AC⊥AC'交CB的延长线于C, 连接BD, 试卷第1页，共3页 :AD⊥AD',AC⊥AC .∠CAC'=∠DAD'=90° LC'AD'=∠CAD=90°-∠CAD', :∠BCD=90°，AC平分∠BCD, .LACC'=LACD=45°， LC'=LACB=45°， ·AC=AC', 在△DAC和△D'AC I∠ACD=∠C AC=AC ∠CAD=∠CAD .△DAC≌△D'AC'ASA), ·AD=AD',CD=CD'=6, ∠BAD=45°，∠DAD'=90°， .∠D'AB=90°-45°=45°=∠DAB, 在△DAB和△D'AB AD=AD ∠DAB=∠DAB AB=AB .ADAB≌AD'AB(SAS), :DB=D'B, 在Rt△BCD中，BC=8,CD=6. DB=BC2+CD2=10=D'B CC=6+10+8=24, 试卷第1页，共3页 uc=cc=12 13.如图，已知∠A0B=120°，点D是∠AOB的平分线上的一个定点，点E,F分别在射线 OA和射线OB上，且∠EDF=60°.下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的 面积是一个定值；③当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；④当DE OB时，DF也平行于 OA.其中正确的是() B A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性 质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键 过点D作DM⊥OB于点M,DN⊥OA于点N,根据角平分线的性质得到DM=DN,求得 ∠MDN=60°，根据全等三角形的判定和性质得到DE=DF,根据等边三角形的判定定理得 到△DEF是等边三角形，故①正确；根据全等三角形△DEN≌DFM得到S,DEN=S。DFM,求 得SDEN+S四边无DEOM=S四边形DEOW+S.DFW,即S西边形DEOF=S图边形DMON，推出四边形DEOF的面 积是一个定值，故②正确；根据垂线段最短，得到DE的值最小，当DE最小时，△DEF的 周长最小，于是得到当DE⊥OA时，DE最小，△DEF的周长最小，故③正确；根据平行线 的性质得到∠D=LDFB=60°，求得∠DFB≠∠AOB,得到DF一定与OA不平行，故④错 误。 【详解】解：过点D作DN⊥OA于点N,DM⊥OB于点M,如图所示： :点D是∠AOB的平分线上的一点， .DM =DN, ∠DN0=∠DM0=90°，∠A0B=120°， 试卷第1页，共3页 :∠MDN=60°， :∠EDF=60°， .∠EDN=∠FDM, :△DEN≌DFM ASA), :DE DF, :△DEF是等边三角形，故①正确，符合题意； :△DEN≌DFM, .S.DEN =S.DFM “S.DEY+S西造形DEON=S西边形DEOM+S.DFW, 即S四边形DEOr=S四边形DMON, :点D是∠AOB的平分线上的一个定点， :四边形DMON的面积是一个定值， ·.四边形DEOF的面积是一个定值，故②正确，符合题意； DE⊥OA, .点E与N重合， :垂线段最短， DE的值最小， 当DE最小时，△DEF的周长最小， ·当DE⊥OA时，DE最小，△DEF的周长最小，故③正确，符合题意； :DEOB,∠D=∠DFB=60°，如图： D OF :∠A0B=120°， .∠DFB≠LAOB, :DF一定与OA不平行，故④错误，不合题意， 故选：D. 14.问题提出： 试卷第1页，共3页 图1 图2 (I)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC,∠ACB的平分线交AB于点D.过点 D分别作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,则线段DE和DF的数量关系是 问题探究： (2)如图2，∠A0B=120°，OP平分∠A0B,点D在OP上且0D=2,点E,F分别在 OA,OB上移动且始终保持LEDF=60°， ①试判断△DEF的形状并说明理由. ②求△DEF的最小面积是多少？ 【答案】(I)DE=DF, (②)0aDEF是等边三角形，理由见解析，②3 【分析】(1)根据CD平分∠ACB,且DE⊥AC,DF⊥BC.得到DE=DF. (2)①过点D作DN⊥OA,DM⊥OB,垂足分别为N,M,证明△DNE≌aDMF(ASA),继 而得到DE=DF,即可判定△DEF是等边三角形. ②过点E作E01DF于点Q,得到DEF的面积为；DF-EQ= 2DE2,故当DE取得最小 值时，三角形的面积最小，根据垂线段最短原理，当点E与点N重合时，取得最小值，利 用勾股定理解答即可。 【详解】(1)解：根据CD平分∠ACB,且DE⊥AC,DF⊥BC. 故DE=DF. 故答案为：DE=DF. (2)①解：△DEF是等边三角形，理由如下 :∠A0B=120°，OP平分∠A0B, :∠D0E=∠D0F=∠40B=60, 2 过点D作DN⊥OA,DM⊥OB,垂足分别为N,M, .DN=DM,∠ND0=∠MD0=30°， 试卷第1页，共3页 :∠NDM=60°， ∠NDE=60°-∠MDE, :∠EDF=60°， ∴∠MDF=60°-∠MDE ∠MDF=∠NDE, ∠NDE=∠MDF DN=DM ∠DNE=∠DME B ,aDNE≌aDMF(ASA, :DE DF, ·△DEF是等边三角形 ②解：过点E作EQ1DF于点Q, ”△DEF是等边三角形， ,∠DEF=60°，DE=EF=DF, ∠D0=30P,D0=0F-DE=0r. 2 EQ-DE-DO-DE. 2 :aDEF的面积为号DFEQ= 2DE2, 故当DE取得最小值时，三角形的面积最小， 根据垂线段最短原理，当点E与点N重合时，取得最小值， :面积最小为3DN, 4 :OD=2,∠ND0=30°，DN⊥0A, :ON=1OD=1,DN=OD -ON=3, 试卷第1页，共3页 六aDEF面积的最小值为5x 4 4 15.背景：“对角互补”是经典的四边形模型，常通过旋转构造全等三角形解决问题；若问题 中出现特殊角度（如30°，45°，60°），则会结合等腰直角三角形或等边三角形等特殊的三 角形的知识考查学生的学习情况。 C B F C 图1 图2 (1)如图1，LA0B=∠CPD=90°，OP平分∠AOB,过点P作PE⊥OA,PF⊥OB,得正 方形0FPE.若0D=1,OC=3,则OP=; (2)如图2，LA0B=120°，∠CPD=60°，OP平分∠A0B,过点P作PE⊥0A,PF⊥OB, 连接EF. ①PEF是 三角形： ②若0D=2,OC=5,求EF的长. 【答案】(1)2√2 (2)①等边，②75 2 【分析】(1)根据正方形OFPE,得到0E=OF=PE=PF,∠EPF=90°，证 △PED≌△PFC(ASA,得到ED=FC,由图形得OD=OE-ED=1,OC=OF+FC=3相加 可得2OE=4,故OE=OF=PE=PF=2,根据勾股定理，即可求解 (2)①过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,连接EF,根据角平分线的性质，得到 PE=PF,由∠AOB=120°得∠EPF=60°，故PEF是等边三角形：②设DE=x,先证 △PED≌aPFC(ASA),得到ED=FC,再结合OE=OF,OD=2,OC=5,列方程，求得 +s3 ，再求出OE和OP的长度，运用勾股定理，即可求解。 【详解】(1)解：：四边形OFPE是正方形， 试卷第1页，共3页 OE=OF=PE=PF,∠EPF=90°， 又：∠CPD=90°， LDPE=∠CPF, :LPED=∠PFC=90°， △PED≌△PFC(ASA), :ED=FC, :0D=0E-ED=1,0C=0F+FC=3, .0E+0F-ED+FC=20E=4, :.OE=OF=PE=PF=2, :0P=V0F2+PF2=2V2. (2)①如图，过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,连接EF, :OP平分∠AOB, B :PE=PF, ∠A0B=120°， :∠EPF=360°-∠PE0-∠PF0-∠A0B=60°， ∴△PEF是等边三角形； ②设DE=x, :∠CPD=∠EPF=60°， :∠EPD+∠DPF=∠DPF+∠FPC, :ZEPD ZFPC, ·PE=PF,∠PED=LPFC, △PED≌△PFC(ASA), :ED=FC, :0E=0F,0D=2,OC=5, :x+2=5-x,解得x=2: 试卷第1页，共3页 G.OE=OD+DE-7 .0P=20E=7, 由勾股定理得EF=EP=VOP2-OE2 75 【点晴】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定 理，角平分线的性质，掌握相关判定及性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关 键， 题型05.一线三等角模型 16.为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度 AB:将旗杆顶部A处的绳子拉直至地面C点，使B,C两点间距离等于小明直立时眼睛的 离地高度；在C处放置直角三角板OMN,让直角顶点O与C点重合，边OM与绳子AC重 合，随后小明后退，当看到点N,O共线时（即N,O,E共线），停在D点. M B C(O (I)小明认为CD的长等于旗杆高度AB,你认同他的观点吗？请说明理由. (2)若DE=1.7米，DB=16米，求旗杆高度AB. 【答案】()认同，理由见解析 (2)14.3米 【分析】(1)利用全等三角形判定定理证明△ABC和△CDE全等，进而判断线段相等 (2)因为己知DE、DB的长度，且DB=BC+CD,可求CD的长度，且由第(I)问的结论 可知AB=CD,即可得解. 【详解】(1)认同小明的观点，理由如下： 由题意可知：AB⊥BD,ED⊥BD,∠ACE=90°，BC=DE, ∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB+∠ECD=90°，∠ACB+∠A=90°， :∠A=∠ECD. 在△ABC和△CDE中， 试卷第1页，共3页 ∠ABC=∠CDE ∠A=∠ECD BC=DE △ABC≌△CDE(AAS), :AB=CD, 因此认同小明的观点。 (2):△ABC≌△CDE, .BC=DE=1.7米， 又：DB=16米， CD=DB-BC=16-1.7=14.3米， 由(1)已证AB=CD, .AB=14.3米. 17.如图①，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC过点C在ABC外作直线1，AM⊥I于 点M,BN⊥1于点N 图① 图② (I)试说明：MN=AM+BN; (2)如图②，将(1)中条件改为LADC=∠CEB=∠ACB=a(90°<a<180),AC=BC，,请 问(I)中的结论DE=AD+BE是否还成立？请说明理由 【答案】()见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】(I)利用“AAS”,可得△AMC≌△CNB,从而AM=CN,CM=BN,根据 MN=CV+CM,等量代换即可说明MN=AM+BN; (2)利用“AAS”,可得△ADC≌△CEB,从而AD=CE,CD=BE,再根据DE=CE+CD ,等量代换即可. 【详解】(1)解：：∠ACB=90°， .∠ACM+∠BCN=90°， 试卷第1页，共3页 :AM⊥1，BN⊥1， :∠AMC=∠CNB=90°， ：∠ACM+∠CAM=90°， .∠CAM=∠BCN, 在△AMC和aCNB中， ∠AMC=∠CNB ∠CAM=∠BCN, AC=CB :△AMC≌△CNB(AAS) :AM=CN,CM=BN, MN =CN +CM, :MN AM BN (2)解：DE=AD+BE成立，理由如下， :∠ACB=a(90°<a<180), ：∠ACD+∠BCE=180°-a, :∠ADC=a90°<a<180）, :∠ACD+∠CAD=180°-a, :∠CAD=∠BCE, 在△ADC和aCEB中， ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE, AC=CB .△ADC≌△CEB(AAS) :AD=CE,CD=BE, DE =CE+CD, :DE=AD+BE. 【点晴】注意识别题中的“一线三等角模型和类比的数学思想 18.在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E. 试卷第1页，共3页 M M M D D B 图1 图2 D 图3 (I)当直线MW绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB; ②DE=AD+BE; (②)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE: (③)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写 出这个等量关系，并加以证明 【答案】()证明见解析 (②)证明见解析 (3)DE=BE-AD,证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，同角或等角的余角相等， 对于(1)，①根据“同角的余角相等”得∠ACD=∠CBE，再根据“角角边”可得答案 ②根据全等三角形的对应边相等得出AD=CE,DC=BE,再根据DE=DC+CE得出答案； 对于(2)，先根据“角角边”证明△ADC≌△CEB,再根据全等三角形的对应边相等得出答 案； 对于(3)，仿照上述过程解答即可. 【详解】(1)证明：①∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCE=90°. :AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E, LADC=∠CEB=90°， .∠BCE+LCBE=90°， .LACD=∠CBE. 在△ADC和△CEB中， 试卷第1页，共3页 ∠ADC=∠CEB ∠ACD=∠CBE AC=BC :△ADC≌△CEB(AAS); ②由①得△ADC≌△CEB, :AD CE,DC=BE, .DE=DC+CE=BE AD (2)证明：：∠ACD+∠BCE=LBCE+∠CBE=90°， :ZACD ZCBE 在△ADC和△CEB中， I∠ADC=∠CEB=90° ∠ACD=∠CBE AC=BC △ADC≌△CEB(AAS), :AD=CE,DC=BE, .DE=CE-CD=AD-BE (3)解：DE=BE-AD. 由上述可知△ADC≌△CEB, :AD=CE,DC=BE .DE=CD-CE=BE-AD 题型06.等腰三角形综合 19.探究学习： 已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边作等腰直角三角形ACD和 等腰直角三角形BCE,D、E在AB同侧，LACD=LBCE=90°，连接AE、BD, M B (图1) (图2) (图3) 试卷第1页，共3页 (I)如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AE与BD的数量关系是 ,位置关系 是 (②)当点C在直线AB外图2位置时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成 立，请说明理由。 (3)如图3，在(1)基础上等腰直角三角形BCE绕顶点C逆时针旋转到图3位置，取等腰直 角三角形ACD的斜边AD的中点M,连接CM交BE于点G,交AC于点H,试探究BG、 GH、HE的数量关系，并写出证明思路. 【答案】I)AE=BD;AE⊥BD (2)成立；理由见解析 (3)GH2=BG2+HE2;证明见解析 【分析】(I)延长AE,交BD于点F,证明△ACE≌△DCB(SAS),得出AE=BD, ∠CAE=∠CDB,求出∠DFE=∠ACE=90°，即可得出结论： (2)延长AE,交BD于点F,交CD于点G,证明aACE≌aDCB(SAS),得出AE=BD, ∠CAE=∠CDB,求出∠DFE=∠ACD=90°，即可得出结论： (3)过点C作CF⊥CG,取CF=CG,连接EF,FH,证明△ECF≌aBCG(SAS),得出 EF=BG,∠CEF=∠CBG,求出∠HEF=45°+45°=90°，得出HF2=HE2+EF2,证明 △FCH≌△GCH(SAS,得出GH=FH,即可得出答案. 【详解】(1)解：延长AE,交BD于点F,如图所示： :△ACD和aBCE为等腰直角三角形， .AC=CD,BC=CE,∠ACE=∠BCD=90°， △ACE≌aDCB(SAS), AE=BD,∠CAE=LCDB, :LAEC=∠DEF, .∠DFE=∠ACE=90°， 试卷第1页，共3页 :AE⊥BD; (2)解：成立；理由如下： 延长AE,交BD于点F,交CD于点G,如图所示： :△ACD和△BCE为等腰直角三角形， .AC=CD,BC=CE,∠ACD=∠BCE=90°， .LACE+LECD=LECD+∠BCD=90°， LACE=∠BCD, △ACE≌△DCB(SAS, :AE BD,CAE=ZCDB, .∠AGC=∠DGF, .∠DFE=∠ACD=90°， AE⊥BD: (3)解：GH2=BG+HE2;证明如下： 过点C作CF⊥CG,取CF=CG,连接EF,FH,如图所示： D M 则∠FCG=∠BCE=90°， .∠FCE+∠ECG=∠ECG+LBCG=90°， .ZFCE ZBCG CF=CG,EC=BC, △ECF≌△BCG(SAS), .EF=BG,∠CEF=∠CBG, 试卷第1页，共3页 :△BCE为等腰直角三角形， .∠CBE=∠CEB=45°， .∠CEF=∠CBG=45°， ∴LHEF=45°+45°=90°， :HF2=HE2+EF2, :△ACD为等腰直角三角形，M为AD的中点， &∠ACM=∠DCM=x90°=45°， :∠FCH=∠FCG-∠ACM=90°-45°=45°， .∠FCH=∠ACM, CF=CG,CH=CH, .aFCH≌aGCH(SAS), .GH =FH, HF2=HE2+EF2, :GH2=BG2+HE2. 20.如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6.动点P从点A出发沿着射线AB移 动. B,D 图1 图2 O (1)在点P移动过程中，PC的最小值是多少？ (2)在点P移动过程中，若PC=AC,AP长为多少？ (3)如图2，点D在CB延长线上，DC=AC,另一动点Q从点D处出发沿着与AB垂直的射 线DE移动，点Q与点P同时同速移动，连接PQ.当点P移动到某一位置，使得 P0=25AP,此时AP长为 【学】0 试卷第1页，共3页 【分析】(1)利用勾股定理求出直角三角形斜边的长度，根据垂线段最短确定当CP⊥AB时， PC的值最小，然后根据等面积求解： (2)过点C作CD⊥AB于点D,根据三线合一得出AP=2AD,然后利用勾股定理进行求解； (3)射线AB,DE相交于点G,连接BE,证明△ABC≌△DEC,得出相等的线段，利用勾股 定有球出8G-号DG-号假设4P=DQ=,则P0=24P=25,利用勾股定惠列 5 出方程求解即可. 【详解】(1)解：如图所示，当CP⊥AB时，PC的值最小， .∠C=90°，AC=8,BC=6, :由勾股定理得AB=√AC2+BC2=10, :由等面积得PC=4CBC_8x624 AB105 :PC的最小值是 5 (2)解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D, .PC=AC, .AP=2AD, 由(1)可得CD=24 由勾股定理得AD=√AC2-CD 57632 64 25 试卷第1页，共3页 、AP=2AD=6: (3)解：如图2所示，射线AB,DE相交于点G,连接BE, A 图2 DC=AC, :BD=CD-BC=8-6=2, ”AB⊥DE, LBGD=LACD=LDCE=90°，∠PGQ=90°， 又：∠ABC=∠DBG, .∠A=∠D, DC=AC, △ABC≌△DEC(ASA, .CE BC=6, 由勾股定理得BE2=BC2+CE2=72, :BE2-BG2=GE2=AE2-AG2, 即72-BG2=(8+6)2-(10+BG), 样料G-号 由勾股定理得DG=VBD-BG_8 AP=26 假设4P=D0=x,则PQ=25 PG=10+6 8 5 -x,GO=x- 5 由勾股定理得PQ=PG2+GQ, j-(僧别 试卷第1页，共3页 解得x=0或x=8, 3 40 AP长为y或8. 21.如图，在等边ABC中，延长AC到点D,连接BD 图1 图2 图3 (1)点O是ABC内一动点，满足∠A0B=120°，以OC为边作等边△OCM,点M落在线段 BD上，若∠OBD=3LCBD,求∠D的度数： (②)如图2，∠CBD的角平分线交AD于E,在BD边上取点F,使得DF=DE,连接EF,在 BE边上取一点G,使得EG=EF,连接CG、FG,用等式表示线段AE、CG、BF三者之 间的关系； ③如图3，已知AB=2,∠BDC=30°，点P是ABC内一动点且满足ZaPG=0s,当最 小时，直接写出△PCD的面积. 【答案】(1)40° (2AE=CG+BF 3)5-1 【分析】(1)利用等边ABC和aOCM性质，证明△ACO≌aBCM(SAS),，得出 LAB0=∠CA0=∠CBM,结合LOBD=3LCBD建立方程，即可求解， (2)过点B作BM∥EF,交AC于M,连接DG,通过构造平行线与双等腰结构，得到 BD=MD,从而得到ME=BF,再证明CG=AM,先利用等腰三角形性质和三角形的内 角和证明LFEG=∠BED-∠FED=60°，得△EFG是等边三角形，进而得EG=FG,再证明 △DEG≌△DFG(SSS)得LEDG=LFDG,从而可得点G是△BCD的内角平分线的交点，由 此证明∠BCG=∠BCE=60,再利用等腰三角形判定证明L4BM=∠4BD-∠MBD:a, 由此证明△ABM≌△CBG(ASA),可得CG=AM,可得AE=BF+CG: (3)以PC为边向下作等边△OPC,作PH⊥AC于点H,连接AQ,可得 人40c2 BPCAS),当40级小，时年40LPQ,P股号最，个进而可有 试卷第1页，共3页 ∠BAP=∠CAP=∠BAC=30°，作PH上AC于点H,再利用勾股定理和线段和差求出 PH=√5-1，结合BC=CD=2,由此即可解 【详解】(1)解：：等边ABC, :AB=AC=BC,LBAC=LACB=LABC=60°， :等边a0CM, 0C=CM,∠0CM=60°， LAC0+∠0CB=∠0CB+∠BCM=60°， :ZACO=ZBCM △ACO≌aBCM(SAS), :ZCAO=ZCBM 又：∠A0B=120°， LBA0+LAB0=60°， :∠BA0+LCA0=∠BAC=60°， .∠AB0=∠CA0=∠CBM, :∠AB0+∠0BC=∠ABC=60°， .∠CBM+∠0BC=∠OBD=60°， ∠OBD=3∠CBD, ÷∠CBD=∠0BD=x60°=20°， 3 又：∠CBD+∠D=∠ACB=60°， :∠D=∠ACB-∠CBD=40°； (2)解：过点B作BM∥EF,交AC于M,连接DG, 设∠CBE=a, :BE是∠CBD的角平分线， ∠DBE=∠CBE=a,LCBD=2a, 又：∠BDC+∠CBD=∠ACB=60°， 试卷第1页，共3页 ,∠BDC=∠ACB-∠CBD=60°-2a, :∠BED=180°-∠EBD-∠BDC=180°-a-(60-2a）=120°+a, DF =DE, ÷∠FED=∠EFD-180-∠BDC-180°-(60°-2al=60+&, 2 2 .∠FEG=LBED-∠FED=(120°+a）-(60°+a=60°， 又：EG=EF, ,△EFG是等边三角形， ..EG=FG, 又DG=DG,DE=DF,DG=DG, △DEG≌△DFG(SSS), LEDG=∠FDG, 又：BE是∠CBD的角平分线， :点G是△BCD的内角平分线的交点， .CG平分∠BCD, ∠BCD=180°-∠ACB=120°， ,∠BCG=5∠BCE=60°， :BM∥EF, :.∠BMD=LFED=60°+a,∠MBD=∠EFD=60°+a, ∠BMD=∠MBD=60°+a,∠ABM=∠ABD-∠MBD=60°+2a-(60°+a)=a, .BD=MD, .MD DE BD DF ME =BF, :LBAM=∠BCG=60°，∠ABM=∠CBG=a,AB=BC, .△ABM≌△CBG(ASA), .AM =CG, :AE AM ME=CG+BF (3)解：以PC为边向下作等边△QPC,作PH⊥AC于点H,连接AQ,如图， 试卷第1页，共3页 B 同理(1)，易证△AQC≌△BPC(SAS), .AO=PB, p PB AO :∠APC=105°，∠QPC=60°， ∠APQ=45°， :当A0最小时，即40⊥P0,P8-4最小，此时∠01P=∠AP0=45°， PA PA :A0=PO, .PB=AO=PO=PC, 又：AB=AC,AP=AP, :△APB≌△APC(SSS), :∠BAP=∠CAP=1∠BAC=30°， .∠PCA=I80°-∠PAC-∠APC=45°， :∠PHA=∠PHC=90°， :PA=2PH,HC=PH, :.AH =AP-PH=(2PH)2-PH2=3PH, AB=2, .AC =BC=AB=2, :AC=AH+CH=3PH+PH=2, PH=V3-1, :∠BDC=30°， LCBD=LACB-∠BDC=30°， :CD=BC=2, .5.wo-CD.pn-x2x()55-1. 试卷第1页，共3页 【点晴】(1)通过构造旋转全等三角形，建立角度关系求解，(2)构造平行线与双等腰结构， 通过全等三角形转化线段关系，(3)旋转构造等边三角形，利用垂线段最短求最小值： 题型07等边三角形动态问题 22.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点M是边BC上的动点，连接AM,以 AM为边在其右侧作等边aAMN,连接CN.当CN取最小值时aCMN的面积为， B M 【答案】5 【分析】本题考查了旋转构造全等和三角形面积的最值，解题的关键是将△AMC绕A旋转 60°，使CN的长度转化为定点到直线的距离，先旋转构造全等△ANF,确定N的轨迹为垂 直于AF的直线，再求C到该直线的距离即为CN最小值，利用CN∥AF得S.Acv=S.rCw, 最后用割补法求S.Cww· 【详解】解：将aAMC绕点A逆时针旋转60°，使点M与点N重合，点C的对应点为F,连 接CF,AF,FN,CN, △AMC≌△ANF, ∴.AN=AM,AC=AF=4,FN=CM,∠AFN=∠ACM=90°， .∠MAN=60°， .∠FAC=60°，△ACF是等边三角形， ∴.CF=4,∠AFC=60°， :∠AFN=90°， :∠CFN=90°-60°=30° :.N在过点F且垂直于AF的直线I上运动， :当CN⊥I时，CN取最小值， Rt△CFN中，∠CFN=30°，CF=4, :.CN=4x1=2,FN=CF-CN=2, 试卷第1页，共3页 .CM=FN =23, :∠AFN=90°，即AF⊥FN,CN⊥AF, AF∥CN, Sa=5w-0w-N=x2x25=25. 2 RtaACM中，AC=4,CM=2V5, AM=VAC2+CM?=V16+12=2V万， :△AMN是等边三角形，AM=MN=2√万， :过点A作AD⊥MN于点D,根据等腰三角形三线合一的性质， ∠w0=Maw=0=30,MD=N=5. AD=VAM-MD=V2万-(=2i, Sm号w-A0-×2v7xwi=WN5. S.w=.aw+5.cw+5a,S0w=x4x25=45, S.CMx S.4MN -8.ACM -S.4cx =713--23-43=3. B M D 23.如图，在ABC中，AB=AC,∠B=60°，AD⊥BC于点D,P是AD上的一个动点， PE⊥AC于点E,连接CP,若AD=6,则PC+PE的最小值是(). E B A.5 B.6 C.8 D.9 试卷第1页，共3页 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、轴对称一路线问题等知识点，正确作出 辅助线成为解题的关键， 如图：作BE'⊥AC于E交AD于P,连接P'C,PB,根据等边三角形的判定与性质可得 BE'=AD=6,点C关于AD的对称点为点B,从而得出当P、B、E在同一直线上且 BE⊥AC时，PC+PE的值最小为BE'即可解答 【详解】解：如图：作BE'⊥AC于E交AD于P,连接PC,PB, B D :在ABC中，AB=AC,∠B=60°， :ABC是等边三角形， :AD⊥BC,BE'⊥AC, .BE'=AD=6,BD=CD, 点C关于AD的对称点为点B, .PC=PB, :PC+PE =PB+PE, :当P、B、E在同一直线上且BE⊥AC时，PC+PE的值最小为BE', PC+PE的最小值是6. 故选：B 24. ABC、△DBE都是等边三角形 D 图1 图2 图3 (I)如图1，当C、B、E在一条直线上时，求证：AE=CD; 试卷第1页，共3页 (2)如图2，将△DBE绕着点B旋转，CD延长线与AE交于点F,则∠AFC的度数是多少？ 为什么？ (3)如图3，当△DBE的边长为4，且∠AEC=120°时，若G为AC边的中点，求EG的长， 【答案】()见解析 (2)60° (3)2 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定 理的应用。 (1)证明ABE≌CBD(SAS),即可得证； (2)同理可得ABE≌CBD(SAS),根据三角形的内角和定理，即可求解： (3)延长AE,CD交于点M,延长EG至H,使得GH=EG,同理可得ABE≌CBD(SAS) 得出AE=CD,∠BAE=∠BCD,进而证明△EMC是等边三角形，得出∠ECM=60°，证 明△AGE≌△CGH(SAS)得出∠AEG=∠GHC,即可证明AE∥CH,得出 ∠ECH=∠ECD=60°，进而证明△ECD≌aECH(SAS),得出EH=ED=4,即可求解. 【详解】(1)证明：：ABC、△DBE都是等边三角形， AB=BC,EB=DB,∠ABC=∠EBD=6O°， .∠ABE=∠CBD, .ABE≌CBD(SAS), :AE =CD (2)解：∠AFC=60°，理由如下， ?ABC、△DBE都是等边三角形， AB=BC,EB=DB,∠ABC=∠EBD=60°，∠CAB=∠ACB=60°， ∠ABE=∠CBD=60°-∠ABD, .ABE≌CBD(SAS), :ZEAB=ZDCB, 设∠EAB=∠DCB=a, ∠CAF=∠CAB+LBAF=60°+a,LACF=∠ACB-∠DCB=60°-a, 试卷第1页，共3页 LAFC=180°-∠CAF-∠ACF=180°-(60°+a-(60°-a)=60°， (3)解：如图所示，延长AE,CD交于点M,延长EG至H,使得GH=EG, D 图3 同理可得ABE≌CBD(SAS), .AE=CD,∠BAE=∠BCD, LMAC=60°-LBAE,∠ACM=60°+∠BCD, .∠M=180°-∠MAC-∠MCA=60°， 又：∠AEC=120°， .∠CEM=60°， :∠M=∠CEM=60°， △EMC是等边三角形， .∠ECM=60°， :G为AC边的中点， :.AG=GC, 又：∠AGE=∠CGH, △AGE≌aCGH(SAS, .AE=CH,LAEG=∠GHC, CD=CH,AE∥CH, .∠ECH=180°-∠AEC=60°， LECH=∠ECD=60°， 又：EC=EC, .aECD≌aECH(SAS), :EH ED=4, i6o-8m-2. 试卷第1页，共3页 25.如图，ABC是边长为12的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、 C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动， (Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于点E,连接PQ交AB于点D. ←QB (1)当∠BQD=30°时，求AP的长： (②)证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点； (3)在运动过程中线段ED的长度是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化， 请说明理由 【答案】()AP=4 (2)见解析 (3)线段ED的长不变，恒为6，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角 三角形的性质，以及平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键 (1)由等边三角形的性质可得∠ACB=60°，AC=BC=12,得到LQPC=90°，则0C=2PC ,设AP=BQ=1,进而得到PC=12-t,QC=12+t,列方程求解即可； (2)过P作PF∥QC交AB于点，得到∠AFP=∠ABC=60°，∠APF=∠ACB=60°， ∠DQB=∠DPF,推出AP=PF,由题意得BQ=AP,则BQ=PF,证明△DBQ≌aDFP, 得到QD=PD,即可得证： (3)由题意可得AB=12,由(2)知△DBQ≌△DFP,得到BD=DF,根据aAFP是等边三 角形，PE⊥AB,得到AE=EF,最后根据DE=DF+EF,即可求解. 【详解】(1)解：：ABC是边长为12的等边三角形， 、∠ACB=60°，AC=BC=12, 又：∠BQD=30°， :∠QPC=180°-∠ACB-∠BQD=90°， P、Q同时出发，速度相同，即BQ=AP .可设AP=BQ=t, :PC=AC-AP=12-1,OC=BC+BO=12+t, 试卷第1页，共3页 :在Rt△QCP中，∠BQD=30°， :QC=2PC,即12+1=2(12-t, 解得1=4， :当∠BQD=30°时，AP=4; (2)证明：如图，过P作PF∥QC交AB于点F, A D ←Q :ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=60°， :PF∥QC .LAFP=∠ABC=60°，∠APF=∠ACB=60°，∠DQB=∠DPF, :△AFP是等边三角形， iAP=PF, :P、Q同时出发，速度相同，即BQ=AP, .BO=PF, 在△DBQ和△DFP中， ∠DQB=∠DPF ∠QDB=∠PDF, BO=FP :△DBQ≌△DFP(AAS), OD=PD, ：点D是线段PO的中点； (3)解：线段ED的长不变，恒为6，理由如下： :ABC是边长为12的等边三角形， .AB=12, 由(2)知△DBQ≌△DFP, :BD=DF, 试卷第1页，共3页 :△AFP是等边三角形，PE⊥AB, :AE =EF, DE=DF+EF=BF+FA=AB=6,即ED的长不变 2 2 题型08.角平分线模型 26.如图，P是ABC外的一点，PD⊥BA交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E, PF⊥BC交BC的延长线于点F,连接PB,PC,PA,若PD=PE=PF,∠APB=37°，则 ∠BCA的度数为 D B 【答案】74°/74度 【分析】由PD=PE=PF,PD⊥BA,PE⊥AC,PF⊥BC,可得PB,PA分别平分 ∠ABC,∠DAC,则∠D41P=∠DAC,∠ABP=∠ABC,则由∠APB=37°，可得 2 ∠BCA=∠DAC-∠ABC=74°. 【详解】解：：PD=PE=PF,PD⊥BA,PE⊥AC,PF⊥BC, PB,PA分别平分∠ABC,∠DAC, ∠D1P-DaC,∠ABP∠ABc, :∠AP8=∠DiP-∠1BP=DMc-1Bc=D1C-ABc=3n, .∠DAC-∠ABC=2x37°=74°， .∠BCA=∠DAC-LABC=74°. 27.如图，在ABC中，BE,CE,CD分别平分∠ABC,∠ACB,∠ACF,AB∥CD,下列结论： ①LBDC=∠BAC;②LBEC=90°+LABD;③LCAB=LCBA;④LADB+∠ABC=90°， 其中正确的为() D A.②③④ B.①② C.②③ D.①②③④ 试卷第1页，共3页 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质等知识.由角平分 线的定义，即三角形外角的性质可得)∠B4C=∠BDC,进而判定①，由角平分线的定义和 平角的定义可求∠ECD=90°，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平 分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得AD为ABC外角∠MAC的平分线， 结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明LADB=∠ACE，再利用平行线的性质可 判定④ 【详解】解：：CD平分∠ACF,LACF=∠ABC+∠BAC, H∠ACD=∠DcF=LACF-ABC+)BaC, DCF=∠DBC+∠BDC=∠ABC+B :∠BAC=∠BDC,即∠BAC=2∠BDC,故O错误： 2 :CE平分∠ACB, ∠ACE=∠ACB, .∠ACB+∠ACF=180°， .LACE+∠ACD=90°，即∠ECD=90°， .LBEC=∠ECD+LCDB=90°+∠CDB, :AB∥CD, .∠CDB=∠ABD, ∠BEC=90°+LABD,故②正确： :BD平分∠ABC, .∠CBA=2∠ABD=2∠CDB, ZBAC =2BDC, :LCAB=∠CBA,故③正确； 过点D分别作直线BA、BF、AC的垂线，垂足分别为M、N、G, 试卷第1页，共3页 BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, .DM =DN,DG=DN, .DM=DG, AD为ABC外角∠MAC的平分线， .∠MAC=2∠MAD, :∠MAC=∠ABC+∠ACB,∠MAD=∠ABD+∠ADB,∠ABC=2∠ABD, :ZACB 2ZADB, .LADB=∠ACE, :AB∥CD, .∠ABC=∠DCF=LACD, ∠ACE+∠ACD=90°， ∠ADB+∠ABC=90°，故④正确： 综上，②③④正确： 故选：A。 28.己知：如图，AN⊥OB,BM⊥OA,垂足分别为N,M,AM=BN,BM相交于点P. (1)求证：OP平分∠AOB; (2)若∠A0P=15°，AW=2,求AM的长 【答案】()见解析 (2)4-2V5 【分析】(1)先利用AAS证明△APM≌△BPN可得PN=PM,再利用角平分线的判定定理 即可证明结论； 试卷第1页，共3页 (2)由题意可得∠A0B=2LA0P=30°，根据含30度直角三角形的性质可得结合勾股定理可得 ON=2√5，由△APM≌△BPN结合已知条件可得OM=ON=2√5，最后根据线段的和差 求解即可 【详解】(1)证明：：AN⊥OB,BM⊥OA, .∠BNP=∠PMA=90°， :BN=AM,∠APM=∠BPN, △APM≌△BPN(AAS), .PN PM :AN⊥OB,BM⊥OA, .OP平分∠AOB. (2)解：由(1)可知△APM≌△BPN, .PM PN :OP平分∠A0B,∠A0P=15°， ∠A0B=2LA0P=30°， AN⊥OB, .0A=2AN=4, ∴0N=VOA2-AW2=V42-22=2√5， 由(1)可知△APM≌△BPN, 0M=0N=2V5, ·AM=0A-0M=4-25. 29.问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小杜发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1， 已知AD是ABC的角平分线，可证AB·CD=AC·BD小杜的证明思路是：如图2，过点D 作DE⊥AB,DF⊥AC,分别交AB于点E,交AC于点F,利用等面积法来证明. B D 图1 图2 图3 图4 试卷第1页，共3页 (I)尝试证明：请参照小杜的思路，利用图2证明AB·CD=AC·BD; (2)基础训练：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点.连接AD,将 △ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处.若AC=3,AB=4,BC=5则 DE的长为 (3)拓展升华：如图4，ABC中，AB=6,AC=4,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线EF交 3 BC的延长线于点F,DF2=FC·FB,当BD=二时，求AF的长， 【答案】()证明见解析 号 (3)3 【分析】(1)先证明DE=DF,再结合面积比可得结论 (2)由折叠的性质可得出∠CAD=∠BAD,CD=DE,由(I)可知， AB BD 可得 AC CD 4 BD=二CD,结合BC=5与轴对称的性质可求出答案. 3 (3)根据(1)可得B=BD AC CD 从而求得CD=I,再根据中垂线可得AF=DF,结合 DF2=FC·FB即可得出答案 【详解】(1)证明：：DE⊥AB,DF⊥AC,AD是ABC的角平分线， :DE DF, 1 AB·DE S.AaD= 2 2 BD-hop 24C.DF —,而hBD=hcD, 2CD-hep AB BD AC CD .AB·CD=AC·BD (2)解：：将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处， .∠CAD=∠BAD,CD=DE, 由(1)可知， AB BD AC CD 又AC=3,AB=4,BC=5, 4-BD,BD+CD-5. 3 CD :.BD=4CD, 3 试卷第1页，共3页 :.CD+4CD=5, 3 .CD 0E-9 (3)解：：AD为∠BAC的角平分线， AB BD ∠BAD=∠DAC, AC CD :AB=6,AC=4,BD=2 3 3 6=2 4 CD CD=1, :AD的中垂线EF交BC延长线于F, 2.AF DF, DF2=FC.FB, .AF2=(DF CD(DF BD, 4p=(4-4+ AF=3, 【点晴】本题考查了角平分线的性质、中垂线的性质、轴对称的性质，多项式的乘法运算， 熟练掌握性质定理是解题的关键。 题型09.动点定值问题 30.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且LMPN与∠AOB互补.若 ∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA,OB相交于M、N两点，则以下结论：① PM=PN恒成立，②OM+ON的值不变，③MN的长不变，④四边形PMON的面积不变， 其中正确的为 试卷第1页，共3页 B 【答案】①②④ 【分析】本题侧重考查角平分线性质定理，全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构 造全等三角形是解题的关键 作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,根据OP平分∠AOB可知PE=PF,结合OP=OP即可证 明△POE≌aPOF.根据图中各角的数量关系可得∠MPE=∠NPF、∠PEM=∠PFN,进而 还可证明aPEM≌aPFN;利用全等三角形的性质可以得到多组相等的边，由此判断①的正 误.根据全等三角形的性质得到S△PEM=S△PwF,EM=NF,PM=PN，据此可得 OM+ON=OE+ME+OF-NF=20E,S边形wo=Sa道彩PBor=定值，还可判断②④的正误； 根据aPMN的形状确定，则当PN变化时，则MN变化，即可判断③. 【详解】解：如图，作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F. :∠PE0=LPF0=90°， ∠EPF+∠A0B=360°-90°-90°=180°， :∠MPN+∠A0B=180°， .LEPF=∠MPN, :ZEPM ZFPN, :OP平分∠AOB,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F, :PE =PF. 试卷第1页，共3页 在RtAPOE和Rt△POF中PE=PF,OP=OP, :.RtAPOE≌RtaPOF(HL, .OE =OF 在△PEM和△PFN中∠MPE=∠NPF,PE=PF,∠PEM=∠PFN=90°， .△PEM≌△PFN(ASA), .EM=NF,PM=PV,SPEw=SPwF,故①正确 :S图边形PMON=S,PEM+S边形PEON,S图边形PEOF=SpFW+SE边形PEON, ∴.S西达形PMON=S达形PEOr=定值，故④正确 .0M+ON=OE+ME+0F-NF=20E=定值，故②正确： :∠AOB为定角， ∠MPN为定角， PM PN :△PMN的形状确定， :PN的长度变化， :.MN的长度变化，故③错误， 故答案为：①②④： 31.在ABC与ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°. D 图1 图2 图3 (I)如图1，A,C,D三点共线，连接BD,CE,延长CE交BD于点F,则CE与BD的数量 关系为；位置关系为 (2)如图2，A,C,D不共线时，连接BD,CE交于点F,试探究CE,BD的关系. (3)如图3，在(2)条件下连接AF,AF延长线交BE于点G ①若∠ADB=&,试用的表达式表示LEAG=; 试卷第1页，共3页 ②若S△DEF:SABCF=7:15,EG:GB=3:5,求 DF BF FC EC 的值. 【答案】(I)CE=BD,CE⊥BD (②)CE=BD,CE⊥BD; (3)①45°-a；② DF BF 13 FC EC 36 【分析】(1)证明△BAD≌△CAE(SAS),推出CE=BD,∠ABD=∠ACE,再利用三角形内 角和定理求得LBFE=CAE=90°，即可得到CE=BD,CE⊥BD; (2)同(I)即可得到CE=BD,CE⊥BD; (3)①过点A作BD和CE的垂线，垂足分别为M和N,证明AF是∠DFC的角平分线，再 利用三角形内角和定理求解即可； ②利用等积法求海-C设：0,9-5如，再求 CFg,设DF=7b, DF 7 CF=9b,根据CE=BD,求得a=b,再代入求解即可. 【详解】(1)解：：∠BAC=∠DAE=90°， ·LBAD=∠CAE=90°， AB=AC,AD=AE, △BAD≌△CAE(SAS), .CE=BD,∠ABD=LACE, :∠FEB=∠AEC, ∴LBFE=LCAE=90°， CE⊥BD,故CE=BD,CE⊥BD; (2)解：记CE与AB交于点H, D :∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAD=90°+∠EAB=∠CAE, AB=AC,AD=AE, 试卷第1页，共3页 .△BAD≌△CAE(SAS, .CE=BD,∠ABD=∠ACE, :∠FHB=∠AHC, ,∠BFH=∠CAB=90°， .CE⊥BD,故CE=BD,CE⊥BD; (3)解：①过点A作BD和CE的垂线，垂足分别为M和N, D :△BAD≌△CAE,CE=BD, S△BAD=S△caE, :CE×AN=5BD×AM, 2 2 :AM =AN, ·AF是∠DFC的角平分线， 'CE⊥BD, ∠DFC=90°， .∠DFA=45°， :∠ADB=a, .∠DAF=180°-45°-a=135°-a, :∠DAE=90°， ,∠EAG=135°--90°=45°-， ②：AF是∠DFC的角平分线， .FG是∠BFE的角平分线， 过点G作BD和CE的垂线，垂足分别为Q和P, 试卷第1页，共3页 D ..GP=GQ, 1 SAEGE-EG」 EF×PG SABGF BG 1 BF×QG EF EG 3 BF=BG-5' 设EF=3a,BF=5a, LEFXDF 3axDF 7 SABCF 1BFXCF 5a×CF15' DF 1 .设DF=7b,CF=9b, CE=BD, 3a+9b=5a+7b, .a=b, DF BF 7b 5a 7 5 13 ÷FcEC9b3a+9b91236 32.如图，ABC是等腰直角三角形，AB=BC,直角顶点B在x轴上，一锐角顶点C在y 轴上. VA VA 图1 图2 图3 (1)如图1，若点B的坐标是(-2,0)，点A的坐标是3,2)，则点C的坐标为- 试卷第1页，共3页 (2)如图2，若y轴恰好平分∠ACB,AB与y轴交于点D,过点A作AE1y轴于点E,问 CD与AE有怎样的数量关系？并说明理由. (③)如图3，直角边BC的两个端点在两坐标轴上滑动，使点A在第二象限内，过点A作 AF上y轴于点F,在滑动的过程中， OB-AF 为定值，求出这个定值。 OC 【答案】1)(0，-5) (2)CD=2AE,理由见解析 (3OB-AF =1或OB-A =-1 OC Oc 【分析】(1)过点A作AN⊥x轴于点N,证aBAN≌aCBO(AAS),得出BN=CO,求出 BN=5,即可得出答案； (2②)延长A4止交C8的延长线于点G,先证&4CG是等腰三角形，得出4L=6E=4G,再 证△GAB≌△DCB(ASA),得出AG=CD,即可得出结论： (3)分两种情况：当B在x轴负半轴，C在y轴负半轴，A在第二象限时，当B在x轴负半 轴，C在y正半轴，A在第二象限时，分别画出图形，求出结果即可 【详解】(1)解：如图1，过点A作AN⊥x轴于点N, 图1 则∠ANB=∠B0C=90°， ,∠ABN+∠BAN=90°， :△ABC是等腰直角三角形，AB=BC, .∠ABN+∠CB0=∠ABC=90°， ∠BAN=∠CBO, 在△BAN和△CBO中， ∠ANB=∠BOC ∠BAN=∠CBO, AB=BC 试卷第1页，共3页 aBAN≌△CBO(AAS, .BN CO, :点B的坐标是(-2,0)，点A的坐标是3,2)， BN=2+3=5, C0=5, ：点C的坐标为(0，-5)， 故答案为：(0，-5)： (2)解：CD与AE的数量关系为：CD=2AE,理由如下： 如图2，延长AE交CB的延长线于点G, h G D B y轴平分∠ACB,AE⊥y, 图2 :a△ACG是等腰三角形，∠AED=90°， AE-GE=AG.ZGAB+ZADE=90 :AABC是等腰直角三角形，AB=BC, .∠CBD=∠ABG=90°， :∠DCB+∠CDB=90°， :∠ADE=∠CDB, ∠GAB=∠DCB, 在△GAB和△DCB中， ∠ABG=∠CBD AB=BC ∠GAB=∠DCB △GAB≌△DCB(ASA), :.AG=CD, 试卷第1页，共3页 :.AE=CD, :CD=2AE; (3)解：当B在x轴负半轴，C在y轴负半轴，A在第二象限时，如图3，过点A作 AH⊥OB于点H, 图3 则∠AHB=∠AH0=90°， :AF⊥y轴， :四边形AHOF是长方形， :OH AF, :∠ABH+∠CB0=90°，∠CB0+∠BC0=90°， :ZABH ZBCO, 在△ABH和△BCO中， ∠AHB=∠BOC=90° ∠ABH=∠BCO AB=BC △ABH≌△BCO(AAS), .HB=OC, HB=0B-OH=0B-AF, :.OC =0B-AF, OB-AF =1. 当B在x轴负半轴，C在y正半轴，A在第二象限时，如图4，过点A作AH⊥OB于点H, 试卷第1页，共3页 B 图4 则∠AHB=∠AH0=90°， :AF⊥y轴，∠F0H=90°， :四边形AHOF是长方形， :.OH=AF, LABH+∠CB0=90°，∠CB0+∠BC0=90°， .∠ABH=∠BCO, 在△ABH和△BCO中， ∠ABH=∠BOC=909 ∠ABH=∠BCO AB=BC .△ABH≌△BCO(AAS), .HB=OC, .HB=OH-0B=AF-OB, :.OC=AF-0B, OB-AF -=-1. OC 综上，OB-5=1或OB-AF OC 1 OC 【点晴】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质、同角的 余角相等、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识， 正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键。 题型10.旋转全等探究题 33.综合与实践 在几何图形变换探究活动中，同学们以两个等腰直角三角形为研究对象开展实践探索.己知 在ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC,AD=AE.如图1，同学们连 试卷第1页，共3页 接BD、CE,通过观察、测量，初步发现线段BD与CE的长度相等.为进一步探究图形变 换中线段的数量关系，各小组围绕图形旋转展开深度探讨与论证，请你参与并完成下列探究 任务， 图】 图2 图3 备用图 (I)初步探究，博学小组提出：保持ABC位置不变，将ADE绕着点A逆时针旋转至图2 的位置，连接BD、CE,此时线段BD和CE相等吗？请给出判断并说明理由， (②)深入探究，逻辑先锋组继续探究：将图2中的ADE继续绕点A逆时针旋转至图3的位 置，连接BD、CD、CE,当∠AEC=45°时，试探究线段BD、CD、DE之间的数量关系， 并说明理由. (3)拓展应用，拓思创新组进行拓展思考：保持ABC位置不变，将ADE绕着点A逆时针 旋转，当∠AEC=45°时，若AD=3,BD=12,请直接写出CD的长. 【答案】(1)BD=CE,理由见解析 (2)BD2+DE2=CD2,理由见解析 (3)9√2或12-3√2 【分析】(1)根据SAS证明△ABD≌△ACE,然后根据全等三角形的性质即可得出结论： (2)同(1)可得BD=CE,判断aCDE是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解： (3)分点E不在CD上和点E在CD上两种情况讨论即可. 【详解】(1)解：BD=CE, 理由：：∠BAC=∠DAE=90°， .ZBAD Z CAE 又AB=AC,AD=AE, :△ABD≌△ACE(SAS), .BD=CE (2)解：BD2+DE2=CD2, 理由：同(1)可证△ABD≌△ACE(SAS), 试卷第1页，共3页 :BD=CE, :AD=AE,∠DAE=90°， .∠AED=∠ADE=45°， .·∠AEC=45°， ∠CED=90°， :CE2+DE2 CD2, ..BD+DE2=CD2; (3)解：：AD=AE=3,∠DAE=90°， :DE =32, 当点E不在CD上时，如图3， D 图3 由(2)可知BD2+DE2=CD2, .CD=√BD2+DE2=9√5： 当点E在CD上时，如图， 此时CD=CE-DE=BD-DE=I2-3V2, 综上，CD的长为9√2或12-3√2 34.【原题再现】在学习“图形的平移和旋转”时，教材上有这样一道题，如图1，点D在等 边三角形ABC的边BC上，将△ABD绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C.小明 是这样做的：过点C画BA的平行线l,在l上截取CE=BD,连接AE,则△ACE即为旋转 后的图形. 试卷第1页，共3页 D 图1 图2 (1)请你根据小明的思路，①求证：△ACE≌aABD;②求∠DAE的度数： 【方法应用】 (2)如图2，点D为等边三角形ABC的边BC下方一点，连接AD,BD,CD,若 ∠ACD+∠ABD=180°，AD=6,求ABC面积的最小值. 【答案】(1)①见解析；②60° ②275 4 【分析】(1)①先由等边三角形的性质可得AB=AC,∠BAC=∠B=60°，再根据平行线的 性质可得∠ACE=∠B,再由边角边的证明方法即可证明； ②根据全等三角形的性质可得∠BAD=∠CAE,结合等边三角形的性质即可求解； (2)添加辅助线，先由边角边的证明方法证明△ABD'≌△ACD,再由全等三角形的性质可证 明△DAD'是等边三角形，再由等边aABC的边长最短时面积最小求解即可. 【详解】(1)解：①：△ABC是等边三角形， .AB=AC，∠BAC=LB=60°， AB‖l, .LACE=∠BAC=60°， 、LACE=∠B, CE=BD, 在△ACE与△ABD中， AB=AC ∠ACE=∠B, CE=BD △ACE≌△ABD(SAS): ②由①得：△ACE≌△ABD, .∠BAD=∠CAE, .LDAE=∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°； 试卷第1页，共3页 (2)解：如图，延长DB到点D,使BD'=CD D B :△ABC是等边三角形， .∠BAC=60°，AB=AC, :∠ACD+∠ABD=180°，且四边形ABDC内角和为360°， .∠BAC+∠CDB=180°， ∠CDB=120°， ∠ABD+∠ABD'=180°， .∠ACD=∠ABD', 在△ABD'与△ACD中， AB=AC ∠ABD'=∠ACD, BD'=CD △ABD'≌△ACD(SAS, .AD'=AD=6,∠DAC=∠BAD', :∠DAC+∠BAD=60°， ∠DAD'=∠BAD+∠BAD'=60°， △DAD'是等边三角形， 要使ABC的面积最小，即等边△ABC的边长最短时面积最小， 即当AB为等边△DAD'的高线时才会最短， 由题意可知等边△DAD'的高线最短，则有√6-32=33， :ABC的高线为35x5_9, 22 927V5 :△ABC的面积最小值是二×3√5×2= 2 24 35.综合探究与应用 试卷第1页，共3页 B 图1 图2 (I)如图1，在ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=90°，点B在EF 上，连接CF,则BE与CF的关系为 【类比应用】 (2)如图2，在ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转一 个角度a(0°<a<180°)得到线段AP,连接BP,过点A作BP的垂线AD,分别交BP与 射线PC于点D,F,连接BF. ①线段AC绕点A旋转的过程中，∠BPF的度数是否发生变化？若不变，请求出∠BPF的度 数；若变化，请说明理由； ②直接写出FB、FC、FA这条线段的数量关系为 ③若CA=3v5,FA=4√2，请直接写出BCF的面积. 【答案】(I)BE=CF,BE⊥CF 20∠BPF=45°，理由见解析；②FB+FC:V2AF:③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理求直角三角形的边长，等腰三角形 的性质等知识，综合性强， (1)BE与CF的关系为：BE=CF,BE⊥CF,通过证明△EAB≌△FAC,由全等三角形 对应边相等，对应角相等可得BE=CF,∠E=LAFC,再证∠AFC+∠AFB=90°，从而证得 BE⊥CF: (2)①LBPF=45°，证明思路：先证明△CAP,△BAP是等腰三角形，通过己知条件 ∠BAC=90°，∠CAP=a,结合三角形内角和定理，推导出∠APB=45°-a -0, 2 ∠4PC=90-a,从而证得∠BPF=45°： ②FB+FC=√2AF,证明思路：过点A作AH⊥AF交FB延长线于点H,先证 △PAF≌△BAF,从而证明△AHF是等腰直角三角形，再证△HAB≌△FAC,由全等三角形的 性质可得BH=CF,，结合等腰直角三角形性质，证得FB+FC=V2AF; 试卷第1页，共3页 ③先证LBFC=90°，结合②的结论以及FA=4√2，得到FB+FC=8,再求得 BC2=2AC2=54,在Rt△BFC中，由勾股定理可知，BF2+FC2=BC2=54, 运用完全平方公式，变形得到(BF+FC)-2BF×FC=54,从而求得BF×FC的值，最后求 得BCF的面积. 【详解】(I)解：BE与CF的关系为：BE=CF,BE⊥CF,理由如下： ∠BAC=∠EAF=90°， .∠BAC-LBAF=∠EAF-∠BAF, 即∠FAC=∠EAB, 在△EAB和△FAC中， AE=AF {∠EAB=∠FAC, AB=AC △EAB≌△FAC(SAS), .BE=CF,LE=∠AFC, AB=AC,∠BAC=90°， .∠E=LAFB=45°， .∠E=∠AFC, LAFC=LAFB=45°， ∠AFC+∠AFB=90°， .LBFC=90°， 即BE⊥CF, 故BE=CF，BE⊥CF; (2)解：①LBPF=45°，理由如下： :将线段AC绕点A按逆时针方向旋转一个角度0得到线段AP, AC=AP,∠CAP=C, 又：AB=AC, :AB=AP. :∠BAC=90°，∠CAP=a, .∠BAP=∠BAC+∠CAP=90°+a, 试卷第1页，共3页 AB=AP, .∠ABP=∠APB, 在△ABP中， ∠BAP+∠ABP+∠APB=180°，∠BAP=90°+a, LABP+LAPB=180°-∠BAP=180°-(90°+a）=90°-a, ∠ABP=∠APB, .2∠APB=90°-a, ∠APB=45°-7a 同理，在△ACP中， :LCAP+∠ACP+LAPC=180°，∠CAP=a, LACP+APC=180°-∠CAP=180°-a, AC=AP, :ZACP ZAPC, 2∠APC=180°-a, 1 .∠APC=90°-5o, 2 °∠APB=450-1。 , :∠BPF=∠APC-∠APB= 即∠BPF=45°： ②FB+FC=√2AF,证明如下： 如图，过点A作AH⊥AF交FB延长线于点H, B :AH⊥AF, ∠HAF=90°， :∠BAC=90°， 试卷第1页，共3页 :∠HAF=∠BAC, LHAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF, 即∠HAB=∠FAC. 由①可知，AB=AP, :AD⊥PB,AB=AP, .∠BAF=∠PAF, 在△PAF和△BAF中， (PA=AB {∠PAF=∠BAF, AF=AF △PAF≌△BAF(SAS), :PF=FB, 由①可知，∠BPF=45°， :∠PBF=∠BPF=45°， .∠BFP=90°， .PF=FB,AF⊥PB, :∠AFB=∠AFP={ ∠BFP=45°， ∠HAF=90°， .在△AHF中， ∠H=180°-∠HAF-∠AFB=45°， .LAFB=∠H=45°， .AH =AF, :LAFP=45°， LAFP=∠H=45°， 在△HAB和△FAC中， ∠H=∠AFC AH=AF ∠HAB=∠FAC △HAB≌△FAC(ASA), 试卷第1页，共3页 :HB=CF, .CF FB=HB+FB=HF. :AH=AF,∠HAF=90°， :AH2+AF2=2AF2=FH2, :.2AF FH, .CF FB=HB+FB=HF, CF+FB=√2AF; ③由②可知，∠AFP=45°，∠AFB=45°， .∠BFC=LAFP+∠AFB=45°+45°=90°， 即∠BFC=90°. 由②可知，CF+FB=V2AF, ”AF=4V2, :CF+FB=2AF=8. :∠BAC=90°，AB=AC, :AB2+AC2=2AC2=BC2, :CA=35, ∴BC2=2AC2=2×3W5=54, :∠BFC=90°， BF2+FC2=BC2=54, .(BF+FC)2-2BF×FC=54, CF+FB=8, ·2BF×FC=(BF+FC)2-54=64-54=10, BF×FC=5, :∠BFC=90°， 5 ∴.SBCF=5 BFxCF= 2 2 题型11.多结论判断 36.如图，点D、点E分别是ABC的边AB、AC上的点，连接DE并延长到F,使得 LACF=∠A,若∠B=∠F,∠AED比∠ACB的余角小20°，G为线段BC上一动点，H为 试卷第1页，共3页 BG上一点，且满足LGEH=∠GHE,EI为LAEG的平分线.下列结论： ①AB∥CF: ②DF∥BC; ③EH平分∠DEG; ④∠A+∠F=145°； ⑤LIEH=17°.其中结论正确的有几个() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义以及角度的计算与 代换.由平行线的判定和性质可判定①②③④，设∠IEH=a,∠DEI=B,LGEH=0,由 角平分线的定义可得35°+B=a+0,阝+a=0,可判断⑤. 【详解】解：①：∠ACF=∠A, :AB∥CF, 故结论①正确； ②·AB∥CF, :∠F=∠ADE, 又：∠B=∠F, .∠B=∠ADE, DF∥BC, 故结论②正确： ③：DF∥BC, ∠DEH=∠GHE, 又：∠GEH=∠GHE, :LDEH=∠GEH, ∴EH平分∠DEG, 故结论③正确： 试卷第1页，共3页 ④：∠AED比∠ACB的余角小20°， ∠AED+20°=90°-∠ACB, ∠AED+∠ACB=70°， :DF∥BC, LAED=LACB=35°， :∠A+∠ADE+∠AED=180°， ∠A+∠F+35°=180°， :∠A+∠F=145°， 故结论④正确： ⑤设∠IEH=a,∠DEI=B,LGEH=0, :EI为LAEG的平分线， ∠AEI=LIEG, :ZAED Z D EI ZIEH ZGEH, 即35°+B=a+0, 由③知∠DEH=∠GEH, ∠DEI+∠IEH=∠GEH,即B+a=O, 将B+a=0代入35°+B=a+0, 得35°+B=a+B+a, 解得a=17.5°， ∠IEH=a=17.5°， 故结论⑤不正确： 综上所述，正确的结论是①②③④： 故选：C. 37.如图所示，己知△ABC和aCDE均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE与 AD交于点O,AD与CE交于点N,AC与BE交于点M,连接OC、MN,则下列结论：① AD=BE;②AN=BM;③MN‖BD;④LBOC=∠DOC,⑤ACMN为等边三角形；⑥若 ∠BED=100°，则∠ADE=20°，其中正确的结论个数为() 试卷第1页，共3页 B A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC,CD=CE,LACB=∠DCE,再求出 ∠ACD=∠BCE,然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等 可得AD=BE,判断出①正确，全等三角形对应角相等可得∠ADC=∠BEC, ∠CAD=∠CBE,再求出LACN=BCM=60°，然后利用“边角边”证明△ACN和△BCM全 等，根据全等三角形对应边相等可得AW=BM,CM=CN,判断出②正确，根据全等三角 形对应角相等可得∠B0C=∠ACN=60°，再求出∠D0C=60°，从而得到∠B0C=∠D0C, 判断出④正确；判断出aCMN为等边三角形，判断出⑤正确，根据等边三角形的性质可得 ∠CMN=60°，得到LACB=LCMN,再根据内错角相等，两直线平行可得MN‖BD,判断 出③正确；求出∠ADC,即为∠BEC,再根据∠BED=∠BEC+∠CED计算即可得解，从而 判断出⑥正确 【详解】解：：△ABC和aCDE均是等边三角形， AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE, :ZACB ZACE ZDCE ZACE, 即LACD=LBCE, 在△ACD和△BCE中， AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE, .△ACD≌△BCE(SAS), :AD=BE,(故①正确)： ∠ADC=∠BEC,∠CAD=∠CBE, :∠ACN=180°-2×60°=60°， LACN=∠BCM=60°， 在△ACN和aBCM中， ∠ACN=LBCM,AC=BC,LCAD=∠CBE, 试卷第1页，共3页 .△ACN≌△BCM(ASA, .AN=BM,CM=CN,(故②正确)： ∠B0C=∠ACN=60°， :LCBE+∠ADC=∠CBE+∠BEC=LDCE=60°， LB0D=180°-（∠CBE+∠ADC)=180°-60°=120°， .∠D0C=∠B0D-∠B0C=120°-60°=60°， ·LB0C=∠D0C,(故④正确)； ∠ACN=60°，CM=CN, :aCMN为等边三角形，（故⑤正确）； :LCMN=60°， ∠ACB=LCMN=60°， .MW‖BD,(故③正确)： :∠BED=100°， :∠BEC=∠BED-LCED=100°-60°=40°， .∠ADC=∠BEC=40°， :LADE=LCDE-∠ADC=60°-40°=20°，（故⑥正确）： 综上所述，结论正确的是①②③④⑤⑥共6个.故选：D. 【点晴】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握各性质 与判定方法是解题的关键，难点在于需要多次证明三角形全等 38.已知ABC与ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD,连接BD与EC相交于点 F,BD与AC相交于点G. E 图1 图2 图3 (I)如图1所示，证明：△ABD≌△ACE: (2)如图2所示，当∠BAC=90°时，求∠BFC的度数； 试卷第1页，共3页 (3)如图3所示，当AB‖CE,求DF,AB,EC的等量关系. 【答案】()见解析 (2)∠BFC=90° (3)DF=EC-AB 【分析】(1)根据SAS即可证明： (2)先证明△BAD≌△CAE(SAS)得到∠ABD=∠ACE,再由三角形的外角性质即可求解： (3)先根据△BAD≌△CAE,以及平行线的性质证明LACE=∠BAC=∠BFC=LABF,过点 G作GM⊥AB交AB,CE于点M,N,证明△AMG≌△BMG(AAS),同理 △FNG≌△CNG(AAS),即可得到GF=GC,AG=BG,再根据线段和差证明. 【详解】(1)证明：：∠BAC=∠EAD, :∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD, :LBAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS; (2)解：：∠BAC=∠EAD LBAC+LCAD=∠EAD+∠CAD :∠BAD=LCAE 在ABAD和△CAE中 「AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △BAD≌△CAE(SAS :ZABD ZACE 在△BAG和△CFG中，∠BGC=∠BAC+∠ABD=∠GFC+∠ACE :LGFC=∠BAC :∠BAC=90° 试卷第1页，共3页 .∠BFC=90° (3)解：同理可证明△BAD≌△CAE,∠BFC=∠BAC, :BD CE, :AB∥CE, :ZACE ZBAC,ZBFC=ZABF, :∠BFC=∠BAC, :ZACE ZBAC ZBFC ZABF, 过点G作GM⊥AB交AB,CE于点M,N, M 图3 .∠AMG=∠BMG=90 GM=GM △AMG≌△BMG(AAS),同理△FNG≌△CNG(AAS ..GF=GC,AG=BG, :AG+GC=BG+GF, BF=AC=AB. :DF BD -BF EC-AB. 即DF=EC-AB 39.已知∠ACD=90°，AC=DC,MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B,连接 CB. 试卷第1页，共3页 图(1) 图(2) 图(3) 问题发现 (I)如图(1)，过点C作CE⊥CB,与MN交于点E,则易发现BD和EA之间的数量关系为 ,BD、AB、CB之间的数量关系为 (2)拓展探究 当MN绕点A旋转到如图(2)位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出 你的猜想，并给予证明. (3)解决问题 当MN绕点A旋转到如图(3)位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD=30°， BD=2时，CB= 【答案】(I)BD=AE,BD+AB=V2CB 2 BD-AB=2CB (3)6-2 【分析】(I)过点C作CE⊥CB交MN于点E,证明ACE≌DCB,根据等腰直角三角形 的性质进行求解； (2)过点C作CE⊥CB交MN于点E,证明ACE≌DCB,根据等腰直角三角形的性质进 行求解； (3)过点C作CE⊥CB交MN于点E,过点D作DH⊥BC,交BC的反向延长线于点H, 证明ACE≌DCB,得出直角三角形，最后利用勾股定理求解. 【详解】(I)解：如图1，过点C作CE1CB交MW于点E, 试卷第1页，共3页 M E ! B D 图(1) .∠BCE=90°， :LACE=LBCE-∠ACB=90°-∠ACB, :∠ACD=90°， .LBCD=∠ACD-LACB=90°-∠ACB, :LACE=∠BCD, DB⊥MN, ∴在四边形ACDB中，∠BAC+LACD+∠ABD+∠D=360°， .∠BAC+∠D=180°， :∠CAE+∠BAC=180°， .LCAE=∠D, AC=DC, △ACE≌△DCB(ASA, .AE =DB,CE=CB, LECB=90°， ·△ECB是等腰直角三角形， :BE=2CB, :BE=AE AB=DB+AB, .BD+AB=2CB; (2)解：BD-AB=√2CB,证明如下： 如图2，过点C作CE⊥CB交MN于点E, 试卷第1页，共3页 E D 图(2) LBCE=90°， :LACE=LBCE+∠ACB=90°+∠ACB, :∠ACD=90°， LBCD=LACD+LACB=90°+∠ACB, .∠ACE=LBCD, :DB⊥MN, .LABD=90°， :∠CAE=90°-∠AFB, 又∠D=90°-∠CFD,∠AFB=∠CFD, .LCAE=∠D, AC=DC, △ACE≌△DCB(ASA), :AE=DB,CE=CB, :∠ECB=90°， ∴△ECB是等腰直角三角形， .BE=√2CB, :BE=AE-AB=DB-AB, ·BD-AB=V2CB: (3)解：如图3，过点C作CE⊥CB交MN于点E, 试卷第1页，共3页 M E F D N H 图(3) LBCE=90°， LBCD=LBCE-LDCE=90°-∠DCE, :∠ACD=90°， LACE=∠ACD-∠DCE=90°-∠DCE, .∠ACE=LBCD, :DB⊥MN, ∠DBF=90°， :∠CAE=90°-∠AFC,∠CDB=90°-∠BFD, ∠AFC=∠BFD, :ZCAE ZCDB AC=DC, △ACE≌△DCB(ASA), :AE=DB,CE=CB, :∠ECB=90°， ∴△ECB是等腰直角三角形， .BE=√2CB, :BE=AB-AE AB-DB, ·AB-DB=√2CB; :△BCE为等腰直角三角形， LBEC=LCBE=45°， ∠ABD=90°， .∠DBH=45°， 过点D作DH⊥BC,交BC的反向延长线于点H, 试卷第1页，共3页 “△DHB是等腰直角三角形， BD=√2BH=2, :BH=DH=√2， 在Rt△CDH中，∠BCD=30°，DH=√2， :CD=2DH=22, CH=VCD2-DH2=√6， ∴BC=CH-BH=V6-V2 题型12.角度计算综合题 40.如图，一张四边形纸片ABCD,∠A=110°，∠C=130°.若将其沿EF折叠后，恰好使 EG∥AD,FG∥DC,则∠B=度. 【答案】60 【分析】延长FG交AD于点H,利用平行线的性质和折叠的性质求得∠B=∠D,再利用四 边形内角和定理列式计算即可求解 【详解】解：延长FG交AD于点H, B D :FG∥DC, ,∠D=∠AHF, EG∥AD, :ZAHF ZEGF 由折叠的性质得∠B=∠EGF, ∠B=∠D, :∠A=110°，∠C=130°， 试卷第1页，共3页 :LB+∠D+LA+∠C=360°， :∠B+LD=360°-（∠A+LC)=120°， ∠B=号x120°=60 41.如图，ABC中，BO与CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点O, BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点P,且∠BPC=IO8°，则∠BOC的 度数为() B A.112° B.118 C.126° D.128 【答案】C 【分析】先通过四边形内角和定理和对顶角相等得出LA=72°，所以∠ABC+∠ACB=108°， 然后通过角平分线定义与三角形内角和定理即可求解. 【详解】解：：BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F, .LAFC=∠AEB=90°， :∠A+∠AFC+∠AEB+∠EPF=360°，∠EPF=∠BPC=108°， .∠A=72°， :∠A+LABC+∠ACB=180°， ∠ABC+∠ACB=108°， :BO与CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线， <08c=1Bc,∠0cB=5AC8, :∠0BC+∠0CB+∠B0C=180°， ZABC+ZACBLBOC- ÷2×108°+∠B0C=180°， 1 .∠B0C=126°. 42.如图，己知射线CB∥OA,∠C=∠0AB. 试卷第1页，共3页 CE F (1)求证：AB∥OC. (2)如果点E、F在射线CB上，且满足OB平分∠AOF.OE平分∠COF ①若∠C=130°，当AB平移到某一位置时，∠E0F比∠A0B小15°，求此时∠AOB的度数. ②若平行移动AB,过E点作EP垂直于OB于P点，设LC=n,LOEP=m,求m与n 的数量关系 【答案】)见解析 1 (2)①LA0B=20°；②m=5n 2 【分析】(1)根据平行线的性质得出∠C+∠C0A=180°，等量代换得出 LC0A+∠0AB=180°，最后根据平行线的判定，得出结论即可； (2)①根据平行线的性质得出∠C0A=180°-∠C=50°，根据角平分线定义得出 ∠408=∠08-40r,∠C0E=∠F0E=C0r,求出 ∠E0F+∠A0B=∠COE+∠B0F=25°，根据∠E0F比∠AOB小15°，得出 ∠AOB-∠E0F=15°，即可得出答案； ②根据平行线的性质得出∠COA=180°-n,根据角平分线定义得出 ∠A0B=∠F0B=40F,∠C0E=∠F0E=∠C0F,求曲∠B0E=0 2”,根据 ∠0EP(808:90,得出m+00-=0,即可将出等案 【详解】(1)证明：CB∥OA, .∠C+LC0A=180°， :∠C=∠OAB, .∠C0A+∠0AB=180°， AB∥OC; (2)解：①：CB∥OA,∠C=130°， ∠C0A=180°-∠C=50°， :OB平分∠AOF,OE平分∠C0F, B=∠F0B4A0r,∠C0E=∠F0E 2 试卷第1页，共3页 LEOF+∠AOB=∠COE+∠BOF 21 <c0F+<A0P) x50 1 =25°， :∠E0F比∠A0B小15°， .LA0B-∠E0F=15°， LAOB-LEOF+(LA0B+LE0F=15°+25°， 2∠A0B=40°， .∠A0B=20°： ②：CB∥OA,∠C=n, :∠C0A=180°-n, :OB平分∠A0F.OE平分∠C0F, ∠40B=∠F08=40r,∠c0E=∠P0E=<c0, .∠BOE=∠FOB+∠FOE 34or+号c0r 2 E∠A0F+∠COF) 2<10c 片0-d :EP⊥OB, .L0PE=90°， 、∠0EP+∠B0E=90°， m+90°-号n=90°， 试卷第1页，共3页 1 m+90°-二n=90°， 2 .m-。n=0, 2 1 即m=。n. 2 B 43.如图，四边形ABCD中，∠C=90°，BE平分∠ABC,BE、CD交于G点. G 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A=90°， ①求证：∠EDG=∠ABC; ②作DF平分∠ADC,如图2，求证：DF∥BG. (2)如图3，作DF平分∠ADC,在锐角∠BAD内部作射线AN,交DF于N,若 ∠AND-∠GBC的大小为45°，试说明：AN平分∠BAD. 【答案】(1)①见解析；②见解析 (②)见解析 【分析】(1)①根据四边形内角和得出∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°，根据邻补角 得出∠EDG+∠ADC=180°，根据补角的性质即可得出结论；②根据角平分线的定义结合 +(ADC=180°，得出∠2+∠4=5∠ABC+)∠ADC=90 ∠DFC+∠4=90°得出∠2=∠DFC,根据平行线的判定得出DFI‖BG; (②)延长AB、DF交于点M,求出∠DAN=135°-∠2-∠3，∠BAW=135°-∠2-∠3，证明 ∠DAN=∠BAN,即可证明AN平分∠BAD 【详解】(1)解：①：四边形ABCD中，∠A=∠C=90°， ∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°， 试卷第1页，共3页 :∠EDG与∠ADC互为邻补角， :∠EDG+∠ADC=180°， ∴.∠EDG=180°-∠ADC, :∠ABC+∠ADC=180°， :∠EDG=180°-∠ADC=∠ABC, 即：∠EDG=∠ABC. ②：∠ABC+∠ADC=180°， :BE平分∠ABC,DF平分∠ADC, 22=54Bc,∠3=30c, 2 ∠2+∠3=∠4BC+∠ADC=x180=0, 在RtAFDC中：∠C=90°， .∠4+∠DFC=90°， :∠3=∠4， ∠2+∠4=90°， ∠2=∠DFC, .DF BG: (2)解：延长AB、DF交于点M,如图所示： G E 3D∠AND-LGBC=45°， 4 B M :∠AND=∠2+45°， ∠DAN=180°-∠AND-∠3=180°-∠2-45°-∠3=135°-∠2-∠3， :BE平分∠ABC, ∠1=∠2=∠ABC, :DF平分∠ADC, 试卷第1页，共3页 1 ∠3=∠4=5∠ADC, 2 ,∠BFM=∠CFD=90°-∠4=90°-∠3， ∠AMN=∠ABC-∠BFM=2∠2-90°+∠3， .∠BAN=∠AND-∠AMN=45°+∠2-2∠2+90°-∠3=135°-∠2-∠3， ∠DAN=∠BAN, :AN平分∠BAD. 【点晴】本题主要考查了四边形的内角和、角平分线的性质、邻补角关系、三角形内角和、 平行线的判定、外角性质以及角度计算.解题的关键是灵活运用四边形的内角和定理及构造 辅助线 题型13.线段和差证明 44.在等腰RtAABC中，∠ABC=90°，且CA=CB. 图1 图2 (I)如图1，若△ECD也是等腰直角三角形，且CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边 DE上，连BD. ①求证：△ACE≌△BCD; ②求证：AE2+AD2=2BC2; (2)如图2，E为AB上一点，AE=3,CE=√29，则AB的长为 【答案】(1)①证明见详解；②证明见详解； (2)10 【分析】(1)①根据等腰三角形性质和SAS证明即可；②利用①的结论得∠E=∠BDC=45 ,AE=BD,根据勾股定理得AB=√2BC,在Rt△ADB中利用勾股定理即可证得结论： (2)利用等腰三角形构造全等三角形，即将△ACE绕点C顺时针旋转90°得BCF,根据全 等的性质得BF=AE=3,CF=CE=√29，∠A=∠CBF=45°，从而利用勾股定理可以求 出BE=7,即可求解. 【详解】(I)证明：①：aABC和△ECD均为等腰直角三角形， 试卷第1页，共3页 .∠ABC=∠ECD=90°， LABC-∠ACD=∠ECD-∠ACD, LACE=∠BCD, 在△ACE和△BCD中， AC=CB ∠ACE=∠BCD, CE=CD △ACE≌△BCD(SAS): ②：AACE≌△BCD, :LE=LBDC=45°，AE=BD, LADB=90°， :AC=CB,∠ABC=90°， :AB=√2BC, :R1△ADB中，AD2+BD2=AB2, :AE'+AD=(BC)=2BC2: (2)过点C作CF⊥CE且CF=CE,连接BF,EF, A :∠ACB=∠ECF=90°， B :ZACE ZBCF 在△ACE和BCF中， AC=CB ∠ACE=∠BCF, CE=CF ∴△ACE≌△BCF(SAS), :BF=AE=3,CF=CE=V29,∠A=∠CBF=45°， :EF=CE2+CF2=58, 试卷第1页，共3页 :Rt△BEF中，BE=VEF2-BF2=7, :AB AE BE =10, 故答案为10 【点晴】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质 等知识点，能够利用旋转构造全等三角形是解题的关键. 45.在ABC中，AB=AC,∠BAC=I20°，AB的垂直平分线DE交AB于D,交BC于E (I)求证：EC=2BE: (2)若ABC的面积是15，则BDE的面积为 【答案】（①）证明见解析 (2)2.5 【分析】(1)根据等腰三角形的性质，可得∠B=∠C=30°，再根据垂直平分线的性质，可 证AE=BE,从而得LBAE=∠B=30°，进而可证∠CAE=90°，利用解含30度直角三角形 即可得证； (2)由(1)的结论EC=2BE可得S.4E= Sc,再根据垂直平分线的性质可得D为4B的 中点，从而求得S.e=2S, 【详解】(1)证明：如图，连接AE, B AB=AC,∠BAC=120°， ÷∠B=∠C=180-∠B1C=30°， 2 ·DE是AB的垂直平分线， :AE BE, .LBAE=LB=30°， LCAE=∠BAC-∠BAE=120°-30°=90°， 在Rt△AEC中，∠C=30°， :EC=2AE, 试卷第1页，共3页 AE BE, .EC=2BE. (2)解：由(1)得EC=2BE, S△Me=SAADC=7x15=5, 31 3 :DE是AB的垂直平分线， D为AB的中点， 1 1 S,a0e=254=2×5=2.5 46.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=60°，∠BAD+∠BCD=180,证明： AC=BC+CD. B 【答案】见解析 【分析】因为AB=AD,∠BAD=60°，所以可构造等边三角形，利用等边三角形的性质寻找 全等条件，延长CB到点E,使BE=CD,连接AE,由∠ABC+∠ADC=180°，可得 ∠ABE=∠ADC,可得△ABE≌△ADC(SAS).得AE=AC,∠BAE=∠DAC,得 ∠EAC=60°，得△AEC是等边三角形，即可推导得出结论 【详解】解：延长CB到点E,使BE=CD,连接AE, E B :∠BAD=60°，∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC+∠ADC=180°， 又：∠ABC+∠ABE=180°， .∠ABE=∠ADC. AB=AD, 试卷第1页，共3页 △ABE≌△ADC(SAS). .AE=AC,∠BAE=∠DAC. .∠EAC=∠BAE+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=60°. ·△AEC是等边三角形， :EC=AC. EC=BE +BC=CD +BC, :AC=BC+CD. 47.如图，在ABC中，AB=AC,点D是AB边上一点，连接CD,在ABC内部作 ∠BAE=∠ACD,分别与BC,CD交于点E、点F. 图1 图2 (I)如图1，若∠AEC=∠BAC,CF=8,求AE的长； (2)如图2，点D为AB边中点，作BG∥AC交AE的延长线于点G,若 ∠ABF+2LGBF=I80°，求证：AG=CD+DF, 【答案】(I)AE=8 (2)见解析 【分析】(1)根据等边对等角结合三角形内角和定理可得到BAC=180°-2∠B,进而由已 知的等角关系结合外角的性质等量代换表示出∠BAE,再根据∠FAC=∠BAC-∠BAE表示 出∠FAC,从而证明△ACF≌△BAE(ASA),根据全等三角形的性质即可得解： (2)延长FD至H,使得DH=DF,连接AH,构造全等三角形，先证明 △AHD≌△BFD(SAS),得到∠DAH=∠DBF,再由平行的性质结合已知的 ∠ABF+2∠GBF=I80°等量代换即可证得∠DAC=∠GBF,从而得到∠HAC=∠ABG,然后 可证明△AHC≌△BGA(ASA),得到HC=AG,最后根据线段和差关系等量代换即可证得. 【详解】(1)解：：AB=AC, ∠B=∠ACB, ∠BAC=180°-2∠B, 试卷第1页，共3页 :∠AEC=∠BAC,∠AEC=∠B+∠BAE, ∠B+∠BAE=180°-2∠B, ∠BAE=180°-3∠B, ∠FAC=∠BAC-∠BAE=180°-2∠B-180°-3∠B=∠B, 在△ACF和△BAE中， I∠FAC=∠B AC=AB ∠ACF=∠BAE △ACF≌△BAE(ASA, :AE =CF=8; (2)证明：如图，延长FD至H,使得DH=DF,连接AH, B :点D为AB边中点， :AD BD, 在△AHD和△BFD中， AD=BD ∠ADH=∠BDF, DH=DF :△AHD≌△BFD SAS, ∠DAH=∠DBF, BG‖AC, ∠ABG+∠DAC=180°， :∠ABF+2∠GBF=180°， ∠ABF+∠GBF+∠GBF=I80°， :∠ABG+∠GBF=180°， :ZDAC ZGBF 试卷第1页，共3页 ∠DAH+∠DAC=LDBF+∠GBF,即∠HAC=∠ABG, 在△AHC和△BGA中， ∠ACH=∠BAG AC=AB ∠HAC=∠ABG △AHC≌△BGA(ASA, :HC=AG, HC=CD+HD=CD+DF, :AG=CD+DF. 题型14.直角三角形综合 48.如图，AB=2,点O为AB的中点，动点P在射线0C上运动，∠A0C=60°，当 △ABP为直角三角形时，那么AP=· 【答案】1或V3/√5或1 【分析】根据题意分∠APB=90°或∠BAP=90°，两种情况讨论，利用直角三角形的性质及勾 股定理即可求解 【详解】解：：△ABP为直角三角形， .分∠APB=90°或∠BAP=90°， 当∠APB=90°时，如图， O B :AB=2,点O为AB的中点， 试卷第1页，共3页 :OP=1AB=04=OB=1, 2 .∠B=∠BP0, :∠A0C=60°，∠B+∠BP0=LA0C, ,∠B=∠BP0=30°， :AP=T4B=1: 2 当∠BAP=90°时，如图， A B :∠A0C=60°， ∠AP0=30°， ”AB=2,点O为AB的中点， 0A=1, .0P=20A=2, AP=V0P2-0A2=N5; 综上，当△ABP为直角三角形时，AP=1或AP=V3 49.如图，ABC的角平分线CD、BE相交于F,LA=90°，EG∥BC,且CG⊥EG于G, 下列结论：①LCEG=2LDCB;②LADC=∠GCD;③∠CEB=2∠DCG;④LCFE=45°，其 中正确的是() G E A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】C 试卷第1页，共3页 【分析】先根据平行线性质、角平分线定义、直角三角形性质、三角形内角和定理及外角性 质，对四个结论逐一分析验证，判断其正确性，最终确定正确结论的组合. 【详解】解：EG‖BC, :∠CEG=∠ACB. :CD平分∠ACB, .∠ACB=2∠DCB, ·∠CEG=2∠DCB,故①正确. :EG‖BC,CG⊥EG, .CG⊥BC, ·∠GCB=90°， .∠GCD+∠BCD=90°. :∠A=90°， :∠ADC+∠ACD=90°. :CD平分∠ACB, :∠ACD=∠BCD, ∠ADC=∠GCD,故②正确. :∠CEB是△ABE的外角， ∠CEB=∠A+∠ABE=90°+∠ABC. ∠DCG=∠GCB-∠DCB=90°-1∠ACB, 2 .2∠DCG=180°-∠ACB. :∠A=90°， :∠ACB=90°-∠ABC, 2∠DCG=180°-90°-∠ABC)=90°+∠ABC. :∠CEB≠2∠DCG,故③错误， :CD、BE分别平分∠ACB、∠ABC, .∠FBC= S)∠ABC,∠FCB= ∠ACB. :∠A=90°， ∠ABC+∠ACB=90°， 试卷第1页，共3页 ∴.∠FBC+∠FCB=(∠ABC+∠ACB)=45°， ∠BFC=180°-45°=135°， ·∠CFE=180°-∠BFC=45°，故④正确， 综上，正确的结论是①②④， 50.探究图形中角与线段的关系 B A 图1 图2 图3 提出问题： (1)如图1，在直角ABC中，∠BAC=90°；点A正好落在直线1上，则∠1、∠2的关系为· 探究问题： (2)如图2，在直角ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点A正好落在直线1上，分别作 BD⊥I于点D,CE⊥I于点E,试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由 解决问题： (3)如图3，在ABC中，∠CAB、∠CBA均为锐角，点A、B正好落在直线1上，分别以A 、B为直角顶点，向ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF,分别过点E 、F作直线l的垂线，垂足为M、N.试探究线段EM、AB、FN之间的数量关系，并说 明理由； 【答案】(1)互余 (②)DE=CE+BD,理由见解析 (3)AB=EM+FN,理由见解析 【分析】(1)根据平角的定义、角的和差即可得： (2)先根据垂直的定义可得∠BDA=∠AEC=90°，再根据直角三角形两锐角互余、角的和 差关系可得∠2=∠ABD,即可证明△ABD≌△CAE(AAS),得出BD=AE,CE=AD,最 后根据线段的和差关系即可得DE=CE+BD; (3)过点C作CH⊥AB于H,同(2)的方法可得△AEM≌aCAH(AAS),得出EM=AH, 同理可得BH=FN,再根据线段的和差即可得出AB=EM+FN, 【详解】(1)解：：∠BAC=90°，∠1+∠BAC+∠2=180°， .∠1+∠2=90°， 试卷第1页，共3页 ·∠1、∠2的关系为互余。 (2)解：DE=CE+BD,理由如下： :BD⊥I,CE⊥1， ·∠BDA=∠AEC=90°， :∠1+LABD=90°， :∠1+∠2=90°， ∠2=∠ABD, 在△ABD和△CAE中， ∠BDA=∠AEC=90° ∠DBA=∠2 AB=AC ·△ABD≌△CAE(AAS), .BD=AE,CE=AD, :DE AD+AE=CE BD. (3)解：AB=EM+FN,理由如下： 如图，过点C作CH⊥AB于H, N :△AEC是等腰直角三角形， 、AE=AC,∠EAC=90°， :∠EAM+∠CAH=90°，∠ACH+∠CAH=90°， .∠EAM=∠ACH, 「∠EMA=∠AHC=90 在△AEM和△CAH中， ∠EAM=∠ACH AE=AC :△AEM≌△CAH(AAS), .EM=AH, 同理可得：BH=FN, :AB=AH BH =EM FN. 试卷第1页，共3页 专题01三角形的证明及其应用压轴专练 【温馨提示】12大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 . 题型01.倍长中线构造全等 题型02.截长补短模型 题型03.手拉手模型 题型04.半角模型 题型05.一线三等角模型 题型06.等腰三角形综合 题型07.等边三角形动态问题 题型08.角平分线模型 题型09.动点定值问题 题型10.旋转全等探究题 题型11.多结论判断 题型12.角度计算综合题 题型13.线段和差证明 题型14.直角三角形综合 题型01.倍长中线构造全等模型 1．如图，在中，为中点，为上的一点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 2．如图，在中，点D为边上一点，连接并延长到点E，过点E作交于点F，交于点G． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 3．小明与小丽共同探究一道数学题：如图①，在中，点是边的中点，，，，求的长． 【探索发现】 （1）小明的思路是：延长至点，使，连接，构造全等三角形； 小丽的思路是：过点作，交的延长线于点，构造全等三角形． 请从小明和小丽的思路中选择一种方法，求的长． 【类比应用】 （2）如图②，在四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，． 若，，，则的长为______． 题型02.截长补短模型 4．如图，在中，，，分别平分，，E为上一点，若，则的最小值为______． 5．如图，在中，，，平分，，分别为，上一点，且．________，当的最小值为5时，的长为________． 6．轴对称变换是现实世界运动变化的三种常见形式之一，在数学活动课上，同学们研究利用轴对称变换探究图形中线段的数量关系． 【初步感知】 (1)如图1，四边形中，，平分，求证：． ①如图2，小明同学想到了翻折，给出如下解题思路：在上截取，连接； ②如图3，小丽同学想到了翻折，给出了如下解题思路：延长线段到点N，使，连接； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【深入探究】 (2)如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接，，，．求证：； 【拓展延伸】 (3)如图5，在（2）的条件下，若平分，，请求出线段的长度． 7．我们知道，四边形内角和为，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补．因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”．例如：在四边形中，若（或），则称四边形为“双补四边形”． (1)已知四边形是“双补四边形”． ①若，则______； ②如图1，若，，，，则______； (2)如图3，四边形是“双补四边形”，，点M，N分别在边，上，且满足．试探究和之间满足的数量关系，并证明你的结论． 题型03.手拉手模型 8．如图，在中，，，点D在线段上运动，以 为边在左侧作等腰，使，取的中点F，连接，当的值最小时，的长为________． 9．如图，等腰直角三角形和等边三角形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：在等边三角形中，O是边的中点，D是射线上一点（不与点C，B重合），连接，作等边三角形（点E和点C在边的同侧），连接并延长交直线于点F，连接． 【特例分析】 (1)如图1，当点D与点O重合时，与之间的数量关系是______； 【拓展探究】 (2)如图2，当点D在线段上（不与端点重合）时，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【推广应用】 (3)当点D在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 11．已知：和都是等腰三角形，，，，连接． (1)如图1，求证； (2)如图2，若，点为的中点，的平分线交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中等于线段的倍的四条线段． 题型04.半角模型 12．在四边形中，平分，若，则对角线的长度为___________． 13．如图，已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 14．问题提出： (1)如图1，在中，，，的平分线交于点D．过点分别作，．垂足分别为，，则线段和的数量关系是___________． 问题探究： (2)如图2，，平分，点在上且，点，F分别在上移动且始终保持， ①试判断的形状并说明理由． ②求的最小面积是多少？ 15．背景：“对角互补”是经典的四边形模型，常通过旋转构造全等三角形解决问题；若问题中出现特殊角度（如，，），则会结合等腰直角三角形或等边三角形等特殊的三角形的知识考查学生的学习情况． (1)如图1，，平分，过点P作，，得正方形．若，，则______； (2)如图2，，，平分，过点P作，，连接． ①是______三角形； ②若，，求的长． 题型05.一线三等角模型 16．为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． (1)小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． (2)若米，米，求旗杆高度． 17．如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 18．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 题型06.等腰三角形综合 19．探究学习： 已知：C是线段所在平面内任意一点，分别以、为边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，D、E在同侧，，连接、． (1)如图1，当点C在线段上移动时，线段与的数量关系是_________，位置关系是_________． (2)当点C在直线外图2位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，在（1）基础上等腰直角三角形绕顶点C逆时针旋转到图3位置，取等腰直角三角形的斜边的中点M，连接交于点G，交于点H，试探究、、的数量关系，并写出证明思路． 20．如图1，中，，，．动点从点出发沿着射线移动． (1)在点移动过程中，的最小值是多少？ (2)在点移动过程中，若，长为多少？ (3)如图2，点在延长线上，，另一动点从点处出发沿着与垂直的射线移动，点与点同时同速移动，连接．当点移动到某一位置，使得，此时长为_________． 21．如图，在等边中，延长到点，连接． (1)点是内一动点，满足，以为边作等边，点落在线段上，若，求的度数； (2)如图2，的角平分线交于，在边上取点，使得，连接，在边上取一点，使得，连接、．用等式表示线段、、三者之间的关系； (3)如图3，已知，点是内一动点且满足，当最小时，直接写出的面积． 题型07.等边三角形动态问题 22．在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作等边，连接．当取最小值时的面积为______． 23．如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（　　）． A．5 B．6 C．8 D．9 24．、都是等边三角形． (1)如图1，当、、在一条直线上时，求证：； (2)如图2，将绕着点旋转，延长线与交于点，则的度数是多少？为什么？ (3)如图3，当的边长为，且时，若为边的中点，求的长． 25．如图，是边长为12的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动，（Q不与B重合），过P作于点E，连接交于点D． (1)当时，求的长； (2)证明：在运动过程中，点D是线段的中点； (3)在运动过程中线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 题型08.角平分线模型 26．如图，P是外的一点，交BA的延长线于点D，于点E，交的延长线于点F，连接，，，若，，则的度数为______． 27．如图，在中，分别平分，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（   ） A．②③④ B．①② C．②③ D．①②③④ 28．已知：如图，，，垂足分别为N，M，，BM相交于点P． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 29．问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小杜发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证小杜的证明思路是：如图2，过点作，分别交于点，交于点，利用等面积法来证明． (1)尝试证明：请参照小杜的思路，利用图2证明； (2)基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若则的长为___________； (3)拓展升华：如图4，中，平分，的垂直平分线交的延长线于点，当时，求的长． 题型09.动点定值问题 30．如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立，②的值不变，③的长不变，④四边形的面积不变，其中正确的为 ________ ． 31．在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为______；位置关系为______． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G ①若，试用的表达式表示______； ②若，，求的值． 32．如图，是等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为 ． (2)如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，问与有怎样的数量关系？并说明理由． (3)如图，直角边的两个端点在两坐标轴上滑动，使点在第二象限内，过点作轴于点，在滑动的过程中，为定值，求出这个定值． 题型10.旋转全等探究题 33．综合与实践 在几何图形变换探究活动中，同学们以两个等腰直角三角形为研究对象开展实践探索．已知在和中，，且，．如图1，同学们连接、，通过观察、测量，初步发现线段与的长度相等．为进一步探究图形变换中线段的数量关系，各小组围绕图形旋转展开深度探讨与论证，请你参与并完成下列探究任务． (1)初步探究，博学小组提出：保持位置不变，将绕着点逆时针旋转至图2的位置，连接、，此时线段和相等吗？请给出判断并说明理由． (2)深入探究，逻辑先锋组继续探究：将图2中的继续绕点逆时针旋转至图3的位置，连接、、，当时，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用，拓思创新组进行拓展思考：保持位置不变，将绕着点逆时针旋转，当时，若，，请直接写出的长． 34．【原题再现】在学习“图形的平移和旋转”时，教材上有这样一道题，如图1，点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．小明是这样做的：过点C画的平行线，在上截取，连接，则即为旋转后的图形． (1)请你根据小明的思路，①求证：；②求的度数； 【方法应用】 (2)如图2，点D为等边三角形的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最小值． 35．综合探究与应用 (1)如图1，在和中，，，，点B在上，连接．则与的关系为_____________． 【类比应用】 (2)如图2，在中，，，将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度（）得到线段，连接，过点A作的垂线，分别交与射线于点D，F，连接． ①线段绕点A旋转的过程中，的度数是否发生变化？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； ②直接写出、、这条线段的数量关系为________________； ③若，，请直接写出的面积． 题型11.多结论判断 36．如图，点、点分别是的边AB、AC上的点，连接并延长到，使得，若，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论： ①； ②； ③平分； ④； ⑤．其中结论正确的有几个（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．如图所示，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点与交于点，连接、，则下列结论：①；②；③；④，⑤为等边三角形；⑥若，则，其中正确的结论个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 38．已知与中，，连接与相交于点，与相交于点． (1)如图1所示，证明：； (2)如图2所示，当时，求的度数； (3)如图3所示，当，求的等量关系． 39．已知，，是过点的直线，过点作于点，连接． 问题发现 (1)如图（1），过点作，与交于点，则易发现和之间的数量关系为______，、、之间的数量关系为______． (2)拓展探究 当绕点旋转到如图（2）位置时，、、之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． (3)解决问题 当绕点旋转到如图（3）位置时（点、在直线两侧），若此时，时，______． 题型12.角度计算综合题 40．如图，一张四边形纸片，，．若将其沿折叠后，恰好使，，则_____度． 41．如图，中，与分别是和的平分线，相交于点，于点，于点，，相交于点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 42．如图，已知射线，． (1)求证：． (2)如果点 E、F在射线上，且满足平分．平分 ①若，当平移到某一位置时，比小，求此时 的度数． ②若平行移动，过E点作垂直于于 P 点，设，，求m与n的数量关系． 43．如图，四边形中，，平分，交于G点． (1)如图1，若， ①求证：； ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于N，若的大小为，试说明：平分． 题型13.线段和差证明 44．在等腰中，，且． (1)如图1，若也是等腰直角三角形，且，的顶点A在的斜边上，连． ①求证：； ②求证：； (2)如图2，E为上一点，，，则的长为______． 45．在中，，，的垂直平分线交于D，交于E． (1)求证：； (2)若的面积是15，则的面积为__________． 46．如图，在四边形中，，，．证明：． 47．如图，在中，，点是边上一点，连接．在内部作，分别与，交于点、点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，点为边中点，作交的延长线于点，若，求证：． 题型14.直角三角形综合 48．如图，，点O为的中点，动点P在射线上运动，，当为直角三角形时，那么_____． 49．如图，的角平分线、相交于，，且于，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 50．探究图形中角与线段的关系 提出问题： (1)如图，在直角中，；点正好落在直线上，则、的关系为_____． 探究问题： (2)如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 解决问题： (3)如图3，在中，、均为锐角，点、正好落在直线上，分别以、为直角顶点，向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，分别过点、作直线的垂线，垂足为、．试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； 51．如图1，在中，，点在边上，连接，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，点是的中点，点在线段上，连接． ①当时，求证：； ②连接，设，如果，用含的代数式表示的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $