湖北随州市广水市第一高级中学2025-2026学年高三下学期4月25日数学周测试卷

湖北随州广水市一中2025至2026学年高三下4月数学周测试卷 时间：2026-4-25 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数是关于的方程的一个根，则（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 8 3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. （－10，6） C. D. 4. 已知函数及其导函数定义域均为，则“图象关于中心对称”是“图象关于直线轴对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列为等差数列，首项（m为整数），公差，前项和，则满足题意的的所有取值的和为（ ） A. 3720 B. 4320 C. 2940 D. 1736 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 10. 在某次联考中，全体物理方向高三学生数学成绩，此次联考物理方向数学一本线为80分，清北线为140分．已知：若，则，则下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则服从标准正态分布 B. C. 从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为 D. 从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为 11. 已知抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点.分别作抛物线在两点处的切线，两切线交于点为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若过焦点，则最小值为4 B. 若过焦点，则一定为直角三角形 C. 若中点的横坐标为4，则最大值为12 D. 若点在直线上，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知平面向量，若，则_____． 13. 已知直线与函数的图象相切，则实数_____． 14. 已知是双曲线上不同的三点，点关于坐标原点对称，且，过点作垂直于轴的直线分别交双曲线，直线于两点，若，则双曲线的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在平面，是圆周上不同于，的任意一点，为的中点，且， （1）求证：平面平面； （2）若三棱锥的外接球球心为， 求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知分别是锐角三个内角的对边，且， ． （1）求的值； （2）求面积的取值范围． 17. 在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人。学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递． （1）若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望； （2）设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求． 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，焦距为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点．若中点为，点是椭圆上的动点，且满足：，证明的面积为定值； 19. 已知函数， （1）求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北随州广水市一中2025至2026学年高三下4月数学周测试卷 时间：2026-4-25 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，且，， 所以. 故选：C 2. 设复数是关于的方程的一个根，则（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】由复数是关于的方程的一个根， 得复数是该方程的另一个根，则， 所以. 3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. （－10，6） C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 4. 已知函数及其导函数定义域均为，则“图象关于中心对称”是“图象关于直线轴对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由函数图象关于中心对称，得，求导得， 即，因此函数图象关于直线轴对称； 令函数，则，函数图象关于直线轴对称， 而函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得， 又函数的图象关于点中心对称，因此函数图象关于中心对称， 所以“图象关于中心对称”是“图象关于直线轴对称”的充分不必要条件. 故选：A 5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得. 【详解】由和正弦定理，得（*）， 因， 将其代入（*）整理得， 即得，故. 6. 已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设椭圆的方程：，双曲线的方程：，， 焦点，， 由，，由，则，则， 由定义：，， 则，， 由余弦定理可知：， 则，，，则， 双曲线的渐近线方程， 7. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设为正面向上的次数，则， 总得分, 由于，， 所以 ，所以D正确. 8. 已知数列为等差数列，首项（m为整数），公差，前项和，则满足题意的的所有取值的和为（ ） A. 3720 B. 4320 C. 2940 D. 1736 【答案】D 【解析】 【详解】，， 所以n的取值为的所有因数， 所以所求和为． 故选D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，取的中点D，连接，. 在中，P，D分别为，中点，，且. 在直三棱柱中，，. Q为棱的中点，，且.，. 四边形为平行四边形，从而. 又平面，平面，平面，A正确， 对于B，因为为的中点，若，则， 连接，为的中点，则，又平面， 所以平面，平面， 所以，设，，则，， 所以，，与矛盾， 所以不成立，B错误， 对于C，在直三棱柱中，平面. 又平面，.，D为中点，. 由选项A的推理知，，. 又，平面，平面，所以平面，C正确； 对于D，因为为的中点，四边形为矩形，所以点为的中点，又为的中点， 所以，且，又分别为的中点，所以，， 所以，，所以四边形为平行四边形，故与相交，D正确. 10. 在某次联考中，全体物理方向高三学生数学成绩，此次联考物理方向数学一本线为80分，清北线为140分．已知：若，则，则下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则服从标准正态分布 B. C. 从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为 D. 从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助正态分布中的意义与标准正态分布的意义可判断A；利用正态分布的性质计算即可得的值可判断B；由正态分布的性质可得，，结合相互独立事件的概率公式及条件概率公式计算即可判断CD. 【详解】对于A，因为，则， 若随机变量，则服从标准正态分布， 故时，才服从标准正态分布，故A错误； 对于B，， ， 由正态分布的对称性可得， 所以，故B正确； 对于C，由， 可得， 所以从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为： ，故C正确； 对于D，由，可得， 所以， 又，所以由条件概率公式可得， 所以从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点.分别作抛物线在两点处的切线，两切线交于点为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若过焦点，则最小值为4 B. 若过焦点，则一定为直角三角形 C. 若中点的横坐标为4，则最大值为12 D. 若点在直线上，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求解判断A；求出切线方程并求出切点坐标，利用向量垂直的坐标表示判断BD；利用抛物线定义求出弦长最大值判断C. 【详解】抛物线的焦点，设， 对于A，直线方程为，由，得，则， ，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，设抛物线在点处切线方程为，由， 得，则，解得， 该切线方程为，即，同理抛物线在点处切线方程为 ，联立得点，， ，因此，为直角三角形，B正确； 对于C，由中点的横坐标为4，得，则， 当且仅当点共线时取等号，C错误； 对于D，由点在直线上，得，即，而， ，因此，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知平面向量，若，则_____． 【答案】或 【解析】 【详解】根据题意，又，则， 所以，解得或. 当时，，则； 当时，，则.故答案为：或. 13. 已知直线与函数的图象相切，则实数_____． 【答案】 【解析】 【详解】设函数在点处的切线为， 函数的定义域为. 由，得，所以， 所以，解得（舍去）或.又，所以切点为， 又切点在直线上，所以，解得. 故答案为：. 14. 已知是双曲线上不同的三点，点关于坐标原点对称，且，过点作垂直于轴的直线分别交双曲线，直线于两点，若，则双曲线的离心率为_____． 【答案】2 【解析】 【详解】设，，由题意得，， 因为，所以，， 又，即，两边平方并整理得， 即，所以，由双曲线第三定义得， 即，整理得，解得，故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在平面，是圆周上不同于，的任意一点，为的中点，且， （1）求证：平面平面； （2）若三棱锥的外接球球心为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【小问1详解】 因为是圆的直径，所以，所以， 因为垂直于圆所在平面，在圆所在平面内，所以， 又，平面，所以平面. 又平面，所以， 又因为，为的中点，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）知平面，又平面，所以， 所以与是有公共斜边的直角三角形， 所以是三棱锥的外接球的直径，所以球心为的中点， 以为坐标原点，所在直线为轴，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ，令，得，所以平面的一个法向量为， 因为平面即为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 16. 已知分别是锐角三个内角的对边，且， ． （1）求的值； （2）求面积的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【小问1详解】 在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵，所以，则，在锐角中，， ，即.， 【小问2详解】 由（1）得，由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 故面积的取值范围为． 17. 在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人。学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递． （1）若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望； （2）设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 小问1详解】 设教练甲接球次数为，可取， 球在学员手中，传给教练甲的概率为，传给其他学员的概率为， ，， 分布列为： 0 1 2 数学期望； 【小问2详解】 设表示经过次传球后篮球在教练甲手中的概率， ，且，即， 则数列是首项为，公比为的等比数列， ，即， 又传给学员的概率相等， ． 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，焦距为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点．若中点为，点是椭圆上的动点，且满足：，证明的面积为定值； 【答案】（1）； （2）证明见解析； 【解析】 【小问1详解】 依题意，椭圆的半焦距，由椭圆的离心率为，得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设点，当直线的斜率不为0时，设其方程为， 由，得， ，， ， 原点到直线的距离，， 由中点为，，得点是的重心，则点， 由点在椭圆上，得，又， 则，即， 整理得，即，则， 因此的面积， 当直线的斜率为0时，点或，直线的方程为或， 线段，点到直线的距离为，， 所以的面积为定值. 19. 已知函数， （1）求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若且， 求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 已知，对其求导可得，令，解得. 当变化时，，的变化情况如下表： 极小值 所以，故的最小值为. 【小问2详解】 设， 则.令，则. （i）当时，因为，则，，所以在上恒成立； （ii）当时，，所以在上递增， 所以，所以上递增， 所以在上恒成立； （iii）当时，，所以在上递增， 因为，， 所以在上存在唯一零点，， 所以当时，，则当时，，不满足条件. 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 证明：由得，则. 要证，可证 ， 即证. 令，即证， 即证. 先证明， 令，则只需证明， 又易证，所以， 所以在上单调递减，则， 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $