第一章 专题特训一 构造等腰三角形解题的常用方法-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

拔尖特训·数学（北师版）八年级下 专题特训一构造等腰三角形解题的常用方法 类型一连接线段构造等腰三角形 类型二利用“三线合一”构造等腰三角形 1.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F分3.如图，△ABC中，AD平分∠BAC,BP⊥AD 别在BC,AB,AC上，且BD=CF,BE= 于点P,AB=5,BP=2,AC=9,求证： CD,G是EF的中点.求证：DG⊥EF. ∠ABP=2∠C. A (第3题) (第1题) 类型三作平行线构造等腰三角形 2.如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中 点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD, 4.如图，在△ABC中，AB=AC,点D DM⊥BC,垂足为M.求证：M是BE的 在AB上，点E在AC的延长线上 中点 且BD=CE,DE交BC于点F.求 证：DF=EF (第2题) (第4题) 16 第一章三角形的证明及其应用 类型四利用倍角转化法构造等腰三角形 7.如图，在△ABC中，AB=AC,D是 5.如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B,BC= △ABC外一点，且∠ABD=60° 2AC.求证：∠A=90°. ∠ACD=60°.求证：BD+DC= AB. (第5题) (第7题) 类型六利用特殊角构造等边三角形 类型五利用“截长补短”法构造等腰三角形 8.如图，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1, 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,∠B= ∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°.求CD 2∠C.求证：AB+BD=CD. 的长 D B (第6题) (第8题) 17·∠DBE=2∠ABC=30 DE⊥AB, ∴.∠DEB=90 ·∠BDE=60,DE=2BD=DF, .△DEF为等边三角形. 12.(1)如图，过点M作MQBC,交 AC于点Q. :△ABC是等边三角形， .∠A=∠B=∠ACB=60°. MQ//BC, '.∠AMQ=∠B=60°，∠AQM= ∠ACB=60°，∠QMP=∠N. ∴.△AMQ是等边三角形. ∴.AM=QM. AM=CN, .'QM=CN. 在△QMP和△CNP中， ∠QPM=∠CPN, ∠QMP=∠N, QM=CN, .∴.△QMP≌△CNP .MP=NP (2),△AMQ是等边三角形，且 MH⊥AC, ·AH=HQ=2AQ. ,△QMP≌△CNP, ∴Qp=CP,即Qp=QC 1 PH=HQ+QP-(AQ+ C)-AC. ,△ABC是等边三角形， ∴.AC=AB=a. 1 :PH=24. C (第12题) 专题特训一构造等腰三角形 解题的常用方法 L.连接DE,DF .AB=AC, ∴.∠B=∠C 在△BDE和△CFD中， (BE=CD, R∠B=∠C, BD=CF, ∴.△BDE≌△CFD. .DE=FD. :G是EF的中点， .DG⊥EF 2.连接BD :△ABC是等边三角形，D是AC的 中点， .∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC= 2∠ABC=30 CE=CD, '.∠CDE=∠E :∠ACB=∠CDE+∠E, ·∠E=2∠ACB=30C .∠DBC=∠E .BD=ED. 又DM⊥BC, ∴.M是BE的中点. 3.延长BP交AC于点E. ,AD平分∠BAC,BP⊥AD, ∴.∠BAP=∠EAP,∠APB=∠APE. 在△ABP和△AEP中， ∠BAP=∠EAP, RAP=AP, ∠APB=∠APE, .'.△ABP≌△AEP ∴.BP=EP,AB=AE=5, ∠ABP=∠AEP. .BE=BP+PE=4. ∴.CE=AC-AE=9-5=4. ∴.CE=BE ∴.△BCE是等腰三角形 .∠EBC=∠C :∠ABP=∠AEB=∠C+∠EBC, .∠ABP=2∠C 4.如图，过点D作DM∥AC,交BC 于点M. '.∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E. .AB=AC, 8 '.∠B=∠ACB ∴.∠B=∠DMB. ∴.BD=MD. BD=CE, ∴.MD=CE. 在△DMF和△ECF中， 「∠FDM=∠E, 3∠DFM=∠EFC, MD=CE, ∴.△DMF≌△ECF, .DF=EF. B (第4题) 5.如图，作∠ACB的平分线CD交 AB于点D,过点D作DE⊥BC于 点E 1 ∠ACD=∠BCD=2∠ACB, ∠CED=90 ∠ACB=2∠B, 1 ∴.∠B=∠BCD= ∠ACB. ∴BD=CD :DE⊥BC, ·BE=CE=2C. .BC=2AC, .AC=CE. 在△ACD和△ECD中， (AC=EC, ∠ACD=∠ECD, CD=CD, ∴.△ACD≌△ECD. ∴.∠A=∠CED=90°. E (第5题) 6.如图，在CD上取一点E,使ED= BD,连接AE. AD⊥BC, ∴.∠ADE=∠ADB=90. 在△ADE和△ADB中， AD-AD, ∠ADE=∠ADB, ED=BD, .∴.△ADE2△ADB. .'AE=AB. ..∠AEB=∠B=2∠C. 又.'∠AEB=∠C+∠EAC, ∴.∠EAC=∠C. .AE=EC. .'AB=EC. .'.CD=EC+ED=AB+BD,即 AB+BD-CD. E D (第6题) 7.如图，延长BD到点F,使BF= BA,连接AF,CF. .∠ABD=60° .△ABF为等边三角形 .AF=AB=AC=BF,∠AFB= 60°. ∴.∠ACF=∠AFC. 又∠ACD=60°， .∠AFB=∠ACD. .∠DFC=∠DCF. .DC=DF. .BD+DC=BD+DF=BF=AB, 即BD+DC=AB. B C (第7题) 8.如图，延长AD,BC交于点E. .∠A=30°，∠B=90°， :BE=号AE,∠E=60 2 .∠ADC=120°， .∠EDC=60. '.易得△EDC是等边三角形 设CD=CE=DE=x. .AD=4,BC=1, ∴.AE=4+x,BE=1+x 六1十2=十40，解得x=2 ∴.CD=2. D (第8题) 3直角三角形 第1课时 直角三角形的性质 与判定 1.D 2.C 一易错警示 判断互逆命题真假的注意事项 (1)由于每个命题都由条件、 结论两部分组成，而将条件和结论 互换就得到其逆命题，因此每一个 命题都有逆命题.注意原、逆命题 的条件、结论互换，一些特定称谓 也随之改变」 (2)互逆命题的真假性不一定 一致.原命题正确，它的逆命题未 必正确.定理都是真命题，其逆命 题有真、假之分.若是真命题，则逆 命题也是定理：否则不是 3.①③④⑤ 4.:∠ABC=90°，AB=3,BC=4, .∴.AC=WAB2+BC2=5. 在△ACD中，AC2+CD2=25+ 144=169=AD2, .△ACD是直角三角形，且 ∠ACD=90 1 '.S四边形ACD= :AB·BC+ 1 1 2AC·CD=2X3X4+ -×5× 12=36. 5.C 6.A解析：由题意，得AD=AB= 2,∠B=∠ADB,CE=DE,∠C= ∠CDE..∠BAC=90°，.∠B+ 9 ∠C=90°.∴.∠ADB+∠CDE=90. ∴.∠ADE=90°..AD2+DE2= AE2.设AE=x,则DE=CE=3-x. 2+(3-x)2=x2,解得x=13 ·CE=3-135 66 7.16一85解析：由题意，得 ∠AED=90°，AE=CG=DH=2. ∠ADE=30°，∴.AD=2AE=4. .DE=√/AD-AE=25. .HE=DE-DH=23-2..正 方形EFGH的面积为HE2=(23- 2)2=16-85. ,解析：如图，延长AB到点 D,连接CD,CA,过点C作CE⊥AD 于点E.,小正方形的边长都为1， ∴.AD=√4+2=25，AC √32+32=3√2，CD=√12+1= √2.，AC2+CD2=18+2=20 AD,.△ACD是直角三角形，且 ∠ACD=9O:AC,CD-AD·CE 2 2 即32×2_25CE 2 2 ，解得CE= 35.点C到线段AB所在直线的 距离是35 5 (第8题) 9.该车架符合设计要求. 理由：∠BDC=90°，CD=55cm, CB=73 cm. .'BD=VBC2-CD2=48 cm. .AB=64 cm,AD=80 cm, .∴.AB2+BD2=AD2 ∴.△ABD是直角三角形，∠ABD= 90°. .∠ABD=∠BDC. ∴.ABCD