第5章 概率（知识清单）数学湘教版必修第二册

第5章 概率 【清单01】随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示． 【清单02】随机试验的特点 （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 【清单03】样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． 【清单04】随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． 【清单05】必然事件，不可能事件 在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集抔包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件． 【清单06】事件的关系与运算 定义 表示法 图示 事件的运算 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B） （或） 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） （或） 交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） （或） 互斥关系 若为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若，则A与B互斥 对立关系 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为或 若，，则A与B对立 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 并事件（和事件） A与B至少一个发生 或 交事件（积事件） A与B同时发生 或 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， 【清单07】概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability），事件A的概率用P（A）表示． 【清单08】古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 【清单09】概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 ， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 【清单10】频率的稳定性 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率． 【清单11】概率与频率的区别与联系 频率 概率 区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的 概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小 联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 【清单12】随机模拟 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟． 我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛方法． 【清单13】相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 【清单14】相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 易错点1混淆了互斥事件与对立事件的区别 【例1】袋中有10个红球和10个绿球，它们除颜色不同外，其它都相同.从袋中随机取2个球，互斥而不对立的事件是（    ） A．至少有一个红球；至少有一个绿球 B．至少有一个红球；都是红球 C．恰有一个红球；恰有两个绿球 D．至少有一个红球；都是绿球 【答案】C 【详解】A. 至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；至少有一个绿球等价于：一个绿球，一个红球；两个绿球，不互斥. B. 至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；与都是红球不互斥. C. 恰有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；与恰有两个绿球互斥不对立 D. 至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；与都是绿球互斥且对立 故选：C 【例2】有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是 A．至少有1件次品与至多有1件正品 B．至少有1件次品与都是正品 C．至少有1件次品与至少有1件正品 D．恰有1件次品与恰有2件正品 【答案】D 【详解】A、至少有1件次品与至多有1件正品不互斥,它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况,故不满足条件. B、至少有1件次品与都是正品是对立事件,故不满足条件. C、至少有1件次品与至少有1件正品不互斥,它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况,故不满足条件. D、恰有1件次品与恰有2件正是互斥事件,但不是对立事件,因为除此之外还有“两件都是次品”的情况,故满足条件. 故选:D. 【例3】从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球” 【答案】B 【详解】从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球， 共有三种结果：两白球，一白一黄，两黄球， 这三个事件是互斥事件.所以B是正确的； 由于至少一个白球，包含事件有两白球和一白一黄， 而至少一个黄球包含两黄球和一白一黄， 当取到一白一黄时，此时这两个事件同时发生，故A错误； 由于至多一个白球，包含事件有一白一黄和两黄球， 而至多一个黄球包含一黄一白和两白球， 所以当取到一白一黄时，此时两个事件同时发生，故C错误； 由于至少一个黄球，包含事件一白一黄和两黄球， 而都是黄球显然也是两黄球，故D错误； 故选：B. 易错点2 忽视了概率加法公式适用的前提条件 【例1】已知事件两两互斥，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为事件两两互斥， 所以，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于D，由，得，故D正确； 对于C，因为，故C正确. 故选：BCD. 【例2】若随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由概率的性质， . 故选：B. 【例3】（多选）设是三个随机事件，则下列说法正确的是（     ） A．若互斥，则 B．若，则 C． D．若相互独立，则 【答案】BCD 【详解】对于选项A：若A，B互斥但不对立，则，故A错误； 对于选项B：若，，故B正确； 对于选项C：显然，故C正确； 对于选项D：若相互独立，则也相互独立，则，故D正确. 故选：BCD. 易错点3基本事件列举时出现重复或者遗漏 【例1】某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.    (1)求实数a的值； (2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率. 【答案】(1)(2)（万元）(3) 【详解】（1）由题意知，， 解得； （2）平均数的估计值为 (万元) （3）从购车补贴金额的心理预期值在[3，5)间用分层抽样的方法抽取6人， 则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为， 购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，B，则基本事件有: 共15种情况， 其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有共6种情况， 所以抽到的2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有6种情况， 所以抽到的2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3 ,4)间的概率为 【例2】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)现从抽出的7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. ①写出样本空间； ②设事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件发生的概率. 【答案】(1)甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人 (2)①答案见解析；② 【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学， 因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人； （2）①设甲年级的是，乙年级的是，丙年级的是， 则样本空间为 ； ②由①得，事件包含的基本事件为共5种， 所以. 【例3】抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为一号和二号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (1)写出这个试验的样本空间； (2)求下列事件的概率： ①A=“两个点数之和是”； ②B=“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”. 【答案】(1)样本空间详见解析 (2)①；② 【详解】（1）样本空间为： {， ， ， ， ， }. （2）①“两个点数之和是”，包括的样本为： ，，，，， 所以. ②“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”，包括的样本为： ，，， ，， 所以. 易错点4混淆了有放回和无放回 【例1】（多选）一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后有放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到2号球的概率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】方案一：易得“选到2号球”的概率； 方案二：先后有放回的摸出两个球的基本事件有，共件， 其中“选到2号球”的基本事件有，共件， 所以“选到2号球”的概率为； 方案三：同时摸出两个球的基本事件有，共3件， 其中“选到2号球”的基本事件有，共1件， 所以“选到2号球”的概率为； 所以，故AB错误，CD正确. 故选：CD. 【例2】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 【例3】（多选）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】BC 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色不全相同的结果有24种， ,其概率为，故B正确； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：BC. 易错点5独立事件的判断 【例1】已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【答案】D 【详解】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 【例2】已知甲、乙两个班级的女生人数占本班人数的比例分别为和，现从每个班各选一名同学，记事件“从甲班选择的是女生”，事件“两名同学中至少有一名是男生”，事件“从两个班选到的学生性别不同”，则（    ） A．事件和相互独立 B．事件和相互独立 C．事件和相互独立 D．事件和相互独立 【答案】C 【详解】由题意可得，，， ，， ，， 因为，则事件和不相互独立，A错误； 因为，则事件和不相互独立，B错误； 因为，则事件和相互独立，C正确； 因为，则事件和不相互独立，D错误． 故选：C. 【例3】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 【答案】C 【详解】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5， 从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个， 其中事件A包含的样本点为：（1,3），（1,5），（3,5）共3个，故， 事件B包含的样本点为：（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5）共7个，故； 事件C包含的样本点为：（1,3），（1,5），（2,4），（3,5）共4个，故， 事件D包含的样本为：（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个，故， 因为事件，，故事件A与B互斥且对立，故A，B正确； 因为,所以C与D不相互独立，故C错误. 因为,所以C与D不互斥，故D正确. 故选:C. 1． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是.一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“”问题.他是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩.若将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举法求出所有拆解情况，利用古典概型公式即可求得答案. 【详解】16可以拆成 共有15种情况, 其中拆成的和式中加数全部为质数的有：共有4种情况. 所以拆成的和式中，加数全部为质数的概率为. 故选：C. 2．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】D 【分析】列举出基本事件，对四个选项一一判断： 对于A：由事件A与D有相同的基本事件，否定结论；对于B：由事件C与D有相同的基本事件，否定结论；对于C、D：利用公式法进行判断. 【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：. 其中事件A包括： . 事件B包括： . 事件C包括：. 事件D包括： . 对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，故与互斥不成立.故A错误； 对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，故C与对立不成立.故B错误； 对于C：因为,,而.因为，所以与不是相互独立.故C错误； 对于D：因为,,而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立.故D正确. 故选：D 3．已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，从而，利用对立事件概率公式即可求解. 【详解】因为事件与事件互斥，所以， 所以. 故选：B 4、将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（    ） A．事件甲与事件丙是互斥事件 B．事件甲与事件丁是相互独立事件 C．事件乙包含于事件丙 D．事件丙与事件丁是对立事件 【答案】AB 【分析】根据题意，利用列举法得到事件甲，乙，丙，丁，再由事件的关系，以及独立事件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，事件甲：第一次掷出的数字是1有：， 事件乙：第二次掷出的数字是2有：， 事件丙：两点数之和为8的所有可能为：， 事件丁：两点数之和为7的所有可能为：， 其中， 对于A中，事件甲与事件丙不能同时发生，所以事件甲与事件丙是互斥事件，所以A正确； 对于B中，由，所以， 所以事件甲与事件丁是相互独立事件，所以B正确； 对于C中，事件乙不包含于事件丙，所以C错误； 对于D中，根据对立事件的定义，可得事件丙与事件丁不对立，所以D错误. 故选：AB. 5、在某次数学测试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.”已知某道多项选择题的正确答案是，且某同学不会做该题（该同学至少选一项且可能全选），下列结论正确的是（    ） A．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是； B．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是； C．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是； D．该同学随机选择选项，能得分的概率是. 【答案】BC 【分析】列出所有情况，根据选项结合古典概型公式即可得到答案. 【详解】该同学随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，，，. 随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为，，，，，. 随机选三个选项，共有4个基本事件，分别为，，，. 随机选四个选项，共有1个基本事件，即. 对A，仅随机选一个选项，能得分的概率是，故A错误. 对B，随机至少选择二个选项，能得分的情况有，共4种， 能得分的概率是，故B正确. 对C，仅随机选三个选项，能得分的情况只有，则概率是，故C正确. 对D，随机选择选项，能得分的概率是，故D错误. 故选：BC. 6、一副扑克牌去掉大王和小王后，共52张，各4张，从扑克牌中随机取出1张，“取出的牌为10”，“取出的牌为红桃”，“取出的牌为黑桃9”，则（    ） A．M与N互斥 B．M与P互斥 C．M与N相互独立 D．N与P对立 【答案】BC 【分析】利用互斥事件、独立事件与对立事件的定义与概率公式逐一判断即可. 【详解】因为“取出的牌为10”，“取出的牌为红桃”，“取出的牌为黑桃9”， 所以与可以同时发生，与不能同时发生，所以与不互斥，与互斥，故错误，正确； 因为，所以，故C正确； 因为与的并事件不是全事件，所以与不对立，故D错误. 故选：BC. 7、甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为.则（    ） A．甲乙都研发成功的概率为 B．疫苗A研发成功的概率为 C．疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D．仅有一款疫苗研发成功的概率为 【答案】AB 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式可判断A项；结合对立事件的概率关系可判断B项；再由相互独立事件的概率公式可判断C项；分两种情况，由相互独立事件的概率公式可判断D项. 【详解】对于A项，由独立事件的概率乘法公式可知，甲乙都研发成功的概率为，故A项正确； 对于B项，因为疫苗A研发失败的概率为， 所以疫苗A研发成功的概率为， 故B项正确； 对于C项，由独立事件的概率乘法公式可知，疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为，故C项错误； 对于D项，仅有一款疫苗成功的概率为，故D项错误. 故选：AB. 8、一箱产品有正品4件､次品3件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（    ） A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B．“至少有1件次品”和“都是次品” C．“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D．“至少有1件次品”和“都是正品” 【答案】AD 【分析】根据题意,由互斥事件的定义分析所给的四个选项，可得答案. 【详解】根据题意，依次分析所给的4个事件： 对于A：“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”与“恰有2件次品”不会同时发生，是互斥事件； 对于B：“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此两事件不是互斥事件； 对于C:“至少有1件正品”包括“恰有1件正品和“2件都是正品”，“至少有1件次品” 包括“恰有1件次品和“2件都是次品”，因此两事件不是互斥事件； 对于D:“至少有1件次品”包括“恰有1件次品和“2件都是次品”，与“都是正品”不会同时发生,是互斥事件，故AD是互斥事件. 故选：AD 9、若，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与不互斥 C．事件与相互独立 D．事件与不一定相互独立 【答案】BC 【分析】利用对立事件概率和为可判断错误；根据互斥事件不可能同时发生，可判断正确；根据相互独立事件的定义和性质，可以判断正确，错误. 【详解】故错误； 又所以事件与不互斥，故正确； 则事件与相互独立，故正确； 因为事件与相互独立，所以事件与一定相互独立，故错误. 故选： 10、 “键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人. 【答案】6720 【分析】先求得样本持反对态度的频率，进而可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数. 【详解】在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为， 则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有（人）. 故答案为：6720 11、将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 . 【答案】 【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得基本事件数总为个. 点数和为5的基本事件有，，，共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为. 故答案为：. 12、甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为，假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意，分第一局甲执黑子先下，第二局乙执黑子先下和第一局乙执黑子先下，第二局乙执黑子先下，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】若第一局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 若第一局乙执黑子先下，则甲胜的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 所以甲胜第一局，乙胜第二局的概率. 故答案为： 13、某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； (2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率； (3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得[80,90)，[90,100]两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果； （2）利用列举法及古典概型的概率公式即可求得所求概率； （3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线. 【详解】（1）依题意，设区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人，得 成绩在[80,90)区间样本中的学生人数为：； 成绩在[90,100]区间样本中的学生人数为：； 所以，解得， 所以区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人. （2）由（1）得，不妨记区间[80,90)中人为，区间[90,100]中人为， 则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件， 其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为共8件， 故，即第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率为. （3）由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为， 所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为， 故，解得， 所以成绩良好的最低分数线为. 14、我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格． （1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数； （2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？ 【答案】（1）中位数为，平均数为；（2） 【分析】（1）计算各组的频率得中位数在第三组，不妨设为，进而根据求解，根据平均数的计算方法计算即可得答案. （2）由分层抽样得良好”的学生有人，“优秀”的学生有人，进而根据古典概型求解即可. 【详解】解：（1）第一组的频率为，第二组的频率为，第三章的频率为，第四组的频率为，第五组的频率为， 所以中位数在第三组，不妨设为，则，解得， 平均数为； （2）根据题意，“良好”的学生有人，“优秀”的学生有人， 所以分层抽样得“良好”的学生有人，“优秀”的学生有人， 将三名优秀学生分别记为，两名良好的学生分别记为， 则这5人中选2人的基本事件有：共10种， 其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：共9种， 所以至少有一人是“优秀”的概率是 15、在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响. (1)分别求甲队总得分为1分和2分的概率； (2)求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率. 【答案】(1)甲队总得分为分的概率为，分的概率为； (2) 【分析】（1）利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得； （2）首先求出活动结束甲、乙两队得分及所对应的概率，再利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得； 【详解】（1）解：依题意记甲队总得分为分为事件，甲队总得分为分为事件， 则， ， 所以甲队总得分为分的概率为，分的概率为； （2）解：依题意甲队总得分为分的概率为， 得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为； 乙队总得分为分的概率为，得分的概率为， 得分的概率为，得分的概率为； 则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率. 16、某校举行数学竞赛，竞赛要完成三道题：代数，几何，组合各一道，竞赛记分方法如下：在规定时间内，答对代数题、几何题，每题均可获得30分，答对组合题，可获得40分，每答错一题，则扣除总分中的10分（假设答题只有对与错两种结果）.根据以往统计结果，小明答对代数、几何、组合的概率分别为，假设解答这三题结果彼此独立.已知小明初始分为0分，设比赛结束后，小明的总分为，求： （1）已知小明在规定时间内，将三题都答对的概率为，求该学生恰能答对三题中的一题的概率； （2）已知，求总分不低于50分的概率． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式得到，解得，再利用乘法公式计算恰能解决三道题中的一道题的概率即可； （2）判断时符合题意，再分别计算对应概率并求和即可. 【详解】解：（1）小明三道题都答对概率为，故， 恰能解决三道题中的一道题的概率：； （1）若三道题均答对，则，； 若组合题答对，代数、几何恰有一道题答对，则，； 若代数几何均答对，但组合未答对，则，； . 17、2023年9月，第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行，某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和上四分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者： （i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率； （ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】(1)31.75岁；36.25 (2)（i）；（ii）10 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数的计算公式求解可得平均数；上四分位数即第百分位数，根据定义可构造方程求得结果； （2）（i）根据分层抽样原则可求得第四组和第五组抽取的人数，采用列举法可得样本点总数和满足题意的样本点个数，根据古典概型概率公式可求得结果； （ii）由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数，由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差. 【详解】（1）设这人的平均年龄为，则 （岁） 设上四分位数（第75百分位数）为， ，， 位于第四组：内； 方法一：由，解得. 方法二：由，解得. （2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为： ， 共15个样本点. 设事件“甲､乙两人至少一人被选上”，则 ， 共有9个样本点.所以，. （ii）设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为. 设第四组的宣传使者的年龄分别为，平均数为，方差为， 设第五组的宣传使者的年龄分别为，，平均数为，方差为， 则，，， ， 可得，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为． 则， 即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为， 法一： . 法二： . 即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为； 据此估计这人中年龄在岁的所有人的年龄的平均数为，方差约为． 18、在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.记事件“与地面接触的数字为奇数”，事件 “与地面接触的数字不大于4”，事件“与地面接触的数字为1或5或7或8”. (1)判断事件，是否独立并证明； (2)证明事件，，满足，但不满足，，两两独立 【答案】(1)事件，相互独立，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）列出样本空间，即可列出、、所对应的基本事件，求出所对应的概率，根据独立事件的定义判断即可； （2）由（1）求出，即可得到，且、，即可得证. 【详解】（1）由已知得样本空间为， 所以，，， ，，，， ，，， 事件，相互独立. （2），，， ，， 所以， 但是且， 事件，，满足，但不满足，，两两独立. 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 概率 【清单01】随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示． 【清单02】随机试验的特点 （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 【清单03】样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． 【清单04】随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． 【清单05】必然事件，不可能事件 在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集抔包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件． 【清单06】事件的关系与运算 定义 表示法 图示 事件的运算 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B） （或） 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） （或） 交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） （或） 互斥关系 若为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若，则A与B互斥 对立关系 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为或 若，，则A与B对立 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 并事件（和事件） A与B至少一个发生 或 交事件（积事件） A与B同时发生 或 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， 【清单07】概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability），事件A的概率用P（A）表示． 【清单08】古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 【清单09】概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 ， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 【清单10】频率的稳定性 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率． 【清单11】概率与频率的区别与联系 频率 概率 区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的 概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小 联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 【清单12】随机模拟 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟． 我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛方法． 【清单13】相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 【清单14】相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 易错点1混淆了互斥事件与对立事件的区别 【例1】袋中有10个红球和10个绿球，它们除颜色不同外，其它都相同.从袋中随机取2个球，互斥而不对立的事件是（    ） A．至少有一个红球；至少有一个绿球 B．至少有一个红球；都是红球 C．恰有一个红球；恰有两个绿球 D．至少有一个红球；都是绿球 【例2】有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是 A．至少有1件次品与至多有1件正品 B．至少有1件次品与都是正品 C．至少有1件次品与至少有1件正品 D．恰有1件次品与恰有2件正品 【例3】从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球” 易错点2 忽视了概率加法公式适用的前提条件 【例1】已知事件两两互斥，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】若随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（多选）设是三个随机事件，则下列说法正确的是（     ） A．若互斥，则 B．若，则 C． D．若相互独立，则 易错点3基本事件列举时出现重复或者遗漏 【例1】某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.    (1)求实数a的值； (2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率. 【例2】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)现从抽出的7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. ①写出样本空间； ②设事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件发生的概率. 【例3】抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为一号和二号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (1)写出这个试验的样本空间； (2)求下列事件的概率： ①A=“两个点数之和是”； ②B=“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”. 易错点4混淆了有放回和无放回 【例1】（多选）一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后有放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到2号球的概率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【例3】（多选）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 易错点5独立事件的判断 【例1】已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【例2】已知甲、乙两个班级的女生人数占本班人数的比例分别为和，现从每个班各选一名同学，记事件“从甲班选择的是女生”，事件“两名同学中至少有一名是男生”，事件“从两个班选到的学生性别不同”，则（    ） A．事件和相互独立 B．事件和相互独立 C．事件和相互独立 D．事件和相互独立 【例3】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 1． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是.一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“”问题.他是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩.若将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（    ） A． B． C． D． 2．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 3．已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（    ） A． B． C． D． 4、将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（    ） A．事件甲与事件丙是互斥事件 B．事件甲与事件丁是相互独立事件 C．事件乙包含于事件丙 D．事件丙与事件丁是对立事件 5、在某次数学测试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.”已知某道多项选择题的正确答案是，且某同学不会做该题（该同学至少选一项且可能全选），下列结论正确的是（    ） A．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是； B．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是； C．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是； D．该同学随机选择选项，能得分的概率是. 6、一副扑克牌去掉大王和小王后，共52张，各4张，从扑克牌中随机取出1张，“取出的牌为10”，“取出的牌为红桃”，“取出的牌为黑桃9”，则（    ） A．M与N互斥 B．M与P互斥 C．M与N相互独立 D．N与P对立 7、甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为.则（    ） A．甲乙都研发成功的概率为 B．疫苗A研发成功的概率为 C．疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D．仅有一款疫苗研发成功的概率为 8、一箱产品有正品4件､次品3件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（    ） A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B．“至少有1件次品”和“都是次品” C．“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D．“至少有1件次品”和“都是正品” 9、若，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与不互斥 C．事件与相互独立 D．事件与不一定相互独立 10、 “键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人. 11、将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 . 12、甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为，假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为 . 13、某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； (2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率； (3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 14、我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格． （1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数； （2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？ 15、在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响. (1)分别求甲队总得分为1分和2分的概率； (2)求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率. 16、某校举行数学竞赛，竞赛要完成三道题：代数，几何，组合各一道，竞赛记分方法如下：在规定时间内，答对代数题、几何题，每题均可获得30分，答对组合题，可获得40分，每答错一题，则扣除总分中的10分（假设答题只有对与错两种结果）.根据以往统计结果，小明答对代数、几何、组合的概率分别为，假设解答这三题结果彼此独立.已知小明初始分为0分，设比赛结束后，小明的总分为，求： （1）已知小明在规定时间内，将三题都答对的概率为，求该学生恰能答对三题中的一题的概率； （2）已知，求总分不低于50分的概率． 17、2023年9月，第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行，某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和上四分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者： （i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率； （ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 18、在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.记事件“与地面接触的数字为奇数”，事件 “与地面接触的数字不大于4”，事件“与地面接触的数字为1或5或7或8”. (1)判断事件，是否独立并证明； (2)证明事件，，满足，但不满足，，两两独立 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $