湖北随州市第一中学2026届高三下学期数学周测试题（2026.4.19）

随州一中2026届高三数学周测试题 (2026.4.19) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知复数2=1+i,则2-1 () A.1 B.√2 C.2 D.4 2.已知集合A={1,0,1,2},B={x2-x≤0}，则A∩B=() A.{-1,0} B.{0,} C.{-1,1} D.{0,1,2} 3.设公差不为0的等差数列{a}的前n项和为Sn,S,=28,若4,44,4成等比数列，则a= () A.16 B.8 C.4 D.2 4.已知平面a,B为两个不同的平面，直线m为a内一条直线，则“/B”是“o/B”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.己知变量x,y的统计数据如下，若x与y的回归直线方程为少=0.64x+0.8,则m=() 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 4.0 5.1 5.4 A.2.5 B.2.7 C.2.9 D.3 6.某空间站由A,B,C三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人 只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去A舱，则不同的安排方法的 种数为() A.35 B.36 C.42 D.50 7.如图，点E为矩形ABCD边AB的中点，以动直线I为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折， 每次翻折后点E都落在边CD上，记该落点为F,过点F作FP垂直于CD交直线I于点P,点P 的轨迹为曲线W的一部分，则W为() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 8.记无穷等比数列{a}前n项的和为Sn,若4>0，则公比q>0”是对任意M>0,存在正 整数N。,当n>N时，Sn>M的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已知函数f)=+-专，则() A.f(x)在区间(0，+o)上单调递增 B.f(x)恰有两个零点 心不等式了0-列的锵集为0c哥 D.若f(m)+f(n)=0,则m2+n2的最小值为2 10.已知数列{a}是单调递增的无穷数列，{bn}是单调递减的无穷数列.以下四个结论正确的 是() A.存在数列{an}和{bn},使得an+an+1=bn+bn+1: B.存在数列{an}和{bn}，使得a,a+1=bb+1: C.对于任意无穷等差数列{cn},总存在{an}和{bn}使得cn=an+bn; D.对于任意无穷等比数列{cn},总存在{an}和bn}使得cn=abn. 11.已知四面体ABCD满足AB=AC=CD=BD=2,BC=22,点A,B,C,D均在球O的 表面上，球O,与四面体的4个面均相切，过直线OO2的平面截四面体ABCD所得的截面的面 积为S,则() A.球O的表面积为8π B.当四面体ABCD体积最大时，OO,=2-√2 C.当AD=√2时，S的最大值为√ D.当AD=V2时，s的最小值为 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机变量X服从正态分布N(2,o2),若P(X≤0)=0.2，则P(X≤4)= 13.双曲线C:-二=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为R,R,以RR为直径的圆 a b2 与C在第一象限的交点为M,若直线MF,与C的一条渐近线平行，则C的离心率为 14,记△4BC内角A,日，C的对边分别为a,b,c,co42 cos=3,则】+，2的 acosC bcosC tanA tanB 最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 函数f(x)=Asin(ox+p)（A>0,o>0,l网<号)的部分图像如图所示. D当引时，求/)的单阔送区间： (2) 已知90，H/o)-号求cos20的值 12 16.(本小题满分15分) 已知f(x)=-2x3+ax2,其中a>0. (1)若a=2,求函数y=f八x)在点(1,0)处的切线方程； (2)若对任意的1∈(3，+o),总存在x2∈(2，+o∞)，使得(x,)·f八x2)=2,求a的取值范围. 17.(本小题满分15分) 已知直线人、马分别是双曲线C:千-1(a>0,60)的两条新近线，设动点P到直线、么的 距离分别为d1、d2: (1)若d+d=m,m为正常数，求动点P的轨迹方程并指出轨迹的形状； (2)若d1+d2=n,n为正常数，求动点P的轨迹方程并指出轨迹的形状. 18.(本小题满分17分) 在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元A,B,且 生成词元总数不超过2n(n≥2).若生成A,则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到2n 每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为A,的概率均为0.5，且各次预测相互独 立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元A,则审核后生成A,的概率均为0.5： ②若预测中第二次出现词元A,则审核后必生成A; ③若预测中出现词元，则审核后必生成B. 设X表示过程结束时生成词元的总个数， (1)求P(X=1),P(X=2): (2)求X的分布列： (3)求P(X=2X≤n) 19.(本小题满分17分) 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图4，球0的半径为√3，A,B,C为 球面上三点，劣弧BC的弧长记为a.设O。表示以O为圆心，且过B,C的圆，同理，圆O。,O。 的劣弧AC,AB的弧长分别记为b,c,曲面ABC(阴影部分)叫做球面三角形 (1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积（直接写出答案， 无需证明)； (2)若平面三角形ABC为直角三角形，AC⊥BC,设LAOC=01,∠B0C=02,∠AOB=03,则： (i)求证：cos01+cos02-cos03=1; ()延长A0与球0交于点D,若直线DA,DC与平面ABC所成的角分别为牙，于，眩=AB励， 入∈(0,1]，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为0，若sin0≤ W15 ,求平面ABC截球0的面积的最大值， A B 甲随州一中2026届高三数学周测试题 答案 (2026.4.19) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1【答1B】南：1，则-1i,所以1-+可5 z-1i- 2.【答案】B【详解】由x2-x≤0可得0≤x≤1，即B=[0,],又A={-1,0,12},故AnB={0,1} 3.【答案】A【详解】设等差数列{an}的公差为d,则有S2=7a+ (1+6)× 6d=7a+21d=28, 即4+3d=4,由a,4,4成等比数列，则a,4=a, 即(a+2d)(a+7d)=(a+3d),化简得3ad+5d=0, 9+3d=4 4=-5'故4=4+71=-5+7x3=16. d=3 由d≠0，则34+5d=0,即有 3a+5d=0'解得 4.【答案】B【详解】因为mC,若a11B,则由线面平行的性质可知m/B,故“m/B”是“o1/B” 的必要条件， 设a∩B=n,mCa,m/1n,显然nCB,从而有m/1B成立，但此时oa,B不平行， 所以故“m/1B”是“/1B”的不充分条件， 即“m/B”是“a/1B”的必要不充分条件.故选：B 5.【答案】C【详解】由题意，可得元=28+33+50+6.7+72=50， 5 下=2.6+m+4.0+5.1+54_17.1+m 5 所以样本点的中心坐标为5.0 17.1+m 5 代入回归直线方程=064+0.8，可得17.1+=0.64×5.0+0.8，解方程得m=29. 5 6.【答案】D【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在A舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在B,C舱， 有CCA?=4×1×2=8种不同的安排方法： ②甲单独在A舱，其余四人平均分成两组每组2人，安排在B,C舱， CA好=6xI 有 ×2=6种不同的安排方法： 2 ③A舱安排2人，其余三人分成两组，一组1人，一组2人，安排在B,C舱， 有CCCA:=4×3×1×2=24种不同的安排方法： ④A舱安排3人，其余二人分成两组，安排在B,C舱， 有CA?=6×2=12种不同的安排方法： 综上，不同的安排方法共有8+6+24+12=50种 7.【答案】D【详解】由折痕的性质可得，则直线1是线段EF的垂直平分线，对任意的P在1上，由 PE=PF, 又因为PF⊥CD,所以点P到直线CD的距离为PF, 所以点P到定点E的距离等于点P到定直线CD的距离，由抛物线的定义，可得点P的轨迹为抛物线， 8.【答案】B【分析】先根据等比数列前项的和公式，分q=1和q≠I两种情况讨论Sn的表达式， 再结合充分条件和必要条件的定义判断“公比q>0”与“对任意M>0,存在正整数N。,当>N。时， Sn>M”之间的关系 【详解】当q=1时，等比数列{an}前n项的和Sn=na, 因为41>0，所以Sn随着n的增大而增大，且n→+0时，Sn→+o0, 那么对于任意M>0,一定存在正整数N。,当n>N。时，Sn=a>M: 当g≠1时，等比数列{a}前n项的和s= 41-q) 1-q 若q>1,则g随着n的增大而增大，且n→+oo时，q→+o, 那么= -g）-马g-1)也会随着n的增大而增大，且n-→n时，8→0， 1-q 9-1 所以对于任意M>0,存在正整数N。,当n>N。时，Sn>M: 若0<q<1,则q随着n的增大而减小，且n→+oo时，q”→0， 吃二1-9一马I随者”的增大而增大，且→+0时，S, 1-q 1-q 此时，若，4≤M,则不存在正整数N,使得当>N时，S>M: 1-q 综上所述，当公比q>0时，若0<q<1,存在M>马，使得不存在正整数N。,当>N时，&>M, 1-q 所以“公比q>0”不能推出“对任意M>0,存在正整数N。,当>N。时，S.>M”,故充分性不成立； 若对任意M>0,存在正整数N。,当n>W时，S.>M,则Sn必须单调递增且无界，此时必有q≥1， 而9≥1能推出q>0，故必要性成立 所以“公比q>0”是“对任意M>0,存在正整数N。,当n>N。时，S.>M”的必要不充分条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.ABD 【分析】函数f(x)的定义域为(-o,0)U(0,+o),关于原点对称，且函数f(x)为偶函数，对于函数 2 求导可判断A项，由单调性及f(1)=O可判断B项，由偶函数及单调性可判断C,D项. 【详解】函数/)=+-子的定义减为(-，0)u0,+网，关于原点对称 到+(- 广人2=1nx+x22=fx,所以函数(x)为偶函数， 对于A项，当x>0时，f()=hx+x-马 x29 对其求号海了)-士2x+子>0，所以f)在区间Q+o)上单调造增，放A项正确： 对于B项，因为f(x)在区间(0，+o)上单调递增，且f(1)=0, 根据偶函数的性质可知，f(1)=f(1)=0,所以f(x)恰有两个零点，故B项正确： 对于C项，因为f(x)为偶函数，且在(0，+o)上单调递增， 所以f(x)<f1-x)等价于f)<f-),得州<1-中，两边平方得x<2 而函数f(x)的定义域为(-o,0)U(0,+o),所以f(x)<f(1-x)的解集为(-o,0)U 02〉 故C项 错误： 对于D项，因为f(m)+f(n)=0,且f(x)为偶函数， 得f)+f(）=0,即f=-f4, 因为//同uM-。（h+是0，断f 又因为f(y)在区间(0，+o)上单调递蜡，所以叫=7，得m网=1， 则m2+n2≥2wm=2,当且仅当=风=1时取等号，所以m2+n2的最小值为2，故D项正确. 10.BC 【详解】结论A:假设存在单调递增{a}和单调递减{b},使得an+a1=b。+b1 因{a}递增，an+a1递增；因{bn}递减，b.+b递减； 递增序列与递减序列无法相等，故A错误： 结论B:构造例子：令{an}为正项递增数列an=n(neN),{bn}为负项递减数列bn=-n（neN), 则a.a41=n(+1),bb1=（-m)(-(n+1)》=(+1),满足a,4+1=bb1,因此结论B正确： 结论C:设cn=n+e(d为公差)，令{an}为单调递增数列，{bn}为单调递减数列， a=c,+(d+1)n=(d+d+1)n+e,b=-(d+1)n, 由于d+|d+1>0且-(d+)<0,所以{a}单调递增，{bn}单调递减，且a+b,=cn,故C正 确； 3 结论D:取等比数列cn=(-1) 若存在递增{a}和递减{bn}使得abn=(-1)”，4b=-1=a,b,4,b2=a4b,=1, 故a2>0,b,>0或42<0，b2<0, 若a2>0,b,>0，因为{an}递增，{bn}递减， 故4<0，b>0,且4>0，b<0,4>0,b>0,故b>b,矛盾， 故此时D错误，同理可证4，<0，b2<0时D错误 11.ACD 【详解】解：对于A,:AB=AC=CD=BD=2,BC=2√， ..AB2+AC2=BC2,CD2+BD2=BC2, .AB⊥AC,CD⊥BD, 则BC的中点为四面体ABCD的外接球球心O,半径R=BC=√反，表面积为8元，故A正确： 对于B.40=D0=万，又5m=2x2x2=2, 1 当AO⊥平面BCD时，四面体ABCD体积最大， DO1C平面BCD,∴.AO1⊥DO, AD=VAO+DO=2,即△ABD和△ACD为全等的等边三角形， 1 则SABn=S4co=5×2×2×sin60°=V5, 2 ∴四面体ABCD的表面积S=SABc+S。cD+S。aD+SACc=2+2+V3+V3=4+2V3, 5540-×2x5-295, 3 则四面体ABCD内切球半径，=3衫22=2V互 =22-6, S4+23 易得BC⊥平面ADO,故四面体ABCD关于平面ADO对称， 则内切球球心O,在平面ADO上， 过O,分别作O,M⊥AO,O,N⊥DO,则BC⊥OM,BC⊥O,N, AO∩BC=O,AO,BCC平面ABC, ∴.OM⊥平面ABC,同理可得O,N⊥平面BCD, ∴O,M=O,N=r=2√2-V6，即四边形O,M0N为正方形， ∴OO,=√20，M=4-2V3,故B错误： 对于CD,根据题意内切球球心O,在平面ADO上，且OO2为∠AOD的角平分线， 设AD的中点为E,又AO=DO=AD=√2，故直线O,O2为直线AE, 4 则△ABC,△ADO为其中一个截面， 又BC⊥平面ADO,O,Ec平面ADO, xok,及2B9-589f 24 在BD上取一点P,作截面PEQO, 由对称性可知，截面PEQO关于OE对称，即当△PEO面积最小时，截面面 积最小， 以O为原点建立空间直角坐标系， 则5a叭.a6529 ---op-(.i.o 设异面直线BD、O,E的公共法向量为i=(x,y,),距离为d, i.BD=-√2x+√2y=0 ，不妨取x=1,则n=(山，l,V3), z=0 4 .d- D10 列 5 5 _1V610⑤ 即点P到QE距离的最小值为Y心，此时S822510 -X 则截面POO面积最小值为西 综上，过直线QO,的平面截四面体ABCD所得的截面的面积最大值为V5,最小值为 ,故CD正 5 确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】0.8【详解】由X~N(2,σ2)可得u=2,因P(X≤0)=0.2， 由正态曲线对称性，得P(X>4)=P(X≤0)=0.2， 则P(X≤4)=1-P(X>4)=1-0.2=0.8 13.【答案】√5 【详解】因为以FF,为直径的圆与C在第一象限的交点为M,所以ME⊥MF, 由直线M俨，与C的一条渐近线平行可得 g台质以会 5 又山发由战定义可相=2a,所以M你-=a,-。所i以 WRl-b-a 2ab 4ab24a」 邮+Buf-Ro06oC,g生 4a(心+a-4c,整理得d=(b-a, (b-a) 所以b=2a,c=V+b=5a,离心率e=9-5a:5. VA 14.【答案】 3W14 > 【详解】由 ccosA 2ccosB =3, acosC bcosC 化简得cCo4」 2ccosB bccosA+2accosB acosC bcosC abcosC sinC (sinBcosA +2sinAcosB) 由正弦定理得 =3, sinAsinBcosC 所以anC((sinBcos4+2sim4cosB） tanC 1 2 =3,又因为tamC= tan4+tanB cosCsinAsinB tand tanB 1-tanAtanB 1.1 设、1 2 =2n,所以tanC=-mn= n+m tan4 tanB 11 1-n nin 又、1 .2 3 2 3 >0, tan tanB tanc' 所以1 tanA tanB tanC 3(1-m)） 所以m+2n= ,所以m2+6mm+2n2=3, m+n 设m+2n=t,所以(t-2n)2+6(t-2n)n+22=3,所以-6m2+2n+t2-3=0有解， 所以△=4-4x(-6)x(-3)=28f72≥0，解得1产≥18，又因为1>0，所以1≥34 7 所以 1+2 tan tanB 的最小值为314 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【小问1详解】 由图可得A=2,7=4xB+石=元， 所以四=2，且合2+9=2版+子keZ得p-2版+骨keZ, 12 6 又因为州经所以9-骨所以八)-2 又因为号+2版≤2x写号2m,keZ,得 3 +m,k∈Z, 2 5π+机≤x 1 12 π）. 所以f(=2s2x+在到 _ππ 5元π 22 上的单调递增区间为 12'12 6分 【小问2详解】 因为/o)=220号，所以m 50 2V6 5 所以cos20= -2W6+V3 10 13分 16.(本小题满分15分) 解：(1)因为a=2,f(x)=-2x3+2x2,f"(x)=-6x2+4x, 则f)=0,f'()=-2. 故点(1,0)处的切线方程为y=-2(x-1), 即2x+y-2=0. (4分) (2)f'(x)=-6x2+2ax(a>0), (-0,0) 0 a-3 3+o f'(x) 0 0 f(x) 递减 0 递增 ) 递减 所以f(x)的单调增区间是 0, 单调诚区间是(，0利[+） 0000004400004000004…0◆0*◆0*0+4 (6分) 由f0)=f 2 0知，当时，>0，当经+时<0 因为对于任意的x∈(3，+o),总存在x2∈(2，+o),使得f(x)·f(x)=2, 当fx)=0时，不成立，故f(x)≠0，所以8≤3，所以a≤6 …(8分) 问题转化为AsB. …(9分) 下面分两种情况讨论： 情形一：当号<2，即a<4时，有f②<0，f)在2+)上单调递减 > 数8时名0，A=(o,f,所以AcB,不符合题意：…2分 情形二：当2≤号3，即4长ac6时，有f30,f在3+四)上单调递藏，故4=(，： 由4长6，得等号2，又在行+上进减，可知当re亿+网时，因e(2: 当fwe←o,f2》时， 2(←,00 f(x) 所以A三B,满足题意. 17. (本小题满分15分) 解：由题意知直线1：y-。x,直线影，：y=-2x:令Px). b b y+一x (1)d+d a a =m, 化简得轨迹方程为：2b2x2+2a2y2=m(a2+b2): a 1+a (3分) 当a=b时，动点P的轨迹为圆；当a≠b时，动点P的轨迹为椭圆， (6分) b b v- v+-x (2)d+d2 a a 整理得轨迹方程为： b a 1 vi+a ay-bx+ay+bx=va2+b'n (9分) 当y≥名x到时：2aw=+6n→y-+6n a 2a 当y≤-b1x时：-2ay=a层+bn→y=- a+bin a 2a 当-21xKy<1x1且x>0时：2bx=Va2+bn→x= √a2+bn a a 26 当-bx水y<1x且x<0时：-2bx=层+n→x=- a2+b2n a a 2b …(（13分） 故动点P的轨迹为矩形。 4……t4…4……4……4… (15分) 18.【小问1详解】 11_1 X=1表示第一次就生成A并结束过程，即第一次预测为A,且审核生成A,P(X=)2×24 X=2表示第二次生成A并结束过程，情况有：第一次预测为A,且审核生成B,第二次预测为A: 第一次预测为B,审核必生成B,第二次预测为A,且审核生成A. 111.111.11 P(X=2)=二×二× +二×1×二× 2222224 .4分 8 【小问2详解】 X=k(1≤k≤2n-1,keN*)时，第k个词元输出为A, 若前面k-1个词元都预测为B,其概率为 若面-1个可元有个损测为4，关概率为c”-k-月”。 故x+- k+1 X2心时，若前面2个词元都没有预测为A,其概率为) 若前面2-1个词元有一个预测为4，其概率为(21-2》 所以X的分布列为： X 2 2n-1 2n .10分 【小问3详解】 由1)得P(X=2)=寻由(2)得P(X-)日， xsm=+2+3日jn)。 (rs-)+2+a-哈+n xs-传，传，++-传，- 度-矿 1 所以P(x=2收≤m川小Pm1-u-22 P(X=2) 4 2m-1 2l--217分 9 19.(1)解：若平面OAB,OAC,OBC两两垂直时， 球面三角形48C面积为整个球面面积的令， …(3分) (AC2=R2+R2-2R2 cos0 (2)(i)证明：由余弦定理有{BC2=R2+R2-2R2cos日2，且AC2+BC2=AB2,消掉R2, AB2=R2+R2-2R2 cos cos0 +cose,-cos=1. …（7分) (i)解：由AD是球的直径，则AB⊥BD,AC⊥CD,又AC⊥BC, 所以AC⊥平面BCD,则AC⊥BD,所以BD⊥平面ABC …(8分) 由直线DA,DC与平面ABC所成的角分别为5，工， 43 所以∠DMB-子∠DCB-骨 3 由R=V3,则AD=2N3,AB=BD=V6,BC=V2,AC=2, 由AC⊥BC,AC⊥BD,BC⊥BD, 以C为坐标原点，以CB,CA所在直线为x,y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图3所示的空间 直角坐标系！ 设BE=t,t∈(0，V6,则C(0,0,0),A0,2,0),B(N2,0,0),D(2,0,6), 则s0.h0),72, ∥2,0,0E2,o,0,0人6} …(9分) 2 设平面OBC的法向量为m=(x,y,z),CB=(N2,0,0),C0 2 6 [m.CB=√2x=0, --当4y+ 则 取z=-2,则y=√6，x=0, 220, 所以m=(0,V6,-2). ……（10分) 设平面EST法向量方=(x,少z), 可9小-小 n.7= 则 2x-y=0, 取x=V2t,则y=t,z=-1, n.7元=2 x+e=0, 要使sin≤5，则/cosa/公Q】 5 所以令1osma-1八6+2L-Lx+迈≥迈 1mn10.3r+i5*3r2+15 即6d-460,解得0<1≤号6 …（13分) 作OO'平行于AC交DC于O',显然O点到平面AEC的距离即为O'到平面AEC的距离，即为O'到EC的 更离，藏当：子6时，0点到平面4BC的距离级小，此时截面积最大，取点（反0子6） 在平面4c中，正-(50号)，a=020,法向量=(20， 球心0到平面ABC距离为d=A0.。1 14 …(15分) 设平面ABC截球0圆半径为r,2=R-d2=3-1=4 1414 所以截面圆面积为2-4 ……（17分) 10