8.3 实数及其简单运算-【新学期对照学】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

Q新学期对照学数学七年级下册 8.3 实数及其简单运算 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 敲黑板多 在前面的学习中，我们通过引入一类新的数一负数，使数的范围 扩充到有理数.本章我们认识了像2,3这样的无限不循环小数，它们是 有理数吗？如果不是，我们将再次扩充数的范围. ·可以写成分裁形式 的数称为有理数 区易错提醒 无理数都是无限小数，但 ?探究 无限小数不一定是无 把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？ 理数 5327119 4,254'9' 列拓展提升 可以发现，上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形 无理数的常见形式： 式，即 (1)开方开不尽的数，如 5 3 2,7等 4=4.0,2=2.5,-5=-0.6, 整数可以写成 (2)π及化简后含π的 2 .11 9 小数点后为0 数，如π，π+2等 4=675,91.2,0.81 的小数 (3)具有特定结构的数， 事实上，任何一个有理数都可以写成有限 如0.1001000100001… (相邻两个1之间依次多 小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限 整裁可以看成 一个0). 小数或无限循环小数也都是有理数， 分母是1的分戴 通过前两节的学习，我们知道，很多数的平 无理数是不能写成两个 方根、立方根是无限不循环小数，例如2，-√5， 整数之比（分数）的数， 2,3等.π=3.14159265…也是无限不循环小 它和有理数一样，都是 数.从上面的讨论可知，无限不循环小数都不是 现实世界中客观存在的 有理数.无限不循环小数又叫作无理数 量的反映 irrational number). 有无限个“ 像有理数一样，无理数也有正负之分.例如，2,3，π是正无理数， -√2，-3，-π是负无理数.带根号的数不一定都是无理裁，如8是有理数 58|中小学A1教辅引领者 第八章实数 潮源 敲黑板多 我国古人对无理数已经有了很多认识.《九章算术》中用“面”来表示 开平方开不尽所得的数.刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包 含无理数运算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法 “求微数法” 有理数和无理数统称实数(real number).这样，我们学过的数可以 这样分类： 正有理数 区易错提醒 有理数0 有限小数或无限循环小数，可化为分裁 (1)实数的分类有不同的 负有理数 方法，但要按同一标准，做 实数 到不重不漏 正无理数 无理数 无限不循环小数不能化为分裁 (2)0既不是正实数，也不 负无理数 是负实数 由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以非0实数也有正负之 分，于是实数也可以这样分类： 正实数，可分为正有理悬和正无理裁 实数0 负实数可分为负有理数和负无理悬 与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的点 表示.数轴上表示正无理数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是α 个单位长度：表示负无理数-b(b>0)的点在数轴的负半轴上，与原点的距 离是b个单位长度.下面，我们以π，√2，-√2为例，看一看如何在数轴上 表示无理数.，结合裁轴，更容易比较几个裁的大小 女思考 以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图8.3-1， 从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点 0到达点0'，点0对应的数是多少？ 30 图8.3-1 中小学A教辅引领者|59 Q新学期对照学数学七年级下册 敲黑板国多 从图8.3-1中可以看出，O0'的长是这个圆的周长π，所以点O'对应 ☑易错提醒 的数是π.这样，数轴上的点O'就表示无理数π 数轴上任意一点对应的实 以单位长度为边长画一个正方形（图8.3-2），以原点为圆心，正方 数，不是有理数，就是无 理数 形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点 就表示-√2.（为什么？） 因方法点拨 实数的大小比较： 图8.3-2 (1)数轴上的任意两个 当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的 点，右边的点表示的实数 一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.因此，实数 总比左边的点表示的实 数大 与数轴上的点是一一对应的， (2)正实数都大于0.负实 与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表 数都小于0，正实数大于 一切负实数；两个负实数， 示的实数总比左边的点表示的实数大 绝对值大的反而小 凸练习 1.判断题 (1)无限小数都是无理数： (2)无理数都是无限小数： 可练习答案 (3)用根号表示的数都是无理数； 1.(1)(3)(4)错误 (2)(5)正确 (4)所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都 2.±0，，±T, 表示有理数： ±4,8，±9是有理数， (5)所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表 ±2，迈，±3,3，海 5,5,±6,6，±7 示实数， 7,±8，河，±0,0 2.在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根与立方根中，哪些是有理数？哪 是无理数， 些是无理数？ 3.数轴表示略.-T<-2< 3 242 3.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接）： 3 -2,2,2m 60中小学A1教辅引领者 第八章实数 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数. 敲黑板多 这思考 同思考答案 (1)√2的相反数是 ,-π的相反数是 ,0的 (1)-2:m:0.(2)2; 相反数是 T:0. (2)121= ,1-πl= .I0川= 一般地，对于实数，同样有 数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实 一个实数的绝对值就 数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即 是它在数轴上的对应 设a表示一个实数，则 点与原点的距离 [a,当a>0时； 1al=0,当a=0时； .-1al≥0 -a,当a<0时. 例12(1)分别写出-√6，π-3.14的相反数； (2)指出-√5,1-3分别是什么数的相反数； (3)求-64的绝对值； 回拓展提升 (4)已知一个数的绝对值是3，求这个数. (1)若a与b互为相反数， 解：(1)因为 则a+b=0. -(-√6)=√6，-（π-3.14）=3.14-π， (2)互为相反数的两个数 的绝对值相等，即1al= 所以-√6，π-3.14的相反数分别为6,3.14-π. 1-al. (2)因为 -(5)=-5,-(3-1)=1-3, 所以-√5,1-3分别是5,3-1的相反数. (3)因为 3-64=-64=-4, 所以 1-641=1-41=4. (4)因为 131=√3,1-/31=√3， 所以绝对值为3的数是3或-3. 中小学A1教辅引领者|61 Q新学期对照学数学七年级下册 敲黑板国多 负数没有平方根，不能进行开平方运算 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数 不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平 区易错提醒 随着数的范围的进一 方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在 在有理数范围内的一些概 步扩充，负数也将可 念性质（如相反数、绝对 进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算 以进行开平方运算 值)在实数范围内仍然 性质等同样适用. 适用。 例2计算：·可类比合并同类项的法则进行运算 (1)(3+√2)-2： (2)33+23 解：(1)(3+√2)-√2 (2)33+23 =√3+(2-√2)（加法结合律） =(3+2)3(分配律) =√/3+0 =53. =√3； 在实数运算中，当遇到无理数并且需要 求出计算结果的近似值时，一般先用近似有 在近似计算时，计算过程中 限小数（例如，比计算结果要求的精确度多 有时也使用“去尾法”，即 取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对 用近似有限小数去代替无 计算结果四舍五入， 理数时，直接舍去要保留数 ,常用的近似有限小裁有2≈1.414， 位的下一位数字，最后对计 √3≈1.732,5≈2.236 算结果四舍五入，如√5 例3计算（结果保留小数点后两位）： √7≈2.236-2.645≈-0.41. 先求出无理裁的近似有限小戴，再运算 (1)5-√7； (2)π·3 解：(1)5-7≈2.236-2.646=-0.41； (2)π·3≈3.142×1.442≈4.53. 可练习答案 凸练习 1.相反数分别为-3 1.求下列各数的相反数与绝对值： 1-5 万号-4,0 ,l42,5a 绝对值分别为3,7 2.计算： 号a-14a (1)25-35; (2)3-11-31. 2.(1)-5.(2)1 3.计算（结果保留小数点后两位）： 3.(1)8.81.(2)-0.63 (1)w17+√22； (2)6-√6 621 中小学AI教辅引领者 第八章实数 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 有限小数和 无限循环小数有理数 分类 无限不循环小数无理数 每一个实数都可以用数 相反数 实数及其 实数与数 轴上的一个点来表示 有关概念 实数 简单运算 轴上的点 数轴上的每一个点 绝对值 都表示一个实数 实数的运算性质、运算法 则、运算律与有理数相同 运算 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照8.3实数及其简单运算 一、无理数的定义 4.若m,n都是无理数，且m+n=5,请写出一组 1.下列说法正确的是() 满足条件的值：m= ,n= A.0.1010010001是无理数 5.按如图所示的程序计算，若输入的x的值为 B.无限小数不能转化为分数 9,求输出的y的值， C.无理数是无限循环小数 取算术 D.无限不循环小数就是无理数 输入x 平方根 是无理数是输出y 2.无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里 否 程碑，还对整个科学和哲学产生了深远的影 响.下列选项中，是无理数的是() A.0.2626 b.a C.327 n 3.重点题在1 -10,8,31415926， 5.9090090009…(相邻两个9之间依次多 一个0)中，无理数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 中小学A1教辅引领者|63 Q新学期对照学数学七年级下册 二、实数的定义及分类 非负整数集合：{ …}. 6.下列说法正确的是( 有理数集合：{ …. A.正实数和负实数统称实数 无理数集合：{ …}. B.正数、0和负数统称有理数 三、实数与数轴的关系 C.带根号的数和分数统称实数 12.已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数 D.无理数和有理数统称实数 √2：②任何一个无理数都能用数轴上的点表 7.下列实数为无理数的是( 示：③实数与数轴上的点一一对应；④有理 B.0.2 数有无限个，无理数有有限个.其中正确结 论的序号是( C.-5 D.3 A.①② B.②③ 8.下列对-√3的描述不正确的是( C.③④ D.②③④ A.是一个负数 13.若实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置 B.是一个实数 如图所示，则下列结论正确的是( C.是一个无理数 D.是一个有理数 5243=201235 9在实数5g2,1月 012,,分数 A.lal<4 B.b+d>O C.ac>0 D.a-c>0 有() 14.如图，正方形ABCD的面积为3，顶点A在数 A.3个 B.4个 轴（未标注原点）上，且点A表示的数为1， C.5个 D.7个 数轴上点A的左侧有一点E,若AD=AE,则 10.把下列各数填入相应的集合内： 点E表示的数为( 82,-8.0.5,2m,3.1415926的 -1-√/251,1.103030030003…（相邻两个3 之间依次多一个0) (1)有理数集合：{ A.1-√3 B.-1 (2)无理数集合：{ …}. C.-√/3 D.0 (3)正实数集合：{ …. (4)负实数集合： 15.重点题如图，已知数轴上的点A,B分别表 …. 11.把下列各数填入相应的集合内： 示数-√2,2，在下列各数中，是无理数且其 2.7,-0.5151151115…(相邻两个5之间 对应的点在线段AB上的是( 依次多-个1)，-103,5,0，写3m-10 -3 整数集合：{ -2A-10 … 1B234 分数集合：{ … A.0 B.√2-1 非负数集合：{ …}. C.-9 D. 64|中小学A1教辅引领者 第八章实数 16.中考新角度分类讨论已知数轴上点A表四、实数的大小比较 示的数是√2，求与点A相距2个单位长度的 18.比较大小，下列结论不正确的是( 点表示的数. A.69>√/16 B.-/10>9-27 C.7-21 22 D.√15<25 19.已知0<x<1,则x,1,,E的大小关系 为() A.x<1<2< B.x C.2<r<E<1 D.<<2<l 20.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所 示，则a与b的大小关系是a b.(填 “>”“=”或“<”) 17.定义：圆上任意两点间的部分叫作圆弧.如 3-43=2-102g45 图，在数轴上竖直摆放一个直径为4个单位 21.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大 长度的半圆，半圆直径的一个端点位于原点 小（用“<”连接）： O,A是圆弧OM的中点.该半圆从原点O开 -15,}22.-31,v1,-m 始沿数轴向右滚动（无滑动），当点A第一次 落在数轴上时，求点A表示的数 M 中小学A1教辅引领者|65 Q新学期对照学数学七年级下册 22.“作差法”是数学中常用的比较两个数大小 (1)将上述材料补充完整（填“>”或“<”）； 的方法.例如，比较18+2与6的大小的解 (2)请从荣荣和恒恒的方法中选择一种，比 题过程如下： 较6-1与的大小 4 解：√18+2-6=√18-4. 16<18<√25， ∴.4<√18<5， ∴.0<√18-4<1，即18-4>0， ./18+2>6. 请根据上述方法解答问题：比较3-√30与 -2的大小 五、实数的性质 24.√5的相反数是( A.5 B.5 D.-/5 25.实数a的绝对值是√3-√2，则实数a 是() A.√2-√3 B.3-√2或2-√3 23数学课上，老师出了一道题：比较19-2与 3 D.± 1 号的大小 3-√2 3-√2 26.下列关于-√2的说法中，错误的是( 荣荣的方法：因为√19>4，所以19-2 A.绝对值是2 B.相反数是2 2,所以19-2 y 3 c数是日 D.平方是2 恒恒的方法：19-22.19-4 27.下列各组数中，互为相反数的一组是( 3“3 3因为19> A.-1-21与-8 42=16,所以√/19-4 0,所以19-4 B.-4与-√（-4)2 0,所以V19-2 C.-2与2 2 3 D.-√2与-(-2)月 66|中小学A1教辅引领者 第八章实数 六、实数的运算 31.中考新角度新定义在正实数范围内定义 28.在如图所示的数轴上，0，A,B三点对应的实 一种运算“⑧”：当x≥y时，x⑧y=√x-y;当 数分别是0，√3和-1，点C到点A的距离与 x<y时，x⑧y=x+y.求满足方程x⑧27=4 点B到点A的距离相等，则点C对应的实数 的x的值. 是( B O A A.1+3 B.2+√3 C.23-1 D.23+1 29.中考新角度新定义若实数a,b满足a+b= 6,我们就说a与b是关于6的“如意数”，则 与3-√2是关于6的“如意数”的是 30.计算： +(7)2-√9： 32.真实任务情境浮力实验)在做浮力实验时， 荣荣用一根细线将一个正方体铁块拴住，完 全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，溢出的水的 (2)W2(√2-1)+11-√21--0.125： 体积为40cm3.将铁块从烧杯中提起后，测 得烧杯中的水位下降了0.6cm.请问烧杯内 部的底面半径和正方体铁块的棱长各是多 少？（用计算器计算，结果精确到0.01cm) (4)-32÷27+13-21+3+4x(7）月 中小学A1教辅引领者|67-42<-3.4. 8.解：因为91-2x与3y-1互为相反数，所以1- 2x与3y-1互为相反数，所以1-2x+3y-1=0, 即3y=2x. 又因为x≠0，y≠0， 所以七=3 9.解：.：5a-1的算术平方根是7，b-3的立方根 是-2， .5a-1=49,b-3=-8, 解得a=10,b=-5. c是√21的小数部分，且4<√21<5， ∴.c=√/21-4， .2a-4b+c-21=2×10-4×(-5)+√21-4- √21=36. 62=36,.36的平方根是±6， ∴.2a-4b+c-√21的平方根是±6. 10.解：因为将装满水的长方体容器中的水全部 倒入正方体容器中，恰好倒满， 所以它们的体积相等。 因为长方体容器的体积为8×4×2= 64(cm3), 所以正方体容器的体积为64cm3. 设正方体容器的棱长为xcm, 根据棱长与体积的关系，得x3=64. 解得x=64=4. 因此正方体容器的棱长为4cm. 11.A12.1 13.(1)解：已知27=3,27000=30,0.027= 0.3,则27000000=300. (2)解：已知64=4,64000=40,0.064= 0.4,则0.000064=0.04. (3)左（或右）；1. (4)解：因为x=a,所以1000x=10a, a W100010 14.解：(1)填表如下 0.001 1000 1000000 a 0.1 10 100 (2)被开方数的小数点每向右（或向左）移 动三位，它的立方根的小数点向右（或向 左)移动一位 (3)①.5≈1.442，.90.003≈0.1442. ②.：0.000456≈0.07697， .456≈7.697. (4)设正方体的棱长为am. 根据题意，得a3=0.125, ∴.a=0.5, .6a2=6×0.52=1.5. 答：最少要用1.5m2的铁皮 8.3实数及其简单运算 1.DA.0.1010010001是有理数，故此选项 不符合题意；B.无限小数中的循环小数能转 化为分数，故此选项不符合题意；C.无理数是 无限不循环小数，故此选项不符合题意；D.无 限不循环小数就是无理数，故此选项符合 题意 2D02626,石=016，是有限小数，不是无 理数；7=3，是整数，不是无理数：牙是无 限不循环小数，是无理数 3.B 4.√55-√5（答案不唯一） 5.解：按题图所示的程序计算，求得9的算术平 方根是3,3不是无理数，故取其算术平方根. 因为3的算术平方根是3，是无理数， 故输出的y的值是3. 6.D 选项 分析 正误 A 0也是实数 十 B 正数、0和负数统称实数 T不带根号， 也不是分数，但它是实数 D 无理数和有理数统称实数 7.D 8.D-√3是一个负实数，也是无理数，选 项A,B,C的说法正确，选项D的说法不 正确. 9.B在所给实数中，分数有1了012，号， ，1 共4个. 10.解：(1)有理数集合：{- ,8,05. 3.14159265,-1-√/251，…}. (2)无理数集合：{32,2m,1.103030030003 (相邻两个3之间依次多一个0)，…}. (3)正实数集合：{32,0.5,2π，3.14159265， 1.103030030003…(相邻两个3之间依次 多一个0)，…}. (4负实数袋合：8,51，… 11.解：整数集合：{-103，-5,0，…}. 分数集合：27,3…以. 1 非负数集合：2.7,0,3…. 非负整数集合：{0，…. 1 有理数集合：2.7，-103，-5,0,3，…. 无理数集合：{-0.5151151115…（相邻两 个5之间依次多一个1)，3π-10，…}. 12.B数轴上除了√2还能表示有理数与其他 无理数，故①错误；任何一个无理数都能用 数轴上的点表示，故②正确；实数与数轴上 的点一一对应，故③正确：有理数和无理数 的个数均有无限个，故④错误 13.BIal>4,故选项A错误；b<0,d>0,1b1< |dl,∴.b+d>0,故选项B正确；a<0,c>0, ∴.ac<0,a-c<0,故选项C,D错误 14.A正方形ABCD的面积为3，.AD=√3. AD=AE,.AE=√3.：点A表示的数为1， 且点E在点A的左侧，.点E表示的数为 1-√3. 15.B由题图可知，在线段AB上的点所表示 的无理数应为不小于-√2且不大于√2的数. 选项 分析 正误 A 0是有理数 × √2-1是无理数， B 且-√2<√2-1<√2 C 3-9是无理数，但9<-2 D π是无理数，但π>√2 16.解：数轴上点A表示的数是√2，与点A相距 2个单位长度的点可能在点A的左侧或 右侧. 当该点在点A的右侧时，表示的数为√2+2； 当该点在点A的左侧时，表示的数为√2-2. 综上，符合条件的数为√2+2或√互-2. 17.解：因为圆的直径为4， 所以圆的周长为4π， 所以圆弧AM的长为x4T=T, 所以当点A第一次落在数轴上时，点A表示 的数为4+π. 18.BA.3/69>64=4=√16，故该选项正 确；B.-√10<-3=-27，故该选项不正确； c.7-29-2_3-2.1 2 、2-2-2 故该选项正确； D.√/15<√20=2√5，故该选项正确 4,则1 19.C采用特殊值法求解，如取x= 4=6 2因为11 642<4,所以 <x<压 1 20.< 21.解：2<2√2<3，I-3|=3,3<√10<4，-4<-T< -3,把各数表示在数轴上，如图所示： .2510 P3 用<“连接：T<-15<-背<22< .1 1-31<10 22.解：3-√30-(-2)=5-√30. .√25<30<√36， .5<30<6,即5-√30<0， .3-30<-2. 23.(1)>;>;>;>;> (2)解：荣荣的方法：因为√6<3，所以√6-1< 2,所以分 恒恒的方法：6-11-6-3 42 =43因为6< 3=9,所以6-3<0，所以6-3 3<0,所以 w6-11 4<2 24.D由相反数的定义可得，√5的相反数是 -√5 25.B因为1±(3-√2)|=√3-√2，所以a= ±（√5-√2），即a=√3-√2或a=√2-√3 26.C 选项 分析 正误 A -√互的绝对值是迈 B -√2的相反数是2 C 2的倒数是-1 √2 -√2的平方是2 27.CA.-1-21=-2,-8=-2,故该选项不符 合题意；B.-√(-4)2=-4，故该选项不符合 题意；C.-迈与迈互为相反数，故该选项符 合题意；D.-√（-2)2=-2，故该选项不符合 题意 28.D由题意得，AB=√5-（-1)=√5+1..点 C到点A的距离与点B到点A的距离相等， ∴.AC=AB=3+1,∴.0C=√3+(3+1)=2W3+ 1,即点C对应的实数是2√5+1. 29.3+√2 30.解：(1)原式=-2×+7-3= 32 (2)原式2-2+2-1(-05)-2 (3)原式=-(4)）1子= (4)原式=-93+2-5+3+2×(2)=-3+ 2-1=-2. 31.解：当x<27时，x⑧27=√+27=4，即x+ 3=4,则x=1; 当x≥27时，x⑧27=√x-/27=4,即x-3= 4,则x=49 综上所述，x的值为1或49. 32.解：设烧杯内部的底面半径为rcm. 根据题意，得π2×0.6=40，所以2=200 37 200 因为r>0,所以r= ≈4.61. N3π 设正方体铁块的棱长为acm. 根据题意，得a3=40,所以a=/40≈3.42. 答：烧杯内部的底面半径约是4.61cm,正方 体铁块的棱长约是3.42cm. 第九章平面直角坐标系 9.1用坐标描述平面内点的位置 9.1.1平面直角坐标系的概念 1.B2.D 3.DA.两条数轴不互相垂直，故此选项不符合 题意：B.横轴的正方向向右，则原点左侧为负， 右侧为正，故此选项不符合题意；C.两条数轴 都没有正方向，故此选项不符合题意；D.符合 平面直角坐标系的定义，故此选项符合题意 4.D由题图可知，点D在第四象限. 5.C点A(a,b)在第四象限，∴.a>0,b<0, ∴.-a<0,ab<0,∴.点B(-a,ab)在第三象限 6.C根据表示棋子“车”的点的坐标为(-1， 0),表示棋子“炮”的点的坐标为(2,2)，建立 如图所示的平面直角坐标系，则表示棋子 “马”的点的坐标是(5,2) 楚河 汉界 气炮 (马) 卒 (帅 7.C如图，根据已知点的坐标建立平面直角坐 标系，则S3的位置用坐标表示为(-1,1) 6 -4-3-2-10123x 6