8.2立方根-导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

姓名: 学科: 日期: 8.2 立方根（2课时）导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 日期：2026年4月29日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历问题探究，认识与理解立方根与开立方的概念；（数学抽象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握立方根的性质与运算技巧，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算•重难点） 【学习过程】 1、 情景问题 1. 问题 已知一个正方体形状包装盒的容积是，则包装盒的棱长是多少呢？ 2.探究 解:设这种包装盒的棱长为,则 这就是要求一个数,使它的立方等于8. ∵, 且除 以外,任何一个数的立方都不等于8 ∴. 答:包装盒的棱长是. 二、立方根与开立方 （一）立方根的概念与表示 一般地,如果一个数的 等于,即,那么这个数叫作的 (cube root)或 ,记作： ，读作：“ ”. 其中叫做 ，符号“”叫做“ ”，“3”称为“ ”，且中的根指数“3” 省略. 例如,∵，∴2是8的立方根,记作： . （2） 开立方的概念 1.开立方的定义 求一个数的 的运算,叫作开立方. 2. 探究 观察下面数字并连一连，看看你有什么发现？ 3.逆运算：开立方与立方互为 运算.根据这种互逆关系,可以求一个数的 . （3） 立方根的性质 1. 问题探究1 根据立方根的意义填空: （1）∵,∴1的立方根是 ; （2）∵,∴的立方根是; （3）∵,所以的立方根是； （4）∵,∴的立方根是; （5）∵,∴的立方根是; 你能发现正数的立方根有什么特点吗?负数呢?0的立方根是多少? 2. 立方根的性质1 由上探究可知 （1）正数的立方根是 , （2）负数的立方根是 , （3）0的立方根是 ，记作 . 注1：任何一个数都只有 立方根,且立方根的符号要与 的符号保持 . 注2：立方根等于本身的数有 . 注3：立方根中被开方数可为 . 3.问题探究2 （1）问题 计算和，它们有什么关系？和呢？你能从中发现什么规律？ （2）探究： ①∵ , ∴， 又∵ , ∴ 故 . ②∵ , ∴， 又∵ , ∴， 故 . 3. 立方根的性质2（符号提前性） 由上探究可知 一般地， 三、平方根与立方根的联系与区别 平方根 立方根 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为 运算 0的开方 0的平方根与立方根都是 . 区 别 概念 一般地,如果一个数的 等于,即 ,那么这个数叫作的平方根(square root)或二次方根，记作： . 一般地,如果一个数的 等于,即 ,那么这个数叫作的立方根(cube root)或三次方根,记作： . 性质 正数 平方根有 个，且互为 . 立方根只有 个，且符号为 . 负数 平方根 立方根只有 个，且符号为 . 表示方法 ，根指数2常 不写 ，根指数3 省略 被开方数 中的被开方数为 中的被开方数可为 4、 实例运用 例1．求下列各数的立方根： (1)； (2)343； (3)； (4)． 例2．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 例3．求下列各式中的值： (1) (2) 例4．已知的算术平方根是3，的立方根是2，是绝对值最小的数． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 5、 达标检测 1．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．已知某正数的两个不同平方根是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 4．解方程： (1)； (2)． 5．已知2既是的平方根，也是的立方根，请求出的平方根． 6．已知实数的一个平方根是，的立方根是． (1)求、的值． (2)求的平方根． 7．解方程，求x的值： (1)； (2)． 8．已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 9．已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 10．已知是27的立方根，是的算术平方根与的立方根的和，是的平方根． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小； (2)求的所有可能值． 11．若正数x的两个平方根是和，b的立方根是，求的算术平方根． 12．（1）若，，求的值； （2）a是的立方根，b是的算术平方根，求的立方根． 13．如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 14．观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 15．阅读素材，并解决三个任务． 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ， ． 能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 的个位数是， 能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 深入探究 (1)思考1：步骤二中怎么确定立方根的个位上的数： 分析：___________，，，从而由，看出当被开方数尾数是9时，立方根结果尾数也是9． 思考2：步骤三中为什么要划去后面的三位319？ 分析：我们知道，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动___________位．划去后三位数字可以近似看成除以1000，从而立方根结果看成除以10，就能快速估算出立方根的十位数字了． 任务2 解决问题 (2)已知是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是___________位数； ②它的立方根的个位上的数是___________；十位上的数是___________； 任务3 拓展应用 (3)一个实心正方体钢块的体积是，棱长为整数厘米．请不使用计算器，利用立方数的特征，写出完整推理过程，求正方体的棱长． 六、课堂小结：今天我们都学习了哪些知识？ 1.经历问题探究，认识与理解了立方根与开立方的概念；（数学抽象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握了立方根的性质与运算技巧，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算•重难点） - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 8.2 立方根（2课时）导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 日期：2026年4月29日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历问题探究，认识与理解立方根与开立方的概念；（数学抽象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握立方根的性质与运算技巧，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算•重难点） 【学习过程】 1、 情景问题 1. 问题 已知一个正方体形状包装盒的容积是，则包装盒的棱长是多少呢？ 2.探究 解:设这种包装盒的棱长为,则 这就是要求一个数,使它的立方等于8. ∵, 且除2以外,任何一个数的立方都不等于8 ∴. 答:包装盒的棱长是. 二、立方根与开立方 （一）立方根的概念与表示 一般地,如果一个数的立方等于,即,那么这个数叫作的立方根(cube root)或三次 方根,记作：，读作：“等于三次根号”. 其中叫做被开方数，符号“”叫做“三次根号”，“3”称为“根指数”，且中的根指数“3”不能省略. 例如,∵，∴2是8的立方根,记作：. （2） 开立方的概念 1.开立方的定义 求一个数的立方根的运算,叫作开立方. 2. 探究 观察下面数字并连一连，看看你有什么发现？ 3.逆运算：开立方与立方互为逆运算.根据这种互逆关系,可以求一个数的立方根. （3） 立方根的性质 1. 问题探究1 根据立方根的意义填空: （1）∵,∴1的立方根是 ; （2）∵,∴的立方根是; （3）∵,所以的立方根是； （4）∵,∴的立方根是; （5）∵,∴的立方根是; 你能发现正数的立方根有什么特点吗?负数呢?0的立方根是多少? 2. 立方根的性质1 由上探究可知 （1）正数的立方根是正数, （2）负数的立方根是负数, （3）0的立方根是0，记作. 注1：任何一个数都只有一个立方根,且立方根的符号要与原数的符号保持一致. 注2：立方根等于本身的数有0,±1. 注3：立方根中被开方数可为任意实数. 3.问题探究2 （1）问题 计算和，它们有什么关系？和呢？你能从中发现什么规律？ （2）探究： ①∵, ∴， 又∵, ∴ 故 ②∵, ∴， 又∵, ∴ 故 3. 立方根的性质2（符号提前性） 由上探究可知 一般地， 三、平方根与立方根的联系与区别 平方根 立方根 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0的开方 0的平方根与立方根都是0 区 别 概念 一般地,如果一个数的平方等于,即,那么这个数叫作的平方根(square root)或二次方根，记作： 一般地,如果一个数的立方等于,即,那么这个数叫作的立方根(cube root)或三次 方根,记作： 性质 正数 平方根有2个，且互为相反数 立方根只有1个，且符号为正 负数 没有平方根 立方根只有1个，且符号为负 表示方法 ，根指数2常省略不写 ，根指数3不能省略 被开方数 中的被开方数为非负数，即 中的被开方数可为任意实数 4、 实例运用 例1．求下列各数的立方根： (1)； (2)343； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)7 (3) (4) 【难度】0.94 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 利用立方根的定义即可得到结果． 【详解】（1）解：， （2）因为， 所以； （3）因为， 所以； （4）因为， 所以 例2．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.94 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根的求解，注意计算的准确性即可． （1）利用立方根的定义即可求解； （2）利用立方根的定义即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解： 因为 ，所以 . （2）因为 ，所以 . （3）因为 ， 所以 . 例3．求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例4．已知的算术平方根是3，的立方根是2，是绝对值最小的数． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、求代数式的平方根 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，能够正确理解平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根和平方根的定义可以列出关于，的二元一次方程组，从而求出，的值，根据绝对值的性质可以求出； （2）将（1）中的值代入即可得出代数式的值为16，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， ， 解之得， 由于是绝对值最小的数， 则， 故答案为，，； （2）将，，代入得， ， 16的平方根为， 故答案为． 5、 达标检测 1．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【难度】0.85 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键． （）根据立方根的定义求解即可； （）根据立方根的定义求解即可； （）根据立方根的定义求解即可； （）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数立方根． （1）根据立方根的定义求解即可． （2）根据立方根的定义求解即可． （3）根据立方根的定义求解即可． （4）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 3．已知某正数的两个不同平方根是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)25； (2) 【难度】0.72 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】(1) 根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出a的值，再求出m的值；． (2) 根据立方根的定义求出b的值；根据无理数的估算求出c的值，将a、b、c的值代入代数式求值，再求其平方根． 【详解】（1）解：∵ 某正数m的两个不同平方根是和， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， （2）解：∵ 的立方根为， ∴ ， ∴ ， ∵ c是的整数部分， 又∵ ， ∴ ． ∵ ，，， ∴ ， ∴ 的平方根为． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【难度】0.95 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】（1）利用平方根的性质求解即可； （2）利用立方根的性质求解即可. 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ， . 5．已知2既是的平方根，也是的立方根，请求出的平方根． 【答案】的平方根是 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】先根据平方根的概念和立方根的概念求出a和b的值，再求出代数式的值，并开平方即可得出答案． 【详解】解：∵2既是的平方根，也是的立方根， ∴，， ∴，， 则， 故的平方根是． 6．已知实数的一个平方根是，的立方根是． (1)求、的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、已知字母的值 ，求代数式的值、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【详解】（1）解：实数的一个平方根是， ， 解得； 的立方根是， ， 将代入上式得， 解得； （2）解：将代入得，， ， 的平方根为． 7．解方程，求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.86 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 8．已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【难度】0.8 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】（1）根据平方根的定义列方程求出，进而求出，再根据算术平方根的定义列方程求出； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解： ，，， ， 的立方根为． 9．已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查平方根、立方根与算术平方根的定义，正确理解平方根、立方根的概念是解题关键．先求出的值，再计算的算术平方根． 【详解】解： 的平方根是， ， 解得，即， 的立方根是3， , 将代入，得，即， 解得． 的算术平方根为． 10．已知是27的立方根，是的算术平方根与的立方根的和，是的平方根． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小； (2)求的所有可能值． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.81 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、立方根概念理解、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了立方根、算术平方根及实数的大小比较，解题的关键是掌握立方根和算术平方根的定义，注意一个正数有两个平方根， (1)中由27的立方根得，由的算术平方根与的立方根求和得，再计算，比较三个数的大小； (2)中先计算，再由平方根的定义得． 【详解】（1）解：是27的立方根， ， 的算术平方根为的立方根为， ， ， ， ； （2）解：， 是的平方根， ． 11．若正数x的两个平方根是和，b的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程可求得a，进而求得x；再利用立方根的定义求得b，然后求得的值，最后求算术平方根即可． 【详解】解：∵正数x的两个平方根是和， ∴，即，解得， ∴， ∴， 又∵b的立方根是， ∴， ∴， ∵2的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 12．（1）若，，求的值； （2）a是的立方根，b是的算术平方根，求的立方根． 【答案】（1）4或，（2） 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、立方根概念理解、求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的相关概念及运算． （1）先计算的值，再由得出n的值，确定m和n的可能取值，再枚举所有m和n的组合，分别计算的结果； （2）先根据立方根的定义求出a的值，再计算的值，求其算术平方根得到b的值，进而计算的值，最后求得的立方根． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 当，时，； 当，时，， ∴的值为4或； （2）∵a是的立方根，b是的算术平方根， ∴，， ∴， ∴． 13．如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的相关内容是解题的关键； 根据题意列出符合题意的式子分别求出m、n的值，即可求得的平方根． 【详解】解：由题意，得， ． ， 解得， ，， ． ， 的平方根为． 14．观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【难度】0.65 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 15．阅读素材，并解决三个任务． 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ， ． 能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 的个位数是， 能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 深入探究 (1)思考1：步骤二中怎么确定立方根的个位上的数： 分析：___________，，，从而由，看出当被开方数尾数是9时，立方根结果尾数也是9． 思考2：步骤三中为什么要划去后面的三位319？ 分析：我们知道，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动___________位．划去后三位数字可以近似看成除以1000，从而立方根结果看成除以10，就能快速估算出立方根的十位数字了． 任务2 解决问题 (2)已知是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是___________位数； ②它的立方根的个位上的数是___________；十位上的数是___________； 任务3 拓展应用 (3)一个实心正方体钢块的体积是，棱长为整数厘米．请不使用计算器，利用立方数的特征，写出完整推理过程，求正方体的棱长． 【答案】(1)； (2)①两；②， (3) 【难度】0.53 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】（1）计算，观察被开方数和立方根的特点即可求解． （2）仿照素材的解题步骤，计算即可得解． （3）仿照素材的解题步骤，计算即可求解． 【详解】（1）解： 我们知道，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位．划去后三位数字可以近似看成除以1000，从而立方根结果看成除以10，就能快速估算出立方根的十位数字了． （2）解：①， ， ， 的立方根是个两位数： ②由，可得当被开方数尾数是时，立方根结果尾数是． 它的立方根的个位上的数是 ， ， ， 立方根的十位上的数是5： （3），， ， ， 能确定的立方根是个两位数， ， ， 它的立方根的十位上的数是； ， 的个位上的数是2， ． ∴正方体的棱长 六、课堂小结：今天我们都学习了哪些知识？ 1.经历问题探究，认识与理解了立方根与开立方的概念；（数学抽象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握了立方根的性质与运算技巧，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算•重难点） - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $