第四章 因式分解章节测验 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第四章 因式分解 2025-2026学年初中数学八年级下册 章节测验（北师大版） 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题（共30分） 1．（本题2分）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 2．（本题2分）若，则的值等于（    ） A． B．0 C．2 D．3 3．（本题2分）已知，则代数式的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 4．（本题2分）如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 5．（本题2分）如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 6．（本题2分）下列各式从左到右的变形，是彻底的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题2分）将代数式分解为几个整式的积，其中一个整式是（    ） A．a B． C． D． 8．（本题2分）已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．（本题2分）已知互不相等的实数a、b、c满足，，，则以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题2分）琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 11．（本题2分）已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．②④ 12．（本题2分）定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．28是“豫数” B．32是“豫数” C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2 13．（本题2分）已知整式，其中为正整数，为自然数，且整式从左到右的奇数项系数的和与偶数项系数的和的乘积为，下列说法： ①满足条件的所有整式中存在单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，不存在其中的两个分解因式后含有相同的多项式因式； ③当时，满足条件的整式共有36个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（本题2分）如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖．如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为．若地砖与台面的边长均为整数（单位：），则台面与这种型号的地砖边长相差（    ） A． B． C． D． 15．（本题2分）年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（） A． B． C． D． 二、填空题（共8分） 16．（本题2分）已知，则的值是_________． 17．（本题2分）若，则表示的多项式是_____． 18．（本题2分）对多项式用提公因式法分解因式，应提取的公因式是__________． 19．（本题2分）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________． 三、解答题（共62分） 20．（本题6分）因式分解： (1) (2) (3) (4) 21．（本题6分）如图，数轴上点，分别表示数，． (1)______0，______0（用“”、“”和“”填空）； (2)比较与的大小，并说明理由． 22．（本题8分）因式分解或求值 (1)因式分解：①；②． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 23．（本题8分）判断下列命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)若为正整数，则能被24整除． 24．（本题8分）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形 (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A．        B．         C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值． ②计算： 25．（本题8分）现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式． (1)请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）_____________； (2)请利用图1的卡片，若想得到面积为的图形，需要卡片A____张，卡片B____张，卡片C____张． 26．（本题9分）有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． (1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． (2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (3)若满足，求代数式的值． 27．（本题9分）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章 因式分解 2025-2026学年初中数学八年级下册 章节测验（北师大版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D C D A D D B 题号 11 12 13 14 15 答案 C A B B D 1．A 【分析】利用平方差公式分解原式，再代入已知条件逐步化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 2．D 【分析】利用非负数的性质求解，算术平方根和完全平方都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此求出a，b的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， 解得 ，， ∴． 3．C 【分析】先利用完全平方公式对所求代数式因式分解，再代入x的值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 4．D 【分析】本题先对所求多项式因式分解，再利用整体代入法代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 当，时， ． 5．C 【分析】利用平方差公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 6．D 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式是因式分解，但分解的不彻底，选项A不符合题意； B、等式右边，不是几个整式乘积的形式，则选项B不符合题意； C、该变形是将几个整式的积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，则选项C不符合题意； D、等式左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且分解彻底，符合因式分解的定义，则选项D符合题意． 7．A 【详解】解：∵， ∴代数式可分解为和，选项中只有符合要求． 8．D 【分析】本题采用作差法比较大小，对作差的算式利用完全平方公式化简，再根据平方数的非负性即可判断与的大小关系． 【详解】解： ∵任何实数的平方都满足， ∴ ， 即． 9．D 【分析】先利用两个已知等式相等，推导a与b的关系，再代入原式求出c的值，最后代入计算判别式，判断各选项的正误． 【详解】∵ ， ∴ 整理得 ， 因式分解得 ∵ 互不相等， ∴ ， ∴，故选项A正确，故本选项不符合题意； 由得 ，代入得： ，即 ，得 ， ∴ ，故选项B正确，故本选项不符合题意； 将，代入得： ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ，故选项C正确，故本选项不符合题意； ∵ 恒大于0，不可能等于0， ∴ 的结论不正确，故选项D错误，故本选项符合题意； 10．B 【详解】解：①； ②，无法使用平方差公式进行因式分解； ③； ④， 该题是②无法使用平方差公式进行因式分解． 11．C 【分析】根据同底数幂乘除法则，结合平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，即， 由得，因此， ∴，故②错误； 由，得，， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， 又，∴， ∴，故④正确； 综上，正确结论为①③④． 12．A 【分析】先设两个连续偶数，利用平方差公式推导出“豫数”的一般形式，再结合各选项判断正误． 【详解】解：设两个连续偶数分别为和（为整数，）， ∵ “豫数”可表示为两个连续偶数的平方差， ∴ 豫数 豫数是乘以奇数． 对选项逐一判断： A、，是奇数，且，符合“豫数”定义，选项正确； B、，是偶数，不符合“豫数”定义，选项错误； C、当时，得到最小豫数为，不是的倍数，选项错误； D、最小豫数为，选项错误． 13．B 【分析】设奇数项系数和为，偶数项系数和为，由题意得 ，均为正整数，依次判断三个说法的正误，统计正确结论的个数即可． 【详解】解：设从左到右奇数项系数和为，偶数项系数和为， ， ， ，，即均为正整数． 判断①： ，，说明奇数项至少有一个非零系数，偶数项也至少有一个非零系数，因此整式至少有两项，不存在单项式，故①错误． 判断②：当时， ，，其中，，存在两个整式：，，分解后都含有因式，故②错误． 判断③：当时， ，左到右依次为(奇项)， (偶项)，(奇项)，(偶项)，因此，，，为自然数．所有正整数对为，，，分别计算个数： ： ，自然数解共组； ，，解共 组，共个； ： ，解共组； ，，解共组，共个； ： ，解共组； ，，解共组，共个； ： ，解共组；，，解共组，共个； 总个数为 ，故③正确． 综上，只有个说法正确． 14．B 【分析】设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为，根据用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，超出台面部分的面积为，得到，进而得到，再根据地砖与台面的边长均为整数结合，可得，解方程组即可解答． 【详解】解：设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为， 根据题意，得，则， ∵地砖与台面的边长均为整数，且， ∴， 解得， 则， ∴台面与这种型号的地砖边长相差． 15．D 【分析】先对多项式因式分解，代入已知，得到三个因式的结果，密码由这三个结果排列得到，对比选项即可得到不可能的密码． 【详解】解：∵ ∴将，代入各因式得，，， ∴三个因式的结果为，，，密码由这三个数按不同顺序排列得到， 对比选项，只有选项包含，缺少，不符合题意． 16． 【详解】解：∵， ∴ ． 17． / 【分析】先将等式右侧的多项式利用平方差公式因式分解，即可求出多项式． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 18． 【分析】解题思路是分别确定系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，再组合得到公因式即可． 【详解】解：系数的最大公约数， 相同字母的最低次幂：多项式中各项都含有的相同字母是，的最低次幂是，仅在第二项出现，不纳入公因式， 因此，应提取的公因式是． 19． 大 9 【分析】仿照小李同学的思路，由表示，代入 ，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴ ， ， ∴， ∴有最大值9． 20．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （4）利用平方差公式、合并同类项法则、提取公因数进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．(1)， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题； （2）根据题意，利用作差法进行计算即可． 【详解】（1）解：由所给数轴可知，且， 则，． （2）解：，理由如下： ． 因为，， 所以， 所以． 22．(1)①；② (2)另一个因式是，的值为 【分析】（1）①提公因式，即可求解；②根据平方差公式因式分解即可求解； （2）设另一个因式为 ，根据多项式的乘法计算，对比多项式的各项，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：设另一个因式为 由题意得： ∴， 解得：， ∴另一个因式是，的值为 23．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据要求举反例即可； （2）利用平方差公式进行因式分解后，进行判断即可. 【详解】（1）解：是假命题； 当时，， ∵， ∴但， 故原命题是假命题； （2）解：是真命题，理由如下： 原式 ， ∵为正整数， ∴为正整数，且是两个连续的正整数， ∴一定能被2整除， 又∵一定能被12整除， ∴能被整除. 24．(1)B (2)①；② 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可； ②利用平方差公式将原式变形即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以. （2）解：①∵， ∴， 又∵， ∴， 答：的值为3； ② ． 25．(1) (2)2，5，3 【分析】（1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案； （2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， 图3的面积为， 又图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ． （2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的 同理可得； 26．(1)； (2)图中阴影部分面积为； (3)代数式的值为． 【分析】（）根据图示面积的表示方法即可求解； （）连接，设正方形的边长为，正方形的边长为，则有，，故，然后通过即可求解； （）设，，则，，故，通过变形，所以，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：图中大正方形的面积为，个小方块的面积和为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，连接，设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 27．(1) (2)7 (3)1 【分析】本题考查配方法，涉及公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据公式可直接得出答案； （2）根据题目要求配方得，利用平方的非负性即可求解； （3）根据题目要求配方可得，利用平方的非负性即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得，， 则，， 故． （3）解：， ， ， 即的最小值为1． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $