安徽省涡阳县第三中学2025——2026学年度第二学期第一次质量检测高二数学试题

涡阳三中2025-一2026学年度第二学期第一次质量检测 高二数学试题 (分值：150分时间：120分钟命题人：孙梦慧审题人：赵娜) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.等比数列4，x,9,,则实数x的值为( ) A.6 B.号 C.6 .号 2.用数字0,1,2,3,4组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为( A.60 B.30 C.36 D.21 3.设AcB,P(4)=03,P(B)=0.6,则P(B)=( ) A司 R音 C. D. 4.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式 共有( A.48种 B.36种 C.24种 D.12种 5.已知随机变量X服从两点分布，若E(x)=02,则D(X)=( ) A.1.6 B.0.36 C.0.2 D.0.16 6.在2x~的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为 A.-60 B.-20 C.20 D.60 7.己知离散型随机变量X的分布列如下，若E(3X+4)=5,则a+b=( X -1 0 2 2 1 12 4 B.1 13 C.12 D.6 8.定义h+n++ 一为n个正数乃，P2,…,Pn的“均倒数”，若已知数列{a}的前n项的 “均倒数”为动，。号则6等于( 5 A.21 B.19 C.17 D.15 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若1-2x)=a,+a4x+a,x2+h+asx6，则下列选项正确的有（ A.a=-4052 B.展开式中所有项的二项式系数的和为26 涡阳三中命题中心研制 第1页共4页 时小中逐5 C.奇数项的系数和为-3 2 D. +经++n+器= 10.下列选项正确的是（ A.数据2,1,4,3,2,5,4,1的第45百分位数是3 B.已知线性相关系数为，若川越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 C.回归直线方程为=0.x+1.4,则样本点(6,2.1)的残差为0.1 .随机变量y限从二项分布小，若方差0)-子则P=2小品 11.某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A,B,C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工 作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是( ) A.所有不同分派方案共4种 B.若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种 C.若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种 D.若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设等比数列{a}的前n项和为Sn,a,+a。=27,S,=39,则S2= 13.有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产2000件、 3000件、5000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取 一件，则取到次品的概率为 14.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取 球8次，记取出红球的次数为x则X的方差D(X)= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 某机构做了一项调查，对某市使用智能手机人群的年龄、日使用时长情况做了统计，其中将 18~40岁的人群称为“青年人”，其余人群称为“非青年人”.根据调查发现“青年人”使用 智能手机占比为60%，“非青年人”使用智能手机占比为40%：日均使用时长情况如下表： 时长 2小时以内 2~3小时 3小时以上 频率 0.4 0.3 0.3 t-UEY 将日均使用时长在2小时以上称为“频繁使用人群”，使用时长在2小时以内称为“非频繁使 涡阳三中命题中心研制 第2页共4页 用人群”，己知“频繁使用人群”中有是“背年人” 现对该市“日均使用智能手机时长与年龄的关系”进行调查，采用随机抽样的方法，抽取一 个容量为200的样本， (1)请你根据上面提供的数据，补全下列2×2列联表： 背年人 非青年人 总计 频繁使用人群 非频繁使用人群 总计 (2)根据(1)中的列联表，参照附表判断：有多大把握认为“日均使用智能手机时长与年龄 有关”？ P(x2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16.(本小题满分15分) 近年来，“双11网购的观念逐渐深入人心.某人统计了近5年某网站“双11当天的交易额， 统计结果如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 3 5 交易额y/亿元 16 20 27 30 (1)根据上表数据，计算y与x的线性相关系数？，并说明y与x的线性相关性强弱.（已知： 0.5ss1,则认为y与x线性相关性很强：0.3≤<0.75，则认为y与x线性相关性般：日≤025， 则认为y与x线性相关性较弱.) (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测2021年该网站“双11"当天的交易额. 参考数据：V5340≈57.8，参考公式：a=-阮，1x=357,1x好=55,517= 2334,r= 1y-n可 5,6=-n呵 1子-n17- 哈1好- 涡阳三中命题中心研制 第3页共4页 特视中时面中， 17.(本小题满分15分)一二乙C05 某单位文娱队中的每一位队员对于唱歌、跳舞都至少会一项，已知会唱歌的有4人，会跳舞 的有5人，现从中选出2人参与一次社会公益演出.设5为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人 数，且P6≥)-品 (1)求该文娱队的队员人数： (2)求随机变量5的分布列和数学期望E(5). ,. 18.(本小题满分17分) 已知数列{a}的前n项和为S，满足2Sn=3a。-1(neN) (1)求{a}的通项公式： (2)若b,=(2-1)an,求数列{b}的前n项和Tn. on. 4 19.(本小题满分17分) 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参 赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中 一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分， 未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设 甲每次投中的概率为P,乙每次投中的概率为4，各次投中与否相互独立. (1)若p=0.4,g=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率。 (2)假设0<p<g, (i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 西顺.行过及于 《示：1中 涡阳三中命题中心研制 第4页共4页参考答案 题号 2 6 7 8 9 10 答案 B C A D D C B ABD BCD 题号 11 答案 BCD 1.C 【分析】根据等比数列的定义列方程求x即可. 【详解】因为数列4，x,9,…为等比数列，所以数列4，x,9为等比数列，所以x2=49, 所以x=6,C正确，故选：C. 2.B 【分析】通过个位数分别为0,2,4，讨论即可： 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0,2,4，有3种选择， 因为这是一个三位数，所以百位数不能是0. ①当个位数为0时，有4x3=12种， ②当个位数为2或4时，有2×3x3=18种.综上，有30种. 故选：B. 3.C 【分析】根据条件概率公式进行求解即可. 【详解】因为A≤B,P(A)=0.3,P(B)=0.6, 所以P(AB)=P(A=03,所以P(4B)=PB）_031 P(B)0.62 故选：C 4.A 【分析】利用“元素相邻捆绑法”求解即可， 【详解】将甲和乙看作一个整体，有A=2种方法， 将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有A=24种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：2×24=48种. 5.D 【分析】根据两点分布，设P(X=1)=p,利用方差的计算公式即可求解 【详解】设P(X=1)=p,则E(X)=p=0.2, 所以D(X)=0.2×(1-0.2)=0.16」 故选：D 6.D 【分析】利用二项式系数的最大性求出，进而求出展开式常数项， 【详解】在(2x-左”的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则”=6， 因此2：展开式中的常数项为c2(=2cg=60. 涡阳三中命题中心研制. 第1页共8页 故选：D 7.C 【分析】根据概率之和等于1建立等式求解出b,再利用期望的性质及算法建立等式求解a, 即可求解， 【详解】由题意知+b+子1， 11 12 解得b=1 2 因为E(3X+4到=5，所以3B(X)+4=5,即E(x=} 则B(x)=-1x+0x+ax2x 11 43’ 二 12 12 4 解得a=1,所以a+b=13, 12 故选：C. 8.B [S,n=1 【分析】根据“均倒数”求得数列{a}的前n项和S,利用a.= 8-S1,n≥2求得a,进而求 得b.,从而求得bo. 【详解】设Sn是数列{a}的前n项和， 1 由 41+a2+.…+g5n' 得Sn=a+4,+…+a.=5m2,则Sn1=5(n-)(n≥2)， 4.=S.-Sn1=102-522),当n=1时，a=5也满足. 故a.=10n-5,b.=2n-1,所以b。=2×10-1=19 故选：B 9.ABD 【分析】通过对二项式展开式中的x赋予特殊值，结合二项式系数的性质，快速求出各项系 数、系数和及特定系数和，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A:因为(1-2)2026=a,+a4x+a,2+A+a6r2o26，因此4=C206(-2)=4052,故A 正确： 对于B:展开式中所有项的二项式系数的和为2226，故B正确： 对于C:令x=1,可得a+4+a2+4+A+4026=1: 再令x=-1,可得a,-a+4,-a,+Λ+a6=32026， 将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为3”“，故 故C错误： 涡阳三中命题中心研制. 第2页共8页 对于D:令则a+受+经+经N+器0， 22026 再令x=0,可得4，=1-0)2026=1， 所以+++A+器=-1，故D正确。 22223 22026 10.BCD 【分析】对于A:利用百分位数定义即可得到结果：对于B:越接近1，则两个变量的线性 相关性越强，对于C:利用残差定义即可得到结果；对于D:利用二项分布的方差公式即可求 得结果. 【详解】对于A,数据从小到大排列为1,1,2,2,3,4,4,5，因为8×45%=3.6，所以数据的第45百 分位数为2，故A错误； 对于B,若线性相关系数的绝对值~越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故B正确： 对于C,令x=6,得)=0.1×6+1.4=2，则所求残差为2.1-2=0.1，故C正确： 对于D,可得4切0-)子解得p或p-子。 当P时，可得r2)c西 当P时，可得--c器 4 综上可得，总有P(仅=2) 27 128’故D正确， 故选：BCD, 11.BCD 【分析】求得所有不同分派方案数判断选项A;求得每家企业至少分派1名医生的所有不同 分派方案数判断选项B:求得每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业的所有不同分 派方案数判断选项C求得C企业最多派1名医生的所有不同分派方案数判断选项D 【详解】选项A:所有不同分派方案共种.判断错误： 选项B:若每家企业至少分派1名医生， 先把4名医生分成3组(2人，1人，1人)再分配 则所有不同分派方案共CCCA4=36(种)，判断正确： A 选项C:若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业， 则A企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生， 则所有不同分派方案共CCCA+CA?=12(种).判断正确： 选项D:若C企业最多派1名医生，则C企业可以有1名医生和没有医生两种情况， 则不同分派方案共C4×2+24=48(种).判断正确. 故选：BCD 12.3 涡阳三中命题中心研制. 第3页共8页 【分析】设等比数列{a}的公比为9，根据题意可得出关于S,、9的方程组，即可解出S,的值， 【详解】设等比数列{a}的公比为9，则a+a。=q(a+4)=S2=27,① S6=(a+a2)+(a4+a4)+(a+a)=(a4+a2)+q(a+42)+q(a+2) =(1+q4+q)S,=39,② ②÷①得4+g+113 ， 整理可得4q-9q-9=0,解得q=3, 故3-27-27=3. 故答案为：3. 13.0.052 【分析】记事件A、A、A分别表示所抽取的产品由甲、乙、丙工厂生产，记事件B为“所 抽的产品为次品”，利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件A、A、A分别表示所抽取的产品由甲、乙、丙工厂生产，记事件B为“所 抽的产品为次品”， 则P(A)=0.2,P(A)=-0.3,P(A)=0.5,P(BA)=0.06,P(BA)=P(BA)=0.05, 由全概率公式可得P(B)=∑P(4)P(B4)=0.2×0.06+0.3×0.05+0.5×0.05=0.052. 故答案为：0.052. 14.2 【分析】求出每次取到红球的概率，随机变量X服从二项分布，利用二项分布的方差公式直 接计算即可. 【详解】每次取球时，取到红球、黑球的概率都是；，8次取球可以看出8次独立重复试验， 所以红球出现的次数X~B 82 所以(0=8x2x1-2-2. 21 故答案为：2 15.(1)填表见解析 (2)有99%的把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关” 【分析】（1)通过计算可得列联表： (2)计算卡方，对照临界值表可得答案 【详解】(1)200人中，青年人有200x60%=120(人)，非青年人有200-120=80（人）： 频繁使用人群有20x06-120(人)，频繁使用人群中青年人有120×}0（人）. 补全2×2列联表如下： 青年人 非青年人 总计 频繁使用人群 90 30 120 非频繁使用人群 30 50 80 涡阳三中命题中心研制. 第4页共8页 总计 120 80 200 (2)经计算，得到x=200x0×50-30x30 28.125>6.635, 120×80×120×80 所以有99%的把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”. 16.（1)r≈0.986；变量y与x的线性相关性很强；（2))=2.9+5.7x;可预测2021年该网站 “双11”当天的交易额数约为37.1亿元 【分析】(1)首先根据表中数据求出x,y,再求出相关系数即可判断线性相关性的强弱， (2)利用最小二乘法求出线性回归方程，再将x=6代入回归方程即可求解. 【详解】(1)由题意，根据表格中的数据， 可得=1+2+3+4+5-3，=7+16+20+27+30=20， 5 5 ∑xy-5 357-5×3×20 √55-5×3×3√2334-5×20×20 5757 ≈0.986 V334057.8 因为0.75<0.986≤1，所以变量y与x的线性相关性很强. 5 xy-5w (2)6=台 357-5×3×20_57=5.7. 5 ∑x-52 55-5×3×310 =1 à=-bm=20-5.7×3=2.9 可得y关于x的线性回归方程为=2.9+5.7x 令x=6,可得37.1， 即可预测2021年该网站“双11”当天的交易额数约为37.1亿元. 17.(1)7 ②)分布列见解析，B()-号 【分析】(1)设该文娱队中既会唱歌又会跳舞的有m人，则文娱队共有(9-m)人，只会一项 的是(9-2m)人，利用P≥-引可得P(5=)-”,从而可求出结果， (2)由题意可知5可能的取值为0,1,2，然后求出相应的概率，从而可求出随机变量5的 分布列和数学期望E(5). 【详解】(1)设该文娱队中既会唱歌又会跳舞的有m人，则文娱队共有(9-m)人，只会一项 的是(9-2)人. P-0)-, 涡阳三中命题中心研制. 第5页共8页 P(52)=1-P(5=0=1Ccga -2引，化简得92m8-2m_10 即g10 (9-)8-m=2i,又eN,解得：m=2, .该文娱队的队员人数为7： (2)5可能的取值为0,1,2， 由(1)可知，该文娱队共有7人，既会唱歌又会跳舞的有2人，只会一项的是5人. P-0-9P5--g-员 P6=28 5的分布列为 0 1 2 10 10 1 21 21 21 )=0兴1 10 +2 14 21 x217· 18.(1)a=3-1 (2)Tn=(n-1)×3+1 【分析】（1)当n=1时，求出4=1，当n≥2时，判断出数列为等比数列，根据等比数列的通 项公式可求得结果： (2)将(1)中的通项公式代入，根据错位相减法可求得结果. 【详解】（1)当n=1时，2a=2S=3a-1,解得a=1, 当n≥2时，2Sn-1=3a-1-1, 则2an=2Sn-2S4-1=3a-3a-1, 化简得a.=3a-1, 所以{a}是以首项为4=1，公比q=3的等比数列， 所以4=4q1=31； (2)由（1)可得a=31,则b,=(2n-1)a=(2n-1)x3-1, T=b+b,+b,+Λ+b.=1×3°+3x3+5×32+A+(2n-1)x3①， 涡阳三中命题中心研制. 第6页共8页 3T=1×3+3x32+5×33+Λ+(2-1)x3”②， ①-②得-2T=1+2×3+2×32+Λ+2x3-1-(2n-1)x3 =1+2(3+32+Λ+3w-1)-(2n-1)×3” =1+2×301-3) 1-3 (2r1k3=-2-2r23", 所以Tn=(n-1)x3+1. 19.(1)0.686 (2)(i)由甲参加第一阶段比赛；(i)由甲参加第一阶段比赛： 【分析】(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； (2)(i)首先各自计算出=「1-1-p)门q,2=[1-1-g)]p,再作差因式分解即可判断； (i)首先得到X和Y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比 较大小即可. 【详解】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶 段也至少投中1次， ∴比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.6)1-0.53)=0.686. (2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 P=「1-1-p)3q, 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为卫=1-1-q)°p, ⊙0<p<q, ∴.P-=q3-(g-pg)3-p3+(卫-pg) =(q-p)(g2+pq+p)+(p-q).(p-pq)+(g-pq)2+(p-pq)(q-pq) =(p-q0(3pq-3p2q-3pq） =3pqp-qpq-p-q)=3p9(p-q)[1-p)1-q)-1]>0, “>卫，应该由甲参加第一阶段比赛 (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15， P(X=0)=A-p+[1-A-p]·a-q, P(x=5)=1-(1-p)Cq-1-qg)2, P(X=10)=1-Q-p)]C知a-q）, P(x=15)=[1-0-p)]·q, 涡阳三中命题中心研制. 第7页共8页 E(X0=151-1-p)39=15(p3-3p2+3p)q 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15， 同理E()=15(q-3q+3qp .E(X)-E(Y)=15[pg(p+g)(p-q)-3pq(p-)] =15(D-q)pqD+q-3), 因为0<p<9,则p-q<0,p+q-3<1+1-3<0, 则(p-q)pq(p+q-3)>0, ∴应该由甲参加第一阶段比赛 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解 从而比较出大小关系，最后得到结论 涡阳三中命题中心研制. 第8页共8页