云南省部分学校2025-2026学年高二下学期4月联考数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占40%，选择性必修第一册至 选择性必修第三册第六章占60%。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.(x一5)”展开式的各二项式系数之和是64，则n= A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知复数z=(2+)(1一5i),则z的共轭复数z= A.-3+9i B.-3-9i C.7+9i D.7-9i 3.已知函数f(x)= 1x2+1,x≤2， 则f(f(2)= logzz,x>2, A.0 B.1 C.2 D.log25 4.已知直线1：x一y十m=0,圆C:x2十y2=2,则“m=2”是“直线l与圆C相切”的 A.充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.将函数y=sin2x一√3cos2x的图象向左平移行个单位长度，得到函数f(x)的图象，则 (-)= A.1 B.-1 C.√3 D.-√3 6.将A,B,C,D这4名毕业生安排到3个不同的公司实习，要求每人只到1个公司实习，且每个 公司都要有人实习，则A,B被安排在同一个公司实习的概率是 A最 c是 【高二数学第1页（共4页）】 7.某公益组织发起捐款活动，第1天捐款100元，从第2天开始，每日捐款额比前一天捐款额的 2倍少80元.若第n天的捐款额不低于2000元，则n的最小值是 A.6 B.7 C.8 D.9 8.已知定义在(0，十∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)>1,且f(3)=1,则不等式 f(x2一2x)>x2一2x一2的解集是 A.(-∞，-3)U(1,+∞) B.(-∞，-1)U(3,+∞) C.(-3,0)U(1,2) D.(-1,0)U(2,3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量a,b满足a=(一3,4)，且a⊥b,a|=|b|,则向量b的坐标可能是 A.(-4,-3) B.(-4,3) C.(4,3) D.(4,-3) 知双曲线C多31a≥b>0)的右焦点为F(c,0,圆(x-cP+y2=9与双曲 的一条渐近线交于A,B两点，且|AB|=4,则 A.△ABF的面积是2√5 B.双曲线C的虚轴长为2√5 C.双曲线C的渐近线方程不可能为y=土 22 D.双曲线C的离心率的最大值是√2 11.若函数f(x)的定义域为R,f(1)=2,且Hx,y∈R,f(x2-y2)=xf(x)一yf(y),则 A.f(0)=0 B.Ha∈R,af(a)≠a+f(a2-l) C.y=f(x)一[f(x)]3为奇函数 D.当xy≤0时，f(x十y)=f(x)+f(y) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知一组数据3，a,2a一3,6,7的平均数为5，则a=▲ 13.函数f(x)=2sinx一cos2x的值域是▲ 14.某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、 实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活 动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有▲种. 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,E,F分别是棱BB1,DD1的中点. (1)证明：DE平面AB,F. (2)求AF与平面ADE所成角的正弦值 B E D B 16.(15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asin A一csin C=(a一b)sinB. (1)求C; (2)若D是边AB的中点，且CD=3,求△ABC面积的最大值. 17.(15分) 已知(2x+2)】 展开式中前三项的二项式系数和为46. (1)求n的值； 2求(2红+》广 展开式中含x5的项的系数； (3)求(2x+是)广 展开式中系数最大的项. ● 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知椭题C:后+芳=1a>6>0)的离心率为分，且稀圆C过点(1，》】 (1)求椭圆C的标准方程 (2)设直线y=x十m与椭圆C交于A,B两点，且以线段AB为直径的圆过坐标原点O. ①证明：7m2一12k2为定值. ②求△ABO面积的最大值， 19.(17分) 已知函数f(x)=5lnx+x2-7x十a. (1)求f(x)的单调区间. (2)设f(x)有3个不同的零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3 (i)求a的取值范围； (i)证明：x3一x1<3. 【高二数学第4页（共4页）】高二数学参考答案 1.B由题意可得2”=64，解得n=6. 2.C因为之=2-10i+i-5i=7-9i,所以之=7+9i 3.D由题意可得f(2)=22+1=5,则f(f(2)=f(5)=log25. 4.A由直线1与圆C相切，得m-2,解得m=士2，则“m=2”是“直线1与圆C相切”的充 2 分不必要条件 5.A因为y=2sin(2x-5）,所以f(x)=2sim[2(x+5)-]=2sin(2x+5), 则f(-)=2sim(-+3）=1. 6.B由题意可得A,B被安排在同一个公司实习的概率是CA一6 A81 7.C由题意可得am=2am-1一80，则am-80=2(am-1-80).因为a1=100,所以a1-80=20, 所以{am-80}是以20为首项，2为公比的等比数列，则am一80=20×2”-1，故an=20X2”1 +80.设第k天的捐款额不低于2000元，则20×2-1十80≥2000，即2-1≥96.因为26= 64,27=128,所以k-1≥7，所以k≥8. 8.B设g(x)=f(x)-x(x>0),则g(x)=f'(x)-1.因为f'(x)>1,所以f'(x)-1>0, 即g'(x)>0,所以g(x)在(0，十∞)上单调递增.不等式f(x2-2x)>x2-2x一2等价于不 等式f(x2-2x)-(x2-2x)>-2,即g(x2-2x)>-2.因为f(3)=1,所以g(3)=f(3)- 3=-2,所以g(x2-2x)>g(3).因为g(x)在(0，十∞)上单调递增，所以x2-2x>3,解得 x<-1或x>3. -3x+4y=0, 9.AC设b=(x,y),则 x=4, -)+-+y, 或 解得{v=-3v=3万 则b=(-4,-3) 或b=(4,3),故选AC. 10.ABD由题意可知点F到双曲线C的渐近线的距离d=√32-()月 =√5，则△ABF的面 积是ABd=25,A正确.不妨设双曲线C的一条渐近线方程为y-名r,即bx一ay bc 0,则点F到直线bx一ay=0的距离d= =b,所以b=√5，所以双曲线C的虚 √b2+(-a)2 轴长为2,5，B正确.假设双曲线C的渐近线方程为y=士2x,则α=2b=2√5，所以双曲线 C的方程为号苦-1，符合题商，即侵设成立，C皓误因为a≥6，所以？<1，则双菌线C 的离心率e=√1+（名）'≤厄，D正确。 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 11.ACD令x=y=0,得f(0)=0,A正确.令x=a,y=1,得f(a2-1)=af(a)-f(1),因为 f(1)=2,所以af(a)=f(a2-1)十2，令a=2,得2f(2)=2+f(22-1),B错误. 令y=0,得f(x2)=xf(x),f((-x))=-xf(一x),所以xf(x)=-xf(-x), 当x≠0时，f(x)=一f(一x),又因为f(0)=0,所以f(x)为奇函数，则y=f(x) [f(x)]3为奇函数，C正确. 因为f(x2-y2)=xf(x)-yf(y),所以f(x2-y2)=f(x2)-f(y2)=f(x2)+f(-y2), 所以f(x+y)=f(x)十f(y)(x≥0，y≤0)， 同理可得f(x十y)=f(x)+f(y)(x≤0，y≥0)，故当xy≤0时，f(x+y)=f(x)十 f(y),D正确. 12.4由题意可得3+a+2a-3+6+7-=5,解得a=4. 18.[-2] 由题意可得f(x)=2inx-(1-2sinx)=2(sinx+2)-3.因为-1< mx1,所以-≤nx+<号，所以0长2(s如x+》广≤号，所以-≤2(smx十 》广-≤3，即fx)的值域为[-] 14.1224若选派的是1名男生和3名女生，则有C%A=144种不同的选派方案；若选派的是 2名男生和2名女生，则有CCCA=1080种不同的选派方案.故满足要求的不同的选派 方案有144+1080=1224种. 15.(1)证明：由正方体的性质可知BB1DD1,BB1=DD1.…1分 因为E,F分别是棱BB1,DD1的中点，所以BE∥DF,BE=DF,…2分 所以四边形BEDF是平行四边形，所以B1FDE.…4分 因为DE中平面AB1F,B1FC平面AB1F,所以DE/平面AB1F.…6分 (2)解：由正方体的性质可知直线AB,AD,AA1两两垂直，则以 A为坐标原点，AB,AD,AA1的方向分别为x,y,之轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB=2,所以A(0,0,0),D(0,2,0),F(0,2,1),E(2, 0,1), 则AD=(0,2,0),A京=(0,2,1)，AE=(2,0,1).…8分 设平面ADE的法向量为m=(x,y,之)， (m·AE=2x+z=0, 则 令x=1,得m=(1,0,-2). …10分 m·AD=2y=0, 因为列正m一酒-一号Ar与平面A0E所成角的正孩益为号. 2 …13分 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 16.解：(1)因为asin A-csin C=(a-b)sinB,所以a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab. …2分 因为c2=a2+b2-2 abcosC,所以cosC=a2+b2-c2- 2ab ……4分 因为0<C<,所以C=子 6分 (2)因为D是边AB的中点，所以2CD=CA+C第，所以4C市=CA2+2CA.C克+CB, 即b2+a2+ab=36.… …9分 因为b2+a2≥2ab,所以3ab≤36，即ab≤12，… 11分 当且仅当a=b时，等号成立，… …12分 ABC的面积S号absin C-Yab≤33， 即当a=b时，△ABC的面积取得最大值33.…15分 17.解：1)由题意可得C+C+Cg=46,即1十+nn2=46,…1分 所以2+2n+n2-n=92,即n2+n-90=0, …2分 解得n=9(n=一10舍去).… …3分 (2(2x+)》”展开式的通项T+1=C(2x).()》=27Cx.…5分 令9一2r=一5，解得r=7,… 6分 所以T。=2-Cx=x1=144x5,即(2x+)” 展开式中含x5的项的系数为144.… 0000*0000044…00t0”t…00。。8 (3)设(2x+）厂展开式中的第十1项的系数最大， 2-C$≥210-C哈-1， 则 ……10分 29-C6≥28-Cg+1, 解得<<9 …12分 因为k∈Z,所以k=3,… …13分 即(2x十)》”展开式中的第4项的系数最大，且系数最大的项为工，=23Cx3- 5376.x3. …15分 C= 1 a-2 °1)解：由题意可得1+9 十6-1，解得a=2,6=, …3分 a2=b2+c2, 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 则椭圆C的标准方程为号+苦-1. 3 …4分 y=kx十m, ①证明：由z2+y=1得(4k十3》x+8kmx+4m-12=0.… 4 3 经2+3之=m212 8km 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1十x2= 4k2+3 …6分 因为以线段AB为直径的圆过坐标原点O,所以OA⊥OB,所以OA.O=0,…7分 则x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2十m)=(k2+1)x1x2十km(x1+x2)+m2=0.… …8分 8km 因为x1十x2= g+32022所以2+D·4m2tm· 8km）十 42+3 4k2+3 m2=0, 所以4k2m2-12k2+4m2-12-8k2m2+4k2m2+3m2=0, 即7m2-12k2-12=0,即7m2-12k2=12,为定值.… 10分 ②解：由①可知OALOB,则△AB0的面积S=2x:-x=2m1x:-x,= 8km)-4.n=2w51m.4m2+3 4k2+3 4k2+3 4k2+3 …12分 16k2+9 由①可知7m2=12k2+12,则S=2√5· /12k2+12 2w3 A 7 4k2+3 7 √(12k2+12)(16k2+9) …13分 42+3 设：=+3，则s=29.v+00-25·、++12- 23 7 t 7 7 √-（任-）+9 ,…15分 当-，即=6，= 兮时，S取得最大值，且最大值为3。…17分 19.(1)解：因为f(x)=5lnx十x2-7x十a,所以f'(x)=5+2x-7=(2x-5)(x-1 (x> 2 …1分 由f(x)>0,得0<x<1或x>,则f(x)在0,1)和（号，十o∞）上单调递增； …2分 由f'(x)<0,得1<x<号，则f)在(1，）上单调递减. …3分 故f(x)的单调递增区间为(0,1)和(？，+∞），单调递减区间为(1,8）. ……4分 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 (2)(1)解：由(1)可知f(x)在(0,1D和（号，十∞）上单调递增，在(1，)上单调递减， 当x→0时，f(x)→-∞，当x→十∞时，f(x)→十∞， 5分 f①）=a-6,f)5n多-5a,…m 6分 a-6>0, 因为f(x)有3个不同的零点，所以 545 7分 ln24 +a<0, 解得6<a<行-5n号，即a的取值范围是(6，行 …8分 （)证明：由（1知0<1<：<8< 设F(x)=f(x)-f(2-x), 则F'(x)=f(x)+f'(2-x)=(2x-5)x-1D+x-10(2x+1_10(x-1)2 2-x x(2-x)’…9分 则F'(x)>0对x∈(0,1)恒成立，即F(x)在(0,1)上单调递增， 故F(x)<F(1)=0,即f(x)<f(2-x)对x∈(0,1)恒成立.…10分 因为x1∈(0,1)，所以f(x2)=f(x1)<f(2-x1). 因为x,∈(1,8)，2-x1∈(1,2，且f(x)在(1，）上单调递减， 所以x2>2一x1,即x1十x2>2.… …12分 设G(x)=f(x)-f(5-x),则G'(x)-f(x)+f(5-x)=②x-5)x-D+ 20 (2x-5)(x-4)=(2x-5)2 5-x x(5-x) …13分 则G'(x)>0对x∈(1，)恒成立，即G(x)在(1，)上单调递增， 故G(x)<G(号）=0，即f(x)<f(5-x)对x∈(1，号)恒成立. …14分 因为x2∈(1，)，所以fx)=f(x2)<f5-x). 因为x∈（号，十∞）5-x∈(3,4，且f(x)在（号+∞）上单调递增， 所以x3<5一x2,即x2十x3<5. …16分 因为x1+x2>2,所以一x1一x2<-2,则x3一x1<3. …17分 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】