专题04二元一次方程组期末复习讲义 (26大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题04二元一次方程组期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.精准区分二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解，能根据定义判断正误、求字母取值。 2.理解消元思想，牢记代入消元、加减消元原理，熟记两种解法解题步骤。 3.梳理行程、利润、配套、工程四大类应用题等量关系，掌握建模依据。 4.了解同解方程组、看错系数、整体代入类题型的基础知识点。 1.能根据方程组系数特征，自主优选消元方法，提升简便运算能力。 2.从文字题干提取已知量、未知量，找准等量，建立二元一次方程模型。 3.运用整体思想简化复杂方程组计算，能处理含参数、同解综合题型。 4.规范书写解题步骤，养成审题、检验答案的习惯。 1.基础题：选择填空（概念辨析、简单求值）、常规解方程满分，减少计算失误。 2.中档题：实际应用题规范列式、分步书写，保证列式得分、计算少丢分。 3.拔高题：熟练套路，攻克同解方程组、看错系数、方程组与不等式结合考题，拿下压轴小问。 题型01二元一次方程的定义及解 题型02.二元一次方程组的判定 题型03.二元一次方程组解的判定 题型04.由二元一次方程组的解求参数 题型05.代入消元法和加减消元法 题型06.方程组的特殊解法 题型07.错解复原问题 题型08.构造方程组求解 题型09.由方程组解的情况求参数 题型10.方程组相同解问题 题型11.三元一次方程组的定义及解 题型12.三元一次方程组的应用 题型13.由实际问题列方程组 题型14.由几何图形列方程组 题型15.方案问题 题型16.行程问题 .题型17.工程问题 题型18.数字问题 题型19.年龄问题 题型20.分配问题 题型21.销售利润问题 题型22.和差倍分问题 题型23.几何问题 题型24.图表信息问题 题型25.古代问题 题型26.其他实际问题 知识点01:核心概念板块【选择、填空必考】 1. 二元一次方程 (1).定义：含有两个未知数，含未知数项的次数都是1，整式方程； (2).易错三点：①未知数 2 个；②未知数次数为 1（不含x2、xy)）；③分母不含未知数（非分式）； (3).解：使方程左右相等的未知数的值，一个二元一次方程有无数组解。 2. 二元一次方程组 (1).定义：由两个二元一次整式方程组成，一共两个未知数； (2).方程组的解：同时满足两个方程的一组未知数的值 (3).方程组解的三种情况 对于方程组 ： ①若 ，则有唯一解； ②若 ，则无解 ③若 ，则有无数组解。 (4).易错考点：已知解反向求参数、根据定义求字母取值（期末高频小题） 知识点02:两种解法核心（本章重中之重） (1)代入消元法 适用场景： ①某一个未知数系数为1；②方程组中已有y=kx+m形式。 解题步骤：一变形，二代入，三求解，四回代，五写解 拓展：整体代入法（简便运算，不用拆括号）。 代入消元易错点｜避坑提醒 1.变形时移项忘记变号（如把x−y=3变形为x=y−3，错误！正确是x=y+3）； 2.代入时，漏乘系数（如把x=y+3代入2x+3y=16，写成2y+3+3y=16，漏乘 2）； 3.回代时，代入原方程，计算繁琐易出错（建议代回变形后的式子，更简单）。 （2）加减消元法（考试主流解法） 适用场景：相同未知数系数相等或互为相反数；系数成整数倍数。 解题五步：定消元未知数⇒同乘倍数统一系数⇒加减消元⇒求解一元一次⇒回代。 系数无倍数：找两个系数最小公倍数，两个方程同时变形。 加减消元易错点｜避坑提醒⚠️ 1.系数统一时，漏乘方程中的常数项（如把2x+5y=13×2，只乘 2x 和 5y，漏乘 13）； 2.两个方程相减时，后面方程的每一项都要变号，容易漏变常数项； 3.消元后，求解一元一次方程时，符号出错、计算失误； 4.回代时，代入的方程太复杂，增加计算难度（优先选系数简单的方程） 补充：特殊简便解法 1.轮换对称方程组：整体相加、整体相减快速求解； 2.换元法：含复杂整体（如\(x+2、y-1\)），设新字母简化方程组。 消元方法 适用特点 核心优点 易错点 代入消元法 有未知数系数为 ±1，式子易变形 计算简单，步骤少，不易错符号 移项变号、代入漏乘 加减消元法 未知数系数相等 / 相反 / 成倍数 不用分式变形，消元速度快 漏乘常数项、相减漏变号 ✨ 选择口诀：系数有 ±1，代入最省力；系数成倍数，加减更快速 知识点03:标准解题六大步骤 步骤 核心要求 注意事项 1.设 设两个未知数（直接 / 间接设元） 规范表述，如 “设单价为 x 元，数量为 y 个”，避免模糊 2.找 提取两组独立等量关系 关键词：一共、比… 多 / 少、倍、配套、相遇等 3.列 依据等量关系列二元一次方程组 两个方程必须独立，不能重复 4.解 选用代入 / 加减消元法求解 计算仔细，避免符号、漏乘错误 5.验 ① 检验是否满足方程组② 检验是否符合实际意义 人数、物品数量必须为正整数，价格不能为负 6.答 完整写出答句，对应设元 不漏写单位，语句通顺 知识点04:三元一次方程组及其解法 1. 三元一次方程 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d（a、b、c、d为常数，a0，b0，c0）。 2. 三元一次方程组 定义：由三个一次方程组成并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3. 解法（核心：消元→二元→一元） 基本思路：通过代入法或加减法，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组，最后回代求出第三个未知数。 步骤： 1 消：利用代入或加减，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ② 解：解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③ 回代：将这两个值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值；④ 写：写出三元一次方程组的解（用大括号联立三个未知数的值）。 知识点05:高频题型拆解 1. 和差倍分问题（基础必拿分） 核心特征：出现 “和、差、倍、分” 关键词 等量关系模板： 和：x+y=总量 差：x-y=相差量 倍：x=ky（k为倍数） 2.购物 / 销售利润问题（高频） 核心公式：利润售价进价；利润率；售价标价折扣。 等量关系模板： 场景 等量关系 两种商品 ① 数量和 = 总数量② 总价和 = 总金额 利润问题 ① 利润 = 单件利润 × 数量② 成本 + 利润 = 售价 3. 分配 / 配套问题（中档拉分题） 核心特征：人员 / 物品分配、零件配套 等量关系模板： 类型 等量关系 分配问题 ① 总人数 / 总量 = 甲 + 乙② 甲 = k乙（比例关系） 配套问题 A×m=B×n（m,n为配套比例，如1个机身配2个机翼：机身×2=机翼） 4.行程问题（重点难点） 核心公式：路程 = 速度 × 时间（s=vt） 等量关系模板： 类型 等量关系 相遇问题 甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及问题 快者路程 - 慢者路程 = 初始距离 环形跑道 相遇：路程和 = 一圈长 追及：路程差 = 一圈长 5. 工程问题（逻辑难点） 核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 等量关系模板： 合作问题：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量（设总工作量为 1） 分段问题：前段工作量 + 后段工作量 = 总工作量 6.数字 / 年龄 / 几何 / 图表问题（拓展题型） 题型 核心技巧 数字问题 两位数 = 10× 十位 + 个位，注意数位交换 年龄问题 年龄差不变，时间变化同步加减 几何问题 周长 / 面积 / 边长关系，结合图形性质 图表问题 从表格 / 统计图提取数据，转化为等量关系 知识点06:高频易错点避坑指南 易错类型 具体表现 避坑方法 审题失误 只找一组等量关系，列不出方程组 圈画关键词，反复读题，确保两组独立关系 设元不规范 模糊表述，漏写单位 明确 “设 XX 为 x（单位）”，如 “设速度为 x km/h” 计算错误 符号错误、漏乘、约分错误 消元后分步计算，代入简单方程回代 忘记检验 出现负数、小数人数等不合理结果 解完后必验：是否满足方程？是否符合实际？ 答题不完整 漏写答句、单位，答非所问 严格按 “设→找→列→解→验→答” 流程，答句对应设元 题型01二元一次方程的定义及解 1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据二元一次方程的定义判断即可，二元一次方程需要满足三个条件：是整式方程，一共含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1． 【详解】∵ 选项A中，是分式，方程不是整式方程，∴ A不符合要求； ∵ 选项B中，不是整式，含未知数的项次数不为1，∴ B不符合要求； ∵ 选项C中，是整式方程，含有2个未知数，且所有含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程的定义，∴ C符合要求； ∵ 选项D中，项的次数为2，不符合项的次数为1的要求， ∴ D不符合要求． 2．若是方程的一个解，则m的值是（     ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，将给定的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是方程 的一个解， ∴将, 代入方程得：， 整理得 ， 解得：． 3．若是关于，的二元一次方程，则________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，得到关于的不等式和含绝对值的方程，求解即可得到结果． 【详解】∵是关于，的二元一次方程， ∴，， 由， 解得； 由， 解得或； 综上所述，． 4．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有________种购买方案，其中甲奖品最多能购买________． 【答案】 件 【分析】设购买甲奖品x件，乙种奖品y件，列出关系式，并求出，由于，且x，y都是正整数，所以y是4的整数倍，由此计算即可． 【详解】解：设：购买甲奖品x件，乙种奖品y件， ，解得， ∵，且x，y都是正整数， ∴y是4的整数倍， ∴时，， 时，， 时，， 时，，不符合题意， 故有3种购买方案，其中甲奖品最多能购买9件． 题型02.二元一次方程组的判定. 5．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义逐一判断选项即可，二元一次方程组需满足：共含有两个未知数，所有未知数的项的次数都是1，且均为整式方程． 【详解】解：∵选项A中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意． ∵选项B中方程里，项的次数是2，不满足所有未知数的项的次数都是1的要求，不是二元一次方程组，符合题意． ∵选项C中两个方程整理后均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意． ∵选项D中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意． ∴答案选B． 6．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握“方程组中共含有两个未知数，含未知数的项的最高次数是1，两个方程都是整式方程，具备这几个条件的方程组是二元一次方程组”是解题的关键．根据二元一次方程组的定义，需满足：①两个未知数；②每个方程均为一次整式方程． 【详解】解：A、含三个未知数，不符合“二元”条件，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意． B、第一个方程为分式方程，非整式方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意． C一个方程为二次方程，非一次方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意． D、两个方程均为一次整式方程，且仅含两个未知数．第二个方程可视为，符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故此选项符合题意． 故选：D． 7．李老师要求四位同学各编一个二元一次方程组，那么下面各方程组符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．分母含有未知数，不是二元一次方程组； B．符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； C．最高项次数是2，不是二元一次方程组； D．最高项次数是2，不是二元一次方程组． 题型03.二元一次方程组解的判定 8．已知是二元一次方程的两个解，是二元一次方程的两个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程、二元一次方程组的解，掌握相关定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的解是两个方程公共的解即可求解． 【详解】解：是二元一次方程的两个解，是二元一次方程的两个解， 二元一次方程组的解是， 故答案为：A． 9．下列表格中，表1中每对x，y的值都是方程的解，表2中每对x，y的值都是方程的解，所以方程组的解为（    ）． 表1 x 0 1 2 y 1 表2 x 0 1 16 y 1 11 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程组的解，掌握好方程的解的意义是关键． 通过对比表1和表2，找出一对同时满足两个方程的解，即该对解在表1和表2中均出现． 【详解】解： 表1中，当时，，满足方程； 表2中，当时，，满足方程； ∴方程组解为． 故选：C． 10．已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键． 题型04.由二元一次方程组的解求参数 11．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则__． 【答案】6 【分析】把代入，可得，的值，即可求解． 【详解】解：把代入得，， 解得， ∴． 12．已知关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则m的值为_________． 【答案】2 【分析】根据相反数的性质得到，代入方程组得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：方程组为， ∵x与y互为相反数， ∴， 将代入①得， 可得③， 将代入②得， 可得④， 联立③④得，解得． 13．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用得：，即可得到，再将，代入即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型05.代入消元法和加减消元法 14．解二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将②代入①得， 解得， 将代入②得， ∴原方程组的解为； （2）解： 由①得， 将③代入②得， 解得 将代入①得 ∴原方程组的解为 15．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得，解得， 把代入①得，解得 ∴原方程组的解为． 16．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ， 由②得， 将③代入①得， 整理得， 解得 ， 将代入③得， 则原方程组的解为； （2）解： ， 整理①得 ， 得， 得， 解得 ， 将代入③得， 解得， 则原方程组的解为； （3）解：， 得， 解得， 将代入②得， 解得， 则原方程组的解为； （4）解：， 得， 得， 解得， 将代入②得， 解得， 则原方程组的解为； （5）解：， 得， 解得， 将代入①得， 解得， 则原方程组的解为； （6）解：， ①同乘得， ②同乘得， 得， 得， 解得， 将代入③得， 解得， 则原方程组的解为． 题型06.方程组的特殊解法 17．若，则______． 【答案】3 【详解】解：， ①+②，得 ， ∴． 18．若关于，的方程组的解满足，则______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的解的关系求参数，运用整体思想求解即可，将方程组中两个方程相减整理得到关于的表达式，再结合已知条件列方程求解即可． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得． 19．阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以使用“整体代入”的思想来简化计算． 解：将方程①变形为，即．将其代入方程②，得，解得．将代入①，得．所以原方程组的解为． 问题： (1)请用“整体代入”法解方程组． (2)若关于x、y的方程组，请问这个方程组有解吗？若有，请直接写出它的解；若无，请说明理由． (3)已知x、y满足，求的值． 【答案】(1) (2)该方程组有无数个解，其解为（t为任意实数） (3)无法确定的值 【分析】（1）使用“整体代入”的思想解方程组即可． （2）根据第二个方程是第一个方程的2倍，两个方程表示的是同一个二元一次方程，有无数个公共点，故该方程组有无数个解． （3）同（2）可知该方程组有无数个解．故无法确定的值． 【详解】（1）解： 由①得：， 将整体代入②，得， 去括号、合并同类项：，即， 解得：， 将代入①，得，解得， ∴ 方程组的解为； （2）解：有无数解， 理由：第二个方程是第一个方程的2倍， 两个方程表示的是同一个二元一次方程，有无数个公共点，故该方程组有无数个解， ∵（x为任意实数）， ∴其解为（t为任意实数）． （3）解：无法确定的值， 理由：方程组中，第二个方程是第一个方程的2倍，实际上只有一个独立方程，x、y的值不唯一，因此的值无法确定． 题型07.错解复原问题 20．在解关于，的方程组时，甲看错了①中的，解得；乙看错了②中的，解得．则正确的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：将代入得，， 解得； 将代入得，， 解得； ∴正确的方程组是． 21．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则______． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解． 根据甲看错了方程①中的a，②没有看错，代入②得到一个方程求出b的值，乙看错了方程②中的b，①没有看错，代入①求出a的值，然后再把a、b的值代入代数式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 则 故答案为：0． 22．小颖在解方程组 时，本应解出，由于看错了系数 ，得到的解为 ．试求 、、 的值． 【答案】，， 【分析】将代入方程组得到，将代入方程得到，进而即可求出a，b，c的值． 【详解】解：将正确的解 代入原方程组得 ， 由可得：， 解得：． 看错得到的解 满足方程， ∴． ∴， 得 ， 把代入②得：， 解得：． ∴，，． 题型08.构造方程组求解 23．若单项式与是同类项，__________． 【答案】 【分析】根据同类项的概念，同类项中相同字母的指数相等，据此列出方程，求出和的值，再计算即可． 【详解】解：与是同类项， ， 解得， 则． 24．对于实数定义新运算：，其中为常数，已知，，则______． 【答案】5 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组的求解，解题的关键在于根据新运算的定义，结合已知条件列出关于、的方程组，求解出、的值，再代入新运算中计算的值． 【详解】已知，且，，将其分别代入新运算中可得： ，即， 移项可得， 移项可得，两边同时除以，得到， 联立方程组，①+②得，解得． 将代入②得，解得， 将 ， 代入 中，可得 ， 再将 ， 代入上式可得：， 去括号得，实数运算得． 25．对于实数x、y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据新定义的运算规则，结合已知条件列出关于,的二元一次方程组，解出,后计算的值即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 解得：， ∴． 26．规定：形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中，由这两个方程组成的方程组叫做“共轭方程组”，其中常数，称为“共轭系数”． (1)由方程和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ； (2)若关于，的二元一次方程组是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数； (3)若关于，的“共轭方程组”有无数多个解，求共轭系数，应满足的条件． 【答案】(1) (2)共轭系数为， (3)，可取任意数或， 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，注意计算的准确性即可． （1）由题意得：方程的“共轭二元一次方程”为：，求解方程组即可； （2）由题意得：，据此即可求解； （3）由消去得③，由题意得方程③有无数个解，推出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：方程的“共轭二元一次方程”为：， 解方程组得：， 故答案为：； （2）解：由题意得：，解得， 故， 故共轭系数为，； （3）解：由消去得③， 原方程组有无数解，则方程③有无数个解，则， 则或． 题型09.由方程组解的情况求参数 27．已知关于、的方程组的解满足，则的值为_______． 【答案】 【详解】解： 得， 根据题意得， ∴． 28．已知方程组的解满足，则的值为________． 【答案】 【分析】将方程组中两个方程相加，提公因式整理得到含与的关系式，再代入已知求解即可． 【详解】解： 得：， 提公因式得：， ∵方程组的解满足， ∴， 解得． 29．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， 故k的值为， 故选：A． 30．已知关于、的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)已知当取不同值时，关于、的方程总有一组公共解，求出这组公共解． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）把y看作已知数表示出x，进而确定出方程的正整数解即可； （2）由题意得：，解方程组求解，，再把，的值代入，从而可得答案； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，， ∴方程的所有正整数解为，． （2）解：联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3）解：，即总有一组公共解， 方程的解与无关， ，， 解得：，． 则方程的公共解为． 题型10.方程组相同解问题 31．已知关于的方程组和的解相同，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可求出的值． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 代入得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 32．若方程组的解是，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】参考题中思路，将所求方程组的两个方程两边同时除以6，通过换元替换，与已知解的原方程组对比求解即可． 【详解】解：将方程组两边同时除以6得， 该方程组与原方程组结构相同， 由原方程组的解为，可得， 解得． 33．若方程组的解与方程的一组解相同，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知原方程组的解满足，因此先联立和求出公共解，再将解代入含的方程即可求出的值． 【详解】解：∵原方程组的解与的解相同， ∴联立， 解得：， 将，代入得： ， 展开得：， 解得：． 34．已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求出a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据方程组有相同的解得到和，先根据得到，再代入求解即可； （2）将a、b的值代入计算即可． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； 将代入得， 解得：； （2）解：． 题型11.三元一次方程组的定义及解 35．三元一次方程组，的解为________． 【答案】 【分析】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是掌握消元法求解三元一次方程组．利用消元法求解三元一次方程组即可． 【详解】解： 由可得： 由可得： 将，代入可得： 解得 将分别代入，可得，， 则方程组的解为； 故答案为：． 36．某学习小组在研究数学问题时发现：方程只有1组正整数解，方程只有2组正整数解，方程只有3组正整数解…那么方程的正整数解有（    ） A．9组 B．28组 C．36组 D．45组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于时对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，，，，， ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 37．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解得即可； （2）利用加减消元法解得即可． 【详解】（1）解： 由得：， 即④， 由得：⑤， 由得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 所以原方程组的解为； （2）解： 由得：④， 由得：⑤， 由得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 题型12.三元一次方程组的应用 38．小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱______． 【答案】 【分析】设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元，根据题意列出两个方程，得到三元一次方程组，整理求出的值，即可求解． 【详解】解：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元， 根据已知条件，列出方程组， ，得 ， ∴， ∴． 所以小莹应付元． 39．一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时船内已经进入了一些水，如果9个人淘水，4小时淘完，如果6个人淘水，10小时才能淘完，假设每个人向外淘水的速度一样，现在要在两个小时内淘完，需要（　　）人． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】设x为原有水量，y为每小时进水量，z为每个人每小时向外淘水量，根据“如果9个人淘水，4小时淘完；如果6个人淘水，10小时才能淘完”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可用含z的代数式表示出x，y值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设x为原有水量，y为每小时进水量，z为每个人每小时向外淘水量， 依题意，得： ． 解得 ， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 40．在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：由②－①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)已知，求的值． (2)某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 【答案】(1)3 (2) 购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元 【分析】（1），即可得出结果； （2）设1本笔记本的费用为元，1支签字笔的费用为元，1支记号笔的费用为元，根据题意，列出方程组，利用整体求值法求解即可. 【详解】（1）解：， ，得， ∴； （2）解：设1本笔记本的费用为元，1支签字笔的费用为元，1支记号笔的费用为元， 由题意， ，得， ∴（元）； 答：购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元. 题型13.由实际问题列方程组 41．某校计划组织545名师生前往“闽东苏区红色”基地开展研学活动．某旅游公司派出11辆A，B型客车，所有客车刚好坐满，没有空位，其中A型客车可承载45人，B型客车可承载55人．求该旅游公司派出A，B型客车各多少辆？若设该旅游公司派出A型客车辆，B型客车辆，根据题意，已经列出一个方程是，则可列出的另一个方程是________． 【答案】 【分析】根据等量关系“A型客车承载人数+B型客车承载人数=总人数”结合两种车型的载客量推导另一个方程即可． 【详解】解：设派出A型客车辆，则A型客车总承载人数为；B型客车辆，则B型客车总承载人数为， 由题意，得． 42．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果、苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个等量关系：999文钱买了甜果和苦果共1000个，分别列出方程，即可得到方程组． 【详解】解：∵设甜果个，苦果个，甜果和苦果共个， ∴可得方程， ∵文钱可买个甜果，文钱可买个苦果， ∴单个甜果价格为文，单个苦果价格为文， ∵总花费为文， ∴可得总花费方程， 综上，方程组为． 43．某中学“徽风皖韵”非遗文创社团，用泾县宣纸制作成套的文房主题文创纪念品书签，每套纪念品书签由张宣纸主卡和若干徽墨描金配饰组成．已知制作张宣纸主卡和个描金配饰共需消耗宣纸平方尺，制作张宣纸主卡和个描金配饰共需消耗宣纸平方尺．求制作张宣纸主卡和个描金配饰分别需要消耗多少平方尺的宣纸． 【答案】 制作1张宣纸主卡需要消耗平方尺宣纸，制作1个描金配饰需要消耗平方尺宣纸. 【分析】设制作张宣纸主卡需要消耗平方尺的宣纸，制作个描金配饰需要消耗平方尺的宣纸，根据相等关系列方程组和求解即可. 【详解】解：设制作张宣纸主卡需要消耗平方尺的宣纸，制作个描金配饰需要消耗平方尺的宣纸， 由题意得：， 解得：， 答：制作张宣纸主卡需要消耗平方尺的宣纸，制作个描金配饰需要消耗平方尺的宣纸． 题型14.由几何图形列方程组 44．如图，，的度数比的度数的两倍少，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直关系得到，即，再结合与的数量关系列方程求解． 本题主要考查了垂直的性质以及二元一次方程组的应用，根据垂直得到角的和为，再结合数量关系列方程组求解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，， ∴． 又∵的度数比的度数的两倍少， ∴． 联立方程组， 将第二个方程代入第一个方程，得． 解得 ． 把代入，得，即 , 故选:B． 45．用5张大小，形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，若点的坐标为，则可列方程组为_____． 【答案】 【详解】解：点的坐标为， 长方形的长为，宽为， 可列方程组为． 46．在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是通过观察图形，找出大长方形的长和宽与小长方形的长、宽之间的等量关系． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据图形中的等量关系，得， 解得 答：小长方形的长为8，宽为2． 题型15.方案问题. 47．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多25万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共50万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为200万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 【答案】(1)A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为15万元 (2)共有3种购进方案：方案1为购进A种型号7辆和B种型号4辆；方案2为购进A种型号4辆和B种型号8辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号12辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元， 根据题意可得， 解得， 答：A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为15万元． （2）解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆， 根据题意可得，且、均为正整数， 由，得， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购进方案：方案1为购进A种型号7辆和B种型号4辆；方案2为购进A种型号4辆和B种型号8辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号12辆． 48．某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，计划恰好用6000元购买A、B型器材（两种均购买）．该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案． 【答案】(1)1套A型器材300元，1套B型器材250元 (2)有三种购买方案，方案一：购买A型器材15套，B型器材6套；方案二：购买A型器材10套，B型器材12套；方案三：购买A型器材5套，B型器材18套 【分析】（1）设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设购买A型器材套，购买B型器材为套，根据题意列出二元一次方程，然后根据为正整数求解即可． 【详解】（1）解：设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元， 由题意，得 解得 答：购买1套A型器材和1套B型器材各需300元、250元． （2）解：设购买A型器材套，购买B型器材为套， 由题意，得， 解得． 为正整数， 的取值为6，12，18， ∴的值为15，10，5， ∴有三种购买方案，方案一：购买A型器材15套，B型器材6套；方案二：购买A型器材10套，B型器材12套；方案三：购买A型器材5套，B型器材18套． 49．根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 【答案】(1) (2)千瓦时． (3)①见解析，②14.6 【分析】（1）根据题意列出方程组并解方程组即可； （2）设型机器人用了台，型机器人用了台．列出方程并求出正整数解即可得到答案； （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台．根据题意列出二元一次方程，并求出正整数解即可；②根据各方案的耗电量进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：设型机器人用了台，型机器人用了台． 由题意，得， 整理，得． 因为，都是正整数，所以是4的倍数， 所以，， 所以总耗电量为（千瓦时）． （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台． 由题意，得， 整理，得． 由题意得，是2的倍数，故所有可行方案列表如下： 方案 型/台 型/台 型/台 总耗电量/千瓦时 一 2 16 1 14.9 二 4 12 2 14.8 三 6 8 3 14.7 四 8 4 4 14.6 ②方案四：有A型号的机器人台，有B型号的机器人台，有C型号的机器人台；最省电，其耗电量为14.6千瓦时 题型16.行程问题 50．列方程组解应用题： 甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲、乙与丙相向而行，甲每分走120米，乙每分走130米，丙每分走150米．已知丙遇上乙后，又过了5分钟遇到甲，求A、B两地的距离． 【答案】37800米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乙丙相遇所用的时间为分钟，A、B两地的距离为米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设乙丙相遇所用的时间为分钟，A、B两地的距离为米， 由题意得，， 解得：． 答：A、B两地的距离为37800米． 51．问题情境： 目前，户外骑自行车进行锻炼已经成为我们日常生活中常见的一种锻炼方式，越来越受到大众的欢迎．而在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废． 问题解决： 问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000公里，后轮也可以使用4000公里，这对轮胎行驶的里程数最大值是______． 问题二：由于后轮受到的压力大，所以损耗也大一些，如果行驶到某里程数，将前后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使行驶的里程数最大．若前轮可以使用5000公里，后轮可以使用3000公里，行驶的里程数为多少公里时交换前后轮胎？这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？ 【答案】问题一：4000公里；问题二：行驶的里程数为 1875 公里时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750公里 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，确定相等关系是关键； 问题一：由前后轮没有压力差可得答案； 问题二：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解，再设行驶的里程数为公里时互换前后轮胎并进一步解答即可． 【详解】解：问题一：由题意可得：这对轮胎行驶的里程数最大值4000公里； 问题二：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 根据题意，得； ，得， 则， 设行驶的里程数为公里时互换前后轮胎，则， 解得， 答：行驶的里程数为 1875 公里时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750公里． 52．从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 【答案】336千米 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，正确列出方程组是做题的关键．先设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米，再根据题意，列出方程组，进而解方程组即可解答． 【详解】解：设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米， （千米/小时），（千米/小时），3小时24分小时， 则根据题意得，， 整理得，， 解得，， 所以，、两市之间的公路长为（千米）． 答：、两市之间的公路全长为336千米． 题型17.工程问题 53．某地准备修建一条长为米的道路，由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米．如果两队同时施工，需要多少天能完成这条道路的修建？请列方程组求解． 【答案】两队同时施工，需要天才能完成 【分析】设甲工程队施工天，乙工程队施工天，根据“两队同时施工”和“甲工程队的总工程量乙工程队的总工程量”列方程组求解即可． 【详解】解：设甲工程队施工天，乙工程队施工天， 根据题意得：， 解得． 答：两队同时施工，需要天才能完成． 54．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 【答案】(1)甲工程队修建道路的长度；乙工程队修建道路的长度 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】（1）根据题意及小红同学列出的方程组即可得到答案； （2）设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天，由题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是甲工程队修建道路的长度，未知数表示的是乙工程队修建道路的长度； （2）解：设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天， 据题意得， 解得， 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 55．苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 【答案】(1)甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． (2)安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 【分析】（1）设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x和y吨，根据“甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨”列二元一次方程组求解即可； （2）设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元，易得， 运输总费用为，再分别列举m、n的可能取值，并分别求出运输总费用，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x吨和y吨， 根据题意得：，解得：， 答：甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． （2）解：设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元， 根据题意，得：，整理得：， 运输总费用为， ∵m、n为自然数， ∴当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元． 所以安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 题型18.数字问题 56．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中________． 【答案】14 【分析】设右上角上的数为m，中间数为n，右下角上的数为b，根据，求出，根据，求出，根据，得出，根据，求出，最后代入求出结果即可． 【详解】解：设右上角上的数为m，中间数为n，右下角上的数为b，如图所示： x 21 m 5 n 20 y b 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． ． 57．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则的值是（    ）． A．0 B． C． D．32 【答案】B 【分析】根据题意列方程组，根据整体思想分别求出，进而得到关于b的一元一次方程，解出b，即可得解． 【详解】解：如图所示，设中间的数字为a，第三行第一个数字为b， 由题意得， 由得， 由得， ， 解得， ． 58．算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设个位数字为，十位数字为，根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ，解得：， ∴这个三位数为：． 题型19.年龄问题 59．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是________． 【答案】10岁和6岁 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据对话中的信息，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得， 解得； 所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 故答案为：10岁和6岁． 60．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 61．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 题型20.分配问题 62．松南学校在“指南针”课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织3个大号中国结和4个小号中国结需用绳24米；若编织1个大号中国结和5个小号中国结需用绳19米． (1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； (2)松南中学决定编织以上两种中国结共150个用以庆祝十一国庆节，这两种中国结所用绳长不超过550米，那么该中学最多编织多少个大号中国结? 【答案】(1)编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米 (2)该中学最多编织100个大号中国结 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （2）设该中学编织个大号中国结，则编织个小号中国结，根据题意列出不等式，求出的最大值即可解答． 【详解】（1）解：设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米， 由题意得，， 解得， 答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米； （2）解：设该中学编织个大号中国结，则编织个小号中国结， 由题意得，， 解得， ∴的最大值为100， 答：该中学最多编织100个大号中国结． 63．某微型货车最大载重量为，现接到装运一批设备的任务，每套设备由2个部件和1个部件组成，需成套装运．已知1个部件和3个部件总质量为，2个部件的质量和1个部件的质量相等． (1)求1个部件和1个部件的质量各是多少千克？（用二元一次方程组求解） (2)为防止、部件在运输中挤压破损，微型货车加装了质量为的垫板和隔板，求该微型货车一次最多可装运多少套设备？ 【答案】(1)1个A部件30千克，1个B部件60千克 (2)一次最多可装运12套设备 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1个A部件的质量是x千克，1个B部件的质量是y千克，根据“1个A部件和3个B部件总质量为，2个A部件的质量和1个B部件的质量相等”建立二元一次方程组求解； （2）该微型货车一次最多可装运m套设备，计算出一套设备的重量，则由题意建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设1个A部件的质量是x千克，1个B部件的质量是y千克．根据题意得： ， 解得：， 答：1个A部件30千克，1个B部件60千克； （2）解：该微型货车一次最多可装运m套设备，根据题意得： ， ∴， ∴m的最大值为12， 答：一次最多可装运12套设备． 64．为深入推进城市老旧小区适老化改造民生工程，切实解决老旧居民楼“上下楼难”的痛点问题，某市全面落实旧楼加装电梯惠民政策，让老旧小区重拾宜居新活力．老张居住的老旧单元楼中，三至七楼共户人家（每层户，一楼、二楼住户不参与）均自愿申请加装电梯．据测算，除政府专项补贴外，这户需共同自筹资金万元，并依据“楼层越高，受益越多，付费越高”的原则，经单元住户共同商议，确定自筹资金分摊规则：每户分摊费用随楼层递增，每升高一层，每户增加万元，且七楼每户的分摊费用是三楼每户的倍． (1)老张家居住在三楼，他这户应自筹资金多少万元？ (2)若四楼其中户因故退出加装电梯，该户原本需承担的费用需由剩余户共同分摊．请设计合理的分摊方案，并说明理由． 【答案】(1)万元 (2)三楼每户约万元，每升高一层每户增加约万元；理由见解析 【分析】（1）设三楼每户分摊费用为万元，每升高一层每户增加万元，再根据“七楼每户费用是三楼的倍”和“户总自筹资金万元”这两个等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）先明确保持原分配核心原则，即七楼每户费用是三楼的倍、每升高一层每户增加万元，再根据剩余户的楼层分布和总自筹资金万元不变的条件，列出对应的二元一次方程组，解方程组求出新的三楼每户分摊费用和每层增加额的近似值，最后得出分摊方案并说明理由即可． 【详解】（1）解：设三楼每户的费用为万元，则七楼每户的费用是万元，可列方程组为 ， 解得； 答：老张这户应自筹资金万元． （2）解：保持原分配核心原则，按总自筹资金万元重新计算，可列方程组： ， 解得， 即分摊方案为：三楼每户约万元，每升高一层每户增加约万元； 理由：该方案延续了原有的“楼层越高，受益越多，付费越高”的公平分摊原则，且总自筹资金仍为万元，完全符合题目要求． 题型21.销售利润问题 65．智能分拣机器人凭借高效、适应性强、减少错误和优化数据管理等特点，广泛应用于快递、制造、物流仓储及食品行业，显著提升运营效率与成本效益．某物流公司智能分拣中心拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 1 1 3 求两种型号智能机器人的单价． 【答案】A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元 【分析】设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可． 【详解】解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 根据题意，得， 解得， 答：A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． 66．“千年平城韵，石窟耀云冈”．大同云冈石窟凭借恢弘的石刻艺术和深厚的北魏文化底蕴，吸引着八方游客．随着云冈石窟旅游热度攀升，相关特色文创产品也备受青睐．小宇和小琳去选购文创产品，两人的对话如下．根据两人的对话，求每件云冈石窟石雕摆件和每个飞天纹样书签的售价． 【答案】每件云冈石窟石雕摆件的售价为55元，每个飞天纹样书签的售价为元 【分析】设每件云冈石窟石雕摆件的售价为元，每个飞天纹样书签的售价为元，根据“买了1件摆件和4个书签，共85元”，“买了3件摆件和2个书签，共180元”为等量关系列方程组进行求解即可． 【详解】解：设每件云冈石窟石雕摆件的售价为元，每个飞天纹样书签的售价为元， 由题意可得 解得 答：每件云冈石窟石雕摆件的售价为55元，每个飞天纹样书签的售价为元． 67．随着科技的不断进步，某城镇居民对家居智能开关的需求日益增加．某五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元． (1)求A、B两型智能开关的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用420元购进A、B两种智能开关（A、B两型开关均购买），销售1个A型开关可获利35元，销售1个B型开关可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如开关全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型智能开关的单价是75元，B型智能开关的单价是30元； (2)该商店共有2种购买方案：购进A型智能开关个，B型智能开关个或购进A型智能开关个，B型智能开关个，最大利润是205元． 【分析】（1）设A型智能开关的单价是x元，B型智能开关的单价是y元，根据五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A型智能开关m个，B型智能开关n个，根据该商店计划正好用420元购进A、B两种智能开关（A、B两型开关均购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A型智能开关的单价是x元，B型智能开关的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A型智能开关的单价是75元，B型智能开关的单价是30元； （2）解：设购进A型智能开关m个，B型智能开关n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A型智能开关个，B型智能开关个，利润为（元）； ②购进A型智能开关个，B型智能开关个，利润为（元）； ， 最大利润是205元． 题型22.和差倍分问题 68．在某文具用品商店购买3个篮球和1个足球共花费190元；购买2个篮球和3个足球共花费220元． (1)求购买1个篮球和1个足球各需多少元？ (2)若计划用不超过900元购买篮球和足球共20个，那么最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)购买1个篮球需要50元，1个足球需要40元 (2)10个 【分析】（1）设购买1个篮球需要x元，1个足球需要y元，根据“购买3个篮球和1个足球共花费190元；购买2个篮球和3个足球共花费220元”，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设可以购买m个篮球，则购买个足球，利用总价=单价×数量，结合总价不超过900元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买1个篮球需要x元，1个足球需要y元， 根据题意得：, 解得：， 答：购买1个篮球需要50元，1个足球需要40元； （2）设可以购买m个篮球，则购买个足球， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为10． 答：最多可以购买10个篮球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 69．近年来，安徽大力推进优质粮食与特色茶产业融合发展，某农业大县年优质水稻与黄山毛峰两大板块的总产值为亿元．年，优质水稻产值同比增长，黄山毛峰产值同比增长，全年总产值达到亿元．求该县年优质水稻、黄山毛峰的产值分别是多少亿元？ 【答案】该县年优质水稻的产值为亿元，黄山毛峰的产值为亿元 【分析】设该县年优质水稻的产值为亿元，黄山毛峰的产值为亿元，根据题意列出方程组，并求解出、的值，再计算出年的产值即可． 【详解】解：设该县年优质水稻的产值为亿元，黄山毛峰的产值为亿元， 根据题意，可列方程： ， 解得， ∴（亿元），（亿元）， 答：该县年优质水稻的产值为亿元，黄山毛峰的产值为亿元． 70．某校在世界读书日启动“书香校园”活动，某班在参与读书活动中，计划购买一批笔记本用于学生摘抄“好词好句”．提供以下信息： 信息①：购买10个A型笔记本与3个B型笔记本共45元； 信息②：A型笔记本的单价比B型笔记本便宜2元； 信息③：购买1个A型笔记本与1个B型笔记本需8元 (1)在信息①②③中任选两个作为条件______（填序号），求A型笔记本和B型笔记本的单价； (2)在（1）的条件下，全班50个同学每人购买一个笔记本，若购买A，B两种笔记本的总费用不超过200元，则A型笔记本至少购买多少个？ 【答案】(1)①③；A型笔记本的单价是3元，B型笔记本的单价是5元 (2)25个 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）设型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元，由购买10个型笔记本与3个型笔记本共45元；购买1个型笔记本与1个型笔记本需8元．列出方程组可求解； （2）设型笔记本购买个，购买型笔记本个，由购买，两种笔记本的总费用不超过200元，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：选①③，设型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：型笔记本的单价为3元，型笔记本的单价为5元； 故答案为：①③（答案不唯一）． （2）解：设型笔记本购买个，购买型笔记本个， 由题意可得：， ， 答：型笔记本至少购买25个． 题型23.几何问题 71．为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由块地砖组成，问：每块地砖的长与宽分别为多少？ 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，结合图形列出方程是解题的关键． 设每块地砖的长与宽分别为，，根据图形列出方程计算即可； 【详解】设每块地砖的长与宽分别为，， 由题意：， 解得：； 答：每块地砖的长与宽分别为，． 72．如图，将三个大小相同的小长方形（阴影部分）放入一个长为37、宽为26的大长方形（无重叠），求一个小长方形的长与宽分别是多少？ 【答案】一个小长方形的长与宽分别是16，5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解决本题的关键． 设小长方形的长为，宽为，再根据图象列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 由图象可得，， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴原方程组的解为， ∴一个小长方形的长与宽分别是16，5． 73．校园手工社团开展环保纸盒创意制作，需用特定尺寸纸板制作横式、竖式两种无盖纸盒．相关信息如下表： 素材 类型 规格 素材一 横式无盖纸盒 竖式无盖纸盒 素材二 现有纸板 长、宽，共60张． (1)任务1：基础裁切计算 用1张的纸板，恰好同时裁切成的正方形和的长方形两种纸板，问裁切成这样的正方形和长方形纸板各多少张？ (2)任务2：制作方案规划 若手工社团将现有60张纸板按任务1的方式裁切（材料无剩余），得到的正方形和长方形纸板恰好可制作横式无盖纸盒x个，竖式无盖纸盒y个． ①用含和的代数式分别表示正方形和长方形纸板的总需求量； ②求制作横式无盖纸盒和竖式无盖纸盒各多少个？ 【答案】(1)裁切成的正方形纸板1张，的长方形纸板3张； (2)①正方形纸板需要：个，长方形纸板需要：个；②可以制作横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个． 【分析】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，准确的根据题意列出代数式时解题的关键． （1）设裁切成的正方形纸板m张，的长方形纸板n张，根据题意列出关于m，n的方程，找出方程的非负整数解即可； （2）①一个横式无盖盒子需要2个正方形纸板和3个长方形纸板，一个竖式无盖盒子需要1个正方形纸板和4个长方形纸板，用x，y的代数式分别表示正方形和长方形总数量即可； ②根据题意60张大纸板能裁出正方形纸板为60个，长方形纸板180个，可列二元一次方程组，进行求解． 【详解】（1）解：设裁切成的正方形纸板m张，的长方形纸板n张， ∴， 化简得， ∵m，n为非负整数， ∴， 答：裁切成的正方形纸板1张，的长方形纸板3张； （2）解：①由题意得：正方形纸板需要：个，长方形纸板需要：个； ②由任务1得，能裁出正方形纸板为个，长方形纸板个， ∴， 解得：， 答：可以制作横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个． 题型24.图表信息问题 74．《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小杨的探索兴趣，他在如表所示的方格内填入了一些数据．若图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，则的值为______． 0 y 4 x 【答案】 【分析】根据题意列二元一次方程组，解出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得：， 则． 75．如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（   ） A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 76．太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额 价税合计（大写）   玖佰元整                               （小写）900.00 请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 题型25.古代问题 77．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”答：每只雀有________ 【答案】两 【分析】设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组求解即可． 【详解】解：设每只雀有x两，每只燕有y两， 由题意得，，整理得：， 解得：， 则每只雀有两． 78．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．下列选项中正确的是（    ） A．设该店有客房间、房客人，依题意得方程组 B．设该店有客房间，依题意得方程 C．设该店有房客人，依题意得方程 D．设该店有客房间、房客人，则 【答案】B 【分析】设该店有客房间、房客人，然后根据题意列方程组并求解即可解答． 【详解】解：设该店有客房间、房客人， A．每间客房住7人时，7人无房住，可得；每间住9人时空出1间房，可得，故A选项方程组错误； B．若设客房x间，总人数不变，可列方程，故B选项正确； C．若设房客y人，房间数量不变，可得，故C选项等式错误； D．解方程组，得，解得，代入得，即，故选项D错误． 79．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”题意为“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上题目，回答以下问题： (1)求买1头牛和1只羊分别需要多少两银子？ (2)若购买了若干头牛和若干只羊，共花费26两银子，且羊的数量比牛的2倍少1，则购买了几只羊？ (3)若一名商人准备用21两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方案？最多买几头牛？ 【答案】(1)1头牛需要3两银子，1只羊需要2两银子 (2)购买了7只羊 (3)商人有3种购买方案，最多买5头牛 【分析】（1）设买1头牛需要x两银子，1只羊需要y两银子，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买了m头牛，n只羊，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （3）设购买a头牛，b只羊，可得二元一次方程，则，再列举a的值，确定b的值即可解答． 【详解】（1）解：设买1头牛需要x两银子，1只羊需要y两银子， 由题意可得，解得：， 答：买1头牛需要3两银子，买1只羊需要2两银子． （2）解：设购买了m头牛，n只羊， 由题意可得，解得； 答：购买了7只羊． （3）解：设购买a头牛，b只羊， 依题意有，则， ∵a、b都是正整数， ∴共有三种购买方案： ①当时，，即购买1头牛，9只羊； ②当时，，购买3头牛，6只羊； ③当时，，购买5头牛，3只羊． 当均不符合题意． 答：共有三种购买方案，最多买5头牛． 题型26.其他实际问题 80．中医药作为中华民族原创医药学体系，深深地融入了民众的生产生活实践中．某中药厂名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，求每名熟练工和每名新工人每天分别可生产多少盒中药制剂． 【答案】每名熟练工每天可生产盒中药制剂，每名新工人每天可生产盒中药制剂 【详解】解：设每名熟练工每天可生产盒中药制剂，每名新工人每天可生产盒中药制剂， 由题意得， 解得， 答：每名熟练工每天可生产盒中药制剂，每名新工人每天可生产盒中药制剂． 81．为丰富学生课余生活，某中学组织八年级师生共人开展郊游活动，计划租用甲、乙两种型号客车共辆车，且甲、乙两种客车恰好坐满．它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 45 60 租金(元/辆) 200 300 (1)原计划租用的甲、乙两种客车各是多少辆？ (2)若租用同一种型号的客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)原计划租用甲型客车6辆，乙型客车5辆． (2)租用13辆甲型客车更合算． 【分析】（1）设原计划租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据客车总数为11辆和总载客量为570人这两个等量关系，列出二元一次方程组，求解得到两种客车的数量． （2）分别计算只租用甲型客车、只租用乙型客车时，所需车辆数（需向上取整保证所有人有座位）及对应的总租金，比较两种方案的租金，选择租金更低的方案． 【详解】（1）解：设原计划租用甲型客车辆，乙型客车辆．则 ， 解得， 答：原计划租用甲型客车6辆，乙型客车5辆． （2）解：只租用甲型客车：， 需租车辆数：， ∴总租金：（元）， 只租用乙型客车：， 需租车辆数：， ∴总租金：（元）， ， 租用甲型客车13辆更合算． 答：租用13辆甲型客车更合算． 82．一超市会把临近保质期的食品特价销售．某款鸡蛋一盒有个，每盒原价元，特价每盒元；另一款鸭蛋一盒有个，每盒原价元，特价每盒元．一餐厅购买了几盒鸡蛋和几盒鸭蛋，比按原价购买共少花了元，并且这些蛋的总个数恰好够餐厅在天内每天消耗相同数量的蛋（按个计算）且正好用完．请问该餐厅购买了鸡蛋和鸭蛋各多少盒？ 【答案】该餐厅购买了盒鸡蛋和盒鸭蛋． 【分析】设该餐厅购买了盒鸡蛋和盒鸭蛋，根据题意列方程，取符合条件的整数解即可． 【详解】解：设该餐厅购买了盒鸡蛋和盒鸭蛋， 根据题意可得， ∴， ∵，均为正整数， ∴或， 若，蛋的总个数为（个）， 符合“蛋的总个数恰好够餐厅在天内每天消耗相同数量的蛋（按个计算）且正好用完”， 若，蛋的总个数为（个）， 不符合“蛋的总个数恰好够餐厅在天内每天消耗相同数量的蛋（按个计算）且正好用完”，舍去， ∴该餐厅购买了盒鸡蛋和盒鸭蛋． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二元一次方程组期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.精准区分二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解，能根据定义判断正误、求字母取值。 2.理解消元思想，牢记代入消元、加减消元原理，熟记两种解法解题步骤。 3.梳理行程、利润、配套、工程四大类应用题等量关系，掌握建模依据。 4.了解同解方程组、看错系数、整体代入类题型的基础知识点。 1.能根据方程组系数特征，自主优选消元方法，提升简便运算能力。 2.从文字题干提取已知量、未知量，找准等量，建立二元一次方程模型。 3.运用整体思想简化复杂方程组计算，能处理含参数、同解综合题型。 4.规范书写解题步骤，养成审题、检验答案的习惯。 1.基础题：选择填空（概念辨析、简单求值）、常规解方程满分，减少计算失误。 2.中档题：实际应用题规范列式、分步书写，保证列式得分、计算少丢分。 3.拔高题：熟练套路，攻克同解方程组、看错系数、方程组与不等式结合考题，拿下压轴小问。 题型01二元一次方程的定义及解 题型02.二元一次方程组的判定 题型03.二元一次方程组解的判定 题型04.由二元一次方程组的解求参数 题型05.代入消元法和加减消元法 题型06.方程组的特殊解法 题型07.错解复原问题 题型08.构造方程组求解 题型09.由方程组解的情况求参数 题型10.方程组相同解问题 题型11.三元一次方程组的定义及解 题型12.三元一次方程组的应用 题型13.由实际问题列方程组 题型14.由几何图形列方程组 题型15.方案问题 题型16.行程问题 .题型17.工程问题 题型18.数字问题 题型19.年龄问题 题型20.分配问题 题型21.销售利润问题 题型22.和差倍分问题 题型23.几何问题 题型24.图表信息问题 题型25.古代问题 题型26.其他实际问题 知识点01:核心概念板块【选择、填空必考】 1. 二元一次方程 (1).定义：含有两个未知数，含未知数项的次数都是1，整式方程； (2).易错三点：①未知数 2 个；②未知数次数为 1（不含x2、xy)）；③分母不含未知数（非分式）； (3).解：使方程左右相等的未知数的值，一个二元一次方程有无数组解。 2. 二元一次方程组 (1).定义：由两个二元一次整式方程组成，一共两个未知数； (2).方程组的解：同时满足两个方程的一组未知数的值 (3).方程组解的三种情况 对于方程组 ： ①若 ，则有唯一解； ②若 ，则无解 ③若 ，则有无数组解。 (4).易错考点：已知解反向求参数、根据定义求字母取值（期末高频小题） 知识点02:两种解法核心（本章重中之重） (1)代入消元法 适用场景： ①某一个未知数系数为1；②方程组中已有y=kx+m形式。 解题步骤：一变形，二代入，三求解，四回代，五写解 拓展：整体代入法（简便运算，不用拆括号）。 代入消元易错点｜避坑提醒 1.变形时移项忘记变号（如把x−y=3变形为x=y−3，错误！正确是x=y+3）； 2.代入时，漏乘系数（如把x=y+3代入2x+3y=16，写成2y+3+3y=16，漏乘 2）； 3.回代时，代入原方程，计算繁琐易出错（建议代回变形后的式子，更简单）。 （2）加减消元法（考试主流解法） 适用场景：相同未知数系数相等或互为相反数；系数成整数倍数。 解题五步：定消元未知数⇒同乘倍数统一系数⇒加减消元⇒求解一元一次⇒回代。 系数无倍数：找两个系数最小公倍数，两个方程同时变形。 加减消元易错点｜避坑提醒⚠️ 1.系数统一时，漏乘方程中的常数项（如把2x+5y=13×2，只乘 2x 和 5y，漏乘 13）； 2.两个方程相减时，后面方程的每一项都要变号，容易漏变常数项； 3.消元后，求解一元一次方程时，符号出错、计算失误； 4.回代时，代入的方程太复杂，增加计算难度（优先选系数简单的方程） 补充：特殊简便解法 1.轮换对称方程组：整体相加、整体相减快速求解； 2.换元法：含复杂整体（如\(x+2、y-1\)），设新字母简化方程组。 消元方法 适用特点 核心优点 易错点 代入消元法 有未知数系数为 ±1，式子易变形 计算简单，步骤少，不易错符号 移项变号、代入漏乘 加减消元法 未知数系数相等 / 相反 / 成倍数 不用分式变形，消元速度快 漏乘常数项、相减漏变号 ✨ 选择口诀：系数有 ±1，代入最省力；系数成倍数，加减更快速 知识点03:标准解题六大步骤 步骤 核心要求 注意事项 1.设 设两个未知数（直接 / 间接设元） 规范表述，如 “设单价为 x 元，数量为 y 个”，避免模糊 2.找 提取两组独立等量关系 关键词：一共、比… 多 / 少、倍、配套、相遇等 3.列 依据等量关系列二元一次方程组 两个方程必须独立，不能重复 4.解 选用代入 / 加减消元法求解 计算仔细，避免符号、漏乘错误 5.验 ① 检验是否满足方程组② 检验是否符合实际意义 人数、物品数量必须为正整数，价格不能为负 6.答 完整写出答句，对应设元 不漏写单位，语句通顺 知识点04:三元一次方程组及其解法 1. 三元一次方程 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d（a、b、c、d为常数，a0，b0，c0）。 2. 三元一次方程组 定义：由三个一次方程组成并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3. 解法（核心：消元→二元→一元） 基本思路：通过代入法或加减法，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组，最后回代求出第三个未知数。 步骤： 1 消：利用代入或加减，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ② 解：解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③ 回代：将这两个值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值；④ 写：写出三元一次方程组的解（用大括号联立三个未知数的值）。 知识点05:高频题型拆解 1. 和差倍分问题（基础必拿分） 核心特征：出现 “和、差、倍、分” 关键词 等量关系模板： 和：x+y=总量 差：x-y=相差量 倍：x=ky（k为倍数） 2.购物 / 销售利润问题（高频） 核心公式：利润售价进价；利润率；售价标价折扣。 等量关系模板： 场景 等量关系 两种商品 ① 数量和 = 总数量② 总价和 = 总金额 利润问题 ① 利润 = 单件利润 × 数量② 成本 + 利润 = 售价 3. 分配 / 配套问题（中档拉分题） 核心特征：人员 / 物品分配、零件配套 等量关系模板： 类型 等量关系 分配问题 ① 总人数 / 总量 = 甲 + 乙② 甲 = k乙（比例关系） 配套问题 A×m=B×n（m,n为配套比例，如1个机身配2个机翼：机身×2=机翼） 4.行程问题（重点难点） 核心公式：路程 = 速度 × 时间（s=vt） 等量关系模板： 类型 等量关系 相遇问题 甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及问题 快者路程 - 慢者路程 = 初始距离 环形跑道 相遇：路程和 = 一圈长 追及：路程差 = 一圈长 5. 工程问题（逻辑难点） 核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 等量关系模板： 合作问题：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量（设总工作量为 1） 分段问题：前段工作量 + 后段工作量 = 总工作量 6.数字 / 年龄 / 几何 / 图表问题（拓展题型） 题型 核心技巧 数字问题 两位数 = 10× 十位 + 个位，注意数位交换 年龄问题 年龄差不变，时间变化同步加减 几何问题 周长 / 面积 / 边长关系，结合图形性质 图表问题 从表格 / 统计图提取数据，转化为等量关系 知识点06:高频易错点避坑指南 易错类型 具体表现 避坑方法 审题失误 只找一组等量关系，列不出方程组 圈画关键词，反复读题，确保两组独立关系 设元不规范 模糊表述，漏写单位 明确 “设 XX 为 x（单位）”，如 “设速度为 x km/h” 计算错误 符号错误、漏乘、约分错误 消元后分步计算，代入简单方程回代 忘记检验 出现负数、小数人数等不合理结果 解完后必验：是否满足方程？是否符合实际？ 答题不完整 漏写答句、单位，答非所问 严格按 “设→找→列→解→验→答” 流程，答句对应设元 题型01二元一次方程的定义及解 1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若是方程的一个解，则m的值是（     ） A．1 B．5 C． D． 3．若是关于，的二元一次方程，则________． 4．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有________种购买方案，其中甲奖品最多能购买________． 题型02.二元一次方程组的判定. 5．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 6．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 7．李老师要求四位同学各编一个二元一次方程组，那么下面各方程组符合要求的是（    ） A． B． C． D． 题型03.二元一次方程组解的判定 8．已知是二元一次方程的两个解，是二元一次方程的两个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 9．下列表格中，表1中每对x，y的值都是方程的解，表2中每对x，y的值都是方程的解，所以方程组的解为（    ）． 表1 x 0 1 2 y 1 表2 x 0 1 16 y 1 11 A． B． C． D． 10．已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 题型04.由二元一次方程组的解求参数 11．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则__． 12．已知关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则m的值为_________． 13．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 题型05.代入消元法和加减消元法 14．解二元一次方程组 (1) (2) 15．解方程组： (1)； (2)． 16．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型06.方程组的特殊解法 17．若，则______． 18．若关于，的方程组的解满足，则______． 19．阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以使用“整体代入”的思想来简化计算． 解：将方程①变形为，即．将其代入方程②，得，解得．将代入①，得．所以原方程组的解为． 问题： (1)请用“整体代入”法解方程组． (2)若关于x、y的方程组，请问这个方程组有解吗？若有，请直接写出它的解；若无，请说明理由． (3)已知x、y满足，求的值． 题型07.错解复原问题 20．在解关于，的方程组时，甲看错了①中的，解得；乙看错了②中的，解得．则正确的方程组是（    ） A． B． C． D． 21．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则______． 22．小颖在解方程组 时，本应解出，由于看错了系数 ，得到的解为 ．试求 、、 的值． 题型08.构造方程组求解 23．若单项式与是同类项，__________． 24．对于实数定义新运算：，其中为常数，已知，，则______． 25．对于实数x、y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 26．规定：形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中，由这两个方程组成的方程组叫做“共轭方程组”，其中常数，称为“共轭系数”． (1)由方程和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ； (2)若关于，的二元一次方程组是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数； (3)若关于，的“共轭方程组”有无数多个解，求共轭系数，应满足的条件． 题型09.由方程组解的情况求参数 27．已知关于、的方程组的解满足，则的值为_______． 28．已知方程组的解满足，则的值为________． 29．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 30．已知关于、的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)已知当取不同值时，关于、的方程总有一组公共解，求出这组公共解． 题型10.方程组相同解问题 31．已知关于的方程组和的解相同，则的值是_____． 32．若方程组的解是，则方程组的解是______． 33．若方程组的解与方程的一组解相同，则为（    ） A． B． C． D． 34．已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求出a、b的值； (2)求的值． 题型11.三元一次方程组的定义及解 35．三元一次方程组，的解为________． 36．某学习小组在研究数学问题时发现：方程只有1组正整数解，方程只有2组正整数解，方程只有3组正整数解…那么方程的正整数解有（    ） A．9组 B．28组 C．36组 D．45组 37．解下列方程组： (1) (2) 题型12.三元一次方程组的应用 38．小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱______． 39．一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时船内已经进入了一些水，如果9个人淘水，4小时淘完，如果6个人淘水，10小时才能淘完，假设每个人向外淘水的速度一样，现在要在两个小时内淘完，需要（　　）人． A．14 B．16 C．18 D．20 40．在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：由②－①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)已知，求的值． (2)某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 题型13.由实际问题列方程组 41．某校计划组织545名师生前往“闽东苏区红色”基地开展研学活动．某旅游公司派出11辆A，B型客车，所有客车刚好坐满，没有空位，其中A型客车可承载45人，B型客车可承载55人．求该旅游公司派出A，B型客车各多少辆？若设该旅游公司派出A型客车辆，B型客车辆，根据题意，已经列出一个方程是，则可列出的另一个方程是________． 42．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果、苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 43．某中学“徽风皖韵”非遗文创社团，用泾县宣纸制作成套的文房主题文创纪念品书签，每套纪念品书签由张宣纸主卡和若干徽墨描金配饰组成．已知制作张宣纸主卡和个描金配饰共需消耗宣纸平方尺，制作张宣纸主卡和个描金配饰共需消耗宣纸平方尺．求制作张宣纸主卡和个描金配饰分别需要消耗多少平方尺的宣纸． 题型14.由几何图形列方程组 44．如图，，的度数比的度数的两倍少，则的度数为（     ） A． B． C． D． 45．用5张大小，形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，若点的坐标为，则可列方程组为_____． 46．在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 题型15.方案问题. 47．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多25万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共50万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为200万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 48．某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，计划恰好用6000元购买A、B型器材（两种均购买）．该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案． 49．根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 题型16.行程问题 50．列方程组解应用题： 甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲、乙与丙相向而行，甲每分走120米，乙每分走130米，丙每分走150米．已知丙遇上乙后，又过了5分钟遇到甲，求A、B两地的距离． 51．问题情境： 目前，户外骑自行车进行锻炼已经成为我们日常生活中常见的一种锻炼方式，越来越受到大众的欢迎．而在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废． 问题解决： 问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000公里，后轮也可以使用4000公里，这对轮胎行驶的里程数最大值是______． 问题二：由于后轮受到的压力大，所以损耗也大一些，如果行驶到某里程数，将前后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使行驶的里程数最大．若前轮可以使用5000公里，后轮可以使用3000公里，行驶的里程数为多少公里时交换前后轮胎？这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？ 52．从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 题型17.工程问题 53．某地准备修建一条长为米的道路，由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米．如果两队同时施工，需要多少天能完成这条道路的修建？请列方程组求解． 54．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 55．苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 题型18.数字问题 56．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中________． 57．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则的值是（    ）． A．0 B． C． D．32 58．算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 题型19.年龄问题 59．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是________． 60．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 61．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 题型20.分配问题 62．松南学校在“指南针”课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织3个大号中国结和4个小号中国结需用绳24米；若编织1个大号中国结和5个小号中国结需用绳19米． (1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； (2)松南中学决定编织以上两种中国结共150个用以庆祝十一国庆节，这两种中国结所用绳长不超过550米，那么该中学最多编织多少个大号中国结? 63．某微型货车最大载重量为，现接到装运一批设备的任务，每套设备由2个部件和1个部件组成，需成套装运．已知1个部件和3个部件总质量为，2个部件的质量和1个部件的质量相等． (1)求1个部件和1个部件的质量各是多少千克？（用二元一次方程组求解） (2)为防止、部件在运输中挤压破损，微型货车加装了质量为的垫板和隔板，求该微型货车一次最多可装运多少套设备？ 64．为深入推进城市老旧小区适老化改造民生工程，切实解决老旧居民楼“上下楼难”的痛点问题，某市全面落实旧楼加装电梯惠民政策，让老旧小区重拾宜居新活力．老张居住的老旧单元楼中，三至七楼共户人家（每层户，一楼、二楼住户不参与）均自愿申请加装电梯．据测算，除政府专项补贴外，这户需共同自筹资金万元，并依据“楼层越高，受益越多，付费越高”的原则，经单元住户共同商议，确定自筹资金分摊规则：每户分摊费用随楼层递增，每升高一层，每户增加万元，且七楼每户的分摊费用是三楼每户的倍． (1)老张家居住在三楼，他这户应自筹资金多少万元？ (2)若四楼其中户因故退出加装电梯，该户原本需承担的费用需由剩余户共同分摊．请设计合理的分摊方案，并说明理由． 题型21.销售利润问题 65．智能分拣机器人凭借高效、适应性强、减少错误和优化数据管理等特点，广泛应用于快递、制造、物流仓储及食品行业，显著提升运营效率与成本效益．某物流公司智能分拣中心拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 1 1 3 求两种型号智能机器人的单价． 66．“千年平城韵，石窟耀云冈”．大同云冈石窟凭借恢弘的石刻艺术和深厚的北魏文化底蕴，吸引着八方游客．随着云冈石窟旅游热度攀升，相关特色文创产品也备受青睐．小宇和小琳去选购文创产品，两人的对话如下．根据两人的对话，求每件云冈石窟石雕摆件和每个飞天纹样书签的售价． 67．随着科技的不断进步，某城镇居民对家居智能开关的需求日益增加．某五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元． (1)求A、B两型智能开关的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用420元购进A、B两种智能开关（A、B两型开关均购买），销售1个A型开关可获利35元，销售1个B型开关可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如开关全部售出，最大利润是多少元？ 题型22.和差倍分问题 68．在某文具用品商店购买3个篮球和1个足球共花费190元；购买2个篮球和3个足球共花费220元． (1)求购买1个篮球和1个足球各需多少元？ (2)若计划用不超过900元购买篮球和足球共20个，那么最多可以购买多少个篮球？ 69．近年来，安徽大力推进优质粮食与特色茶产业融合发展，某农业大县年优质水稻与黄山毛峰两大板块的总产值为亿元．年，优质水稻产值同比增长，黄山毛峰产值同比增长，全年总产值达到亿元．求该县年优质水稻、黄山毛峰的产值分别是多少亿元？ 70．某校在世界读书日启动“书香校园”活动，某班在参与读书活动中，计划购买一批笔记本用于学生摘抄“好词好句”．提供以下信息： 信息①：购买10个A型笔记本与3个B型笔记本共45元； 信息②：A型笔记本的单价比B型笔记本便宜2元； 信息③：购买1个A型笔记本与1个B型笔记本需8元 (1)在信息①②③中任选两个作为条件______（填序号），求A型笔记本和B型笔记本的单价； (2)在（1）的条件下，全班50个同学每人购买一个笔记本，若购买A，B两种笔记本的总费用不超过200元，则A型笔记本至少购买多少个？ 题型23.几何问题 71．为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由块地砖组成，问：每块地砖的长与宽分别为多少？ 72．如图，将三个大小相同的小长方形（阴影部分）放入一个长为37、宽为26的大长方形（无重叠），求一个小长方形的长与宽分别是多少？ 73．校园手工社团开展环保纸盒创意制作，需用特定尺寸纸板制作横式、竖式两种无盖纸盒．相关信息如下表： 素材 类型 规格 素材一 横式无盖纸盒 竖式无盖纸盒 素材二 现有纸板 长、宽，共60张． (1)任务1：基础裁切计算 用1张的纸板，恰好同时裁切成的正方形和的长方形两种纸板，问裁切成这样的正方形和长方形纸板各多少张？ (2)任务2：制作方案规划 若手工社团将现有60张纸板按任务1的方式裁切（材料无剩余），得到的正方形和长方形纸板恰好可制作横式无盖纸盒x个，竖式无盖纸盒y个． ①用含和的代数式分别表示正方形和长方形纸板的总需求量； ②求制作横式无盖纸盒和竖式无盖纸盒各多少个？ 题型24.图表信息问题 74．《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小杨的探索兴趣，他在如表所示的方格内填入了一些数据．若图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，则的值为______． 0 y 4 x 75．如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（   ） A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 76．太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额 价税合计（大写）   玖佰元整                               （小写）900.00 请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 题型25.古代问题 77．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”答：每只雀有________ 78．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．下列选项中正确的是（    ） A．设该店有客房间、房客人，依题意得方程组 B．设该店有客房间，依题意得方程 C．设该店有房客人，依题意得方程 D．设该店有客房间、房客人，则 79．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”题意为“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上题目，回答以下问题： (1)求买1头牛和1只羊分别需要多少两银子？ (2)若购买了若干头牛和若干只羊，共花费26两银子，且羊的数量比牛的2倍少1，则购买了几只羊？ (3)若一名商人准备用21两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方案？最多买几头牛？ 题型26.其他实际问题 80．中医药作为中华民族原创医药学体系，深深地融入了民众的生产生活实践中．某中药厂名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，名熟练工和名新工人每天可生产盒中药制剂，求每名熟练工和每名新工人每天分别可生产多少盒中药制剂． 81．为丰富学生课余生活，某中学组织八年级师生共人开展郊游活动，计划租用甲、乙两种型号客车共辆车，且甲、乙两种客车恰好坐满．它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 45 60 租金(元/辆) 200 300 (1)原计划租用的甲、乙两种客车各是多少辆？ (2)若租用同一种型号的客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 82．一超市会把临近保质期的食品特价销售．某款鸡蛋一盒有个，每盒原价元，特价每盒元；另一款鸭蛋一盒有个，每盒原价元，特价每盒元．一餐厅购买了几盒鸡蛋和几盒鸭蛋，比按原价购买共少花了元，并且这些蛋的总个数恰好够餐厅在天内每天消耗相同数量的蛋（按个计算）且正好用完．请问该餐厅购买了鸡蛋和鸭蛋各多少盒？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $