命题大赛 第5章：概率 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

湘教版高中数学必修第二册 第5章：概率 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第5章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（原创）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①小明过马路时，恰好遇到绿灯；②短跑运动员5s跑完1000m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断. 【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．故选：B 2．（原创）小李每周末都会在足球和篮球中选择一个项目进行运功且只选择一项.如果选择足球的概率为，则小李选择篮球的概率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据事件小李选择足球和篮球相互对立，结合对立事件概率公式求结论即可. 【详解】设事件小李选择足球为，则，事件小李选择篮球可表示为， 所以，小李选择篮球的概率为. 3．下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【答案】D 【分析】利用频率与概率的概念分析选项即可. 【详解】对于A，此概率只表示事件发生的可能性大小，具有随机性，不能代表比赛5场必胜3场，所以A错误； 对于B，此中奖率只表示中奖的可能性，也具有随机性，不能代表10人必中奖1人，所以B错误；对于C，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率，所以C错误； 对于D，预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90%，正确.故选：D 4．在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（    ） A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 【答案】B 【分析】根据随机事件的互斥、独立的概率关系判断即可． 【详解】由题意知，所以A、B不是互斥事件， ，所以与独立，所以与独立．故选：B． 5．随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质及概率的取值范围求解即得. 【详解】依题意，，由， 得，又， 则当时，，所以事件A，B同时发生的概率的取值范围是. 故选：C 6．如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件，计算出、，利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为. 【详解】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件， 因为每个部件的可靠度均为，所以，， 当且仅当事件或事件发生时，系统正常工作， 当且仅当事件和事件都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为 7．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 8．设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次甲投篮四种情况求概率可得答案. 【详解】甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为，， 则甲、乙两人每次未投进篮球的概率分别为，， 根据题意，前4次中甲恰好投篮3次的情况为 第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，其概率为； 第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，其概率为； 第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，其概率为； 第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次乙投篮， 其概率为.则前4次中甲恰好投篮3次的概率为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事件的是（    ） A．“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； B．“至少有1名男生”与“全是男生”； C．“至少有1名男生”与“全是女生”； D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生”． 【答案】AC 【分析】根据互斥事件的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，在所选2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”， 它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，A正确； 对于B，“至少有1名男生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 这与“全是男生”可能同时发生，所以不是互斥事件，B错误； 对于C，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 它与“全是女生”不可能同时发生，所以是互斥事件，C正确； 对于D，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 而“至少有1名女生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是女生”两种结果， 它们可能同时发生，所以不是互斥事件，D错误.故选：AC 10．甲袋中有大小、形状相同的4个红球2个白球，乙袋中有大小、形状相同的1个红球3个白球，则下列选项中的事件发生的概率不小于的有（    ） A．甲袋中一次取出两个球，两球均为红球 B．乙袋中有放回地取两次球，两球均为白球 C．两袋中各取一个球，取出的球中有红球 D．先从乙袋中取1球，记下颜色后放回乙袋中，若取出的球为红球则在甲袋中取球，否则继续在乙袋中取球，第二次取出来的是红球 【答案】BC 【分析】根据古典概型概率公式及独立事件的概率乘法，逐项进行判断即可. 【详解】对于A，甲袋中共有大小、形状相同的6个球，从中一次取出2个球，共有种取法，两球都是红球，共有种取法， 所以甲袋中一次取出两个球，两球均为红球的概率为，故A错误； 对于B，乙袋中有大小、形状相同的1个红球3个白球，从中有放回地取两次球，两球均为白球，则概率为，故B正确； 对于C，甲袋中取得白球的概率为，乙袋中取得白球的概率为， 则事件“两袋中各取一个球，取出的球都是白球”的概率为， 所以事件“两袋中各取一个球，取出的球中有红球”的概率为，故C正确； 对于D，若第一次从乙袋中取到红球，概率为，接着在甲袋中取到红球的概率为， 根据独立事件概率乘法公式，其概率为； 若第一次从乙袋中取到白球，概率为，接着在乙袋中取到红球的概率为， 根据独立事件概率乘法公式，其概率为； 所以事件的“第二次取得红球”的概率为，故D错误. 11．已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可. 【详解】因为事件与相互独立，所以事件与相互独立， 所以，因为，A正确；，又， 所以，又， 所以，即与相互独立，B正确； 因为与互斥，所以，又因为与相互独立， 所以，C错误； 因为与相互独立，所以， 又因为与相互独立，所以，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________． 【答案】 【分析】先求，再根据即可求解. 【详解】设小王参加甲款游戏闯关成功为事件，参加乙款游戏闯关成功为事件， 则，所以， 又，所以. 13．桌上有三个纸杯，正中间那一个有巧克力，现采取如下操作：将正中间那个纸杯和左右两边中的任意一个纸杯互换，记为一次操作，重复上述操作4次，则正中间纸杯中有巧克力的概率是__________. 【答案】 【分析】利用列举法即可求解. 【详解】经过第一次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（有无无）和（无无有），概率各为，根据对称，接下来只考虑（有无无）的情况， 经过第二次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（无有无）和（有无无）， 经过第三次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（有无无），（无无有），（无有无）和（有无无），经过第四次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（无有无），（有无无），（无无有），（无有无），（有无无），（无无有），（无有无），（有无无） 所以操作4次，则正中间纸杯中有巧克力的情况有3种，故当（无无有）的情况时也有3种符合条件的情况， 故重复上述操作4次，则正中间纸杯中有巧克力的概率是， 故答案为： 14．一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为______． 【答案】 【分析】分第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，三种情况计算即可，分别计算可得结论. 【详解】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 记黄球为，2个白球为、1个红球为， 利用枚举法可知从中一次取2个小球为， 共有10种取法，而颜色相同的取法有两种， 故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为， 所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为． 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为， 所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为． 两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为． 所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2026年春节，甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4.甲、乙两地是否下雪是相互独立的. (1)求2026年春节，甲、乙两地都下雪的概率； (2)求2026年春节，甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立事件乘法公式求解； （2）利用对立事件的概率公式可求解. 【详解】（1）设事件“甲地下雪”， 事件“乙地下雪”， 因为甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4，所以, 又两地是否下雪是相互独立的，所以甲、乙两地都下雪的概率为. （2）甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率为. 16．（15分）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图计算得出，再利用分层抽样求出各层人数，利用古典概型计算公式可求得概率； （2）利用独立事件乘法公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意得，，解得． 因为按、分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为M、N、Q， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为m、n， 从5人中抽取2人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有1人分数低于80分”为事件R， 则． 即，因此． 故5人中至少有1人分数低于80分的概率为． （2）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，，． 由于甲、乙的考核结果互相不受影响，所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立． 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为． 17．（15分）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 【答案】(1)乙获得执业医师证书的可能性最大，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，计算甲乙丙获得执业医师证书的概率，比较大小，即可得解. （2）分三种情况，结合互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可得解. 【详解】（1）记甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”依次为事件，在医学综合笔试中“合格”依次为事件. 因为所有考试是否合格互不影响，所以与，与，与相互独立. 因此甲获得执业医师证书的概率； 乙获得执业医师证书的概率； 丙获得执业医师证书的概率，所以. 故乙获得执业医师证书的可能性最大. （2）记甲、乙、丙三人获得执业医师证书依次为事件，则，，.由于事件相互独立，则恰有两人获得执业医师证书的概率 . 故有两人获得执业医师证书的概率为. 18．（17分）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】(1)， (2)平均数为，第80百分位数为. (3) 【分析】（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； （2）平均数 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 19．（17分）1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“”），这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜； 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜. (1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； (2)当时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大? (3)根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 【答案】(1)游戏一，游戏二获胜的概率分别为， (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型可得所求概率； （2）当时，可求出游戏三获胜的概率，记事件“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影票”，事件“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”，事件“同学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”，事件“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第三个游戏为游戏一、二、三的一个排列，则事件，依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜，讨论第二个游戏选择游戏几时获得观影票的概率，比较即可； （3）当时，同（2），当时，参考（2），比较即可. 【详解】（1）记事件“同学参加游戏一获胜”，事件“同学参加游戏二获胜”，事件“同学参加游戏三获胜”. 因为游戏一为从盒子中随机摸出一个小球，这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜， 所以； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜，即第一次摸出“4”或“5”，第二次也摸出“4”或“5”，所以. （2）游戏三的所有样本点为共个， 当时，获胜的样本点为，有2个，所以， 记事件“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影票”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第三个游戏为游戏一、二、三的一个排列， 则事件，依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜. 所以，其中，，相互独立，，，两两互斥， 则 , 无论同学参加这三个游戏的先后顺序如何，都有. 所以. 所以，根据乘法交换律，第一个游戏和第三个游戏的位置不影响获得观影票的概率的大小， 其大小取决于第二个游戏的选择，下面以第二个游戏的选择为研究对象分三种情况进行讨论： ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 ； ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 ； ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为. 因为， 所以为使获得观影票的概率最大，同学应将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. （3）考虑游戏三中的所有取值情况，如下表所示： 第一次第二次 1 2 3 4 5 1 3 4 5 6 2 3 5 6 7 3 4 5 7 8 4 5 6 7 9 5 6 7 8 9 由表格知，，， 当时，同学按（2）将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 当时，， ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 ； ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 ； ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 . 因为，所以为使获得观影票的概率最大，同学仍应将游戏一放在第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 综上，无论取何值，都应将游戏一置于第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学必修第二册 第5章：概率单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第5章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.(原创)下列事件中，随机事件的个数是() ①小明过马路时，恰好遇到绿灯；②短跑运动员5s跑完1000；③任意三条线段，组成三 角形；④若x∈R,则x2≥0. A.1 B.2 C.3 D.4 2.(原创)小李每周末都会在足球和篮球中选择一个项目进行运功且只选择一项如果选择 足球的概率为3， 则小李选择篮球的概率为() A月 D.1 3.下列说法正确的是() A.甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B.某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C.随机试验的频率与概率相等 D.天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 4.在古典概型中，我们记某事件C含有的样本点个数为(C),若一个古典概型的样本空间 2和事件A,B满足n(2)=12,n(A)=6,(B)=4,n(A+B)=8,则事件A与事件B() A.是互斥事件，不是独立事件 B.不是互斥事件，是独立事件 C.既是互斥事件，也是独立事件 D.既不是互斥事件，也不是独立事件 5。随机事件A发生的概率为， 随机事件B发生的概率为，则事件A,B同时发生的概 率的取值范围是() A.i53 82 74 B. 72 D. 「24 155 C.153 35 6.如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统 就能正常工作.若每个部件的可靠度均为r(0<”<1),而且这四个部件互不影响，则系统的 可靠度为( 甲 丙 A.r B.1-(1-r) C.[2r-r2] D.2r2-r4 7.某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、 3,第四个面写了三个数字1,2,3，随机抛掷一次，事件A表示向下的面上有数字1，事件 B表示向下的面上有数字2，事件C表示向下的面上有数字3，则() A.事件A与事件B互斥 B.事件A与事件B相互独立 C.事件A与事件BOC互斥 D.事件A与事件BUC相互独立 8,设甲、乙两人每次投进蓝球的概率分别为}与子，两人约定如下投篮：每次由一人投管。 若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相 同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为() 4 A.27 B 10 20 C. 27 D. 27 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事 件的是() A.“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；B.“至少有1名男生”与“全是男生”； C.“至少有1名男生”与“全是女生”； D.“至少有1名男生”与“至少有1名女生. 10.甲袋中有大小、形状相同的4个红球2个白球，乙袋中有大小、形状相同的1个红球3 个白球，则下列选项中的事件发生的概率不小于的有() A.甲袋中一次取出两个球，两球均为红球 B.乙袋中有放回地取两次球，两球均为白球 C.两袋中各取一个球，取出的球中有红球 D.先从乙袋中取1球，记下颜色后放回乙袋中，若取出的球为红球则在甲袋中取球， 否则继续在乙袋中取球，第二次取出来的是红球 11.己知随机事件A,B,C满足P(A)=0.5,P(B)=0.2,P(C)=0.3,且事件C与A,B相互独立， 则下列说法正确的是() A.若A与B相互独立，则P(AUB)=0.9 B.若P(AOB)=0.4,则A与B相互独立 C.若A与B互斥，且C与A+B也相互独立，则P(A+B)C)=O.25 D.若A与B相互独立，且C与AB也相互独立，则P(ABC)=0.12 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题。每小题5分，共15分。 12.小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为；，小王闯关乙款游 戏成功的授率为兮，两款游戏间关都不成功的概率为？，则小王甲、乙两款游戏都阅关成功 的概率为 13.桌上有三个纸杯，正中间那一个有巧克力，现采取如下操作：将正中间那个纸杯和左右 两边中的任意一个纸杯互换，记为一次操作，重复上述操作4次，则正中间纸杯中有巧克力 的概率是 14.一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1 个红球.先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分 规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白得0分，“2个小球中有红 球”减1分，则两次得分和为0分的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)2026年春节，甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4.甲、乙两地是否 下雪是相互独立的： (1)求2026年春节，甲、乙两地都下雪的概率： (2)求2026年春节，甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率. 16.(15分)为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对40名青年选手进行专项成绩考核 (满分100分)，考核成绩的频率分布直方图如图所示. ←频率组距 0.025 0.020 0.015 0.010 0V5060708090100考核得分 (1)从得分在[70,90)中，按[70,80)，[80,90)分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人，再 从5人中随机抽取2人进行考核，求至少有1人分数低于80分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为A,B,C三个等级.若在两项考核中， 至少一项为A级，且另一项不低于B级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受 影响.且甲在每项考核中取得®，C梦级的得率分别足名：乙在每项考楼中取得4B.℃ 等级的概率分别是片求甲、乙能同时获得参赛资格的概率 17.(15分)全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩 只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师 证书。甲、乙、丙三人在实戡技能考武中“合格的概率依次为、廴、，在医学综合笔试 中合格“的艇率张次为号子子所有考试是香合格互不影南 (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师 证书的可能性最大？请说明理由 (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的 概率. 18.(17分)某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名 年龄在[20,45内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一 六组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]) ←频率/组距 0.07 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 202530354045年龄 (1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数及a的值： (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数： (3)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座淡，再从中选取2人在座谈会中作 重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率， 19.(17分)1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利 的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征 精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加 三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主 安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获 得两张观影票，否则无法获得观影票已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编 号为1,2,3,4,5)，这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为4或“5”，则获胜： 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则 获胜： 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获 胜 (1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； (2)当=4时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ (3)根据m的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 湘教版高中数学必修第二册 第5章：概率 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第5章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（原创）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①小明过马路时，恰好遇到绿灯；②短跑运动员5s跑完1000m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（原创）小李每周末都会在足球和篮球中选择一个项目进行运功且只选择一项.如果选择足球的概率为，则小李选择篮球的概率为（    ） A． B． C． D．1 3．下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 4．在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（    ） A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 5．随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 7．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 8．设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事件的是（    ） A．“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； B．“至少有1名男生”与“全是男生”； C．“至少有1名男生”与“全是女生”； D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生”． 10．甲袋中有大小、形状相同的4个红球2个白球，乙袋中有大小、形状相同的1个红球3个白球，则下列选项中的事件发生的概率不小于的有（    ） A．甲袋中一次取出两个球，两球均为红球 B．乙袋中有放回地取两次球，两球均为白球 C．两袋中各取一个球，取出的球中有红球 D．先从乙袋中取1球，记下颜色后放回乙袋中，若取出的球为红球则在甲袋中取球，否则继续在乙袋中取球，第二次取出来的是红球 11．已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________． 13．桌上有三个纸杯，正中间那一个有巧克力，现采取如下操作：将正中间那个纸杯和左右两边中的任意一个纸杯互换，记为一次操作，重复上述操作4次，则正中间纸杯中有巧克力的概率是__________. 14．一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2026年春节，甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4.甲、乙两地是否下雪是相互独立的. (1)求2026年春节，甲、乙两地都下雪的概率； (2)求2026年春节，甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率. 16．（15分）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 17．（15分）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 18．（17分）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 19．（17分）1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“”），这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜； 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜. (1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； (2)当时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大? (3)根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 双向细目表 题号 核心知识点 题型 难度系数 分值 1 随机事件、必然事件、不可能事件判断 单项选择题 0.9 5 2 互斥事件的概率加法公式 单项选择题 0.85 5 3 概率的意义、频率与概率区别 单项选择题 0.8 5 4 古典概型、互斥事件、相互独立事件 单项选择题 0.7 5 5 概率的基本性质、交事件概率范围 单项选择题 0.65 5 6 独立事件、系统可靠度、并事件概率 单项选择题 0.6 5 7 互斥事件、独立事件判断、正四面体概率 单项选择题 0.55 5 8 独立重复试验、递推概率、投篮规则 单项选择题 0.45 5 9 互斥事件、对立事件概念辨析 多项选择题 0.75 6 10 古典概型、不放回 / 有放回抽样、概率计算 多项选择题 0.6 6 11 独立事件、互斥事件、概率公式综合 多项选择题 0.45 6 12 独立事件、交事件、并事件概率 填空题 0.7 5 13 古典概型、递推操作、概率计算 填空题 0.55 5 14 无放回抽样、分类计数、复合概率 填空题 0.5 5 15 独立事件、交事件、对立事件概率 解答题 0.7 13 16 频率分布直方图、分层抽样、古典概型、独立事件 解答题 0.6 15 17 独立事件、互斥事件、恰有 k 人发生概率 解答题 0.55 15 18 频率分布直方图、均值、百分位数、古典概型 解答题 0.5 17 19 古典概型、有放回 / 不放回、游戏概率、最优策略 解答题 0.35 17 Sheet2 Sheet3 $湘教版高中数学必修第二册 第5章：概率单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第5章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.(原创)下列事件中，随机事件的个数是() ①小明过马路时，恰好遇到绿灯；②短跑运动员5s跑完1000；③任意三条线段，组成三 角形；④若x∈R,则x2≥0. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断： 【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件，故选：B 2.(原创)小李每周末都会在足球和篮球中选择一个项目进行运功且只选择一项如果选择 足球的概率为3， 则小李选择篮球的概率为() 3 C. 5 D.1 【答案】A 【分析】根据事件小李选择足球和篮球相互对立，结合对立事件概率公式求结论即可 【详解】设事件小李选择足球为A,则P(A)=子事件小李选择篮球可表示为A, 所以P=1-P()=子小李选择篮球的概率为 41 3.下列说法正确的是() 3 A.甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为。，则比赛5场，甲胜3场 B.某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C.随机试验的频率与概率相等 D.天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【答案】D 【分析】利用频率与概率的概念分析选项即可。 【详解】对于A,此概率只表示事件发生的可能性大小，具有随机性，不能代表比赛5场必 胜3场，所以A错误： 对于B,此中奖率只表示中奖的可能性，也具有随机性，不能代表10人必中奖1人，所以 B错误；对于C,随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率，所以C错误： 对于D,预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90%，正确故选：D 4.在古典概型中，我们记某事件C含有的样本点个数为(C),若一个古典概型的样本空间 2和事件A,B满足n(2)=12,n(A)=6,n(B)=4,n(A+B)=8,则事件A与事件B() A.是互斥事件，不是独立事件 B.不是互斥事件，是独立事件 C.既是互斥事件，也是独立事件 D.既不是互斥事件，也不是独立事件 【答案】B 【分析】根据随机事件的互斥、独立的概率关系判断即可. 【详解】由题意知(AB)=2,所以A、B不是互斥事件， P4)后PP().所以A与a雅立，所以A与五独立.故选：B 5。随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为号，则事件小.B同时发生的概 率的取值范围是() [82 74 72 24 A.153 B. 15'5 15'3 35 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质及概率的取值范围求解即得 【详解】依题盒，P(-专P-号由P+)=P0+P)-Ps1, 钓0+列-1=专号-1=石义团>@。 则当8cA时，)=P心=号，所以事件么B同时发生的概率的取维范围是子子 故选：C 6.如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统 就能正常工作若每个部件的可靠度均为“(0<”<1)，而且这四个部件互不影响，则系统的 可靠度为() 甲 丙 A.4 B.1-(1-r) c.[2r-2 D.22-r4 【答案】D 【分析】记甲、乙都正常工作为事件A,记丙、丁都正常工作为事件B,计算出P(A)、P(B), 利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为1-P(AP(B) 【详解】记甲、乙都正常工作为事件A,记丙、丁都正常工作为事件B, 因为每个部件的可靠度均为r(0<r<1),所以P(A)=2,P(B)=2, 当且仅当事件A或事件B发生时，系统正常工作， 当且仅当事件A和事件B都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为P=1-P(A)P(B)=1-(1-r2)=2r2-4 7.某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、 3,第四个面写了三个数字1,2,3，随机抛掷一次，事件A表示向下的面上有数字1，事件 B表示向下的面上有数字2，事件C表示向下的面上有数字3，则() A.事件A与事件B互斥 B.事件A与事件B相互独立 C.事件A与事件B⌒C互斥 D.事件A与事件BUC相互独立 【答案】B 【详解】由题意可得P子号P回子分P109)子 对于A,A⌒B表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以A∩B≠0，故A错误： 对于B.AnB的情视只有面4，故P(A门B)=4: 又P0Pe)号子满足P4)P(dPa).妆B正商 对于C,A∩(B∩C)表示同时有数字1、2和3，即面4，所以A∩(B∩C)≠0，故C错误： 对于D,BUC表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故PBUC)},An(BuC)表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故P(4n(BUc9)}所以PAP(BU9}), 2484 不满足独立事件定义，故D错误. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为；与2，两人约定如下投篮：每次由一人投露 3 若投进，下一次由另一人投篮：若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相 同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为() 4 A.27 P 10 20 B. C. D 27 27 2> 【答案】C 【分析】分第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，第一次甲投进第二次乙投进 第三次甲未投进第四次甲投篮，第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮， 第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次甲投篮四种情况求概率可得答案 【详解】甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为3，子 12 则甲、乙两人每次未投进篮球的概率分别为号，弓’ 21 根据题意，前4次中甲恰好投篮3次的情况为 12224 第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，其概率为一×。×。×。= 233327 11222 第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，其概率为一×。×。×。 2×3×3×327 12.122 第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，其概率为兮×3×了7： 第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次乙投篮， 共概率为宁行号片号则前4淡中甲给阳技3次的概车为宁号号号兴 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分」 9.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事 件的是() A.恰有1名男生”与恰有2名男生”； B.“至少有1名男生与“全是男生”； C.“至少有1名男生与“全是女生”： D.“至少有1名男生”与“至少有1名女生”. 【答案】AC 【分析】根据互斥事件的概念逐一判断即可. 【详解】对于A,在所选2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”， 它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，A正确： 对于B,“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和2名都是男生”两种结果， 这与“全是男生”可能同时发生，所以不是互斥事件，B错误： 对于C,“至少有1名男生”包括1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 它与“全是女生不可能同时发生，所以是互斥事件，C正确： 对于D,“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和2名都是男生”两种结果， 而至少有1名女生”包括1名男生和1名女生”和2名都是女生”两种结果， 它们可能同时发生，所以不是互斥事件，D错误故选：AC 10.甲袋中有大小、形状相同的4个红球2个白球，乙袋中有大小、形状相同的1个红球3 个白球，则下列选项中的事件发生的概率不小于，的有() A.甲袋中一次取出两个球，两球均为红球 B.乙袋中有放回地取两次球，两球均为白球 C.两袋中各取一个球，取出的球中有红球 D.先从乙袋中取1球，记下颜色后放回乙袋中，若取出的球为红球则在甲袋中取球， 否则继续在乙袋中取球，第二次取出来的是红球 【答案】BC 【分析】根据古典概型概率公式及独立事件的概率乘法，逐项进行判断即可。 【详解】对于A,甲袋中共有大小、形状相同的6个球，从中一次取出2个球，共有C。种 取法，两球都是红球，共有C种取法， 所以甲袋中一冰取出两个思、丙球均为球的感车为号后-号分，故人箭款。 对于B,乙袋中有大小、形状相同的1个红球3个白球，从中有放回地取两次球，两球均为 3391 白球，则概率为一×=>，故B正确： 44162 对于C,甲袋中取得白球的概率为后行乙袋中取得白球的概率为} 21 则事件两袋中各取一个球，取出的球都是白球"的概率为亏×年4 131 所以事作两袋中各取一个球。取出的球中有红球的概率为1-子}分故C正确： 4_2 对于D,若第一次从乙袋中取到红球，概率为：，接者在甲袋中取到红球的概率为 63 根据独立事件概率乘法公式，其概率为2×2-： 436 若第一次从乙袋中取到白球，概率为子，接着在乙袋中取到红球的概率为子 313 根据独立事件概率乘法公式，其概率为。× 4416 所以事件的“第二次取得红球的概率为二+ 合+启智-最行做D情谈 11.已知随机事件A,B,C满足P(A)=0.5,P(B)=0.2,P(C)=0.3,且事件C与A,B相互独立， 则下列说法正确的是() A.若A与B相互独立，则P(AUB)=0.9 B.若P(AOB)=0.4,则A与B相互独立 C.若A与B互斥，且C与A+B也相互独立，则P(A+B)C)=0.25 D.若A与B相互独立，且C与AB也相互独立，则P(ABC)=0.12 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析 判断即可. 【详解】因为事件A与B相互独立，所以事件A与相互独立， 所以P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.8=0.4,因为PAUB)=P()+PB)-P4B)=0.5+08-Q4=0.9, A正确；P(AUB)=1-P(A∩B)=0.6,又P(A)=0.5,P(B)=0.2, 所以P(A⌒B)=P(A)+P(B)-P(AUB)=0.1,又P(A)P(B)=0.1, 所以P(A⌒B)=P(A)P(B),即A与B相互独立，B正确： 因为A与B互斥，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,又因为C与A+B相互独立， 所以P（(A+B)C)=P(A+B)P(C)=0.7×0.3=0.21,C错误： 因为A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.5×(1-0.2)=0.4, 又因为C与AB相互独立，所以P(ABC)=P(AB)P(C)=0.4×0.3=0.12,故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为方，小王闯关乙款游 戏成功的概率为分，两故游戏间关都不成功的授率为}，则小王甲、乙两款游戏都问关成功 的概率为 【答案】 13 30 【分析】先求P(AUB),再根据P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)即可求解 【详解】设小王参加甲款游戏闯关成功为事件A,参加乙款游戏闯关成功为事件B, 则0号P)S西)所以4)1（西1； 又a)-小@)a0,所以网-0四A-号品 13.桌上有三个纸杯，正中间那一个有巧克力，现采取如下操作：将正中间那个纸杯和左右 两边中的任意一个纸杯互换，记为一次操作，重复上述操作4次，则正中间纸杯中有巧克力 的概率是 【容】 【分析】利用列举法即可求解 【详解】经过第一次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（有无无）和（无无有），概率 各为；，根据对称，接下来只考虑（有无无）的情况， 经过第二次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（无有无）和（有无无）， 经过第三次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（有无无），（无无有），（无有无）和（有 无无)，经过第四次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（无有无），（有无无），（无无有）， (无有无)，（有无无），（无无有），（无有无），（有无无） 所以操作4次，则正中间纸杯中有巧克力的情况有3种，故当（无无有）的情况时也有3 种符合条件的情况，故重复上述操作4次，则正中间纸杯中有巧克力的概率是33_3 16-8 故答案为： 6 14.一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1 个红球.先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分 规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红 球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 【若案】 【分析】分第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，或第一次“2个小球中 有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，三种情况计算 即可，分别计算可得结论 【详解】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中 有红球”， 或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄 一白”，第一次2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 记黄球为A,A,2个白球为B,B2、1个红球为C, 利用枚举法可知从中一次取2个小球为(4，A),(4,B),(4,B2,(A,C)(A,B), (A,B2),(A2,C),(B,B2),(B,C),(B2,C)共有10种取法，而颜色相同的取法有两种， 故第次取2个小球颜色相同的概率为名，第三次取2个小球中有红球的概率为 122 所以第一次"2个小球颜色相同，第二次2个小球中有红球”的概率为亏×号5 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第次取2个小球中有红球的版率为号-号·第三次2个小球氨色相同的周车为号， 所以第一次2个小球中有红球，第二次2个小球颜色相同的概率为亏×号5 21-2 两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 42 第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 105 .1 第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为，， 3 所以两次均为2个小球颜色一黄一白”的概率为亏×35 212 所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为后+名+后-号故答案为： 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)2026年春节，甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4.甲、乙两地是否 下雪是相互独立的 (1)求2026年春节，甲、乙两地都下雪的概率： (2)求2026年春节，甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率. 【答案】(1)0.12 (2)0.88 【分析】(1)利用独立事件乘法公式求解： (2)利用对立事件的概率公式可求解。 【详解】(1)设事件A=“甲地下雪”，事件B=“乙地下雪”， 因为甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4，所以P(A)=0.3,P(B)=0.4, 又两地是否下雪是相互独立的，所以甲、乙两地都下雪的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.4=0.12 (2)甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率为1-P(AB)=1-0.12=0.88 16.(15分)为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对40名青年选手进行专项成绩考核 (满分100分)，考核成绩的频率分布直方图如图所示. ◆频率组距 0.025 0.020 0.015 0.010 0V5060708090100考核得分 (1)从得分在[70,90)中，按[70,80)，[80,90)分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人，再 从5人中随机抽取2人进行考核，求至少有1人分数低于80分的概率： (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为A,B,C三个等级.若在两项考核中， 至少一项为A级，且另一项不低于级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受 影.且甲在每顶考技楼中取得1B,C等级的碳率分别足号}背名乙在每项考核中取得A8C 115 等级的概率分别是 4'312 .求甲、乙能同时获得参赛资格的概率。 【答案】山0 77 0516 【分析】(1)根据频率分布直方图计算得出t=0.03,再利用分层抽样求出各层人数，利用 古典概型计算公式可求得概率； (2)利用独立事件乘法公式计算可得结果。 【详解】(1)由题意得，10×(0.01+0.015+0.02+t+0.02)=1,解得t=0.03. 因为按[70,80)、[80,90)分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人， 0.03 所以从成绩在30,90)中抽出的人数为5×02+003=3，分别记为从从， 从成绩在[0,80)中抽出的人数为：5X。02032,分别记为m、儿 从5人中抽取2人进行考核，样本空间为 2={,,{,M,{,W,{,Q},{(n,M)},{,W,{n,Q},{M,N,{M,Q},{(N,Q)}}, 则(2)=10，记至少有1人分数低于80分”为事件R, 则R={,,{,MG,{,N,{,Q},{(n,M)},{n,N,{n,Q}. 即R)=7,因此PR)=R-7 n(2)10 故5人中至少有1人分数低于80分的概率为0： (2)记甲获得参赛资格的概率为P,乙获得参赛资格的概率为卫， 1111 11.11.11 =12:24×4+4*3x2 由题意可得，2X2十232=6， 二××2= 48 由于甲、乙的考核结果互相不受影响，所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立， @甲、乙能同时获得参赛资格的概率为P=P·2=2×4376 17.(15分)全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩 只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师 ,122 证书。甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、弓、弓，在医学综合笔试 中合格~的强率张次为行、}、子所有考试是否合格互不影响。 (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师 证书的可能性最大？请说明理由. (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的 概率， 【答案】(1)乙获得执业医师证书的可能性最大，理由见解析 3 【分析】(1)根据独立事件的乘法公式，计算甲乙丙获得执业医师证书的概率，比较大小， 即可得解 (2)分三种情况，结合互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可得解 【详解】(1)记甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格依次为事件A,B,C,在医学综合 笔试中“合格”依次为事件A,B2,C2 因为所有考试是否合格互不影响，所以A与A,B,与B2,C与C,相互独立. 因此甲获得执业医师证书的概率P(A4)=2×亏5 142 乙获得执业医师证书的车P叫国县)一子子行： 224 丙获得执业医师证书的概率P(CC.)=亏×号g,所以P(BB,)>P(CC,)>P(44) 故乙获得执业医师证书的可能性最大， 2记甲、乙、丙三人获得执业医师证书依次为事件A8.C,则P(4)-子P(®)-方 P(C)-号由于车件A,B.C相互粒立，则恰有两人获得技业医师证书的概率 P=()i上子分子〔上}专升分告号 故有两人获得执业医师证书的概率为 1 18.(17分)某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名 年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~ 六组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]) 本频率/组距 0.07 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 202530354045年龄 (1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数及α的值： (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数： (3)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作 重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率， 7 【答案】(1)20，a=0.06(2)平均数为32.25，第80百分位数为37.5. 00 【分析】(1)先求出年龄在[40,45]内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值； (2)根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左 侧面积为0.8的线所对应的值： (3)先确定从第3,4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【详解】(1)由题意可知，年龄在[40,45]内的频率为0.02×5=0.1， 故年龄在[40,45]内的市民人数为200×0.1=20 由图可得：(0.01+0.02+0.04+0.07+a)×5=1,解得a=0.06: (2)平均数22.5×0.01×5+27.5×0.07×5+32.5×0.06×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=32.25 前三组的频率和为0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7， 第四组的频率为0.04x5=0.2,所以第80百分位数在第四组， 笔80百分位数为35+02X5=373 (3)易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3：2， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3,4组中分别抽取3人，2人 记第3组的3名分别为A,A,A,第4组的2名分别为B1,B2, 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为(A,A),（A,A),（A,B),(A,B2),(A,A), (A,B),(A2,B2),（A,B),（A,B2),（B,B2),共有10种 其中第4组的2名B,B2至少有一名被选中的有：（A,B),（A,B2),（A2,B),（A,B2), (A,B),（A,B2),(B,B2),共有7种， 所以至少有一人的年龄在[35,40)内的概率为10 19.（17分)1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利 的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征 精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加 三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主 安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获 得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编 号为“1,2,3,4,5”)，这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为4”或“5”，则获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则 获胜： 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为m,则获 胜 (1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； (2)当=4时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ (3)根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 【答案】Q游戏，游戏三获胜的概率分别为号，去 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】(1)根据古典概型可得所求概率： (2)当=4时，可求出游戏三获胜的概率，记事件E=“同学按自己选定的顺序参加三个 游戏，获得观影票”，事件M=“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”，事件N=“同 学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”，事件T=“同学按自己选定的顺序参加第三个 游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第三个游戏为游戏一、二、三的一个排列，则 事件，T依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜， 讨论第二个游戏选择游戏几时获得观影票的概率，比较即可： (3)当m=3,4,8,9时，同(2)，当m=5,6,7时，参考(2)，比较即可. 【详解】(1)记事件A=“同学参加游戏一获胜”，事件B=“同学参加游戏二获胜”，事件 C=“同学参加游戏三获胜”. 因为游戏一为从盒子中随机摸出一个小球，这个小球的编号为4”或“5”，则获胜， 所以P(子 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，这两个小球的编号均不小于“4”，则获 胜，即第一次摸出4或5%，第二次也摸出“4或5”，所以P(8)=x?4 5×525 (2)游戏三的所有样本点为 (1,2),(1,3),1,4),1,5)(2,1),(2,3),(2,4,(2,5),（3,1),(3,2),(3,4),3,5) (4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3)2(5,4)共20个， 当m=4时，获胜的样本点为1,3).(3,1)，有2个，所以P(C)=2010 21 记事件E=“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影票”， 事件M=“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”， 事件N=“同学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”， 事件T=“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第 三个游戏为游戏一、二、三的一个排列， 则事件M，T依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜 所以E=INT UMNTUMNT,其中M,N,T相互独立，MNT,MNT,MNT两两互斥， P(E)=P(MINT)+P(MNT)+P(MINT) =P(M)P(N)P(T)+P(M)P(NPT)P M NPt), 无论同学参加这三个游戏的先后顺序如何，都有P(M)P(W)P(T)=2×4×-4 Γ52510625 所以P(E)=P(N[P(P(T)+P(M)P(T】+A 625 所以，根据乘法交换律，第一个游戏和第三个游戏的位置不影响获得观影票的概率的大小， 其大小取决于第二个游戏的选择，下面以第二个游戏的选择为研究对象分三种情况进行讨论： ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 4(8)=2x31x4x9）+4-72457 4 61 5*(2510251062525506252525625625: ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 B(B)=4x 2x9+3×1+4=46 25(510510625625 ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为(8)=×？×13×4）+4-31 10(525'525'625625 因为(E)>(E)>(E), 所以为使获得观影票的概率最大，同学应将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在 游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏。 (3)考虑游戏三中m的所有取值情况，如下表所示： 第一次第二次 1 2 3 4 5 3 4 5 6 2 3 5 6 > 3 4 5 7 8 4 5 6 7 9 5 6 7 8 9 由表格知，P(m=3)=P(m=4)=P=8)片Pu=9上 0,P0u=-P0=可=Pm=7)- 当=3,4,8,9时，同学按(2)将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、 三中任选，进而确定第三个游戏 当m=5.67时，PM)P(WPT)=2×4×1-8 5255625 ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 网=器言)品器 ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 g)后品品 24.31）.852 ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 作器)意品 因为卫(E)>卫(E)>卫'(E),所以为使获得观影漂的概率最大，同学仍应将游戏一放在第 二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏， 综上，无论取何值，都应将游戏一置于第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在 游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏。