湖北随州市第二中学2025-2026学年高三下学期4月数学周测题（7）

湖北随州二中2025至2026学年高三下4月数学周测题（7） 时间：2025-4-25 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,则（   ） A． B． C． D． 2.已知复数z是方程的根,则（   ） A． B． C．2 D．3 3.已知，，则（    ） A． B． C． D． 4.已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 5.在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6.人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出.是最常用的激活函数,下面关于表述错误的是（   ） A． B． C． D． 7.已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A． B． C． D． 8.若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（   ） A．随机事件A,B相互独立的充要条件是 B．设X为随机变量,则 C．,则, D．若,记函数,,则的图象关于点对称 10．已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．为奇函数 C．在上单调递增 D．在内恰有3个零点 11.现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（    ） A． B． C． D．且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则______． 13.若，则的值为__________. 14.若直线是曲线和曲线的公切线，则实数______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知分别是内角的对边，. (1)若，求的面积； (2)若，求的正切值. 16．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在定义域内单调递减，并且对任意正数都有，求实数的取值范围． 17.如图，在正四棱台中，为的中点，. (1)证明：； (2)平面把四棱台分成两部分，体积分别是和，求的值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 18.已知数列满足，，，等比数列的前项和为，且满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，证明：； (3)设，求数列的前项和（其中表示不超过的最大整数，如，）． 19.已知双曲线的实轴长为4，且经过点. (1)求的方程； (2)记的右顶点为，点在线段（不含端点）上运动，垂直于轴的直线交于点（在第一象限），点满足，设直线与的另一个交点为. （i）用表示直线的斜率； （ii）证明直线过定点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $随州二中2026届高三数学训练题(7)参考答案 1-8:DBBABDCA 9.ABD 10.ABD 11.BCD 【详】对干A,若数字9酸选到，有两种情况：第一次选数如时，从1到10中选到9。减幸为0 第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概丰为六号动所以以品品号遮项A错误：对干B 28被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为。；么发生后，下一次从1到8中选到 1 率为8,4。发生后，下一次从1到9中选到8，概率为。0这几种情祝彼此互斥，所以P。。+P,+人 选项B正确：对于C,根据条件概率公式P(44)-P(, PAA】,P44o)=P(A），若4发生，即数字9 被选到，那么在选到9的情况下，下一次从1到8中选到8的概率为日，即P(44)令：若4，发生，即数 字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8，也可以是下一次从1到9中选到9， 再下一次从1到8中远到8即PA)甘日日所以P44)=P44,选项C正确： 对于D,对于A即选中k的情况，设m为选中数当中不小于k的最小整数， 则P=P(m=k)+P(m=k+1)+P(m=k+2)++P(m=10) 的+中付a当9时，有+中+小号 1.1 1 kPHk≤9， 结合A。。知n,。=12,10,所以设大数选取是红意的，始终有A是 1 对于i,j同时选中情况，不妨设i<j,P(A|A)可理解为从1~j-1中按规则取数，选中i的概率，则有 P44)片可得A4)=41A)叫)号A以.达项D正验放迹：BD 12.-1613.0141或 155+；(2片【详解】(1)因为d+6-c:V2ab,所以cosC-d+c- 4 2ab 2 因为0<C<180,所以c=45,因为a=6,c=V5,a=1,所以1=5 sina sinc sinA sin445° 所以sim4= 2,叉a<c,所以4=30，所以B=105,sim105=m(60+45)=5x5+x5_V6+5 2222 4 所以S4se=号inB=xIxV2×6+2-V3+1 2 2 4 4 （2)因为4D=D丽，所以D为AB中点由题设a+b-c2=Vb及余弦定理可得C=45,因为coB=25 5 所以sinB=5 m=m8c-5E,2523西 52+5210 设∠BCD=a,在ABcD中，有DB-CC①，在a4CD中，有mH5-aA@ DA CD sina sinB ①②相除，得 sm(5-_35,所以5(cosa 32 sina 2 所以cosa sina 4,即aa=年所以BCD的正切值为} 16.)答案见解析⊙-，2]I详解1水1Dr-12-2+m+,(c>0)①当m≥0时，>0 x 恒成立，故f(x)在(0，+∞)上递增；②当-1<m<0时，f(x)在 l+1 上递增，f(x)在 +1 21 2nt 上递减：③当≤-1时，f(x)在(0，+o)上递减. (2)因为f(x)在定义域内单调递减，所以≤-1.不妨设≥x2,那么有f(x)≤∫(x2), 于是不等式f(3)-f(32≥4-x等价于f(x)-f(x)≥4(：-x),f(x)+4x≥f(:)+4x, 设g(x)=f(x)+4x=(+1)lnr+x2+4x,则g(x)≥g(5),即g(x)=(m+1)x+x2+4x在(0，+o)上递减， 故g)=心+1+2+4≤0对x>0恒成立，也即m5-4+ 2x2+1 对x>0恒成立， 4x+1 t 8 8 令1=4+11>1，则x号，放21 P-2+9 9 -=2 8 t+ 9 2,t.2-2 t 当且仅当t=?一f=3时取等号，则m5-2,所以实数m的取值范围为（∞，-2] 170证明见解析（②2间哈【详解】1）由思密知四边形ABCD为正方无，则 AC L BD,将正四棱台ABCD-ABC1D还原为正四棱锥S-ABCD,如图，作出符合题 意的图形，则SO⊥平面ABCD,又BDC平面ABCD,得到BD⊥SO, 因为SO∩AC=O,SO,ACc平面SAC,所以BD⊥平面SAC,因为SAc平面SAC, 所以SA⊥BD,即AA⊥BD (2)利用平面AEC把棱台分成三棱锥E-AB,C和几何体ABCDEC D,A, =×4x+4+2y7 设DD=DA=2DG=2,由题意得VcD-4GAF3×2 6 114马x1x14因为亚e497oAe6a-T714149414 Vg-4g=3X42 24 624824 V14 所以= 4, 94 = 241 24 .故V, 9W1427 8 (3)以O为原点，OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 生立如所不的空同直有系设0=2，则Q9码，A小迈0 ©(8o.4停c号a正(a9, 5停网誓 AE.=0 设平面AC的法向量为m=(:,,),则 可得 9+ 4名0 CE.m=0 √2x+ 4出 40 7 取=万，则5=0,4=-3，得到n气 设平面AEC的法向量为i=(x2,y2,22), 2.3W2, EA·i=0 -X, 2 32=0 则 4 7 即 4 EC=0 2 y2+ 4320 49 +7 9 设平面AEC与平面EAC的夹角为0，则cos6=cos(m= 网网 49 9 8 +7×9 +7 即平面ABC,与平面AC夹角的余弦值为 P 18.【答案】(1)a.=n(n+1),b.=2”(2)证明见解析(3)T,=n 【详解】(1)当n≥2时，a,-a1=2,则a=2+20m-）+…4+2=2x0+D=0m+1）, 2 当n=1时，4=2满足上式，.a.=n(n+1)；设等比数列b}的公比为q, b1-q) 则b,=6-2=4, s_1-g-1-g)-0+q0=4)1灯9， S,b1-q)4-q)1-9) 1-9 解得q=2,.b=b,g”-2=4×2-2=2”. 2n+3 2n+3 1 (2)由(1)得c.2n(2n+1)2<(2n-1)2n+1)2(2-)2(2n+2 11717 g+23x252…+er12用m12°20， 4--0山.1先22-t 法一：当n=1时，2>1成立，当n≥2时，2=C+C+C++C≥C9+C+C=1nn”-, 2 要证1+n+- g,2-1,只动4萄到子0成立 neN,∴n2-3n+4=n- 2-+7≥0恒成立，2”>21-1y 法二：当n=1时，2>1成立， 当n≥2时，设f(n)=2”-2n+1,f(n+1)-f()=2”-2>0, 则fm单调递增，∴f)≥f(2)>0,2>21-1,0<2-1<1, 2” 则[d]=2n-1,T=+2-D=r. 2 19.()兰=1（②(1）k=5-”7 45 一2：()证明见解析 〔2a=4 【详解】1)由题意可知？-2点-1解得a=2b=5,故C的方程为号=1， 45 d24b2 2因为40，P3》 所以直线AP方程为y=)X-5, 5 由于M(,故25 因为MR=下，所以S(x,5x-10-y), 所以k=5-10y=5- x1-2 1-2 (i)由（①）可知km+w=k6+kw=5-光，十上，=5，即业，十业，=5 ￥-2x-2 ￥-2'x2-2 「x2y2 由题意可知，直线w的斜率显然存在，设直线N:y=+m,联立4了1，消y得 y=kx+m 8km 4m2+20 (5-4)r-8x-4m-20=0,+5=5按=-5-4e,A>0, y+=+m+,+m=2,+(-2k)s+)4n=5 x-2x2-2x1-2x2-2 xx2-2(x1+x2)+4 m+2k=5, 所以m=1-2k,所以直线MN:y=c+1-2k=k(x-2)+1,所以直线MN过定点(2,1).