7.3离散型随机变量讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3离散型随机变量 班级 姓名 完成时间 知识点 1.数学期望/均值与方差、标准差 X X1 X2 Xn P P P2 … Pn 分布列性质：(I)0≤p,≤1(2)P1+P,+…+Pn=1 均值：反映随机变量取值的平均水平 E(X)=P1+x2P2+…+xPn 方差：反映了随机变量取值的离散程度，方差（标准差）越小，取值越集中 D(X)=(x-E(x)2·p,+(x2-E(x)2·P2+…+(xn-E(x》)2·Pn 标准差：σ(X)=√D(X) 2.两点分布(0-1分布) X 0 P 1-p p E(X)=0(1-p)+1×p=p 3.均值的性质：(1)若Y=X+b,则E(Y)=E(X)+b (2)若Y=aX,则E(Y)=aE(X) (3)若Y=aX+b,则E(Y)=aE(X)+b 4.方差的性质：(I)D(ax+b)=aD(x) (2)D(x)=E(X2)-(E(X)2 1 练习题 1.判断下列随机变量是否是离散型随机变量 (1)某型号彩电的寿命X（) (2)连续不断射击，首次击中目标所需的射击次数X()》 (3)一个袋子装有同样大小的5个白球，3个黑球，从中取3个球，其中黑球 的个数X（) (4)某工厂加工某产品产生的误差X() (5)连续不断抛两个质地均匀的骰子，所得点数之和为X() 2.某射手射击所得环数X的分布列如下，则P(X≤8)= X 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.05 0.14 n m 0.21 3.随机变量X的分布列如下，若E(X)=专，则a= X -1 0 1 1 3 6 4.己知随机变量X的分布列如下，若Y=3X-2,则E(Y)= X 0 1 2 P 1-2 m a-3 5.随机变量X的分布列如下，若E(3X+4)=5,则a+b= -1 0 2 P 5 b 1 12 4 4 6随机变量X的分布列如下，且E(X)=号 则D(X)= 2 X 0 1 2 P 0.2 P P2 7.若随机变量X满足E(2X+3)=7,D(2X+3)=16,则 E(X)= ,D(X)= 8.袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现在从中随机取 出3个球，随机变量X表示取出球的最小号码 (1)求X的分布列 (2)求X的取值不小于2的概率 9.某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记随机变量X表示某医 1,手术成功 生在一次模拟手术中的得分，且X ,求E(X) 0,手术不成功 10.已知随机变量X分布列如下，求D(X)和σ(2X+7) X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 3 答案 1.判断下列随机变量是否是离散型随机变量 (1)某型号彩电的寿命X（×)具体寿命不知多少，有长有短 (2)连续不断射击，首次击中目标所需的射击次数X(√)》 (3)一个袋子装有同样大小的5个白球，3个黑球，从中取3个球，其中黑球 的个数X（√) (4)某工厂加工某产品产生的误差X(×) (5)连续不断抛两个质地均匀的骰子，所得点数之和为X(√) 2.某射手射击所得环数X的分布列如下，则P(X≤8)=0.45 X 5 6 7 8 9 10 小 0.02 0.05 0.14 m m 0.21 解：由分布列性质可得：0.02+0.05+0.14+m+m+0.21=1,所以m=0.34 P(X≤8)=1-P(X=9)-P(X=10)=1-0.34-0.21=0.45 3.随机变量X的分布列如下，若E(X)=寺，则a= 6 X -1 0 1 a b 3 解：由分布列性质有a++b=1,且E(X)=-1×a+0x)+1xb= 3 2 1 a+b= a=- 即 3 ,所以 6 -a+b= b= 3 2 4.已知随机变量X的分布列如下，若y=3X-2,则E(Y)= X 0 1 2 1-3 1-2 m 解：由分布列性质有++m=1,所以m= 6 1 1 15 E(X)=0×3+12+2×G 2 66 E(Y)=E(3X-2)=3E(X)-2=3x3-2=1 6 2 5.随机变量X的分布列如下，若E(3X+4)=5,则a+b= 12 X -1 0 a 2 P 5 b 1 x 4 解：由分布列性质有5+b++=1所以6= 12 44 12 E(x)=-1×12 +0× +ax2+2x=+9 12 4124 又E3x+到=3(x)+4=3x分+骨+4=5，所以a=l 以a+b号 6.随机变量x的分布列知下，且(X)=号则D()=064 X 0 1 2 0.2 P P2 分布列性质有02+B+P,=山，且EXE0x02+1xP+2议2 所以p1=0.2,P2=0.6, D)=0-3x02+0-3×02+2-306=064 7.若随机变量X满足E(2X+3)=7,D(2X+3)=16,则E(X)=2,D(X)=4. 5 E(2X+3)=7mE(2X+3)=2E(X)+3=7 E(X)=2 解：由 得 ,所以 D(2X+3)=16 D(2X+3)=22×D(X)=16 D(X)=4 8.袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现在从中随机取 出3个球，随机变量X表示取出球的最小号码 (1)求X的分布列 (2)求X的取值不小于2的概率 解：(1)X的可能取值是1,2,3,4 C2=1 C20 X的分布列如下： X 1 2 3 力 1 3 3 2 10 20 20 @由)可得PX≥2EI-PX=D=2=为 所以X的取值不小于2的概率为2 9.某医生在一次模拟手术中，成功率是率失败的9倍，记随机变量X表示某医 1,手术成功 生在一次模拟手术中的得分，且X 0,手术不成功' 求E(X) 解：X的可能取值是0,1 P(X=1)=9P(X=0) P(X=1)=0.9 由题知 PX=)+PX=0)=1'所以 P(X=0)=0.1 X的分布列如下： X 0 P 0.1 0.9 6 E(X）=0×0.1+1×0.9=0.9 10.已知随机变量X分布列如下，求D(X)和σ(2X+7) X 2 3 P 0.2 0.3 0.4 0.1 解：E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4 D(X)=1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.9 D(2X+7)=2×D(7)=3.6 0(2X+7)=VD(2X+7)=0.6