第4单元长方体（二）（单元自测试卷）-2025-2026学年数学五年级下册北师大版

**基本信息** 北师大版五年级下册第4单元长方体（二）思维练习卷，通过魔方装箱、谷仓改造等真实情境与梯度设计，强化空间观念、运算能力及应用意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|6|体积单位、切割表面积变化|如第2题魔方装箱，考查空间想象与去尾法| |填空|6|容积计算、单位换算|如第7题人体补水，渗透量感与实际应用| |判断|5|体积与表面积区别|如第15题辨析棱长6的正方体，强化概念理解| |计算|2|组合体表面积体积|第19题组合图形，提升空间分解能力| |解答|6|排水法、立体切割|第25题谷仓改造，融合几何与实际规划，培养创新意识|

第4单元长方体（二）思维练习卷-2025-2026学年数学五年级下册北师大版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．下面物体中，体积最接近1cm3的是（    ）。 A．1个骰子 B．1台冰箱 C．1瓶饮料 D．1个集装箱 2．学校的魔方社团要整理学具，乐乐找到了一个长35厘米，宽26厘米，高20厘米的长方体透明塑料箱，要装入棱长为5厘米的正方体魔方，最多可以装（    ）个。 A．140 B．145 C．146 D．150 3．如果正方体的棱长扩大到原来的3倍，则它的表面积扩大到原来的（    ）倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．3；6 B．6；27 C．9；27 D．27；6 4．将一个长4分米的大长方体切成两个长2分米的小长方体，它们的表面积之和比原来的增加了20平方厘米，这个大长方体原来的体积是（    ）立方厘米。 A．300 B．200 C．400 D．40 5．军军设计了一个实验来测量金属块的体积：他先将300毫升的水倒入容积为600毫升的量杯中，然后将一块大金属块和一块小金属块完全浸没水中，此时水面上升到400毫升。接着，他再放入8块相同的小金属块，全部浸没后，水面恰好与量杯口齐平，没有水溢出。一块大金属块的体积是（    ）立方厘米。 A．25 B．75 C．80 D．95 6．一个长方体长8cm、宽6cm、高5cm，截去一个最大的正方体，剩下部分的体积为（    ）cm3。 A．115 B．180 C．24 D．16 二、填空题 7．填上合适的单位或数。 人体每天需要补充2000( )左右的水分。丽丽随身带的保温杯容量是500毫升，她每天至少需要喝( )杯才能满足身体需求。她班上有50名学生，50本数学教科书叠放在一起的体积约为15( )。丽丽书包中一个铅笔盒的体积约是250( )；一块橡皮的体积大约是8( )。 8．小明在超市看到了一款保鲜盒，保鲜盒的尺寸说明如图所示，这个保鲜盒的容积是( )升。 外部尺寸： 内部尺寸： 9．用棱长一样的三个正方体拼成了一个新长方体，它的表面积是350cm2，这个长方体的体积是( )cm3。 10．下面长方体中，涂色部分的面积之和是200平方厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米。 11．一个长方体的玻璃缸长4分米，宽3分米，高5分米，倒入水后，量得水深3.5分米，倒入的水有( )升。 12．乐乐把一个西红柿放入一个长12厘米、宽12厘米、高15厘米的装满水的长方体容器中，这个西红柿的体积是( )立方厘米。 三、判断题 13．一个长方体容器能装水150毫升，我们就说容器的容积是150毫升。( ) 14．用12个体积是1cm3的正方体搭成的所有几何体的体积都是12cm3。( ) 15．棱长是6的正方体体积和表面积一样大。( ) 16．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的4倍。( ) 17．体积是1dm3的正方体，可以分成10000个棱长是1cm的小正方体。( ) 四、计算题 18．计算下面图形的表面积和体积。 19．计算下面图形的表面积和体积。 五、解答题 20．一个长方体木块，长9厘米、宽6厘米、高7厘米。把这个木块削成了一个最大的正方体，削去部分的体积是多少立方厘米？ 21．淘气家准备周末开小车去看望外婆，淘气家到外婆家的路程是240千米，出发前，他们将小车的油箱加满了油，每升汽油可以供淘气家小车行驶12千米。小车的油箱如图所示。 （1）这个油箱最多能装多少升汽油？ （2）如果汽油的价格是每升7.50元，淘气家开小车去外婆家往返的汽油费用是多少元？ 22．如图，将下边铁块放入左边水槽中，水槽中水面上升的高度最多是多少厘米？ 23．用如图所示的五块长方形的亚克力板可以制作一个无盖的长方体。将这个长方体装满水，再倒一部分到一个棱长为2分米的正方体容器中，使得两个容器中的水面同样高，这时两个容器中的水面高度是多少分米？（容器壁厚度忽略不计） 24．一个长方体容器（容器厚度忽略不计）长28厘米、宽25厘米、高50厘米，容器中水深15厘米。将一个底面面积为200平方厘米、高40厘米的长方体铁块竖直放入容器中，放入铁块后容器中的水深多少厘米？ 25．谷仓办公室是将原本用于储存谷物等农产品的传统谷仓，经过精心改造和设计后，转变为满足现代办公需求的空间。农场主张叔叔有个长方体谷仓（实线为外墙），高3米，平面图如下图（图中一格边长1米）。 改造要求： ①改造成办公区、会议室和洗手间三个长方体区域（长、宽均为整米数）。 ②进门是办公区。 ③三个区域的占地面积要满足以下要求3m2＝S洗手间＜S办公区＜S会议室。 （1）请根据改造要求，在平面图中帮张叔叔用墙隔出三个区域（用粗实线代表隔墙），并标出区域的名字。 （2）你设计的办公区的空间是多少立方米？ （3）为了采光，将对谷仓办公室的西面和南面外墙进行改造，把门以外的部分全部改造为落地窗，门高为2米，宽1米。请计算出所需落地窗的面积为多少平方米？（承重柱的宽度忽略不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第4单元长方体（二）思维练习卷-2025-2026学年数学五年级下册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A C C B A 1．A 【分析】1是棱长为1cm的正方体的体积。 【详解】A．骰子大小接近1cm见方的正方体，体积约1； B．冰箱体积大约是1，比1cm3大得多。 C．饮料瓶体积通常是几百立方厘米甚至更多。 D．小型集装箱体积都约是33.2，远比1大得多。 2．A 【分析】用长方体的长除以5算出一行可以装几个，用宽除以5算出可以装几行，用高除以5算出可以装几层。再用每行个数乘行数乘层数即可。 【详解】35÷5＝7（个） 26÷5＝5（个）⋯⋯1（厘米） 20÷5＝4（个） 7×5×4＝140（个） 最多可以装140个。 3．C 【分析】先假设原来正方体的棱长，然后确定扩大后的棱长；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长分别计算出原来正方体和新正方体的表面积、体积；最后用新正方体的表面积除以原来正方体的表面积、用新正方体的体积除以原来正方体的体积。 【详解】设原来正方体的棱长是1，那么新正方体的棱长是3。 所以表面积扩大到原来的9倍，体积扩大到原来的27倍。 4．C 【分析】长方体切割成两段后，表面积增加的部分等于2个横截面的面积，同时需要注意长度单位的换算，将分米化为厘米，最后利用体积公式计算。 【详解】横截面面积＝20÷2＝10（平方厘米） 4分米＝40厘米 大长方体体积＝横截面面积×长 ＝10×40 ＝400（立方厘米） 这个大长方体原来的体积是400立方厘米。 5．B 【分析】根据排水法原理，上升的那部分水的体积等于金属块的体积之和。由题可知，一块大金属块和一块小金属块的体积是400－300＝100（毫升），8块小金属块的体积是600－400＝200（毫升）。据此可以求出一块小金属块的体积，从而求出一块大金属块的体积。 【详解】（600－400）÷8 ＝200÷8 ＝25（毫升） 25毫升＝25立方厘米 400－300－25 ＝100－25 ＝75（毫升） 75毫升＝75立方厘米 6．A 【分析】先根据长方体体积＝长×宽×高，求出原长方体体积，再确定能截出的最大正方体的棱长为长方体的最小边长（5cm），根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体体积，最后用长方体体积减去正方体体积，求出剩下部分的体积。 【详解】8×6×5－5×5×5 ＝240－125 ＝115（cm3） 剩下部分的体积为115cm3。 7． 毫升/mL 4 立方分米/ 立方厘米/ 立方厘米/ 【分析】第1空，人体每天补水2000毫升左右。 第2空，用2000除以500即可算出需要几杯。 第3空，一本大的词典的体积约是1立方分米，50本数学书体积约是15立方分米。 第4空，一颗弹珠的体积约是1立方厘米，铅笔盒的体积约是250立方厘米。 第5空，一颗弹珠的体积约是1立方厘米，一块橡皮的体积大约是8立方厘米。 【详解】2000÷500＝4（杯） 人体每天需要补充2000毫升左右的水分。丽丽随身带的保温杯容量是500毫升，她每天至少需要喝4杯才能满足身体需求。她班上有50名学生，50本数学教科书叠放在一起的体积约为15立方分米。丽丽书包中一个铅笔盒的体积约是250立方厘米；一块橡皮的体积大约是8立方厘米。 8．21.12 【分析】容积：容器内部所能容纳物体的体积。把毫米换算成分米，根据长方体的容积＝长×宽×高，用内部尺寸计算。再根据1立方分米＝1升换算单位即可。 【详解】400毫米＝4分米 240毫米＝2.4分米 220毫米＝2.2分米 4×2.4×2.2＝21.12（立方分米） 21.12立方分米＝21.12升 9．375 【分析】通过实际操作可知把三个棱长一样长的正方体拼成一个长方体，则长方体的表面积比原三个正方体的表面积的和减少了4个面的面积。一个正方体有6个面，先乘3求出原三个正方体的面的个数和，再用面的个数和减去4，求出拼成长方体后的面的个数。接着用新长方体的表面积÷拼成长方体后的面的个数＝原正方体一个面的面积，据此可以找到原正方体的棱长，同时也是新长方体的宽和高，再根据新长方体的长＝正方体的棱长×3，求出长方体的长，代入体积＝长×宽×高，求出新长方体的体积。 【详解】3×6－4 ＝18－4 ＝14（个） 350÷14＝25（cm2） 因为5×5＝25（cm2），所以正方体的棱长为5cm。 长方体的长：5×3＝15（cm） 长方体的体积：15×5×5 ＝75×5 ＝375（cm3） 10．960 【分析】①左涂色面：高×宽 底涂色面：长×宽 所以，涂色总面积＝（高＋长）×宽。 ②算“高＋长”的和：（厘米） ③求长方体的宽： 用总面积除以“高＋长”的和，就得到宽。 ④计算长方体体积：体积＝长×宽×高 【详解】（厘米） （厘米） （立方厘米） 因此，这个长方体的体积是960立方厘米。 11．42 【分析】根据长方体体积公式，用长×宽×水深，求出水的体积，再根据1立方分米＝1升，把水的体积换算成容积。 【详解】4×3×3.5 ＝12×3.5 ＝42（立方分米） 42立方分米＝42升 12．432 【分析】由题意可知，这个西红柿的体积等于排出水的体积，排出水的体积＝容器的底面积×排出水的高度，据此解答。 【详解】12×12×（15－12） ＝12×12×3 ＝144×3 ＝432（立方厘米） 所以，这个西红柿的体积是432立方厘米。 13．√ 【分析】根据容积的意义：容积是指容器所能容纳物体的体积，据此解答。 【详解】根据分析可知，一个长方体容器能装水150毫升，我们就说容器的容积是150毫升。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握容积的意义是解答本题的关键。 14．√ 【分析】用12立方厘米的正方体拼成的每一个立体图形，无论拼成什么样的立体图形，它的体积都是12立方厘米，据此判断。 【详解】12×1＝12（cm3） 用12个体积是1cm3的正方体搭成的所有几何体的体积都是12cm3，所以题意说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了正方体的体积知识，要灵活掌握。 15．× 【分析】根据正方体的表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，因为表面积和体积不是同类量，所以它们不能进行比较。 【详解】根据分析可知，表面积和体积不是同类量，所以它们不能进行比较； 棱长是6的正方体体积和表面积无法比较。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查的目的是理解正方体的表面积、体积的意义，明确：表面积和体积不是同类量，所以它们不能进行比较，能进行比较的只有同类量。 16．× 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，和积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。由此解答。 【详解】设原来的长方体的长为3、宽为2、高为1，则长、宽、高都扩大到原来的2倍的长方体的长为6、宽为4、高为2；分别计算出两个长方体的体积，再求出长、宽、高都扩大到原来的2倍的长方体的体积是原长方体体积的几倍即可。 设原来的长方体的长为3、宽为2、高为1。 3×2×1 ＝6×1 ＝6 （3×2）×（2×2）×（1×2） ＝6×4×2 ＝24×2 ＝48 48÷6＝8 一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的8倍，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题主要考查长方体的表面积和体积的计算方法以及积的变化规律。明确积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。 17．× 【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出棱长是1厘米的正方体的体积，再用体积是1dm3正方体的体积÷棱长是1cm正方体的体积，即可求出可以分成多少个棱长是1cm的正方体，再进行判断。 【详解】1dm3＝1000cm3 1000÷（1×1×1） ＝1000÷（1×1） ＝1000÷1 ＝1000（个） 体积是1dm3的正方体，可以分成1000个棱长是1cm的小正方体。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查立体图形的切拼，以及正方体体积公式的应用，注意单位名数的统一。 18．（1）表面积1160cm2；体积2400cm3；（2）表面积864dm2；体积1728dm3 【分析】（1）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求解。 （2）正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【详解】（1）长方体的表面积： （20×8＋20×15＋8×15）×2 ＝（160＋300＋120）×2 ＝580×2 ＝1160（cm2） 长方体的体积： 20×8×15 ＝160×15 ＝2400（cm3） （2）正方体的表面积： 12×12×6 ＝144×6 ＝864（dm2） 正方体的体积： 12×12×12 ＝144×12 ＝1728（dm3） 19．表面积： 576 体积： 540 【分析】根据图可知，表面积可以看作上下两个长方体拼在一起，可将上面长方体上面的面补到下面长方体中上面缺的部分，再加上剩下四个面的面积。根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，先求出一个完整的长方体的表面积，再加上剩下四个面的面积即可；根据长方体的体积公式：长×宽×高；分别求出两个物体的体积再相加即可。 【详解】表面积：（24×3＋3×6＋6×24）×2＋（6×6＋3×6）×2 ＝（72＋18＋144）2＋（36＋18）2 ＝234×2＋542 ＝468＋108 ＝576（） 体积：24×3×6＋6×3×6 ＝432＋108 ＝540（） 20． 162立方厘米 【分析】要削成最大的正方体，正方体的棱长由长方体的最短边决定。原长方体长9厘米、宽6厘米、高7厘米，最短边为6厘米，所以正方体棱长为6厘米。 根据“长方体体积＝长×宽×高”求出长方体的体积，根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体的体积，最后用长方体的体积减去正方体的体积即可求出削去部分的体积。据此解答。 【详解】9×6×7 ＝54×7 ＝378（立方厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 378－216＝162（立方厘米） 答：削去部分的体积是162立方厘米。 21．（1）54升 （2）300元 【分析】（1）由图可知，长方体油箱长6分米、宽3分米、高3分米，根据“长方体体积（容积）＝长×宽×高”可求出长方体油箱的容积，再根据“1立方分米＝1升”将立方分米换算为升。 （2）已知淘气家到外婆家的路程是240千米，往返共行驶240×2＝480千米；每升汽油可行驶12千米，用总路程除以每升汽油行驶的路程可求出所需汽油量；每升汽油7.50元，然后用每升汽油的价格乘所需汽油量即可求出往返所需汽油的总费用。 【详解】（1）6×3×3 ＝18×3 ＝54（立方分米） 54立方分米＝54升 答：这个油箱最多能装54升汽油。 （2）240×2＝480（千米） 480÷12＝40（升） 40×7.5＝300（元） 答：淘气家开小车去外婆家往返的汽油费用是300元。 22．0.3厘米 【分析】水面上升的体积就是铁块的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，求出铁块的体积，即水面上升的体积，水面上升的体积÷水槽底面积＝水面上升的高度。 【详解】6×2×1÷（8×5） ＝12÷40 ＝0.3（厘米） 答：水槽中水面上升的高度最多是0.3厘米。 23．0.6分米 【分析】无盖的长方体没有上面，只有1个形状的长方形亚克力板是无盖长方体的底面。观察5块长方形的亚克力板可知，长方体的长3分米，宽2分米，高1分米，根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积÷长方体和正方体的底面积和＝两个容器中的水面高度。 【详解】3×2×1＝6（立方分米） 6÷（3×2＋2×2） ＝6÷（6＋4） ＝6÷10 ＝0.6（分米） 答：这时两个容器中的水面高度是0.6分米。 24．21厘米 【分析】根据放入前后水的体积不变，先根据柱体的体积＝底面积×高，计算放入前水的体积，再根据柱体的高＝体积÷底面积，利用水的体积除以放入后水的底面积，即可得到放入后水的高度。 【详解】28×25×15 ＝700×15 ＝10500（立方厘米） 28×25－200 ＝700－200 ＝500（平方厘米） 10500÷500＝21（厘米） 答：放入铁块后容器中的水深21厘米。 25．（1）见详解 （2） 见详解 （3）25平方米 【分析】（1）要满足三个区域长、宽均为整米数，且3m2＝S洗手间＜S办公区＜S会议室，同时进门同时进门是办公区，需结合平面图方格边长为1米的条件，通过尝试不同的长和宽组合来划分区域。例如先确定洗手间最小面积为3平方米（如长3米、宽1米 ），再据此安排办公区和会议室，保证面积依次增大； （2）求办公区空间即求其体积，已知谷仓高3米固定。在（1）中划分好办公区后，确定其长和宽，根据“长方体体积＝长×宽×高”即可算出体积； （3）先分别计算西面和南面外墙面积，根据“长方形面积＝长×宽”，通过平面图估算长和高来计算，然后算出一扇门的面积，最后用两面墙总面积减去门的面积，就得到所需落地窗面积。 【详解】（1） （2） 3×2×3 ＝6×3 ＝18（立方米） 答：我设计的办公区的空间是18立方米。 3×2×3 ＝6×3 ＝18（立方米） 答：我设计的办公区的空间是18立方米。 3×2×3 ＝6×3 ＝18（立方米） 答：我设计的办公区的空间是18立方米。 5×1×3 ＝5×3 ＝15（立方米） 答：我设计的办公区的空间是15立方米。 （3）3×3＋6×3－1×2 =9＋18－2 =27－2 =25（平方米） 答：所需落地窗的面积为25平方米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $