6.1走进异彩纷呈的数学建模世界 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界 【学习目标】 1.了解数学建模的意义,能够将实际问题转化为数学建模问题.(数学建模、数学运算) 2.了解数学建模活动的主要过程.(数学建模、数学运算) 3.进一步掌握数学建模的步骤.(数学建模、数学运算) 【合作探究】 　　现实世界的问题大致有三类:自然方面的问题(如大海的潮汐现象、放射物的衰变、蜂巢的结构),社会方面的问题(如养老院的合理布局、传染病的传播机理),生活方面的问题(如乘车路线的规划、营养餐的配置).根据前人的研究我们已经知晓了很多事物的规律,但还有更多事物的规律需要探索. 问题1:针对上述这种日常生活中的现象,我们可以提出一些什么问题呢? 【答案】　我们可以探讨的问题有很多.例如针对苹果腐烂的问题,我们可以探讨:为什么会发生这样的现象?什么情况下不会发生这样的现象?能够利用哪些技术手段进行食品保鲜存储?哪种保鲜存储方式的成本最低?等等.类似的这些问题,因为不仅仅涉及量的关系,所以如果只用数学手段研究,将是十分困难的. 问题2:课题研究的活动过程包括哪几个环节? 【答案】　包括选题→开题→做题→结题这四个环节. 新知运用 例1　我国是人口大国,人口规模是城市规划和土地利用总体规划中一项重要的控制性指标,预测人口模型的合理性,不仅影响到未来地区经济和社会发展,还会影响到地区生态环境可持续发展.因此,建立合理的模型,准确地预测未来人口的发展趋势,制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和现实意义.下面是我国1964~1999年人口统计表: 年份 1964 1969 1974 1979 人口数/亿 7.04 8.06 9.08 9.79 年份 1984 1989 1994 1999 人口数/亿 10.34 11.06 11.76 12.52 　　根据上表数据,在平面直角坐标系中画出人口增长曲线图,由图可以看出人口数量不断增加,各点近似在一条直线上,画出一条与标出的8个点最接近的直线,再用待定系数法求出这条直线对应的一次函数,写出它的【解析】式. 照这样的增长趋势,试估计2009年我国的人口数量. 1.确定参数、计算求解 设函数【解析】式为y1=kx+b, 因为函数图象经过点(1964,7.04),(1994,11.76), 所以解得 所以函数【解析】式为y1=0.157x-301.308. 同理,因为函数图象经过点(1984,10.34),(1969,8.06),所以函数【解析】式为y2=0.152x-291.228. 2.验证结果、改进模型 照这样的增长趋势,我们来估计2009年我国的人口数量. 当x=2009时,y1=0.157×2009-301.308=14.105, 当x=2009时,y2=0.152×2009-291.228=14.14. 1982年宪法将计划生育定为基本国策,实际到2009年我国人口总数约为13.347亿. 人口的变化受到众多方面因素的影响,因此对人口的预测与控制较复杂,很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响.看下面二次函数模型. (1)问题重述 根据某地区人口从1800年到2000年的人口数据(如下表),建立模型估计出该地区2010年的人口数量,同时画出拟合效果的图象. 该地区人口统计数据 年份 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 人口数/亿 7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 年份 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 人口数/亿 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 年份 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口数/亿 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3 　　(2)分析问题、建立模型 从作图可以看出,该地区人口数量y与年份x的关系可以近似看作二次函数的关系,即y=ax2+bx+c,利用已有数据拟合可得到参数a,b,c. 例如利用(1800,7.2),(1900,89.8),(2000,280.3)三组数据列方程组解得即y=0.005395x2-19.1355x+16971.3. (3)验证结果 作出函数y=0.005395x2-19.1355x+16971.3的图象如图所示: 从以上二次函数模型和原数据点的拟合效果可以看出,拟合效果在1940年之前还可以,但是对后期的数据拟合得不好. (4)模型应用 我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报,说到本世纪末,或到下世纪中叶,全世界(或某地