数学（江苏宿迁卷）学易金卷：2026年中考考前预测卷

**基本信息** 2026年中考数学预测卷以科技前沿（如“天问一号”里程）、文化传承（如《增删算法统宗》问题）和实践探究（如净土寺塔测量）为情境，梯度覆盖实数、几何、函数等知识，通过基础题、综合题及创新题（如矩形折叠）考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数运算、代数式、几何性质|第3题以“天问一号”飞行数据考查科学记数法，体现科技情境| |填空题|10/30|函数意义、因式分解、圆与多边形|第6题“绳索量竿”问题传承古代数学文化，考查方程模型| |解答题|10/96|统计概率、几何证明、函数综合、实践探究|24题项目化测量古塔高度，28题矩形折叠探究，综合考查空间观念与推理能力|

2026年中考考前预测卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是 A． B． C． D． 3．我国首次火星探测任务“天问一号”火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里．若将数据830万用科学记数法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，交于E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．《诫子书》中有言“非志无以成学”，将这六个字写在一个正方体的六个面上．如图是该正方体的一种展开图，则原正方体中与“志”字所在面相对面上的汉字是（    ） A．学 B．以 C．成 D．无 6．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺．则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 7．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，第一象限的点A，B分别在反比例函数，的图象上，轴，轴于点D，连接交于点C，交反比例函数的图象于点E，若，则n的值为（　　） A．9 B．8 C．4 D．3 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．) 9．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 10．因式分解：______． 11．写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：________________． 12．如果是任意实数，那么点一定不在第______象限． 13．甲、乙、丙、丁四人平均有邮票38张，甲与乙的平均张数是42，乙、丙、丁三人平均张数是36，则乙有邮票_________张． 14．如果圆锥底面圆的半径为3cm，它的侧面积为12cm2，则这个圆锥的母线长为_____cm． 15．如图，半径为2的过正五边形的顶点C、D，与边、分别相切于点M、N，则劣弧的长度为______． 16．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则_______度． 17．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为______ 18．如图，将长方形纸片沿折叠，使点A落在边上点处，点D的对应点为，若，，点为的中点，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．) 19．（本小题6分)计算：． 20．（本小题8分)先化简，后求值：，其中． 21．（本小题8分)如图，在中，对角线AC所在直线上有两点E、F，满足，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则当　 　°时，四边形是菱形． 22．（本小题8分)重庆市北关中学七年级在本学期举行了速算比赛，为了解该年级525名学生的速算成绩分布情况，随机抽取了部分学生的速算成绩（成绩得分为百分制，用x表示）：A组：，B组：，D组：，E组：，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题： (1)此次调查的总体是 ；（选填“A”或“B”） A．525名学生  B．525名学生的速算成绩 (2)此次调查的样本容量是 ，在扇形统计图中D组所在扇形的圆心角为 度； (3)请把频数分布直方图补充完整； (4)请估计该校七年级速算成绩不低于80分的学生人数． 23．（本小题8分)为保障旅客快捷、安全的出入车站，海安火车站修建了四个自动检票口，分别记为A、B、C、D．当甲、乙两名乘客通过该站检票口时，请回答下列问题： (1)甲通过A检票口的概率是________； (2)用树状图或列表法求甲、乙两名乘客选择不同检票口通过的概率． 24．（本小题10分)某校九年级数学组开展了如何测量物体高度为主题的项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 江苏省高邮市净土寺塔． 高邮市净土寺塔，又称东门宝塔，该塔建于明朝神宗万历三十四年（1606年），2006年江苏省人民政府公布为省级文物保护单位． 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神，测量工具无人机，测角仪等． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得塔的顶端的俯角为；2．再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得塔的顶端的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求净土寺塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 25．（本小题10分)如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 26．（本小题12分)某加工厂购进甲、乙两种原料，每千克甲种原料比乙种原料贵200元，用5万元购买甲种原料和4万元购买乙种原料所购买的数量相同； (1)求甲、乙两种原料的单价； (2)该工厂准备用不多于18万元的资金购进这两种原料共200千克，其中甲种原料不低于70千克，若每千克甲种原料和乙种原料加工的产品售价分别为1400元、1280元，则应该怎样安排进货，才能使销售的利润最大？ 27．（本小题12分)在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 28．（本小题14分)综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角： ． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1） 中的方式操作，延长交于点Q，连接． ①如图2， 当点M在上时， 求的度数． ②请同学们在图2中连接，交于点N．分别求出和的长． (3)拓展应用 如图3，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），正方形纸片的边长仍然为， 仍然按照（1）中的方式操作， 延长交于点Q，连接．当 时，直接写出的长． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 要折叠卧、不要弄破。 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共24分） 1.[AIIBIICIIDI 51AIIBIICIIDI 2.JAIIBIICIIDI 6.1AIIBIICIIDI 3.IAJIBIICIID] 7JAJIBIICIIDI 4.JAlIBIICIIDI 8.AlIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 10. 11. 12 13. 14 15 16 18 丰为m口h休所后山你体+n,丽丝仁m山=阳宀学1h体声T效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本 19.(6左 22.(8分 抽取部分学生速算成绩的 频数直方图 ↑频数 16 15 14 3 12 10 9 6 3 2 0 5060708090100成绩/分 0 A C 23.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) 坊 15 女45 B 25(10分) H B E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26(12分) 27.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28(14分) D D D D M E M F 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 =▣=一。一-一=-▣=■--=▣====一=。▣■▣=▣====。一- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【W][/刀 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共24分）》 1.A][B1IC1[D] 5.[AJ[B][C][D] 2.AJ[B][C1[D] 6.[A][B][C][D] 3.AJ[B1[C1[D1 7[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.A1[B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共30分） 10 11. 12 13 14 15 16. 17 18. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(6分) 20.(8分) 21.(8分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 抽取部分学生速算成绩的 频数直方图 ↑频数 16 15 14 3 10H 9 6 4 3 A 0 5060708090100成绩/分 23.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) P 2150 45° B 25(10分) H B E G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26(12分) 27.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28(14分) D FO 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是 A． B． C． D． 3．我国首次火星探测任务“天问一号”火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里．若将数据830万用科学记数法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，交于E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．《诫子书》中有言“非志无以成学”，将这六个字写在一个正方体的六个面上．如图是该正方体的一种展开图，则原正方体中与“志”字所在面相对面上的汉字是（    ） A．学 B．以 C．成 D．无 6．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺．则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 7．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，第一象限的点A，B分别在反比例函数，的图象上，轴，轴于点D，连接交于点C，交反比例函数的图象于点E，若，则n的值为（　　） A．9 B．8 C．4 D．3 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．) 9．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 10．因式分解：______． 11．写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：________________． 12．如果是任意实数，那么点一定不在第______象限． 13．甲、乙、丙、丁四人平均有邮票38张，甲与乙的平均张数是42，乙、丙、丁三人平均张数是36，则乙有邮票_________张． 14．如果圆锥底面圆的半径为3cm，它的侧面积为12cm2，则这个圆锥的母线长为_____cm． 15．如图，半径为2的过正五边形的顶点C、D，与边、分别相切于点M、N，则劣弧的长度为______． 16．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则_______度． 17．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为______ 18．如图，将长方形纸片沿折叠，使点A落在边上点处，点D的对应点为，若，，点为的中点，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．) 19．（本小题6分)计算：． 20．（本小题8分)先化简，后求值：，其中． 21．（本小题8分)如图，在中，对角线AC所在直线上有两点E、F，满足，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则当　 　°时，四边形是菱形． 22．（本小题8分)重庆市北关中学七年级在本学期举行了速算比赛，为了解该年级525名学生的速算成绩分布情况，随机抽取了部分学生的速算成绩（成绩得分为百分制，用x表示）：A组：，B组：，D组：，E组：，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题： (1)此次调查的总体是 ；（选填“A”或“B”） A．525名学生  B．525名学生的速算成绩 (2)此次调查的样本容量是 ，在扇形统计图中D组所在扇形的圆心角为 度； (3)请把频数分布直方图补充完整； (4)请估计该校七年级速算成绩不低于80分的学生人数． 23．（本小题8分)为保障旅客快捷、安全的出入车站，海安火车站修建了四个自动检票口，分别记为A、B、C、D．当甲、乙两名乘客通过该站检票口时，请回答下列问题： (1)甲通过A检票口的概率是________； (2)用树状图或列表法求甲、乙两名乘客选择不同检票口通过的概率． 24．（本小题10分)某校九年级数学组开展了如何测量物体高度为主题的项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 江苏省高邮市净土寺塔． 高邮市净土寺塔，又称东门宝塔，该塔建于明朝神宗万历三十四年（1606年），2006年江苏省人民政府公布为省级文物保护单位． 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神，测量工具无人机，测角仪等． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得塔的顶端的俯角为；2．再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得塔的顶端的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求净土寺塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 25．（本小题10分)如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 26．（本小题12分)某加工厂购进甲、乙两种原料，每千克甲种原料比乙种原料贵200元，用5万元购买甲种原料和4万元购买乙种原料所购买的数量相同； (1)求甲、乙两种原料的单价； (2)该工厂准备用不多于18万元的资金购进这两种原料共200千克，其中甲种原料不低于70千克，若每千克甲种原料和乙种原料加工的产品售价分别为1400元、1280元，则应该怎样安排进货，才能使销售的利润最大？ 27．（本小题12分)在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 28．（本小题14分)综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角： ． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1） 中的方式操作，延长交于点Q，连接． ①如图2， 当点M在上时， 求的度数． ②请同学们在图2中连接，交于点N．分别求出和的长． (3)拓展应用 如图3，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），正方形纸片的边长仍然为， 仍然按照（1）中的方式操作， 延长交于点Q，连接．当 时，直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的倒数是． 故选：D． 2．下列计算正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．与不是同类项，无法合并，故该选项错误； B． ，故该选项错误； C． ，故该选项错误； D．，故该选项正确． 故选：D． 3．我国首次火星探测任务“天问一号”火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里．若将数据830万用科学记数法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据科学记数法的定义及表示形式，其中，为整数， 则数据8300000用科学记数法表示为：， 故选：A． 4．如图，，交于E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选D 5．《诫子书》中有言“非志无以成学”，将这六个字写在一个正方体的六个面上．如图是该正方体的一种展开图，则原正方体中与“志”字所在面相对面上的汉字是（    ） A．学 B．以 C．成 D．无 【答案】B 【详解】解：根据正方体表面展开图的“一线隔一个”可知， 在原正方体中，“无”与“成”字、“非”与“学”字所在面相对， ∴与“学”字所在面相对面上的汉字是“以”． 故选：B． 6．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺．则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设竿子长为x尺，则索长为尺， 依题意得：，即， 故选：B． 7．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0， ∴． 整理得，． ∵方程有两个实数根， ∴判别式且． 由得，， 解得，． ∴k的取值范围是且． 故选：C 8．如图，在平面直角坐标系中，第一象限的点A，B分别在反比例函数，的图象上，轴，轴于点D，连接交于点C，交反比例函数的图象于点E，若，则n的值为（　　） A．9 B．8 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， 轴，轴，轴， ， 设点的坐标为，则点的坐标为，，， ， ， ，， ， ，， ， 解得， 故选：A． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．) 9．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 10．因式分解：______． 【答案】 【详解】解：． 故答案为： 11．写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：________________． 【答案】两直线平行，内错角相等 【详解】解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：两直线平行，内错角相等， 故答案为：两直线平行，内错角相等． 12．如果是任意实数，那么点一定不在第______象限． 【答案】四 【详解】解：∵， ∴点P的纵坐标大于横坐标， ∴点P一定不在第四象限． 故答案为：四． 13．甲、乙、丙、丁四人平均有邮票38张，甲与乙的平均张数是42，乙、丙、丁三人平均张数是36，则乙有邮票_________张． 【答案】40 【详解】解：（张）， 故答案为：． 14．如果圆锥底面圆的半径为3cm，它的侧面积为12cm2，则这个圆锥的母线长为_____cm． 【答案】4 【详解】解：由扇形面积公式和弧长公式可得， 设圆锥的母线长为lcm， 根据题意知侧面展开扇形的弧长为，从而得到， 解得l＝4，即圆锥的母线长为4cm， 故答案为：4． 15．如图，半径为2的过正五边形的顶点C、D，与边、分别相切于点M、N，则劣弧的长度为______． 【答案】 【详解】解：如图：连接，， ∵半径为2的过正五边形的顶点C、D，与边、分别相切于点M、N， ∴，，， ∴， ∵半径为2， ∴劣弧的长度为：． 故答案为：． 16．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则_______度． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴， 由作图可知：平分， ∴． 故答案为：． 17．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为______ 【答案】 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 18．如图，将长方形纸片沿折叠，使点A落在边上点处，点D的对应点为，若，，点为的中点，则线段的长为______． 【答案】/ 【详解】解：连接，过点N作于点E，如图所示： 则， ∵纸片为长方形纸片， ∴， ， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可知，与关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．) 19．（本小题6分)计算：． 【答案】 【详解】解： 原式 20．（本小题8分)先化简，后求值：，其中． 【答案】，． 【详解】解：原式． 当时，原式． 21．（本小题8分)如图，在中，对角线AC所在直线上有两点E、F，满足，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则当　 　°时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)30 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ，， 又， ， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）当时，四边形是菱形． ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形， 即， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 故答案为：30． 22．（本小题8分)重庆市北关中学七年级在本学期举行了速算比赛，为了解该年级525名学生的速算成绩分布情况，随机抽取了部分学生的速算成绩（成绩得分为百分制，用x表示）：A组：，B组：，D组：，E组：，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题： (1)此次调查的总体是 ；（选填“A”或“B”） A．525名学生  B．525名学生的速算成绩 (2)此次调查的样本容量是 ，在扇形统计图中D组所在扇形的圆心角为 度； (3)请把频数分布直方图补充完整； (4)请估计该校七年级速算成绩不低于80分的学生人数． 【答案】(1)B (2)50、108 (3)见解析 (4)估计该校七年级速算成绩不低于80分的学生约有252人． 【详解】（1）解：此次调查的总体是525名学生的速算成绩， 故选：B； （2）解：此次调查的样本容量是， 在扇形统计图中D组所在扇形的圆心角为， 故答案为：50、108； （3）解：B组人数为（人）， 补全图形如下： ； （4）解：（人）， 答：估计该校七年级速算成绩不低于80分的学生约有252人． 23．（本小题8分)为保障旅客快捷、安全的出入车站，海安火车站修建了四个自动检票口，分别记为A、B、C、D．当甲、乙两名乘客通过该站检票口时，请回答下列问题： (1)甲通过A检票口的概率是________； (2)用树状图或列表法求甲、乙两名乘客选择不同检票口通过的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵海安火车站修建了四个自动检票口，分别记为A、B、C、D． ∴甲通过A检票口的概率是； （2）解：画出树状图如图： 由图可得，共有种等可能出现的结果，其中甲、乙两名乘客选择不同检票口通过的情况有种， ∴甲、乙两名乘客选择不同检票口通过的概率为． 24．（本小题10分)某校九年级数学组开展了如何测量物体高度为主题的项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 江苏省高邮市净土寺塔． 高邮市净土寺塔，又称东门宝塔，该塔建于明朝神宗万历三十四年（1606年），2006年江苏省人民政府公布为省级文物保护单位． 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神，测量工具无人机，测角仪等． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得塔的顶端的俯角为；2．再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得塔的顶端的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求净土寺塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：过点A作于点H，则，设， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 解得， 由题意可知，， ∴， 即净土寺塔的高度为． 25．（本小题10分)如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵，即， 解得， ∴，， 又∵ ∴， ∴，即，解得． 26．（本小题12分)某加工厂购进甲、乙两种原料，每千克甲种原料比乙种原料贵200元，用5万元购买甲种原料和4万元购买乙种原料所购买的数量相同； (1)求甲、乙两种原料的单价； (2)该工厂准备用不多于18万元的资金购进这两种原料共200千克，其中甲种原料不低于70千克，若每千克甲种原料和乙种原料加工的产品售价分别为1400元、1280元，则应该怎样安排进货，才能使销售的利润最大？ 【答案】(1)甲、乙两种原料的单价分别是1000元、800元 (2)甲种原料购进70千克，乙种原料购进130千克时，可使销售的利润最大 【详解】（1）解：设甲种原料的单价为元，则乙种原料的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且均符合题意 答：甲、乙两种原料的单价分别是1000元、800元； （2）解：设销售利润为元，购进甲种原料千克， ， ∵， ∴的值随的增大而减小， ∵， 解得：， ∴当时，取得最大值，此时乙原料进货千克， 答：甲种原料购进70千克，乙种原料购进130千克时，可使销售的利润最大． 27．（本小题12分)在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 【答案】(1) (2)①3；②或． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得抛物线得解析式为， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； ∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴轴，即， ∴当四边形是直角梯形时，只有或， 如图2-1所示，当时， ∵点C的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 如图2-2所示，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点Q作轴于H，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 综上所述，当四边形是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为或． 28．（本小题14分)综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角： ． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1） 中的方式操作，延长交于点Q，连接． ①如图2， 当点M在上时， 求的度数． ②请同学们在图2中连接，交于点N．分别求出和的长． (3)拓展应用 如图3，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），正方形纸片的边长仍然为， 仍然按照（1）中的方式操作， 延长交于点Q，连接．当 时，直接写出的长． 【答案】(1)或或或（任写一个即可） (2)①；② (3)或 【详解】（1）解：对折矩形纸片， ，， 沿折叠，使点落在矩形内部点处， ，， ， ， ， ， 故答案为：或或或（任写一个即可）； （2）解：①由折叠可知，． 在中， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴； ②在中，， 则， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， 在中，； ∵ ∵， ∴， 设，则， ∴； ∴ ∴． （3）解：由折叠的性质可得，， ∵， ， 当点在线段上时， ， ，， ， ， ， 当点在线段上时， ， ，， ， ， ， 综上所述：或． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前预测卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 6 D D A D B B C A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9.号 10.ax(x-2 11.两直线平行，内错角相等 12.四 13.40 14.4 4π 15. 16.2017.-6 三、解答题（本大题共10个小题，共96分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(6分) 【详解】解：|V5-2+-8+(π-3.14)°+2cos30° 原式=2-5-2+1+2x5(4分) =2-√5-2+1+5(5分) =1(6分) 20.(8分) 【详解】解：原式= a+1 a-3(a-1(a+1 小-=1品5分 2一=2.(8分) 当a=5+1时，原式=2+1- 21.(8分) 【详解】(1)证明：连接BD,交EF于点O, 1/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 刀 B ,四边形ABCD是平行四边形， 0B=0D,0A=0C, 又：AE=CF, .AE+0A=CF+0C, 即OE=OF, .四边形BEDF是平行四边形；(4分) (2)当∠DEA=30°时，四边形BEDF是菱形. :∠EDC=90°，EA=AC, .DA=AC, :∠DEA=30°， .∠DCE=60°， .△ADC是等边三角形， :AD =CD, ,四边形ABCD是平行四边形， .四边形ABCD是菱形， ·AC⊥BD 即EF⊥BD, 由(1)可知，四边形BEDF是平行四边形， ∴.四边形BEDF是菱形. 故答案为：30.(8分) 22.(8分) 【详解】(1)解：此次调查的总体是525名学生的速算成绩， 故选：B;(2分) (2)解：此次调查的样本容量是9÷18%=50， 在扇形统计图中D组所在扇形的圆心角为360°×！5=108， 50 2/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故答案为：50、108；(4分) (3)解：B组人数为50-3+13+15+9)=10（人），(6分) 补全图形如下： 抽取部分学生速算成绩的 频数直方图 ↑频数 16B 15 14 13 12 10 10- 6 4 3 5060708090100成绩/分 0 (4)解：525×15+9=252（人），(8分) 50 答：估计该校七年级速算成绩不低于80分的学生约有252人， 23.(8分) 【详解】(1)解：，海安火车站修建了四个自动检票口，分别记为A、B、C、D. “甲通过4检票口的概率是：(4分) (2)解：画出树状图如图： 开始 甲 D 八 个 个 乙ABCDABCD ABC D AB CD 由图可得，共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙两名乘客选择不同检票口通过的情况有12种， ÷甲、乙两名乘客选择不同检票口通过的概率为2-？ 164·(8分) 24.(10分) 【详解】解：过点A作AH⊥PQ于点H,则LAHP=90°，设AH=xm, 3/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 树 P H )15 45° B 在Rt△APH中，∠AHP=90°，AH=xm,∠APH=15°， mg9分 在Rt△AQH中，∠AH0=90°，AH=xm,∠AQH=45°， 六OH=4H。=5=x, tan45°1 .PH-OH=PO, :100x-x=142,(6分) 27 解得x=52.52m,(8分) 由题意可知，BH=BA+AH, .AB=BH-AH=100-52.52≈47.5m, 即净土寺塔AB的高度为47.5m.(10分) 25.(10分) 【详解】(1)证明：连接0C, 则L0AC=∠0CA, 又，BC=CD, BC=CD, :.∠DAC=∠CAB=2 ∠DAB, ∴.∠DAC=L0CA, .OC∥AD, ∴.∠OCE=LF, ,EH平分LFEG, ∴.∠FEG=2LHEG, 4/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠F=∠FEG-∠FAE=2∠HEG-2∠CAB=2(∠HEG-∠CAB)=2∠H=2×45°=90°， .L0CE=∠F=90°， 又.0C是半径， .EF是⊙O的切线；(5分) H B E G (2)解：设⊙O的半径为r,则0E=OB+BE=r+2, 0C2+CE2=0E2,即r2+42=(r+2)2, 解得r=3, ∴.EA=AB+BE=2r+2=8,0E=5, 又.OC‖AD, ∴.△EC0n△EFA, 酷5，即经想啊4r学0分 5 26.(12分) 【详解】(1)解：设甲种原料的单价为x元，则乙种原料的单价为(x-200)元. 由题意得50000、40000 x x-200 解得x=1000, 经检验，x=1000是原方程的解，且x-200=800均符合题意(6分) 答：甲、乙两种原料的单价分别是1000元、800元； (2)解：设销售利润为w元，购进甲种原料a千克， w=1400-1000)a+(1280-800)(200-a=-80a+96000, .-80<0, ∴.w的值随a的增大而减小， a≥70 :1100a+(200-a)800≤18000 5/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得：70≤a≤100， ∴.当a=70时，w取得最大值，此时乙原料进货200-70=130千克，(12分) 答：甲种原料购进70千克，乙种原料购进130千克时，可使销售的利润最大 27.(12分) 【详解】(1)解：，抛物线y=x2+bx+c过A1,1),B(3,1, 1+b+c=1 9+3b+c=1 b=-4 c=4:(4分) (2)解：①由(1)得抛物线y=x2+bx+c得解析式为y=x2-4x+4=(x-2), ∴.点P的坐标为2,0)， 在y=x2-4x+4中，当x=0时，y=4, .点C的坐标为0,4； ,抛物线y=ax2+mr+na≠1过点A,B, a+m+n=1 9a+3m+n=1' m=-4a (n=3a+1' ∴.抛物线y=ax2+mx+na≠1的解析式为y=ax2-4ax+3a+1a≠1)， ∴抛物线y=a2-4ax+3a+1(a≠1的对称轴为直线x=-4=2, 2a 在y=ax2-4ax+3a+1(a≠1中，当x=2时，y=4a-8a+3a+1=-a+1, 当x=0时，y=3a+1, ∴.D(0,3a+1,Q2,-a+1, ∴.CD=|3a+1-4=3a-3=3a-1,P0=-a+1-0=a-1, CD_3a--3,(8分) ipoa-1 ②，02，-a+1,P(2,0), .PQ∥y轴，即PQ∥CD, 6/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .当四边形CDPQ是直角梯形时，只有PQ⊥CQ或PQ⊥DP, 如图2-1所示，当PQ1CQ时， C B D 图2-1 ,点C的坐标为0,4)，Q2,-a+1, ∴.-a+1=4, .a=-3, ∴.3a+1=-8, .D(0,-8), .0D=8, P2,0, .0P=2, 在Rta0PD中，PD=VOD2+OP2=V82+22=2√17， sn<00r-,2=厘】 PD2W1717 如图2-2所示，当PQ1DP时， 7/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 H B DA 10 图2-2 P(2,0,D0,3a+1, .3a+1=0, 1 .a= 3 .-a+1=3 @2: 如图所示，过点2作Q1y轴于，则H0): CH=4-4-8 33QH=2, 在Rt△COH中，由勾股定理得CQ=VCH+QH 8 3 *22=10 sin∠Hcg= QH 2 3 C0=105.(12分) 3 像上所述，当四边形CDPO是直角梯形甜，该直角梯形中最小内角的正弦值为1门或号 17 28.(14分) 【详解】(1)解：：对折矩形纸片ABCD, E气BE=)AB,LAEF=LBEF于 :沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处， ∴.AB=BM,∠ABP=∠PBM, :sin∠BME=BE=L BM2' 8/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠EMB=30°， .∠ABM=60°， ∴.∠CBM=∠ABP=∠PBM=30°， 故答案为：∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC(任写一个即可)；(4分) (2)解：①由折叠可知，BM=BA=8cm,BE=4cm· 在R1ABME中，sin∠BME=BE-4=1 BM 8 2 ∴.∠BME=30 ∴.∠EBM=90°-∠BME=90°-30°=60° ∴.∠MBC=90°-∠EBM=30° 在Rt△BMQ和Rt△BCQ中， BM=BC BO=BO ∴.RtABMO≌Rt△BCO(HL) ∠MB0=∠CB0=x30=15: ②在Rt△ABP中，∠ABP=30°，AB=8, 则tanZABP=AP=AP5 ΓAB83 ..AP= -cm 3 ,四边形ABCD是正方形， .AB=BC=8,∠ABC=90°， 在Rt△ABC中，AC=VAB2+BC2=8V2; :AD∥BC, ·△APN∽△CBN, 能兴 设AN=x,则CN=8√2-x, 8v3 3= 88v2-x ∴.x=4V6-4V2 9/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.AW=4V6-4V2]cm.(10分) (3)解：由折叠的性质可得DF=CF=4cm,AP=PM, ,RtABMOS≌RtABCO, ∴.CQ=MQ, 当点Q在线段CF上时， .FO=1cm, A D E F MO=co =3cm Do=5cm, .PO2=PD2+DO2, (AP+3)2=(8-AP)2+25, :.AP= 7cm,(12分) 40 当点Q在线段DF上时， D .FO=1cm, B MQ=C0=4+1=5(cm),D9=8-5=3cm, PO2=PD2+DO2, (AP+5)2=(8-AP)2+32, AP=24 (14分) 3 cm或24 综上所述：AP=40。 13 cm. 10/10