湖北省部分省级示范高中2025-2026学年下学期中测试高一数学试卷

高一期中数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A C D B BD AC ACD 3v6 6 [3+1,3) 8 4 【8】内切球要求球心到所有面的距离相等，故半正多面体不存在内切球 【11】设圆锥的母线长为1，则以S为圆心，S4为半径的圆的面积为S=πl2,圆锥的侧面积S=πrl=3πl,因 为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周， 所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()°=120°，π严=3×3l,解得1=9，所以圆锥的母线长为9：圆 锥的侧面积S=3×π×9=27π，故A正确： 圆锥的高h=V2-T2=V92-32=6V2,则圆锥的体积V=m2.h=号π×32×6V2=18V2m,故B错误， 如图为圆锥沿A的侧面展开图，连接AA',则△ASA为等腰三角形，所以蚂蚁爬行的最短距离为AA'= 2×9×sin120°=9v3,故C正确. 0 设外接球半径R,则有R2=32+(6V2-R)子，解得R=2三 8 设内切球半径r,则有“？-解得r-号所以是-} 【14】f(x)=2i·i-V3=2V3sim2x+2sim2(x+)-V3=V3(1-cos2x)+1+sim2x-V3=1+ 2sin (2x-), 因为函数y=fx)-m在x∈[0，到内有两个零点，所以f6x)-m=0在x∈[0，到内有两个实根，得1+ 2sin(2x-）-m=0,即sim(2x-）="2， 即函数y=sin(2x-)在x∈[0，引上的图象与直线y=有两个交点， 当xe[0,时，2x-e[-,,画出y=sinz在2e【,上的图象如下， 结合函数图象可知，函数y=sin(2x-)在区间o,习上的图象与直线y= y=sinz m-1 2 7 有两个交点时，所以二c[),即m的取值范围是卧V3+1,3) 2 π2元之 【15】(1)设z=m+ni(m,n∈R), 23 2 因为z-|2z=-3v3-3i,则m+ni-2√m2+nz=-3vV3-3i, 故m-2vm2+n2=-3V3,解得m=V3故z=V5-3i, 6分 n=-3 (n=-3 (2)因为z是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根， 若z=V3-3i,则z=V3+3i也为实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根， 故331+5+31=-b,解得b=-2V3.c=12,故bc=-24W3.…13分 ((3-3i)(3+3i=c 【16】(1)由题意得，a=MN=(-1,1),b=MP=(1,3), 则2=1+1=2，b·=-1+3=2, 又(a+mb)1a,所以(a+mb)·a=a+mb·=2+2m=0,得m=-1;...7分 (2)b-a=(2,2),a+mb-(m-1,3m+1)） (石-a）(a+mb)=8m<0得m<0:。 .11分 又当b-a与a+mb共线时有2(3m+1)-2(m-1)=0,得m=-1,不符合题意 综上，m的取值范围为(-0，-1)U(-1,0)........15分 【17】(1)设等边三角形的边长为，则由三角形面积公式可得该三角形面积为a2sin60°-受a2,放正三棱柱 的体积y-誓×12×1-誓cm3, 正三棱台的体积2-×1×（停×12+9×2+停×12×9×2 =73 V4 cm3, 12 所以该零件的质量为侣+写×78=g, 所以该盒中共有零件650v3÷135=100个. .7分 (2)如图，设D,D1分别为三棱台所在棱的中点，O,O1分别为三棱台上、下底面的中心，连接001，OD, DD1,01D1 因为AD=1×sin60°-号cm,所以0D=×9-只。 同理可得0D=×受×2=9cm, 2 3 所以DD=00听+(0,01-0D-零cml0分 所以三棱台的侧面积为×(1+2)×四×3=3y丽cm2, 6 4 所以一个零件的表面积为3+9×12+9×2+1×1×3=3+33丽cm2. 4 因为(3+5y5+3)×100=300+125V3+75V39, 所以共需涂(300+125V3+75V39)cm2的材料..15分 【18】(1)由题可得2 cosAcosC(tanA+tanC)=tanB, 即2 cosAcosC（ (他Me4）=2in(4+G)-因为A+B+C=,sin8≠0， cosAcosC 所以2sinB=器即cosB=克因为Be0,3,所以B=号 4分 (2)由题意可得BD=(BA+BC),将等式两边平方得BD2-(⑧2+BC2+2BA·BC),因为BD=2,B 所以4=a2+c2+2 accosB)=a2+c2+ac), 由余弦定理得b2=a2+c2-2 accosB,因为b=2V2,所以8=a2+c2-ac, 联立4-a2+c2+ac),解得ac=4、可得5aAc=acsin=x4×兰-V5 2 10分 (8=a2+c2-ac (3)由正弦定理可得，a=4sinA,c=4sinC, 呢-=4s=46=23 16sinAsinc - sinAsin(g-A） 2sin(24+）-)+1_11-2co2(4+) 2sin4+g+1=2'2sin(4+9+1 -m6+月-ma+月-专a分 因为0<A<受0<受-A<克所以g<A<受sim(A+周)e(经，c(引 17分 【19】(1)①成立，②不成立.理由如下： 若a,别存在g实数以满五=瓜，因化-分所9①度之 →2 →2 若a1b,可得a.b=（(xe+y1e2)(x2e+y2e2)=x1x2ei+(xzh+x1y2)eie2+y12e2=x2+yi2+ (x2y1+x1y2)e1·e2, 则e·E2=旧ec0sa≠0，因此x12十2=0不成立，即②不成立.4分 (2)解：在α仿射坐标系中，由a=(-3,2),b=(-2,3), 可得d=-3e+2e2,b=-2e+3e2,且e·e2=1×1 x cosa=cosa, 所以川a=2=9e2+4e22-12e,e2=13-12c0sx, -2=4e2+9e22-128·e2=13-12cos,可得1=l1=V13-12cosa,7分 i.i=(-3e+2e2)(-2e+3e2)=6e2+6e2-13ee2=12-13c0sa, 因为向量a与6的夹角为可得cos导 ab 12-13cosa laV13-12cosaxV13-12cos@ 12-13c0s0= 13-12c0s 2 解得cos=14 11 ..10分 (3)解：在仿射坐标系中，B,C分别在x轴，y轴正半轴上， 设B6,0.c(0,c),其中b>0,c>0,∠B0C=所以g·= 因为0D-0C,点F分别为BC中点，可得D(0,,F,) 又因为E分别为BD中点，可得E,?, 所以F匠=(0，-9=-e2,BC=(-b,c)=-be+ce2, 可得F压8C=西·(-bg+c)-答可店-时2-g×生×1-告-号 因为F店8c-总所以g号-名即c-2c2=1,即b=2c+月 13分 又由向量o正=⑤，3=石+五，0示=，9=6+玩，且6=c0s骨= 所以0E.0吓=（可+）（可+）-”+可可+”-号+告+品 因为b=2c+2可得b2=(2c+月2=4c2++4,bc=(2c+3·c=2c2+1, 代入得0元0F-兰+2+号-c2+点+1+号+后+后=答+京+名15分 c2 1 7 4 6 6 当且仅当g=时，即c2=、层时，等号成立. 所以0正.0的最小值为厅+？=+？ 6 6 17分高一数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.若(2-)z=3+i(1为虚数单位)，则z=() A.1+i B.-2i C.2i D.1-i 2.设a,b为两个非零向量，则“a·b>0”是“存在正数，使得a=b”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列说法正确的是有( A.正四面体就是正三棱锥 B.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C.圆锥的轴截面是圆锥所有过顶点的截面中面积最大的 D.七面体可以有10个顶点，5条侧棱 4.已知圆柱的上，下底面的中心分别为01,02，过直线0102的平面截该圆柱所得的截面是面积为 16的正方形，则该圆柱的体积为( A.16 B.12元 C.10 D.8 5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-ccosB=b-ccosA,且c2=a2+b2-ab, 则△ABC的形状为() A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形 6.欧拉公式ei=cos0+isin0(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧 拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式， 化简(e)2026+e的结果为( ) A.竖+9i 2 B.1-1 c.9+9 D.2i 7.已知H为△ABC的垂心，若A丽-AE+AC,则sin4BAC=（ ) A.9 B. 2 C.压 D. 高一数学第1页共4页 8.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它 体现了数学的对称美。如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八 个一样的四面体得到的二十四等边体，若它所有的棱长都为2。则下列结论中，错误的是() A.该石凳的表面积为24+8V3 B.该石凳的体积为40区 3 C.有内切球，且内切球的体积为8 3 D.有外接球，且外接球的表面积为16π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列结论正确的是() A.若m2-1+(m+1)i≥0，则实数m的取值范围是(-∞，-1]U[1,+∞) B.若复数z满足2≤|z≤3，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为5元 C.复数(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i,(m∈R)在复平面内对应的点不可能在第二象限 D.设z1,22均为复数则z22十z1五∈R 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a、b、c.若b=4,LC=子，则( A.c=2V3时，△ABC外接圆周长为4元 B.c=V3时，△ABC的面积为2V3 C.c=时，sinB-定大于sinA D.c=3V3时，△ABC有两解 11.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动， 当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则( ) A.圆锥的侧面积为27π B.圆锥的体积为54V2π C.若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A,则爬行 的最短距离为9v3 D.圆锥的外接球与内切球半径比值为 S 高一数学第2页共4页 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.边长为1的正六边形的直观图的面积是 13.已知平面向量a,方，满足==1，反-2=2，则向量+在向量方上的投影向量为 14. 已知向量立= (sinx,sin2(x+),市=(V3sinx,1),函数f)=2立：节-V3,若函数y= f(x)-m在x∈0，习内有两个不同的零点，则实数m的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.己知复数z满足z-12z=-3V3-3i. (1)求： (2)若z是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，求方程的另一个根和bC的值. 16.在平面直角坐标系中，M(-2,0),N(-3,1),P(-1,3),设a=MN,b=MP. (1)若(a+mb1d,求m的值； (2)若b-a与a+mb的夹角是钝角，求m的取值范围. 17.如图，某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成，已知正三棱柱的底面边长与高均为 1cm,正三棱台的下底面边长为2cm,且正三棱台的高为1cm,现有一盒这种零件共重650v3g(不 包含盒子的质量)，取铁的密度为7.8g/cm3, (1)试问该盒中有多少个这样的零件？（质量=密度×体积） (2)如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，试问共需涂多少cm2 的材料？ 高一数学第3页共4页 18.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,2 cosAcosC=tanB tanA+tanC (1)求角B: (2)若AC=2V2,AC边中线BD长为2，求△ABC的面积； (3)当AC=2V3时，△ABC的面积为S,周长为L,求的取值范围. 19.如图所示，设0x,Oy是平面内相交成a(0<a<)的两条射线，e,e2分别为Ox,Oy同向的单 位向量，定义平面坐标系x0y为仿射坐标系。在a仿射坐标系中，若OP=xe+ye2,则记0P= (x,y). B衣 (1)α仿射坐标系中，d、b为非零向量，d=(x1,y1),b=(x2,y2),以下两个结论①若d/乃，则x1y2= x2y1;②若石1万，则x1x2+y1y2=0是否一定成立？（请说明理由） (2)在α仿射坐标系中，若d=(-3,2),b=(-2,3),且a与的夹角为；，求cosa的值； (3)如图所示，在仿射坐标系中，B,C分别在x轴，y轴正半轴上，正.BC=各O币=0C,点E,F 分别为BD,BC中点，求OE.OF的最小值 高一数学第4页共4页