数学终极押题猜想（福建专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学终极押题猜想（福建专用） 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 尺规作图与几何计算 1 押题猜想二 概率与统计综合 4 押题猜想三 新定义代数与几何探究 6 押题猜想四 代数推理与数论规律探究 9 押题猜想五 解直角三角形的实际问题 13 押题猜想六 传统文化与跨学科融合题 16 押题猜想七 二次函数的动态分析压轴题 20 押题猜想八 圆与相似三角形综合压轴题 22 押题猜想九 四边形与相似三角综合压轴题 25 押题猜想十 几何变换动态分析综合压轴题 28 押题猜想一 尺规作图与几何计算 试题前瞻·能力先查 限时：6min （原创题）如图，在中，点在边上，． (1)实践与操作：利用尺规作图，在边上找点E，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 分析有理·押题有据 近三年解答题高频考点，2024、2025 年均以矩形 / 菱形为载体考查平移与作图。占分8-10分。平移 / 折叠 / 旋转的性质应用，结合尺规作图（如作角平分线、垂直平分线、特殊四边形）考查作图原理与几何推理。 终极猜想·精练通关 1．（2026·河北石家庄·一模）【主题研究】利用正方形或矩形纸片折叠出特殊度数的角． 【操作1】如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的点处．结论是：，请你说明理由． 【操作2】如图2，已知正方形的边长为4．按与【操作1】相同的步骤得到折痕，连接，将沿折叠，使点落在正方形内的点处． (1)尺规作图：在图2中画出点的位置，连接并延长交于点，连接，． (2)求的度数与的长． 2．（2026·广东深圳·二模）操作与推理 (1)利用圆规和无刻度直尺，求作的外接圆中（下方）中点；（保留作图痕迹，标明字母，不用写出作法和理由．） (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，，连接，求的长． 3．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，已知，点在射线上，，动点在射线上． (1)尺规作图：求作，使得点在的下方，；（不写作法和证明，保留作图痕迹．） (2)在（1）的基础上，求的最小值． 4．（2026·福建泉州·一模）如图，在中，，为边上的一点（不与重合），连接． (1)尺规作图：以点为顶点，以为一边在的内部作，其中射线分别与边所在的直线相交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)猜想证明：在（1）的条件下，判断线段与的数量关系，并说明理由． 5．（2024·福建福州·二模）如图，在中，D是上一点． (1)在上确定一点O，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，当时，将绕点O旋转得到，其中，D，E分别是点A，B的对应点，若D是的中点，交于点G，求证：G是的中点． 6．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在平行四边形中． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）条件下若，，平分，求的长． 押题猜想二 概率与统计综合 试题前瞻·能力先查 限时：4min （2026·南平·一模）某地下停车场剩下“”四个相邻的车位 (1)若一辆小车开进该地下停车场，车子停在“”号停车位是_____事件（填“随机”或“必然”或“不可能”），概率是_____ (2)现有甲、乙两位车主同时来到该地下停车场停车，用树状图或列表法求他们停靠的位置恰好相邻的概率． 分析有理·押题有据 近三年解答题固定考点，是中高分段的 “保底分” 题型，占分 8-10 分。条形统计图 + 扇形统计图的数据分析、加权平均数 / 中位数 / 众数 / 方差计算，结合列表 / 树状图求概率并做决策。 终极猜想·精练通关 1．（2026·福建泉州·一模）为传承“蟳埔簪花”非遗文化，丰泽区某中学组织学生开展非遗体验活动，分为甲、乙两组，每组各10人．活动记录了每位学生的簪花数量（单位：朵）、创意评分（单位：分）和文化讲解时长（单位：分钟），相关数据如下： 两组学生簪花数量统计图 两组学生活动的平均数统计表 项目 簪花数量（a朵） 创意评分（b分） 讲解时长（c分钟） 甲组 5 20 1.8 乙组 5 19 2.2 根据以上信息，回答下列问题： (1)已知甲、乙两组簪花数量的方差分别为，，求x的值，并结合两组簪花数量的平均数和方差，评价甲、乙两组的表现稳定性； (2)规定学生的综合表现指数为，指数越大该组学生的综合表现越好．试通过计算，判断哪一组的综合表现更好． 2．（2026·福建莆田·模拟预测）某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际决定：凡购物满100元，则可参加摸球抽奖活动（活动设置一、二、三等奖）．摸球规则如下：现有两只不透明的口袋甲和乙，甲袋中装有2个白球和1个红球，乙袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，两个袋子搅匀后，先从甲袋中任意摸出1个球，再从乙袋中任意摸出1个球． (1)求摸出两个球均为白球的概率； (2)根据两次摸球的结果，请你设计一个兑奖方案，使得获一等奖的概率小于获二等奖的概率，获二等奖的概率小于获三等奖的概率，并说明理由． 3．（2026·福建泉州·一模）为了调查学生上课举手回答问题的情况，某校研究性学习小组利用视频分析，随机抓拍初三年（1）班甲、乙两组同学在某节数学课中的“举手次数”，记录如下：（单位：次） 序号 组别 抓拍1 抓拍2 抓拍3 抓拍4 抓拍5 抓拍6 甲组 11 11 14 15 13 14 乙组 11 13 13 12 14 15 (1)从本节课甲组6次抓拍中，随机抽取一次，则抽取到“举手次数”不小于14的概率为__________； (2)分别从甲、乙两组“举手次数”不小于14的抓拍数据中各随机抽取一次，若两次抽取“举手次数”的和不小于29的概率大于，则称该节课为“成功互动课堂”．请利用树状图或列表分析，判断该节课是否为“成功互动课堂”． 押题猜想三 新定义代数与几何探究 试题前瞻·能力先查 限时：6min （2026·莆田·模拟试卷）新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形   新定义2：将顶角为的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处 ④展平纸片，按照所得到的点D折出 (1)根据以上折纸法，求证：矩形为黄金矩形 (2)如图5，已知为黄金三角形，，求：的长 (3)在（2）的条件下，截取交AC于D，截取交线段于E，过E作任意直线与边交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 分析有理·押题有据 从近三年的中考情况来看，长文本阅读，创设新运算、新图形，考查阅读理解与符号表达、归纳证明能力。 终极猜想·精练通关 1．（2026·龙岩·一模）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围． (2)若对任意实数x，y都成立（这里，都有意义），则a、b应满足怎样的关系式？ 2．（2024·天津·模拟预测）当n为正整数时，定义阶乘运算，例如 (1)证明 (2)化简 (3)若用[x]表示不超过x的最大整数，如，，记，求 3．（26·泉州·模拟试卷）新定义：对于给定的二次函数（），把形如的函数称为二次函数的“关联函数”． 运用新定义解决问题：已知二次函数． (1)请直接写出这个二次函数的“关联函数”的表达式； (2)若点A在这个二次函数的“关联函数”的图象上，求m的值； (3)当时，请直接写出这个二次函数的“关联函数”的最大值和最小值． 4．（2026·龙岩·模拟试卷）新定义：有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的凸四边形称为“垂直四边形”，如图1．在四边形中，，． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． ①“垂直四边形”对角互补；_____． ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；_____． ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）_____． (2)如图2，四边形是“垂直四边形”，（），过点作，为垂足，过点作，为垂足． ①求证：； ②若，求的值； 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (3)如图3，在中，，，，平分，点在边上，若以、、、为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 5．（2025·三明·期末）所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等．在解决它们的过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．主要包括以下类型：①概念的“新定义”；②运算的“新定义”；③新规则的“新定义”；④实验操作的“新定义”；⑤几何图形的新定义．如果我们新定义一种四边形：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形． (1)如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，请你利用所学知识求出∠B与∠C的度数之和； (2)如图2，锐角ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连接DE并延长交AC于点F，若∠AFE＝2∠EAF．请你判断四边形DBCF是不是半对角四边形？并说明理由． 押题猜想四 代数推理与数论规律探究 试题前瞻·能力先查 限时：6min （2026·晋江·模拟预测）已知实数满足，且是正整数，． (1)请判断是奇数，还是偶数？并说明理由； (2)求证：是完全平方数． 分析有理·押题有据 近三年解答题新增趋势，常与二次函数、方程综合考查，区分度较高。占分10分。含参一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合不等式求参数取值范围，或分式 / 整式的代数恒等式证明。 终极猜想·精练通关 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知整数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 2．（2026·山东东营·模拟）[阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 3．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：________； (2)已知，求的值． (3)已知，，试比较，的大小． (4)若为有理数且满足，求的最小值． 4．（2025·福建·模拟预测）若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 5．（2025·江西南昌·期末）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是　 　(填序号) (2)已知． ①若，求对称式的值 ②若，求对称式的最大值 6．（2026·福建漳州·一模）已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若点均在抛物线上，且对于任意，都有． ①求的值（用含的代数式表示）； ②求证：． 7．（2025·福建福州·三模）在代数中，一元二次方程的一般形式为，设该方程的两个根为，，则根与系数之间存在以下关系式（也称韦达定理）：， 这些关系在解决一元二次方程相关的问题时非常有用． 已知二次函数的图象过点，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小．若实数m，n满足，． (1)求此二次函数的解析式（也称表达式）； (2)若，试判断T是否为定值，若为定值，请求出T的值；若不为定值，请说明理由． 8．（2026·福建泉州·模拟预测）二次函数的图象与轴交于点，，且． (1)若，求二次函数的表达式； (2)若，求证：． 押题猜想五 解直角三角形的实际问题 试题前瞻·能力先查 限时：6min （2025·福建福州·一模）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 分析有理·押题有据 近三年解答题必考题型，以实际测量为载体考查三角函数应用。主要考查仰角 / 俯角、方位角、坡度坡比为背景的实际测量问题，或结合矩形 / 菱形的三角函数计算。 终极猜想·精练通关 1．（2026·福建泉州·一模）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在任意的中，、、所对的边分别为a、b、c，则有：，称为正弦定理，是解三角形的重要结论之一． 【问题提出】 洛阳桥是泉州“海丝”文化遗产，承载着宋元时期的造桥智慧．某校数学兴趣小组为绘制洛阳桥古桥遗址分布图，需测量江两岸A、B两处古桥遗址的水平距离，因江宽及地形限制，无法直接测量，小组结合数学知识设计了如下测量方案． 【方案设计】 测量工具： 测角仪：可测量水平面上两点与观测点连线的夹角； 测距仪：可测量任意可到达的两点间的水平距离，量程范围：． 测量过程： 步骤一：如图2，在江岸边空旷处选取一点C（点C可观测到A、B两点）； 步骤二：分别站在A、B两处测得，； 步骤三：测得． 【问题解决】 请你利用【阅读材料】中的正弦定理和特殊锐角三角函数值，解决下列问题： (1)求A、B两处古桥遗址间的实际距离；（精确到1米，参考数据：，，） (2)在江岸边另一空旷处取一点D，测得，，求． 2．（2025·湖北恩施·一模）综合与实践：小星学习了解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线）． 【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，求B，D之间的距离．（结果精确到） （参考数据：，，） 3．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测它到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离，方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，、，，） 押题猜想六 传统文化与跨学科融合题 试题前瞻·能力先查 限时：6min （2026·福建泉州·一模）已知电源电压且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为5Ω，10Ω，15Ω，20Ω，25Ω；滑动变阻器．在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表． （单位：Ω） 5 10 15 20 25 （单位：A） 0．4 (1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流随电阻的变化规律，请直接写出与的函数关系式 ； (2)在（1）的条件下，直接写出，的值，并画出该函数在第一象限的图象； (3)已知该滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，记其电阻为．将定值电阻更换为一电阻箱，根据物理知识可知电源电压．在（1）的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为时，为保证电路安全，取值范围是 ． 分析有理·押题有据 近三年福建卷的创新题型，每年必有 1-2 道，考查学生的信息提取与知识应用能力。以古代数学著作（如《九章算术》）、传统工艺、科学情境为背景，考查方程 / 不等式、几何计算等基础知识点。 终极猜想·精练通关 1．（2024·北京·模拟预测）我国是世界上最早发明历法的国家之一，《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时，如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气． 在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型，如图2，地面上放置一根长2米的杆，向正北方向画一条射线，在上取点，测得，． (1)判断：这个模型中与是否垂直．答：______（填“是”或“否”）；你的理由是：______． (2)利用这个圭表模型，测定某市冬至正午阳光与日影夹角，夏至正午阳光与日影夹角为，请求出这个模型中该市冬至与夏至的日影的长度差（结果保留根号）． 2．（2026·福建莆田·模拟预测）阅读材料，回答问题． 主题 设计能读出并联电路总电阻值的教具 提出问题 物理课上学习了计算并联电路总电阻公式，每次计算时总感觉计算麻烦，故某校“勤奋”实践小组结合数学相似三角形的知识：如图，若，则．他们就积极思考，并设计了一个能读出并联电路总电阻值的教具．      分析解决问题 如图1，利用直尺、直尺和直尺（其中，处均装有滚轮，滚轮可在直尺上调节滚动，直尺可以在上左右滚动）设计教具，，，与相交于点，，垂足为．若设置，在直尺上的读数分别为，则点在直尺上的读数为并联电路总电阻的值．    证明：， ，①__________， （依据②_______________） 同理可得：，_____③_____， 若设置在直尺上的读数分别为，则点在直尺上的读数为并联电路总电阻的值． 创新设计 受“勤奋”实践小组的启发，“严谨”实践小组提出设计教具的方案，如下：如图2，中，，，是边的延长线上一点，设线段，的长度分别为，的值，则图中可作出一条长度作为值的线段；    (1)请把①②③补充完整； (2)请帮“严谨”组在图中作出该线段，并说明理由； 3．（2026·福建泉州·一模）【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 押题猜想七 二次函数的动态分析压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：15min （2026·宁德·模拟试卷）已知抛物线（a，b，c为常数，，）经过点． (1)当，时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点B是抛物线与x轴的另一个交点，点C是抛物线与y轴的交点． ①当时，若，求a的值； ②M为第三象限内抛物线上一点，若，，当时，求点M的坐标． 分析有理·押题有据 近三年必考题型，是福建卷函数压轴的 “母题模型”，占分 12 -13分。二次函数含参数问题主要涉及到二次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题以及不等式知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·福建厦门·一模）已知二次函数：部分自变量的值与的值如下表． (1)直接写出该二次函数的对称轴； (2)若，当时，，求a的取值范围； (3)点，是该二次函数与轴的交点，点在该二次函数的对称轴上，当时，试问该二次函数上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为菱形，若存在求出所有的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2026·福建三明·一模）已知抛物线经过点、，且． (1)若，求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； (3)设抛物线的顶点为，若，判断直线是否过一定点？若不存在，请说明理由；若存在，请求出该定点坐标． 3．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，若点在轴左侧，且，求点的坐标； (3)如图2，若平行于轴，过点作交于点，设，，求与的函数关系式； (4)若点位于点左侧，、两点间的水平距离为，以为对角线作矩形使其各边分别与轴或轴平行，若矩形的周长与抛物线上、两点间纵坐标的最大值相等，求的值． 4．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过原点O和点，抛物线：． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N（点M与点N不重合）． ①当，时，求的长； ②若点P从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 5．（2026·浙江丽水·一模）已知二次函数的图象经过点和，点，是该二次函数图象上的两个动点，满足，且． (1)求该二次函数的表达式； (2)求的值； (3)已知一条平行于轴的直线过点交于点，一条平行于轴的直线过点交函数图象于，两点，且，求的最大值及此时对应的值． 押题猜想八 圆与相似三角形综合压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：15min （2025·厦门·模拟试卷）如图，四边形内接于，对角线，相交于点． (1)若，，． ①判断的形状，并说明理由； ②求四边形的面积． (2)如图，点是中点，点是线段上一点，且，点是弦上一点，且，令，，，试用含，，的式子表示的值． 分析有理·押题有据 今三年几何压轴的主流考法，常以等腰三角形、圆内接四边形为载体，占分 14 分。切线判定与性质、圆周角 / 圆心角定理、圆内接四边形性质 + 相似三角形判定与性质、线段乘积 / 周长定值证明 终极猜想·精练通关 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知内接于，圆心O在的内部，于点D，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点G为的中点，连接，过点C作于点F，交于点E，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点H，连接，若平分，，，求的面积． 2．（2026·福建漳州·一模）如图，正方形内接于，点在上，连接，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)探究之间的等量关系． 3．（2026·福建厦门·一模）如图，点D是外接圆上的一点，于G，连接．过点B作直线交于E，交于F．若点F是的中点． (1)求证：； (2)当时，求的半径； (3)若，连接．请你探究与之间的数量关系，并证明． 4．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，是的直径，点D在上，连接并延长至点C，连接交于点E，，过点D作于点F． (1)求证：直线是的切线． (2)连接，设的面积为，四边形的面积为，求的值． (3)点P在上，且的长为，点Q为线段上一动点，连接，求的最小值． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图1，在正方形中，边、分别切于、．交于，在上，连接交于． (1)求证：为的直径； (2)如图2，连接并延长交于，交于，求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接交于，连接和，当，时，求的长． 押题猜想九 四边形与相似三角综合压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：15min （2026·宁德·模拟试卷）如图1，在菱形中，，是对角线上一点，连接，设，将沿折叠得到，连接并延长交于点． (1)用含的代数式表示． (2)求证： ①； ②． (3)如图2，当时，求的值． 分析有理·押题有据 从近三年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，矩形/菱形/正方形折叠、动点线段最值、折叠后等腰/直角存在性. 终极猜想·精练通关 1．（2025·福建三明·一模）如图，在菱形中，点分别在边上，． (1)求证：； (2)为中点，交于点，，垂足为． ①求证：； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并给予证明． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知：在正方形中，M在上，点N在上，把正方形沿翻折，使点B落在边上的点E处，点C的对应点为P，交于F． (1)连，求证：平分； (2)过点B作交于点G，连接交与点H． ①求证：； ②若，求的值． 3．（2026·南平·一模）综合与探究 【问题情境】在中，，平分交于点． (1)【猜想证明】如图1，平分交于点F，连接，判断四边形的形状并证明． (2)【深入探究】平分交的延长线于点，交BE于点．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，直线与直线相交于点． ①以图2为例，求证：； ②若，，在旋转的过程中，连接，，当是以为直角边的直角三角形时，连接，请直接写出的长． 4．（2026·莆田·一模）如图1，正方形中，点E为边上一点，将沿翻折得，射线分别与、交于点O、G． (1)求证：； (2)如图2，当，时，求正方形的边长； (3)如图3，在（2）的条件下，线段，相交于点H，求的长． 5．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点E作分别交于点H，N． ①求证：四边形为正方形； ②求证：； ③若，请直接写出的取值范围． 押题猜想十 几何变换动态分析综合压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：15min （2026·三明·模拟试卷）如图，线段，，点为线段上一动点，以为边作矩形中，沿对角线翻折得到，连接与交于点． (1)如图1，求证：． (2)如图1，当时，求的值． (3)如图2，若，在点从点向点的运动过程中，当中有一个角是时，直接写出此时线段中点运动的路径长． 分析有理·押题有据 2023、2024 年第 25 题高频模型，是福建几何压轴的 “常客”。以等腰直角三角形为背景，结合旋转、平移、翻折等构造全等 / 相似，证明角度定值、线段相等或数量关系。 终极猜想·精练通关 1．（2025·福建宁德·二模）（1）性质发现 如图1，已知点是线段上一点，分别以，为边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，．连接，的中点为，连接，．不难发现：线段与之间的数量关系为______；位置关系为______． （2）拓展探究 将图1中的绕点旋转任意角度，则线段，之间的关系是否仍然成立？若成立，请利用图2（或自己画一个一般化的图形）进行证明；若不成立，请画一个反例说明． （注：如果你无法利用图2（或自己画图）证明结论的一般性，也可以画一个特殊位置的图形或直接利用图1进行证明，这种证明方式适当给分） （3）问题解决 若，，则在绕点的旋转过程中，当是等腰三角形时，求的值． 2．（2024·福建福州·模拟预测）如图1，在中，，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，分别连接、，与相交于点O． (1)求证：． (2)过点B作于D，设点F、G分别为、的中点，连接． ①如图2，当，点H在线段上，且时，求证：点F，G，H三点共线． ②过点于点M，求． 3．（2026·河南周口·一模）如图，已知四边形是边长为的菱形，为上异于点的一动点，点在上，是等边三角形，为的中点，连接并延长，与交于点，连接． (1)证明：垂直平分． (2)随着和点位置的改变，的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． (3)当时，若，直接写出的长． 4．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 【问题情境】如图①，在中，，，，点E在内，且，，若将沿边向右平移得到，点A，D，E的对应点分别为点，，， (1)【猜想证明】判断四边形的形状，并说明理由； (2)【问题解决】在平移的过程中，连接，当点落在上时，求的长； (3)【深入探究】如图②，过点D作于点H，的延长线交于点G，在平移的过程中，当点H将分成的两部分时，请直接写出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考数学终极押题猜想（福建专用) 日考情为骨 密押为翼门 押题猜想一尺规作图与几何计算…。 …1 押题猜想二概率与统计综合 押题猜想三新定义代数与几何探究… 12 押题猜想四代数推理与数论规律探究… ,25 押题猜想五解直角三角形的实际问题… 35 押题猜想六传统文化与跨学科融合题… 41 押题猜想七二次函数的动态分析压轴题… 48 押题猜想八圆与相似三角形综合压轴题… 62 押题猜想九四边形与相似三角综合压轴题…。 .80 押题猜想十几何变换动态分析综合压轴题… .95 押题猜想一尺规作图与几何计算 ● 试题前瞻能力先查· 限时：6min (原创题)如图，在ABC中，点D在AC边上，AB>AC. (I)实践与操作：利用尺规作图，在AB边上找点E,使得△ADE∽△ABC;(要求：保留作图痕迹，不写 作法，标明字母) (2)在(1)的条件下，若AD=5,CD=1,AB=10,求AE的长. 【详解】(1)解：如图，点E即为所求； 1/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (2),△ADE∽△ABC, D、AE AB AC ,AD=5,CD=1,AB=10, 8得 解得AE=3. 答：AE的长为3. ·分析有理押题有据。一 近三年解答题高频考点，2024、2025年均以矩形/菱形为载体考查平移与作图。占分8-10分。平移/折 叠/旋转的性质应用，结合尺规作图（如作角平分线、垂直平分线、特殊四边形）考查作图原理与几何推 理。 ●终极猜想精练通关 1.（2026河北石家庄·一模)【主题研究】利用正方形或矩形纸片折叠出特殊度数的角， 【操作1】如图1，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平.在BC上选一点 P,沿AP折叠AB,使点B恰好落在折痕EF上的点M处.结论是：∠BAP=30°，请你说明理由. 【操作2】如图2，已知正方形ABCD的边长为4.按与【操作1】相同的步骤得到折痕EF,连接AF,将 AD沿AF折叠，使点D落在正方形ABCD内的点M处. 图1 图2 (I)尺规作图：在图2中画出点M的位置，连接FM并延长交BC于点P,连接AM,AP, (2)求∠PAF的度数与BP的长， 【详解】（1)解：由折叠可知：AE=BE=24B，AB=AM，∠AEM=90°， Rt△AEM中，sin∠AME=AE=AE=L AM AB2' ∠AME=30°， :∠BAM=90°-∠AME=60°. ·∠BAP=∠PAM 2<BAM=30. (2)解：(1)如图所示，点M即为所求； 2/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 A (2):四边形ABCD是正方形， ·AB=BC=CD=DA=4,∠BAD=∠B=LC=LADC=90°， 由折叠可知：AD=AM,DF=MF=CD=2, ∠ADC=∠AMF=90°，∠DAF=∠MAF. AB=AM,∠AMP=90°，CF=CD-DF=2, 又：AP=AP, ∴△ABP≌△AMP(HL, .∠BAP=∠MAP,BP=MP. ∠P4F=∠PM+∠FAM-B4M+D4W-B4D=45, 设BP=x,则PC=4-x,PF=PM+MF=x+2, .CF2+PC2=PF2, 22+(4-x2=(x+22, 解得：一手即8即的长为子 2.(2026广东深圳二模)操作与推理 (1)利用圆规和无刻度直尺，求作ABC的外接圆中BC(BC下方)中点D;(保留作图痕迹，标明字母， 不用写出作法和理由，) (2)在(1)的条件下，连接AD交BC于点E,若AE=5,DE=4,连接BD,求BD的长. 【详解】(1)解：如图，作∠BAC的角平分线交ABC的外接圆于点D, 3/116 学科网·上好课 www，zxxk.com 上好每一堂课 A B C D ∴∠BAD=∠CAD， ∴点D为 ABC 的外接圆中 $$\widehat B C \left( B C$$ 下方)的中点 故点 D 即为所作； (2)解：如图 A E B C > D 由(1)知： ∠BAD=∠CAD， 又： $$\because \overrightarrow { C D }$$ 所对的圆周角为 ∠CAD、∠CBD， ∴∠CAD=∠CBD， ∴∠BAD=∠CBD， ，即 ∠BAD=∠EBD， ∵∠BDA=∠EDB，AE=5，DE=4， ∴△DAB∼△DBE，AD=AE+DE=5+4=9， $$\therefore \frac { B D } { E D } = \frac { A D } { B D }$$ $$\therefore B D ^ { 2 } = A D \cdot D E ，$$ $$\therefore B D = \sqrt { A D \cdot D E } = \sqrt { 9 \times 4 } = 6 ，$$ 即BD的长为6. 3.(2025福建龙岩·模拟预测)如图，已知 $$\angle A O B = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，点C在射线OB上， $$O C = 2 \sqrt 3 ，$$ ，动点D在射线 OA上. 4/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D C B (I)尺规作图：求作Rt△CDE,使得点E在CD的下方，∠CDE=90°，∠CED=30°；（不写作法和证明，保 留作图痕迹.) (2)在(1)的基础上，求OE的最小值. 【详解】(1)解：如图所示： A B (2)解：延长A0到点F,使得0F=√30C=6, A 066 B E G 20 连结CF、EF,过点O作OG⊥EF于点G. ∠A0B=90°，tan∠4=0C_1 OF3' ∠4=30°， ∠2+∠3=60°，sim∠4=0C-1 CF=2' :RtaCDE,点E在CD的下方，∠CDE=90°，∠CED=30°， .∠1+∠3=60°，CD:CE=1:2, ∠1=∠2，OC:CF=CD:CE=1:2,即0C:CD=CF:CE. :△C0D∽△CFE. 5/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠4+∠5=∠6=90° ∠5=60°. :0C=2V3,0F=6, :在Rt△CDE中，OG=OF.sin∠5=3V5. ·在△E0F中，0E≥0G=3V3. :OE的最小值为3√5 4.(2026福建泉州一模)如图，在口ABCD中，AD>AB,E为AD边上的一点（不与A,D重合），连 接CE. A E ●】 (1)尺规作图：以点B为顶点，以BA为一边在∠ABC的内部作LABF=LDCE,其中射线BF分别与 CE,CD边所在的直线相交于点G,H(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母)， (2)猜想证明：在(1)的条件下，判断线段GH与GC的数量关系，并说明理由 【详解】(1)解：由题意，作图如下： B (2)解：GH=GC,理由如下： 口ABCD, ∴.AB∥CD, .ZCHG ZABF ,∠ABF=∠DCE, ∴.∠CHG=∠DCE, ..GH=GC. 5.(2024福建福州二模)如图，在ABC中，D是BC上一点. 6/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D B (1)在AB上确定一点O,使得OA=OD(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，当LA0D=90°时，将ABC绕点O旋转得到△DEF,其中，D,E分别是点A,B 的对应点，若D是BC的中点，EF交AB于点G,求证：G是EF的中点. 【详解】(1)解：如图，O为所求作的点. D B (2)证明：，D是BC的中点， A BD=BC、 2 :ABC绕点O旋转得到△DEF,D,E分别是点A,B的对应点， ∴.OB=OE,∠BOE=∠AOD=90°，△ABC≌△DEF, ∴.∠BOD=90°，BC=EF,∠ABC=∠DEF. I∠ABC=∠DEF, 在△ODB与AOGE中 OB=OE, ∠BOD=∠BOE, ∴.△ODB≌△OGE, .BD =EG, EG=TEF. 2 即EG=FG, .G是EF中点 7/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(2025·福建厦门模拟预测)如图，在平行四边形ADBC中. (I)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN,使得点M在AC上，点N在BD上.（不写作法，保 留作图痕迹，标明字母) (2)在(1)条件下若AD=3,BD=5,CN平分LBCD,求BN的长. 【详解】(1)解：菱形DMCN即为所求作； (2)解：：平行四边形ADBC中， .BC=AD=3,AC//BD,BD=AC=5, :菱形DMCN, :CN DN, ∴.∠NCD=∠NDC, :CN平分LBCD, ∠NCD=∠NCB, ∠NCB=∠NDC, '∠CNB=∠NDC+∠DCN,∠DCB=∠DCN+∠NCB, 又：∠NCB=∠NDC, .CNB=∠DCB, △BCN∽△BDC, BN BC BC BD BN 3 35 8/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 押题猜想二概率与统计综合 试题前瞻能力先查·一 限时：4min (2026南平.一模)某地下停车场剩下“S50,S51,S52,S53”四个相邻的车位 (1)若一辆小车开进该地下停车场，车子停在“S52”号停车位是事件（填“随机”或“必然”或“不可能”）， 概率是 (2)现有甲、乙两位车主同时来到该地下停车场停车，用树状图或列表法求他们停靠的位置恰好相邻的概率. 【详解】(1)解：总共有4个不同的停车位，车辆停在任意一个车位都有可能， 车子停在S52这件事可能发生也可能不发生，因此是随机事件； 总共有4种等可能的结果，符合停在S52的结果有1种， 因此概率为好： (2)解：记S50,S51,S52,S53分别为A,B,C,D,甲乙不能停在同一个车位， 画树状图如下： 开始 由表可得，所有等可能的结果共12种，其中甲乙停靠位置相邻的结果有6种 因比所球概幸为会号 ·分析有理押题有据。一 近三年解答题固定考点，是中高分段的“保底分”题型，占分8-10分。条形统计图+扇形统计图的数据 分析、加权平均数/中位数/众数/方差计算，结合列表/树状图求概率并做决策。 ◆终极猜想·精练通关◆— 1.（2026福建泉州一模)为传承“蟳埔簪花”非遗文化，丰泽区某中学组织学生开展非遗体验活动，分为 甲、乙两组，每组各10人.活动记录了每位学生的簪花数量（单位：朵）、创意评分（单位：分）和文 化讲解时长（单位：分钟)，相关数据如下： 9/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 两组学生簪花数量统计图 学生数（人） 甲口 乙▣ 4 5 6簪花数（朵） 两组学生活动的平均数统计表 项目 簪花数量(a朵) 创意评分(b分) 讲解时长(c分钟) 甲组 20 1.8 乙组 5 19 2.2 根据以上信息，回答下列问题： (1)已知甲、乙两组簪花数量的方差分别为s=x,s=0.8,求x的值，并结合两组簪花数量的平均数和 方差，评价甲、乙两组的表现稳定性； (2)规定学生的综合表现指数为2a+b+4c,指数越大该组学生的综合表现越好.试通过计算，判断哪一组 的综合表现更好 【详解】(1)解：甲组簪花数量的平均数为，一×(1×3+2×4+3×5+4×6)=5（朵）， 10 甲答花数量的方差号-0[-1+4-x24(5-那x3+6-x]- 52=0.8 s>s2, 甲、乙两组簪花数量的平均数相等，但乙组的方差更小，表现得稳定性更好： (2)解：由题意可知，甲组的综合表现指数为2×5+20+4x1.8=37.2, 乙组的综合表现指数为2×5+19+4×2.2=37.8， 37.2<37.8, :乙组的综合表现更好。 2.（2026福建莆田·模拟预测)某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际决定：凡购物满100元，则可 参加摸球抽奖活动（活动设置一、二、三等奖）·摸球规则如下：现有两只不透明的口袋甲和乙，甲袋中 装有2个白球和1个红球，乙袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，两个袋子搅匀后， 10/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 先从甲袋中任意摸出1个球，再从乙袋中任意摸出1个球. (①)求摸出两个球均为白球的概率； (②)根据两次摸球的结果，请你设计一个兑奖方案，使得获一等奖的概率小于获二等奖的概率，获二等奖的 概率小于获三等奖的概率，并说明理由. 【详解】(1)解：记甲袋2个白球为白1，白2，红球为红甲；乙袋1个白球为白乙，2个红球为红1，红 2 列表如下： 白1 白2 红甲 白乙 白1，白乙 白2，白乙 红甲，白乙 红1 白1，红1 白2，红1 红甲，红1 红2 白1，红2 白2，红2 红甲，红2 总共有9种等可能的结果，其中两个球均为白球的结果有2种 因此淡出两个球均为白球的制幸为号 (2)设计方案：摸出两个红球时获得一等奖，摸出两个白球或甲袋摸出红球乙袋摸出白球时获得二等奖， 摸出甲袋白球乙袋红球时获得三等奖 2 理由：获一等奖（两红）的概率为)： 获二等奖（两白或甲红乙白）的概率为后+。}。 g+g9 获三等奖（甲白乙红）的餐率为号 因为2、34 。9),所以该方案符合要求 3.(2026福建泉州一模)为了调查学生上课举手回答问题的情况，某校研究性学习小组利用视频分 析，随机抓拍初三年(1)班甲、乙两组同学在某节数学课中的“举手次数”，记录如下：（单位：次） 序号 抓拍1 抓拍2 抓拍3 抓拍4 抓拍5 抓拍6 组别 甲组 11 11 14 15 13 14 乙组 11 13 13 12 14 15 (1)从本节课甲组6次抓拍中，随机抽取一次，则抽取到举手次数”不小于14的概率为 11/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)分别从甲、乙两组“举手次数”不小于14的抓拍数据中各随机抽取一次，若两次抽取“举手次数”的和不 小于29的概率大于50%，则称该节课为“成功互动课堂”.请利用树状图或列表分析，判断该节课是否为“成 功互动课堂” 【详解】(1)解：甲组6次抓拍中，“举手次数”不小于14的有3次，故抽取到“举手次数”不小于14的概 率为名 (2)解：分别从甲、乙两组“举手次数”不小于14的抓拍数据中各随机抽取一次，画出树状图如下： 开始 甲组 14 15 14 乙组 141514151415 和 282929302829 一共有6种可能，其中两次抽取“举手次数”的和不小于29的情况有4种， ÷两次抽取“举手次数的和不小于29的概率为：石了” 42 号分明 3 ∴.该节课是“成功互动课堂”. 押题猜想三新定义代数与几何探究 ●题前瞻·能力先查一 限时：6min (2026莆田模拟试卷)新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形 新定义2：将顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片 展平 图1 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 图2 12/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ③折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图3中所示的AD处 图3 ④展平纸片，按照所得到的点D折出DE 图4 B (图5) (I)根据以上折纸法，求证：矩形BCDE为黄金矩形 (2)如图5，已知∠A=36°，△ABC为黄金三角形，BC=1,求：AB的长 (3)在(2)的条件下，截取BD=BC交AC于D,截取CE=CD交线段BD于E,过E作任意直线与边 AB,BC交于P,Q两点，试判断： 。+是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 BP+BO 【详解】(1)证明：由折叠可知：∠MBC=∠MWC=90°， 又：∠NMB=90°， :四边形MWCB是矩形， 又由折叠可知：MB=MN, :四边形MNCB是正方形， ∴.BC=MN=CN,∠NCB=90°， 由题意得AC=CN, AB-AC+BC-5CN: 2 由折叠得AD=AB=5CN, ÷CD=AD-AC=5-lCN, 2 .CD 5-1CN5-1,· CN 2 13/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ,∴，矩形BCDE是黄金矩形； (2)解：如图所示，作∠ABC的角平分线交AC于D, ∠A=36°，AB=AC, ∠ABC=∠C=180°∠4=72， 2 .∠CBD=∠ABD=∠ABC=36°=∠A, ∴.AD=BD,∠BDC=180°-36°-72°=72°， ∴.∠BDC=∠C, .AD BD=BC=1, 又，∠C=∠C, ∴.△ABC∽△BDC, “品瓷即 。1 1AC-1' 4B1 1AB-1' .AB2-AB-1=0, 解得AB=1+5或AB=1-5(舍去)， 2 2 经检验，AB=1+5是原方程的解。 2 (3)解：如图所示，过点E分别作AB,BC的垂线，垂足分别为F,G,过点Q作QH⊥AB于H, :S△BPO=S△BPE+S△BOE, H-P.EG+QEF 由(2)可知，当BD平分∠ABC时有BD=BC, ∴.EG=EF, ∴.BP·QH=BP+BQ·EG, 在RtABOH中，QH=BQ·sin∠QBH, ∴.BP.BO.sin∠QBH=(BP+BQ·EG, 14/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BP+BQ_sin∠QBH :BP.BO EG 1,1sin∠QBH :BP BO EG 在Rt△EBG中，EG=BE.sin∠EBG, 1.1 sin∠OBH BP+BQBE·sin /EBG .CE =CD, ∴.∠CED=∠CDE=72°， ∴.∠ECD=36°， ∴.∠ECB=36°=∠EBC, ∴EB=Ec=CD=1+5-1=5-1, 2 2 1 ∴.BF=CF=5BC= 2 EF=BE2-BF=5-25 2 ,sin∠EBF= EF ,∠GBE=∠EBF, BE sin∠EBG=sin∠EBF=EE BE 如图所示，连接AF, 在RtABF中，AF=VAB-BF=5+25 2 'sin∠ABF=AE AB AF V5+2W5 1 1sin∠QBH =-AB AF 2 3+V5 BPBO-BE Sin/E8GEAB EF55-25 2 BE 2 D ·分析有理押题有据。 15/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 从近三年的中考情况来看，长文本阅读，创设新运算、新图形，考查阅读理解与符号表达、归纳证明能力。 ●终极猜想·精练通关◆ 1,(2026龙岩一模)对x,y定义一种新运算A,规定：△x)=+(其中a、b均为非零常数)， x+3v 这里等式右边是通常的四则运算，例如：△0,1=ax0+bx1_b 0+3×1=3 (1)已知△(1，-1)=1，△(2,1=4 ①求a、b的值； △-3m,m+1)≤6 ②若关于m的不等式组 恰好有2个整数解，求实数p的取值范围. △(6m,1-2m<p (2)若△(x,y)=△(y,x)对任意实数x,y都成立（这里△(x,y),△(y,x都有意义），则a、b应满足怎样的 关系式？ 【详解】（1)解：①△x)=r+，A1,-1)=1,A2,l=4, x+3v 1 2a+b=4, 2+3 解得a=6,b=8; ②解A-3m,m+1≤6，即63m+8m+s6. -3m+3(m+1) 解得m≥-1； 解△(6m,1-2m<p, 6(6ml+81-2m<p, 6m+31-2m) 解得m<3p-8 20 六不等式的解集为-1≤m<3p-8。 20· ,关于m的不等式组 ∫A-3m,m+≤6恰好有2个整数解， △6m,1-2m<p 即m=-1,0, 0<3p8s1, 20 28 (2)解：：△(xy)=△(y,x对任意实数x,y都成立， 16/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :a+=四+r x+3y y+3x' 整理得(ax+by)y+3x)=(ay+bx)(x+3y), 展开得a.xy+3ax2+by2+3bxy=a.xy+3ay2+bx2+3bxy, 化简得3ax2+by2=bx2+3ay2, 再整理得3a-b)x2=(3a-b)y2, 由于上式对于任意实数x,y都成立， ..3a-b=0, .b=3a. 2.(2024天津.模拟预测)当n为正整数时，定义阶乘运算n!=n×n-1×n-2)×…×3×2×1,例如 3!=3×2×1=6 (1)证明（n+1)n!=(n+1)！ (2)化简1×1！+2×2：+3×3！+…+2015×2015！+2016×2016！ ,1,1 ③老用风表示不超过x的最大格数，如2归2，a3,记3+中0206求的 【详解】(1)证明：，n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1 ∴.（n+1n!=(n+l×n×n-1×(n-2)×…×3×2×1=(n+l！ (2)解：1×1！=1×1=1， 2×2!=2×1×2=4, 3×3!=3×1×2×3=18, 4×4！=4×1×2×3×4=96, .1×1!=1=2!-1, 1×1+2×2!=1+4=5=3!-1, 1×1!+2×2!+3×3!=1+4+18=23=4!-1, 1×1!+2×2!+3×3!+4×4!=1+4+18+96=119=5!-1, …， 以此类推可知，1×1！+2×2！+3×3！+…+n×n!=（n+1)！-1, .1×1+2×2+3×3+…+2015×2015+2016×2016!=2017！1. 故答案为：2017！-1 17/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3)解： .S>1 :S=1+11 11 =i727+31++20151+2016 =+11 1 1 Γ12！3！ +…+ 2015！2016! 12,3 ,2014,2015 <1+ +…十 2!3！4! 2015！2016! =1+2-1+3-1+4-1++2015-12016-1 +…+ 2!3!4！ 2015!2016! =1+21+3-1+41+420151 20161 +…+ 2!2!3!3!4!4! 2015!2015!"2016!2016! =1+1-1+1-111 1 1 1 +…十 2!2!3!3!4! 2014！2015！2015！2016! =1+1- 2016！ 1 =2- 20161 1 =2 1×2×3×…×2016 1 0< x2x3xx2016<1 1 .1<2 1x2x3x…x2016<2 综上所述1<S<2 [S]=1 故答案为：1 3.(2026泉州·模拟试卷)新定义：对于给定的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，把形如 y= ar+br+c(x之0)的函数称为二次函数y=ar2+bx+c(a≠0)的关联函数”， -ax2+bx+c(x<0) 运用新定义解决问题：已知二次函数y=x2-2x-3. (1)请直接写出这个二次函数的“关联函数”的表达式： (②若点Am)在这个二次函数的关联函数的图象上，求m的值： (3)当-3≤x≤2时，请直接写出这个二次函数的“关联函数”的最大值和最小值. 【详解】(1)解：y= ax2+bx+cx≥0) 的函数称为二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的“关联函数”，且 -ax2+bx+c(x<0) 18/116 学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 二次函数y=x2-2x-3. 这个二次函数的“关联函数”的表达式y= x2-2x-3（x≥0) -x2-2x-3(x<0) (2)解：依题意，这个二次函数y=x2-2x-3的“关联函数”的表达式：y= x2-2x-3(x20) -x2-2x-3(x<0)1 当m20时，起4风别代入y2-2x-3,得-弓=m2-2m-3 51 、-号=m2-2m-3, .2m2-4m=1, m2-2m+1=3 2 罪得m,2+V6或m,=2,6<0(舍去)户 2 色<0时，把Am代入y=--2x-3,得--m-2m-3 .-5=-2m2-4m-6, ∴.2m2+4m+1=0, 解得m=2+2或，=2,2 2 2 综上：当点4m在这个二次函数的”关联函数"的图象上时，m的值为2+6或2+5或2，互 5 2 2 2 ； (3)解：，二次函数y=x2-2x-3. ∴这个二次函数的“关联函数”的表达式y= x2-2x-3（x≥0) -x2-2x-3(x<0) -3≤x≤2， 当0≤x≤2时，则y=x2-2x-3, 1>0, ÷开口方向向上，对称轴为直线x=-2=1, 2 在x=1时，函数y=x2-2x-3有最小值，且为y=12-2×1-3=-4, 在x=0时，则y=x2-2x-3=0-0-3=-3, 在x=2时，则y=x2-2x-3=4-4-3=-3, 19/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 综上：当0≤x≤2时，则y=x2-2x-3有最大值为-3，最小值为-4； 当-3≤x<0时，则y=-x2-2x-3, -1<0, 开口方向向下，对称轴为直线x之一1， 在x=-1时，函数y=-x2-2x-3有最大值，且为y=-(-1)2-2×-1)-3=-2, 当x=-3时，则y=-x2-2x-3=-(-3-2×-3)-3=-6, 综上：当-3≤x<0时，则y=-x2-2x-3的最大值为-2，最小值为-6； 综上：当-3≤x≤2时，这个二次函数的“关联函数”y= x2-2x-3(x20)的最大值为-2，最小值为-6 -x2-2x-3(x<0) 4.(2026龙岩模拟试卷)新定义：有一组对角相等，且都为90°，另一组对角不相等的凸四边形称为垂 直四边形”，如图1.在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC≠LADC. 图1 图2 图3 (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”. ①“垂直四边形”对角互补； ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等； ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合） (2)如图2，四边形AEPD是“垂直四边形”，（∠EAD=∠EPD=90°），过点P作MN⊥AE,N为垂足， 过点D作DM⊥MN,M为垂足. ①求证：△EPN∽△PDM; ②若∠P4E=30°，求DC的值： PE 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”. (3)如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,CD平分∠ACB,点E在边AC上，若以B、 C、E、D为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段CE的长. 【详解】(1)解：①，∠BAD=∠BCD=90°， ∴.∠ABC+ADC=360°-（∠BAD+∠BCD)=180°， 20/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.“垂直四边形”对角互补，正确： ②连接BD,不妨设AB=CB, ∠BAD=∠BCD=90°，BD=BD, ∴.RtABADS≌RtABCD(HL), .AD=CD, .“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；正确. C D B ③，∠BCD=90°，BE是∠ABC的平分线， ·∠CEB=90- 2ZABC. :∠ABC+ADC=180°， ∴.∠ADC=180°-∠ABC, :DF是∠ADC的平分线， ∴∠DF=3ADc=s0-∠ABc=0-4Bc. ∴.LCEB=∠CDF, .BE∥DF, E D 4 ∴，“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）正确. (2)①证明：：∠EAD=90°，MN⊥AE,DM⊥MN, ∴.四边形ADMN是矩形， ∴.∠M=∠N=∠DPE=90°， ∴.∠MDP=90°-∠DPM=∠NPE, ∴.△EPN∽△PDM; ②连接DE, 21/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 M E N ,∠EAD=∠EPD=90°， ∴.四边形AEPD是圆内接四边形， ∴.∠PDE=∠PAE=30°， ∴.DE=2PE, PE2+PD2=DE2,PE2+PD2=(2PE), ∴.PD=V3PE, :0p PE 3; (3)解：CD平分∠ACB,.∠BCD=∠ECD, ①若∠B=∠DEC,LBCE≠LBDE,如图2， 图2 ∠DEC=∠B 在aCDE与△CDB中， ∠DCE=∠DCB CD=CD ∴.△CDE≌aCDB(AAS), .EC=BC=6; ②若LBCE=∠BDE=90°，LB≠∠DEC, 如图3，过点D作DM⊥BC,DN⊥AC,垂足为点M,N, 图3 22/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8,BC=6, .AB=AC2+BC2=10, :CD平分∠ACB,DM⊥BC,DN⊥AC, ∴.DM=DN, SAuDC=AD AC-DN AC SABDC BD BC.DM BC 2 、ADAC4 BD-BC-3' 0号48-9 Γ7 :∠A=∠A,∠ADE=∠ACB=90°， △ADEn△ACB, :AE、4D 40 AB4C,即AE7 108 AE=50 7 6 ∴.CE=8-AE=Y 综上所述：CE的长为6或 5.(25三明·期末)所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，源于中学数学内容但又是学生没 有遇到过的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序 等.在解决它们的过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识.主要包括以下类型：① 概念的“新定义”；②运算的“新定义”；③新规则的“新定义”；④实验操作的“新定义”；⑤几何图形的新定 义.如果我们新定义一种四边形：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形. A 图1 图2 (I)如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=)∠D,∠C=?∠A,请你利用所学知识求出∠B与∠C的 度数之和： (2)如图2，锐角△ABC内接于⊙O,若边AB上存在一点D,使得BD=BO.∠OBA的平分线交OA于点 23/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E,连接DE并延长交AC于点F,若∠AFE=2∠EAF,请你判断四边形DBCF是不是半对角四边形？并 说明理由. 【详解】(1解：在￥对角四边形ABCD中，∠B)∠D,∠C)∠A ∠A+∠B+∠C+∠D=360°， .'.3∠B+3∠C=360° ∴.∠B+∠C=120° 即∠B与∠C的度数之和120° BD=BO (2)证明：在△BED和△BEO中， ∠EBD=∠EBO BE=BB ,∴.△BED≌△BEO(SAS) ∴.∠BDE=∠BOE 又：∠BCF=;∠BOE ∴∠BCF3∠BDE 如图，连接OC, 设∠EAF-a,则∠AFE-2∠EAF-2a ∴.∠EFC=180°-∠AFE-180°-2a .0A=OC, ∴.∠OAC-∠OCA=a ∴.∠AOC-180°-∠OAC-∠OCA=180°-2a, 则∠AOC-∠EFC 又：∠ABC-3∠A0C ∴∠ABC∠AOC号∠EC ,∴，四边形DBCF是半对角四边形 A D C B 24/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 押题猜想四代数推理与数论规律探究 试题前瞻能力先查·一 限时：6min (2026晋江模拟预测)已知实数m,n,s,t满足s=m2+n2,t=mn,m=n+1,且n是正整数，p=s+t (1)请判断P是奇数，还是偶数？并说明理由； (2)求证：P是完全平方数. 【详解】(1)解：P是奇数，理由如下： .n是正整数，m=n+1, ∴.m,n是一个奇数、一个偶数， ∴.t=mn是偶数， 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数， ∴.s=m2+n2是奇数，t2是偶数， ∴.p=S+t是奇数加偶数，结果为奇数； (2)证明：，s=m2+n2,t=mn,m=n+1, .s=(n+12+n2=2n2+2n+1,t=nn+1=n2+n, .p=s+t2 =2n2+2n+1+(n2+n2 =n2+n+12, 即P是完全平方数 ·分析有理押题有据。一 近三年解答题新增趋势，常与二次函数、方程综合考查，区分度较高。占分10分。含参一元二次方程根 的判别式、根与系数关系，结合不等式求参数取值范围，或分式/整式的代数恒等式证明。 25/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ●终极猜想·精练通关一 1.(2026福建泉州模拟预测)已知整数a,b,m,n满足a+b=mn. (1)求证：a2-b2+2mnb为非负数： (2)若n为偶数，判断am-bm是否可以为奇数，说明你理由. 【详解】(1)证明：，a+b=mn, .a2-b2+2mmb=a2-b2+2(a+b)b=a2-b2+2ab+2b2=a2+2ab+b2=(a+b)2 (a+b)2≥0 .a2-b2+2mnb为非负数 (2)不可以，理由如下： ,a,b,m,n为整数，n为偶数， ∴.w为偶数， '.a+b=mn, ∴.a+b为偶数， .a,b同为偶数或者同为奇数， .a-b为偶数， 若am-bm为奇数，则(a-b)m为奇数， ∴.a-b为奇数， .a-b为奇数与a-b为偶数矛盾， ∴.am-bm不可以为奇数， 2.(26山东东营·模拟)[阅读材料] 因式分解：(x+y)+2(x+y)+1. 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2. 再将“A”"还原，原式=(x+y+)2. 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法。 [问题解决] (1)因式分解：1+4x-y)+4x-y); (2)因式分解：x2-6x)x2-6x+18+81: 26/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)证明：若n为正整数，则代数式(n+1)(n+2)(n2+3n+1的值一定是某个整数的平方. 【详解】(1)解：令x-y=A, 原式=1+4A+4A2 =(1+242 =(1+2x-2y)2: (2)令x2-6x=B, 则(x2-6x)(x2-6x+18)+81 =BB+18)+81 =B2+18B+81 =(B+9)2 =(x2-6x+9)2 =(x-3)4; (3)(n+1)(n+2)(n2+3n+1 =n2+3n+2n2+3n+1 =n2+3n+2n2+3n+1 =(n2+3n+12, ,n为正整数， .n2+3n+1正整数。 .(n+1(n+2(n2+3m+1=(n2+3n+l, 即代数式(n+1)(n+2)(n2+3n+1的值一定是某个整数的平方. 3.【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这 一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广 泛的应用. 例1：因式分解：a2+6a+8. 解：原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3-1)(a+3+1=(a+2(a+4). 27/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例2：若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值 解：a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(b-1)2+1. “(a-b)220,(b-1)2≥0， ·当a=b=1时，M有最小值1. 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：a2-12a+35=； (2)已知a2+2b2+c2-2ab+4b-6c+13=0,求a+b+c的值. (3)已知P=x2-y2+6x-1,Q=2x2+4y+13,试比较P,0的大小 (4)若a,b为有理数且满足ab=a+b,P=a2-4ab+b2+11,求P的最小值. 【详解】(1)解：依题意，a2-12a+35=a2-12a+36-1=(a-6)-12=（a-7(a-5), 故答案为：(a-5)(a-7). (2)a2+2b2+c2-2ab+4b-6c+13=0, .a2-2ab+b2+b2+4b+4+c2-6c+9=0, ∴.(a-b)2+(b+2)2+(c-3)2=0, 又：(a-b)2≥0，(b+2)2≥0，(c-3)220, .a-b=0,b+2=0,c-3=0, a=b=-2,c=3, ∴.a+b+c=-2+(-2)+3=-1. (3):P=x2-y2+6x-1,9=2x2+4y+13, 0-P=2x2+4y+13-x2-y2+6x-1 =x-6x+9+y2+4y+4+1 =(x-3)2+(y+2)2+1 (x-3)2≥0，(y+2)2≥0， .Q-P≥1 0>P. (4)解：ab=a+b, 28/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .P=a2-4ab+b2+11 =a2-4a+b)+b2+11 =a2-4a-4b+b2+11 =a2-4a+4+b2-4b+4+3 =(a-2)2+(b-2)2+3, (a-2)2≥0，(b-2)2≥0， :当a=b=2时，P有最小值，最小值为3，此时满足2×2=2+2， 故答案为：3. 4.(2025福建模拟预测)若一个正整数x能表示成a2-b2(a,b是正整数，且a>b)的形式，则称这个 数为优美数”，a与b是x的一个平方差分解. 例如：因为5=32-22，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解： 再如：M=x2+2xy也是“优美数”.M=x2+2xy=x2+2xy+y2-y2=(x+y)-y2(其中X,y是正整数)， 所以M也是“优美数”，(x+y)与y是M的一个平方差分解， (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由. (2)设两个连续正奇数为2n-1和2n+1（其中n是正整数)，由它们构成的优美数”能被8整除吗？如果能， 请说明理由；如果不能，请举例说明， (3)已知N=x2-y2+6x-10y+k(x,y是正整数，k是常数，且x>y+2),要使N是“优美数”，请写出 一个符合条件的一个k值 【详解】(1)解：27是“完美数”， :142-132=(14+13)×14-13)=27×1=27, 62-32=(6+3×(6-3=9×3=27, ,27是“完美数”，14与13,6与3都是27的平方差分解； (2)解：(2n+1)2-(2n-1)2 =4n2+4n+1-4n2-4n+1 =4n2+4n+1-4n2+4n-1 =8n, ,8n能被8整除， 29/116 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.由它们构成的优美数”能被8整除； (3)解：N=x2-y2+6x-10y+k =（x2+6x+9-y2+10y+25)+k+16 =(x+3)-(y+5)+k+16: .当k+16=0时，N=(x+32-(y+5)为“优美数”，此时k=-16, 故当k=-16时，N为优美数”. 5.（25·江西南昌·期末)阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式， 例如：a+b+c,abc,a2+b2,..含有两个字母a,b的对称式的基本对称式是a+b和ab,像a2+b2, (a+2)b+2)等对称式都可以用a+b,ab表示，例如：a2+b2=(a+b)2-2ab. 请根据以上材料解决下列问题： 0减千：0o.②：，@行@6+b中，局于对系文的是 (填序号) (2)已知x+a)(x+b)=x2+mx+n. ①若m=2,n=-4,求对称式a2+b2的值 ②若m=-4,求对称式+的最大值 a b 【详解】解：(1)根据“对称式”的意义，得①③④是“对称式”， 故答案为：①③④， (2)①：(x+a)(x+b)=x2+mx+n. .m a +b,n=ab, ①当m=2,n=-4时，即a+b=2,ab=-4, .a2+b2=(a+b)2-2ab=4+8=12, ②当n=-4时，即ab=-4 30/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 b+a-a2+b_a+b-2ab=-m2+8-m a b ab ab 4 42, 所以当m=0时，--2有最大值2， 4 故代数式b+的最大值为-2. a b 6.(2026福建漳州一模)已知抛物线y=ax2-4ax+2(a≠0). (1)求抛物线的对称轴； (2)若点Ax,m),B(x2,b),C(-2,n)均在抛物线上，且对于任意x2,都有m≤b. ①求m的值（用含a的代数式表示）； ②求证：mn≤ 3 【详解】(1)解：，抛物线y=ax2-4ax+2a≠0)， 4a=2 2a ∴.抛物线的对称轴为直线x=2; (2)①解：当a>0时，，点Ax,m),B(x2,b)均在抛物线上，且对于任意x2,都有m≤b. ∴.点Ax,m为抛物线的顶点， 由(1)得，当x=2时，y=a×22-4a×2+2=-4a+2 ∴.m=-4a+2; 当α<0时，抛物线开口向下，函数值没有最小值，故不符合题意： 综上：m=-4a+2; ②证明：：点C(-2,n在抛物线y=ax2-4ax+2(a≠0)上， .n=a×-2)2-4a×-2+2=12a+2 .mn=(-4a+2)(12a+2 =-48a2+16a+4 .-48<0, 31/116 品学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 由①可得a>0, 1 16 16 ∴.当a=二时，mn取得最大值。，即mn≤ 6 3 3 7.(2025福建福州三模)在代数中，一元二次方程的一般形式为ax2+br+c=0(a≠0)，设该方程的两个 根为X,名，则根与系数之间存在以下关系式（也称韦达定理）：+=。， a 这些关系在解决一元二次方程相关的问题时非常有用. 次函数y三+bx+c的图象点北-4，当2时y随x的增大而增大，当xv随x的塔天 而减小.若实数m,n满足m2+bm+c=0,n2+bn+c=0· ()求此二次函数的解析式（也称表达式）； ②若T=4n-21-3+4m-2m-3,试判断T是否为定值，若为定值，请求出T的值：若不为定值， 4m2-2m-34n2-2n-3 请说明理由. 【详解】(1)解：当x>一时y随x的增大而增大，当x<。时y随x的增大而减小， 2 、) .二次函数y=x2+bx+C的对称轴为x=二 图象过点(1，-4)， 1+b+c=-4 22 b=-1 解得 c=4 .该二次函数的解析式为y=x2-x-4: (2)解：T为定值，理由如下： ,实数m，n满足m2+bm+c=0,n2+bn+c=0,由(1)知b=-1，c=-4,即m,n是方 程x2-x-4=0的两个根. .在方程x2-x-4=0中a=1,b=-1，C=-4, 32/116 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .m+n=- -1,mm=4 1 4. 同时，由m2-m-4=0可得m2-m=4；由n2-n-4=0可得n2-n=4. 当m=n时 4n2-2n-3,4m2-2m-3_4n2-2n-3,4n2-2n-3 4m-2m-34m-2n-34n2-2m-3+4n2-2m-3=2 当m≠n时 ,4m2-2m-3=4(m2-m)+2m-3=4×4+2m-3=13+2m;4n2-2n-3=13+2n. ÷T=13+2n+13+2m=13+2m2+13+2m2 13+2m13+2n(13+2m)13+2n) =169+52n+4n2+169+52m+4m2 169+26(m+n)+4mn =4(m2+n)+52(m+m）+338 169+26(m+n)+4mn :m2+n2=(m+n)2-2mn, 把m+n=1,mn=-4代入： m2+n2=12-2×(-4)=1+8=9 T=,4×9+52×1+338_36+52+338426 169+26×1+4×(-4)169+26-16179 426 综上，T为定值，T的值为2或 179 8.(2026福建泉州模拟预测)二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(x,0)，B(x2,0),且 x1≠x2· (1)若x1=-2,b+c=-10,求二次函数的表达式： (2)若x1=2x2,求证：4b-3c≤6. 4-2b+c=0 【详解】(1)解：由题意，得 b+c=-10' 33/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 b=-2 解得： c=-8 ∴.二次函数的表达式为y=x2-2x-8. (2)解：法一：X1≠X2,X1=2x2, .2x2≠x2,即x2≠0. 由题意，得4x2+2bx,+c=0,x3+bx2+c=0, .3x22+bx2=0, .x23x2+b=0, x2≠0， .3x,+b=0, 1 x2=--b. 3 把5=-b代入y=r+bx+c,得62-62+c=0. 1 3 93 26, .C= 9 4h-3c=4b-262=-26-32+6. 2 3 3 :-2b-32s0. 3 -26-2+6≤6. 即4b-3c≤6. 法二：由题意，得x1+x2=-b,x1·X2=C, x1=2x2, .3x2=-b,2x22=c, 34/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即b=-3x2,c=2x22. .4b-3c=-12x2-6x=-6x2+1)2+6. -6(x2+1)2≤0， .-6(x2+1)2+6≤6， 即4b-3c≤6. ■押题猜想五解直角三角形的实际问题 试题前瞻能力先查。一 限时：6min (2025福建福州一模)综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图. 已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC,悬托架AE=DE=0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径 DF是DE的4倍.当伞面完全张开时，点D,E,F始终共线，为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以 根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直。 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度 90 75 60 45 30 15 角（度） 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头项到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点？. a入 G O HC 图1 图2 任务1： (1)某一时刻测得AD=0.8米， ①请直接写出tan∠ADE= 35/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ②请求出此时影子GH的长度； 任务2： (2)这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由 【详解】解：任务1：①悬托架AE=DE=0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍， DF=4DE=2(米)， 如图，过E作EI⊥AD于I,而AE=DE=0.5,AD=0.8, E a入 G HC ..A1=DI=0.4, .E1=VDE2-DI2=0.3, ∴.tan∠ADE= EI 3 DI4' 故答案为：4 ②如图，过点E作EI⊥AB于点I,过点G作GJ⊥FH于点J, F E 0入 B 结合题意可得：四边形DGJF为矩形， ∠FDG=∠DGJ=90°， ,∠IDE+∠BDG=90°，∠BDG+∠BGD=90°， ∠BGD+∠JGH=90°，∠JGH+a=90°， ∴∠ADE=, 36/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sina=sin∠IDEy 由条件可知GJ=DF=2米， 在RtAGJH中，sina= GJ GH 又：sin∠IDE= 1E_0.3_3 DE0.551 23 GH5' 解得：GH=1”米， 3 :此时影子GH的长度为号米： 任务2：小明会被照射到.理由如下： 如图，过点Q作PQ⊥BC交HF于点P F na入 O H C 由条件可知∠IDE=∠a=∠DGB, 由条件可知△DE是等边三角形， AD=AE=DE= 米 BD=2.5-0.5=2米 BG=BD 2 an60店米， G.J 4 GH= im605米， 当PQ=1时，QH=P№ 1 an60米， 2415 :小明刚好拨照射到时离B点的距离为后+店店店<3， ·小明会被照射到 ·分析有理押题有据。 37/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 近三年解答题必考题型，以实际测量为载体考查三角函数应用。主要考查仰角/俯角、方位角、坡度坡比 为背景的实际测量问题，或结合矩形/菱形的三角函数计算。 ○终极猜想·精练通关◆ 1.(2026福建泉州一模)综合与实践 【阅读材料】 a bc 如图1，在任意的4BC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有："sina"sinc,称为 正弦定理，是解三角形的重要结论之一· 图1 【问题提出】 洛阳桥是泉州“海丝”文化遗产，承载着宋元时期的造桥智慧.某校数学兴趣小组为绘制洛阳桥古桥遗址分 布图，需测量江两岸A、B两处古桥遗址的水平距离，因江宽及地形限制，无法直接测量，小组结合数学 知识设计了如下测量方案. 古桥遗址A 古桥遗址B 【方案设计】 测量工具： 测角仪：可测量水平面上两点与观测点连线的夹角； 测距仪：可测量任意可到达的两点间的水平距离，量程范围：200m~600m. 测量过程： 步骤一：如图2，在江岸边空旷处选取一点C（点C可观测到A、B两点)： 步骤二：分别站在A、B两处测得∠BAC≈37°，∠ABC≈61°； 步骤三：测得BC≈510m· 38/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 A 图2 【问题解决】 请你利用【阅读材料】中的正弦定理和特殊锐角三角函数值，解决下列问题： (1)求A、B两处古桥遗址间的实际距离；（精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，sin61°≈0.87， sin82°≈0.99) (2)在江岸边另一空旷处取一点D,测得∠BAD=45°，∠ABD=60°，求si∠ADB. 【详解】(1)解：∠BAC≈37°，∠ABC≈61°， ∠ACB≈180°-37°-61°=82°， 0。b sin4 sin B-sinC.BC *510m, BC AB sin37°sin820, :510-48 0.600.99' 解得：AB≈842（米）， 答：A、B两处古桥遗址间的实际距离约为842米； (2)解：如图，过点D作DE⊥AB于点E, B:4BAD=45°，∠DEA=90°， :ADE是等腰直角三角形， .DE AE, 在RtABDE中，∠ABD=60° BD= DE 23DE sin60°3 BE= DE 3 tan60°3 DE AB-4E+BE-DE+ 3+5DE -DE 3 3 39/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB BD sin∠4DB sin∠BAD 3+V5 DE 23 DE 3 3 sin∠ADB sin45° .sin∠ADB= √6+2 4 2.(2025湖北恩施一模)综合与实践：小星学习了解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如 下综合性学习 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽 内壁AC的夹角为∠A; 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.（直线NN'为法线，AO为入射光线， OD为折射光线)· 【测量数据】 如图，点A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面内，测得AC=20cm,∠A=45°，折射角 ∠D0N=32°. 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，求B,D之间的距离.（结果精确到0.1cm) (参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62) 459 空气 ---- DB 【详解】解：在Rt△ABC中，∠A=45°， ∴.∠B=45°， .'BC AC 20cm 由题意可得：ON=EC=)4C=10cm, 2 ∴.BN=0N=10cm, ∠D0N=32°， ∴.DN=0Ntan∠D0N=10tan32°≈10×0.62=6.2cm, ∴.BD=BN-DN=10-6.2=3.8cm, 40/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 答：B,D之间的距离3.8cm. 3.(23-24九年级下·湖南娄底·期中)如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测它到皮 肤的距离（图1），为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医 疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离，方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 E D B 皮肤 D C E B N M 示意图 器官 新生物 图1 图2 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射 说明 线与皮肤N的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处7.5cm的C处照射新生物，检测 射线与皮肤MN的夹角为LECN. 测量数据 ∠DBN=35°，∠ECN=22°，BC=7.5cm 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离.（结果精确到0.1cm)(参考数据： sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70、sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40) 【详解】解：过点A作AH⊥MN,垂足为H. 由题意得，∠ABH=∠DBN=35°，∠ACH=∠ECN=22°， 在R△AHB中，BH=AH=AH、AH =an∠ABH tan35o≈0.70 在RtAHC中，CH= AH AH AH -tan∠ACH-tan22°`0.40 E D B -M .CH-BH =BC, .AH_AH=7.5 0.400.70 ∴.AH=7cm. 答：新生物A处到皮肤的距离约为7cm。 41/116 学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 押题猜想六传统文化与跨学科融合题 试题前瞻能力先查·一 限时：6min (2026福建泉州一模)己知电源电压U=6V且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为52,102,152， 202,252;滑动变阻器P.在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻R, 调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表. 个I/A 0.4 0.3 0.2 0.1 0 5 10152025R/2 R(单位：2) 5 10 15 20 25 2 2 I(单位：A) 0.4 m n 15 25 (I)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流I随电阻R的变化规律，请直接写出I与R的函数 关系式： (2)在(1)的条件下，直接写出m,n的值，并画出该函数在第一象限的图象： (3)已知该滑动变阻器P允许通过的最大电流为1A,记其电阻为Rp,将定值电阻R更换为一电阻箱R, 根据物理知识可知电源电压U=I×(R。+R,).在(1)的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为 22≤R.≤252时，为保证电路安全，R取值范围是· 【详解】(1)解：由题意得，电压表的度数为5×0.4=2V, U 2 .由欧姆定律得I=二= RR 2 故答案为：【= R 2解：当R=10时、m=弓=02，当R=20时，n=0 =0.1, 10 42/116 可学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 函数图象如下所示： AIA 0.4 0.3 0.2 0.1 0 510152025R/2 (3)解：由题意得U=I×Rp+R,), U :1= Re+R' ,I≤1A, .Rp+R.269, .Rp≥42： 又定值电阻的电压固定为2V, 电流的最小值为二=0.08A, 25 Rp+R≤ 6 0.08 .Rp+R.≤752， .Rp≤502， 42≤Rp≤502. ·分析有理押题有据。一 近三年福建卷的创新题型，每年必有1-2道，考查学生的信息提取与知识应用能力。以古代数学著作（如 《九章算术》)、传统工艺、科学情境为背景，考查方程/不等式、几何计算等基础知识点。 ·终极猜想·精练通关●一 1.(2024北京·模拟预测)我国是世界上最早发明历法的国家之一，《周礼》中记载：垒土为圭，立木为 表，测日影，正地中，定四时，如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆， 正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气. 43/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 夏至 冬至兼 南 日影 B C 图1 图2 在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型，如图2，地面上放置一根长2米的杆AB,向正北方向画一条 射线BC,在BC上取点D,测得BD=1.5m,AD=2.5m. (I)判断：这个模型中AB与BC是否垂直.答： (填“是”或“否”)；你的理由是： (2)利用这个圭表模型，测定某市冬至正午阳光与日影夹角30°，夏至正午阳光与日影夹角为60°，请求出 这个模型中该市冬至与夏至的日影的长度差（结果保留根号）· 【详解】(1)解：是， 理由：由测量结果可知得BD=1.5m,AD=2.5m,而AB=2m, .AB2+BD2=6.25=AD2, ,∠ABD=90°， ∴.AB⊥BC, 故答案是：是；AB2+BD=AD2,由勾股定理的逆定理可知AB⊥BC, (2)如图，由题意可得：∠ABC=90°，AB=2,∠AFB=30°，∠AEB=60°， B E tan∠AEB=tan60°=A E 225 :BE= =3 同理：tan∠AFB=tan30°=4B BE F2=6 =2√5 FE=BF-BE=23-21343 3 3 ·该市冬至与夏至的日影的长度差为45， 3m. 44/116 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. (2026福建莆田·模拟预测)阅读材料，回答问题. 主 设计能读出并联电路总电阻值的教具 题 物理课上学习了计算并联电路总电阻公式R。R 111 一十 一，每次计算R急时总感觉计算麻烦，故某 校勤奋”实践小组结合数学相似三角形的知识：如图，若AB∥EF∥CD,则】三J 1 提 EF AB CD 出 他们就积极思考，并设计了一个能读出并联电路总电阻值的教具. 问 题 B 如图1，利用直尺AB、直尺DC和直尺EF(其中A,D,E,F,G处均装有滚轮，滚轮可在直 尺上调节滚动，直尺EF可以在BC上左右滚动)设计教具，AB⊥BC,DC⊥BC,AC与 BD相交于点E,EF⊥BC,垂足为F,若设置A,D在直尺上的读数分别为R,R,,则点 E在直尺上的读数为并联电路总电阻R点的值. 分 析 E 解 7 决 F列G 问 滚轮 图1 题 证明：：EF⊥BC,AB⊥BC, EF∥AB,.① EF CF (依据② AB CB EF BF 同理可得： ，.③ CD CB 45/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 111 十 AB CD EF ∴若设置A,D在直尺上的读数分别为R,R2,则点E在直尺上的读数为并联电路总电阻R点的值 受“勤奋”实践小组的启发，“严谨”实践小组提出设计教具的方案，如下：如图2，Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=BC,D是边CB的延长线上一点，设线段BC,BD的长度分别为R, 创 R的值，则图中可作出一条长度作为R点值的线段； 新 设 计 B D 图2 (1)请把①②③补充完整； (2)请帮“严谨”组在图中作出该线段，并说明理由； 【详解】(1)证明：：EF⊥BC,AB⊥BC, .EF∥AB, .∴.△CFE∽△CBA, EF CF (依据：相似三角形对应边成比例) AB CB EF BF 同理可得： CD CB EF EF BF CF =1, ·AB CD CBCB 1+11 AB CD EF ∴若设置A,D在直尺上的读数分别为R,R2,则点E在直尺上的读数为并联电路总电阻R点的值. (2)解：如图，作BE⊥BC交AD于点E,BE的长度作为R点值. 46/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 B 证明：EB⊥BC,∠C=90°， ∴.∠EBD=∠C=90°， .EB∥AC, .∠CAD=∠BED, ∴.△DBE∽ADCA, AC CD BE BD AC=BC, BC BD+BC=1+ BC BE BD D 11 1 BE-BC+BD ∴BE的长度可以作为R点值. 3.(2026福建泉州：一模)【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学.在生活中，我们常用盐的 质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度. (1)现有m克盐水中含n克盐(m>n>0),则盐水的浓度为”.加入a克(a>0水，则盐水浓度为 m n. 生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式： ”(填“>”、“<"或 m+a m+a m “=”) 【数学思考】 (2)将(1)中的“加入a克(a>0)水”改为“加入a克(a>0)盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变 得更咸了，此时盐水浓度为，由此得到新的不等式（用含a、m、n的式子表示)，试证明你 47/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 发现的新的不等式. 【结论运用】 (3)在ABC中，三条边的长度分别为x、y、z,试运用(1)、(2)中的不等式，证明： 1<x+y+ 2 y+z x+z x+y n 【详解】解：(1)由题意得， m+a m 故答案为：<； n+a (2)由题意得，此时盐水浓度为 m+a :盐水变得更咸了， n+a>”, m+a m 故答案为： n+a,n+a>”, m+a m+a m (3),在ABC中，三条边的长度分别为x、y、?, .x>0,y>0,z>0, x+x>x,y+y>y,+2> x+y+z y+z x+y+z x+z x+y+z x+y x+y+2<2x+2y+2=2x+y+ 2=2； y+z x+z x+y x+y+z x+y+z x+y+z x+y+z 一>x ,y>y 一>2 y+z x+y+z x+z x+y+z x+y x+y+z +y+2>x一+y一+2一=+y+2=1, y+z x+z x+y x+y+z x+y+z x+y+z x+y+z 1<x+少+2<2 y+z x+z x+y 48/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 。押题猜想七二次函数的动态分析压轴题 试题前瞻能力先查·一 限时：15min (2026宁德模拟试卷)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0,b>0)经过点A(-l,0). (1)当b=2,c=4时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点B是抛物线与x轴的另一个交点，点C是抛物线与y轴的交点. ①当c=时，若∠CaB=2∠ABC,求a的值： ②M为第三象限内抛物线上一点，若B0=4C0,LABM=LABC，当S△Mac=8b+6时，求点M的坐标. 【详解】(1)解：：抛物线经过点A(-1,0), a-b+c=0. b=2,c=4, .a=b-c=-2 ·该抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4. :该抛物线顶点P的坐标为22) 19 (2)(2)①：a-b+c=0,c 3, 4 4 ÷0C=3b=a+c=a+ :a<0,b>0, :该抛物线的解折式为y=ar+e+》+气音a<0】 如图，在x轴上取点A'(1,0),连接CA. 2:0A=0A'=1, 49/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.CA=CA', ∠CA'0=LCAB :∠CAB=2∠ABC,LCA'O=∠A'CB+LABC, ∠A'CB=∠A'BC, .A'B=A'C. 4C=04+0C7=5 六OB=OA+A'B=8 3 :点B的坐标为[管 “点B在抛物线上， ②由y=ax2+(a+cx+c,得点C的坐标为0，c,c=b-a>0, :B0=4C0, :点B的坐标为4c,0).可得BC的解析式为y=- 4x+c. “点B在抛物线上， .(4c2.a+(a+c×4c+c=0,得16ac+4a+4c+1=0 (4a+(4c+1=0.又4c+1>0,得a=- 4 :∠ABM=∠ABC, :直线BC与直线BM关于x轴对称. 直线的解折武为字-e,设庭M风子+气e-》m+ 。1） -+c-司m+c-n-c,可得+2a-4d=0 解得m1=-2,m2=4c（舍). 2-c-)月 如图，过点M作MH⊥y轴，垂足为H. 50/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H 设直线MB与y轴相交于点N,可得ON=OC=c. 1 SANBC SAAONC +SaNC =MH.CN+OB.CN 2 x2x2c+Ix 1 ×4c×2c=4c2+2c. 2 2 :S△MBc=8b+6=8C+4, ∴4c2+2c=8c+4.即2c2-3c-2=0. .2c+1)(c-2)=0. 解得6=2,6，=2 (舍) :点M的坐标为 ●分析有理押题有据· 近三年必考题型，是福建卷函数压轴的“母题模型”，占分12-13分。二次函数含参数问题主要涉及到二 次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题以及不等式知识点，综合来看 对学生的综合分析能力要求比较高。 ○终极猜想精练通关◆— 1.(2026福建厦门一模)已知二次函数：y=ax2+bx+c部分自变量x的值与y的值如下表. 3 (1)直接写出该二次函数的对称轴： (2)若d>3,当x=d时，y=-1,求a的取值范围； (3)点A,B是该二次函数与x轴的交点，点M在该二次函数的对称轴上，当c=√5时，试问该二次函数上 是否存在点N,使得以A,B,M,N四点为顶点的四边形为菱形，若存在求出所有N的坐标，若不存 在，请说明理由. 【详解】(1)解：由表格可知，二次函数图像经过点L,0)和(3,0)，两点纵坐标相同， 51/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因此两点关于对称轴对称因此对称轴为直线x=1+3=2 2 (2)解：设二次函数解析式为y=a(x-1(x-3), 将x=d,y=-1代入得ad-1)(d-3)=-1 :d>3 .d-1>0,d-3>0, 因此(d-1)(d-3)>0 -1 六a(d-ld-<0,即a的取值范围是a<0 (3)解：将y=ax-l)(x-3)展开得y=ar2-4ax+3a,因此c=3a :c=V3 3a=V5, 解得a= 3 园此三次函数解析式为y3-3奶 当y=0时， 5(x-(x-3)=0 解得：x1=1,x2=3 .点A1,0),B(3,0),AB=2, 点M在对称轴x=2上，设M(2,),N(x,y), 分情况讨论：情况1：AB为菱形的边 AB I MN AB MN =2 N与M纵坐标相等，且x-2=2, 解得x=0或x=4。 将=0代入解析式，得y=5x-x-3到=5，得N05) 3 将=4代入解析式，得y=5x3x1=5,得N4,V) 3 限据对称性，若v=-B,代入解析式得3x-x-3列-V3 整理得x2-4x+6=0, 52/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 判别式△=16-24=-8<0，无实根，此情况不存在符合条件的点N 情况2：AB为菱形的对角线时， “菱形对角线互相平分， :MN中点与AB中点重合，AB中点为(2，O), (x+2=2 因此 2 y+t=0 2 解得x=2,y=-t 将x=2代入解析式，得y= 3x1x-I)=-3 3 因此N2,-3 验证可得四边边长相等，满足菱形条件 M M y 综上，存在行合条件的点N,坐标为Q,同，2- 2.(2026福建三明一模)已知抛物线y=-x2+bx+c经过点Mm,m2)、N(n,n2),且m<n. (1)若m=-1,n=1,求抛物线的解析式： (2)设抛物线与x轴的两个交点分别为A(x4,0)、B(xa,0)和x4<xg,若m+n>0,证明：x4-m<xg-n: (3)设抛物线的顶点为P,若∠MPN=90°，判断直线MN是否过一定点？若不存在，请说明理由；若存在， 请求出该定点坐标. 【详解】(1)解：，m=-1,n=1, .M(-1,1、N(1,1, 把M(-1,,N1,1)分别代入y=-x+bx+c,得1=-1+h+c 1=-1-b+c b=0 解得 c=2' 53/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .y=-x2+2, (2)解：抛物线y=-x2+bx+c经过点M(m,m2)、N(n,2), .'.m2=-m2+bm+c,n2=-n2+bn+c, 整理2m2-bm-c=0,2n2-bn-c=0 即m,n是方程2x2-bx-c=0的两个实数根， -bb 由韦达定理得m+n=- -C 22mm=2 ∴.b=2m+n,c=-2mn, ..y=-x2+2(m+nx-2mn 令y=0时，则0=-x2+2(m+nx-2mn, 解得x= -2(m+n川±[2(m+m)]-4×(-1)×(-2mm) 2×(-1) =(m+m±Vm+川-2mm' :X4<X8, x=(m+n)-(m+n)-2mn,xa=(m+n)+(m+n)2-2mn, 设K=Vm+n2-2mn, K=(m+n)2-2mn m2+n2+2mn-2mn =m2+n2, ..x=(m+n)-K,xB =(m+n)+K, ∴lx4-m=《m+m)-K-m=n-K,xa-n=(m+n+K-n=m+K :K=√m2+n2, .m+n>0且m<n, .n>0 K=√m2+n≥√n=n>0则n-K≤0， .x-m=n-K|=K-n,=m2+n2>m2 =m>0 .K>m, ..K+m>,8-n =m+K =K +m, .m+n>0, 54/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .m>-n, .m+K>-n+K,即K+m>K-n, 即xg-n>x4-m, (3)解：存在，该定点坐标为0,1 由(2)得y=-x2+2(m+nx-2mn, 2(m+n) 对称轴为直线x=一 =m+n, 2×-1) 把x=m+n代入y=-x2+2(m+nx-2mn, y=-(m+n+2(m+n(m+n)-2mn =-(m+n+2m+n)-2mn =(m+n)-2mn =m2+n2, ,设抛物线的顶点为P, .P(m+n,m2+n2), M(m,m2)、Nn,n2). .Mp2=(m+n-m2+m2+n2-m2）=n2+n, NP2=(m+n-n2+m2+n2-n2）=m2+m MN2=(m-m2+m2-n2）2=m2-2mn+n2+m+-2m2n2+n, ,∠MPN=90°， ∴.MP2+NP2=MN2, 即m2+m4+n2+n4=m2-2mn+n2+m4-2m2n2+n4, 整理得0=-2mn-2m2n2, ∴，2mn(1+mn=0, 若m=0或n=0,则抛物线的顶点P与点N或M重合，无法构成aMPN,不满足∠MPN=90°的条件， .∴.m≠0，n≠0， .∴.mn≠0， 55/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即1+mn=0,∴.mn=-1, 设直线MN的解析式为y=x+t(k≠O), 把Mm,m2)、Nn,n2)代入y=x+tk≠0)，得 m2 =km+t n2=kn+t k=m+n 解得 t=-mn ∴.直线MN的解析式为y=(m+n)x-n mn=-1 ∴.y=(m+n)x-（-1=(m+n)x+1 当x=0时，则y=m+n×0+1=1, .直线MN过点(0,1， 即直线MW是过一定点，且定点为0，). 3.(2026辽宁鞍山一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，二次函数y=-】x+r+c的图象与X轴交 2 于点4(2，O)、B两点，与y轴交于点C(0,4),且顶点为N,点P,Q为该二次函数的图象上两点，点P横 坐标为t. B A 图1 图2 备用图 (1)求二次函数解析式： (2)如图1，若点P在y轴左侧，且S△4Cp=24,求点P的坐标； (3)如图2，若PQ平行于x轴，过点N作H⊥PQ交于点H,设PQ=y,NH=x,求y与x的函数关系式： (4)若点Q位于点P左侧，P、Q两点间的水平距离为1，以PQ为对角线作矩形PDQE使其各边分别与x轴 或y轴平行，若矩形PDQE的周长与抛物线上P、Q两点间纵坐标的最大值相等，求t的值， 详解))解：将A20),C0,4)代入二次函数y三)x+x+Cy 56/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 c=4 b=-1 解得 2×4+2b+c=0 c=4 1 y=-5x2-x+4. (2)设直线AC的解析式为)=kx+m, 「2k+m=0「k=-2 m=4 m=4 :直线AC的解析式为y=-2x+4, 过点P作PMIy轴交AC延长线于点M, 过A,C两点分别作AF⊥PM,CG⊥PM分别交于F,G两点， 点P坐标为(-1+4 点M坐标为(，-21+4)， 兮wr-wc-w-co-a+4小2-24 12-21-48=0, 解得=-6,52=8， ,点P在y轴左侧，t=-6, P(-6,-8). M G B (3)解：-2 =-1, 4ac-b2 9 4a2 点P坐标为-1+4 57/116 品学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 1 PH=1+,NH=+2+t4=2+1+ 22 2 ∴.PQ=2PH=2t+1)=2t+2, yP=(+2=++4=行+》= 0 (4)解：依题意，点P坐标为-1+4，Q-l+) +t+-4+2 1 PE= 2 +2+21 ,PD=1, 当1<时，矩形PD0E的周长=-21+1， 当1>)时，矩形PD0E的周长=21+3， 当1<-1时，PQ两点间抛物线上点纵坐标的最大值为-1+4， 1≤华0时，P9两点间揽物线上点纵坐标的最大值为 >0时，P?两点间抛物线上点纵坐标的最大值为) 2 ①当t<-1时- 2-1+4=-21+1,解得5=1-万，42=1+厅（舍） 2 g口E3 B -54-3-2-1013x -2 -3 ②当-1≤<时-21+1-号，解得1=子（合） 9 国当-1≤0时21+3=号，解得t=子〔舍) 4 国当：>0时-+号-23，解待=2+万，4=2-万（会 58/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 N O 0 2 -1 综上所述：t=1-√万或t=-2+√万. 4.(2026北京通州一模)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线C:y=ax2+bx+ca≠0)经过原点O 和点A2,2a,抛物线C2:y=-a.x2(a≠0). (I)求c的值，并用含a的式子表示b; (2)过点P(1,0作x轴的垂线，交C于点M,交C,于点N(点M与点N不重合)· ①当a=1,t=3时，求MN的长； ②若点P从点S(a,0)运动到点T(2a,0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围. 【详解】(1)解：抛物线G:y=ax2+bx+ca≠0)经过原点0(0,0)和点A2,2a), ∴.分别代入得：c=0,2a=4a+2b+c, ∴.b=-a; (2)解：①当a=1时，抛物线G:y=x2-x,抛物线C2:y=-x2, :过点P(t,O)作x轴的垂线，交C于点M,交C,于点N, .当1=3时，对于抛物线G:y=32-3=6,对于抛物线C:y=-32=-9, .点M3,6,N(3,-9, ∴.MN=6--9=15: ②：点P(t,0), .点M(t,at2-at),点N(6,-at2), ∴.构造新函数：MN=2a2-at=at(2t-1, 当a<0时，2a<0,P从点S(a,0)运动到点T(2a,0)的过程中，“起点”和“终点”都在y轴左侧，如图， 59/116 学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 个MN 2a a o MN的长随OP的长的增大而增大，符合题意. 当a>0时，2a>0,P从点S(a,0)运动到点T(2a,0)的过程中，“起点和终点”都在y轴右侧，如图， 个MW Oa 2a l 1a2a7 若“起点”和“终点”都在0<t≤。这一段内， 则a>0,2a≤子，解得0<a≤ 1 1 4 若“起点”和终点“都在1>这一段内， 2 1 则a>2 1 1 综上，a<0或0<a≤g或a>2 5.(2026浙江丽水一模)已知二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象经过点(4,0)和1,3)，点P(x,y), (x)是该二次函数图象上的两个动点，满足0<x<2<:,<4,且4+上=4. (1)求该二次函数的表达式： (2)求x+x2的值： (3)已知一条平行于y轴的直线过点P交OQ于点M,一条平行于x轴的直线过点A0,)交函数图象于B, C两点，且BC=3PM,求BC的最大值及此时对应的t值， 【详解】(1)解：二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象经过点(4,0)和(1,3)， 16a+4b=0 a+b=3 a=-1 解得b=4' ∴.该二次函数的表达式为y=-x2+4x; 60/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：点P(x,y),Q(x2,2是该二次函数图象上的两个动点， .y1=-x2+4x1,y2=-x22+4x2 4+2=4, X1 X2 -+4++4=4, .-x1+4-x2+4=4, .x1+x2=4: (3)解：设x=m,则x2=4-m, B .y,=-m2+4m,2=-(4-m+44-m）=-m2+4m, .Pm,-m2+4m）,Q4-m,-m2+4m: 设直线O0的表达式y=kx(k≠0)， 则-m2+4m=k(4-m),解得k=m, ∴.直线O0的表达式y=mx, 在y=mx中，当x=m时，y=m2, .M(m,m2）, ∴.PM=-m2+4m-m2=-2m2+4m, .BC=3PM=-6m2+12m=-6(m-12+6, -6<0, .当m=1时，BC有最大值，最大值为6， ,BC∥x轴， 61/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,点B和点C关于对称轴对称， .点B和点C到对称轴的距离都为3， 4 ”二次函数的对称轴为直线2×-)2， .点B的横坐标为2-3=-1（不妨设点B在点C的左侧）， 在y=-x2+4x中，当x=-1时，y=-(-1)+4×(-1=-5, ∴.1=-5. ■押题猜想八圆与相似三角形综合压轴题 试题前瞻·能力先查。— 限时：15min (2025厦门模拟试卷)如图，四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD相交于点E. D 图1 图2 (1)若∠DAC=LBAC=60°，AD=2,AB=4. ①判断△BCD的形状，并说明理由； ②求四边形ABCD的面积. (2)如图2，点E是BD中点，点F是线段EC上一点，且∠AFB=∠DBC,点G是弦BD上一点，且 ∠DFG=∠AFB,令AB=m,AD=I,BC=P,试用含m,n,P的式子表示BC 的值， 、CG 【详解】(1) 解：①△BCD是等边三角形，理由如下： 由圆周角定理得∠DAC=∠DBC=60°，∠BAC=∠BDC=60°， ∠BCD=60°=∠DBC=∠BDC, .△BCD是等边三角形； ②延长AB至点M,使BM=AD=2, 62/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B H M- :∠ABC+∠CBM=180°， :△BCD是等边三角形， .BC CD :四边形ABCD内接于⊙O, :LABC+∠ADC=180°， :∠ADC=∠MBC, AD=MB :在△ACD和△MCB中 ∠ADC=∠MBC, CD=CB △ACD≌△MCB(SAS), :AC=CM,S。AcD=S.McB, ∠BAC=60°， △ACM是等边三角形， .AC CM AM AB+BM =6, 过点A作AH⊥CM,垂足为H, .∠MAH=30°， :AH=AM,c0s30=6×5=35, .ec.we.9 (2)解：：LAFB=∠DBC, 由圆周角定理得∠DBC=∠DAC, .∠AFB=∠DAC, :E是BD中点，即BE=DE, :∠AED=∠FEB, 63/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ∠DAE=∠BFE ·在△ADE和△FBE中， ∠AED=∠FEB, DE=BE △ADE≌△FBE(AAS, .AE=EF, :四边形ABFD是平行四边形， AB∥DF,AB=DF,AD∥BF, .∠BDF=∠ABD,∠AFB=∠DAF, :由圆周角定理∠ABD=∠ACD, .∠BDF=LACD, :∠DFG=∠AFB, :ZGFD ZDAC ∴.△DFGn△CAD, DF DG AC CD CD DGDG "AC DF AB' :由圆周角定理∠CDB=∠CAB, .△CDG∽△CAB, .∠DCG=∠ACB, :ZDCG+ZACG=ZACB+ZACG 即∠ACD=∠BCG, :由圆周角定理LCBG=∠CAD, ACBG△CAD, BG CG AD CD BG AD n CG CDCD :∠CAD=∠CBD,∠ADB=∠ACB, ,△AED∽△BEC, ÷EDn BE BC p :∠BAC=∠BDC,∠ABD=∠ACD, .△ABE∽△DCE,且DE=BE, 64/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 AE AB AE DE DC BE' .mn DCP ·DC=p BG n n2 'CG-CD-mp ， n ○分折有理押题有据。一 今三年几何压轴的主流考法，常以等腰三角形、圆内接四边形为载体，占分14分。切线判定与性质、圆 周角/圆心角定理、圆内接四边形性质+相似三角形判定与性质、线段乘积/周长定值证明 —●终极猜想精练通关●一 1.(2026黑龙江哈尔滨一模)己知ABC内接于⊙O,圆心O在ABC的内部，AD1BC于点D,连 接0C. A DG H 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠BAD=∠AC0; (②)如图2，点G为BC的中点，连接OG,过点C作CF⊥AB于点F,交AD于点E,求证：AE=20G; (3)如图3，在(2)的条件下，连接EG并延长交⊙O于点H,连接CH,若C0平分LACF,AC=5, oG-四，求△CEH的面积。 【详解】(1)证明：方法一：连接A0,过点O作OL⊥AC于点L, B D .LC0L+LAC0=90°. 0A=0C,0L⊥AC, .∴.∠AOL=∠C0L, 1 ∴.∠COL= ∠AOC 2 65/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AC=AC' :B=0c, ∴.∠B=∠C0L. ,AD⊥BC, .∠B+∠BAD=90°. 又.∠C0L+∠AC0=90°， ∴.∠BAD=∠ACO. 方法二：连接OA, A D 0A=0C, ∴.L0AC=L0CA. 设∠0AC=a,则∠0=180°-2a· AC=AC' .L0=2LB, ∴.∠B=90°-a. AD⊥BC, ∴.∠ADB=90°. 又，∠B=90°-a, ∴.∠BAD=a, ∴.∠BAD=∠OCA. (2)证明：方法一：延长CO交圆O于点Q,延长CF交圆O于点R,连接A0、OR、OB、BQ、AR. R E B DG 设∠BAD=a,LOCF=B, 66/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AD⊥BC,CF⊥AB, .∴.∠BAD+∠ABD=∠ABD+∠BCF=90°， ∴.∠BAD=∠BCF=&=∠RAF, ,C2是⊙O的直径， ∴.∠0BC=90°， ∴.∠BQC+∠BCQ=∠BAC+∠BCQ=90°， ∴.LBAD+LCAD+LACD-LAC0=90°， ,∠ACD+∠CAD=90°， .∴.∠BAD-∠ACO=0, ∴.∠BAD=∠BCF=∠ACO=∠RAF=a, .∴.∠AOQ=∠BOR=2a, ∴.∠ROQ=2B, ∴.∠AOR=∠BOQ=2a+2β， ∴.AR=BQ. ,∠BAD=∠RAF=a,∠AFR=∠AFE=90°，AF=AF, .△ARF≌△AEF(ASA, .AE AR. 又AR=BQ, ∴.BQ=AE. .OC=00,GB=GC, 0G=B0. 2 又，BQ=AE, 0G三AE, .20G=AE. 方法二：过点O作OS⊥AR于点S,连接OA、OR. A E DG 67/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 OS⊥AR,0A=0R, ∠OS-240R,a -AR. AR=AR ∠ACR=AOR, 2 ..ZAOS ZACR :∠AC0=LBCR, ∴.∠ACR=L0CG, ∴.∠A0S=L0CG. :GC=GB,0G在半径上， ∴.0G⊥BC. 又，0A=0C,∠A0S=∠0CG,∠AS0=∠0GC=90°， .△AS0≌aOGC(AAS), ∴.AS=0G. 叉4=4 0G-4. ,∠BAD=∠RAF,∠AFR=∠AFE=90°，AF=AF, ∴.△ARF≌△4EF(ASA), ∴.AE=AR. :00号4 0G-E ∴.20G=AE. 方法三：过点O作ON⊥AD于点N,延长AD交圆O于点M连接OM. A B D:G. M ,ON⊥AD, 68/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AN MN 设LBAD=a,则∠FCB=a,∠MCB=a, .∠B=∠M=∠CEM=90°-a, ∴.CE=CM. 又，LFCB=LMCB=a, ∴.DE=DM. GC=GB,OG在半径上， ∴.0G⊥BC. 又，ON⊥AD,AD⊥BC, ∴.四边形ONDG为矩形， ∴.0G=DN. :m=Mw-DM-=方4M-M-4M-Bw)=方4， .0G=1AE. (3)解：延长CE交圆O于点R,连接AR、OM、OH、BE、OA、OR. E D分 M H 设∠BAD=a,则∠RAB=a,∠RCB=a,∠RC0=a,LAC0=a, ∴.∠ACR=∠ABR=∠ABE=2a. 0A=OR,∠AC0=∠0CR=LCA0=LCR0=a, .△AC0≌△RC0AAS, ∴.AC=CR=5. AE=20G,0G=10, 2 ,AE=AR=√10. 设RF=m,则EF=m, 在Rt△ARF和Rt△ACF中，AR2-RF2=AC2-CF2, 10-m2=52-(5-m2,解得：m=1, 69/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .RF=FE=1,CF=4,CE=3,AF=3, an∠AcF=] 3 tan ZABE= 又：EF=1, 4 .BF= 3 'LEDC=∠MDC=90°，CD=CD,∠ECB=∠MCD, ∴.aECD≌AMCD(ASA), .ED MD 又，AD⊥BC, ..GE GM, ∴.∠EGD=∠MGD. LEGD LCGH, .LCGH=∠MGD, ∠0GB=∠0GC=90°， ∴.∠0GM=∠0GH. 过点O作OP⊥HE交HE的延长线于点P,OT⊥MG交MG的延长线于点T, ∴.∠P=∠T=90°. .∠0GM=∠0GH, ∴.L0GP=L0GT. 又，0G=OG,∠P=∠T, ∴.a0GP≌a0GT(AAS, ∴.0P=0T. 又：OM=OH,∠P=∠T, .RtAOPH≌RtAOTM(HL), ∴.GM=GH. 又，0M=0H,0G=0G, ∴.△0GM≌a0GH(SsS). 又.GM=GE, 70/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ..GE =GH. 又GB=GC,∠CGH=∠BGE, ,.△BEG≌△CHG(SAS, ∴.BE=CH,∠BEG=∠EHC, ∴.BE∥CH, .四边形BECH为平行四边形， Sacm=Sac S.cm-CExBF. 4 .CE=3,BF= 3 SACEH =2. 2.(2026福建漳州一模)如图，正方形ABCD内接于⊙O,点P在BC上，连接AP,交BD于点F,，交 BC于点E,连接CF,BP,DP D (I)求证：△BEF∽△PBF; (2)若BD=2,EF=EC,求DP的长； (3)探究AP,BP,DP之间的等量关系. 【详解】(1)证明：四边形ABCD是正方形， .AB=CD .AB=CD ∴.∠APB=∠CBD ,∠BFE=∠PFB .△BEF∽△PBF: (2)解：，四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴.AB=BC,∠ABC=∠BAD=90°，∠ABD=∠CBD=45 又FB=FB, .△ABF≌△CBF(SAS, 71/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .ZBAF ZBCF .EF =EC, ∴.∠EFC=∠BCF 设∠EFC=∠BCF=LBAF=x, ∴.∠AEB=∠EFC+∠BCF=2x ∠AEB+∠BAF=90 .3x=90°， .x=30°， .LAEB=60°， 由(1)知△BEF∽△PBF ∴.∠FEB=∠FBP=60° 连接OP,则LD0P=2LFBP=120° 09 ,正方形ABCD内接于⊙O,∠BCD=90 ∴.BD是⊙O的直径， :BD=2 1 ∴.OD=5BD=1 ÷an的k为 0×2rx1=51 2 (3)解：BP+DP=√AP,理由如下： 延长PB到点H,使得BH=DP,连接AH, 72/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H B ,∠ADP+∠ABP=180°，∠ABH+∠ABP=180°， .∠ADP=∠ABH, :正方形ABCD中，AB=AD, 又：BH=DP ∴.△ADP≌△ABH(SAS ∴.AH=AP,∠BAH=∠DAP ,正方形ABCD中，∠BAD=90°， .∴.∠HAP=∠BAH+∠BAP=∠DAP+∠BAP=∠BAD=90° ∴.PH=VAP2+AH2=√2AP .BP+BH=√2AP ∴.BP+DP=V2AP. 3.(2026福建厦门一模)如图，点D是ABC外接圆⊙O上的一点，AC1BD于G,连接AD,CD,OD.过 点B作直线BF∥AD交AC于E,交⊙O于F.若点F是CD的中点. (I)求证：AB=CF; (2)当CD=3时，求⊙O的半径： (3)若4G=y6GE,连接OG.请你探究∠G0D与∠4DC之间的数量关系，并证明. 【详解】(1)证明：：点F是弧CD的中点， 73/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ..CF DF, AD∥BF, ∴.AB=DF, .AB=CF: (2)解：作OM⊥DC于点M,连接OC,如图， CD=3, .DM=1CD=3 2 2 由(1)可知：CF=DF=AB, .ZACB=ZCBF ZDBF, AC⊥BD, .∴.∠BGC=90°， .∠DBF+∠CBF+∠ACB=90°， ∴.∠ACB=∠CBF=∠DBF=30°， ..∠DBC=60°， .∠D0C=2∠DBC=120°， .0D=0C, ∴.∠0DM=30°， 0M=0D, 2 0M2+DM2=0D2, ·00=2 3 DM=3, .⊙O的半径√5： D M (3)解：2∠G0D+∠ADC=240°.理由如下： 同(2)，作OM⊥DC于点M,连接0C, 74/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由(2)知，∠BGC=∠AGD=90°，∠ACB=30°，∠0DM=30°， .LADB=LACB=30°， 设GE=x,则AG=6 DG-J3AG-2 BG-3EG- ..CG=3BG=3x, DC=DG+CG 2, ·0D=2 3v -DM= -x, 3 2 ∴.DG=OD, ∴.2∠G0D+∠0DG=180°， :∠ADB+∠0DC=60°， ∴.2∠G0D+∠0DG+∠ADB+∠0DC=240°， 即2∠G0D+∠ADC=240°. 4.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接AD并延长至点C,连接BC交⊙O于点E, AB=BC=10,AC=12,过点D作DF⊥BC于点F. D E B (1)求证：直线DF是⊙O的切线： (②连接DE,设：CDE的面积为S,四边形4DEB的面积为S,求受的值， (3)点P在D上，且BP的长为元，点Q为线段BD上一动点，连接P0,求PO+B0的最小值 3 【详解】(1)证明：连接OD, 75/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 B A0=0D, ∴.∠0AD=L0DA. .AB=BC, ..Z0AD =ZC. ∴.L0DA=∠C, ∴.0D∥BC. DF⊥BC, ∴.DF⊥0D. ,0D是⊙O的半径， ∴，直线DF是⊙O的切线 (2)解：：AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°. .'AB=BC, ∴.AD=DC=6. ,:四边形ADEB是⊙O的内接四边形， .LADE+∠ABE=180°. :LADE+∠CDE=180°， ∴.∠CDE=∠ABC. ,LC=∠C, ∴.ACDE△CBA, ..S.CDE= S CBA S 99 S2 S.CBA-S.CDE 25-9 16 (3)解：如图，过点Q作QG⊥AB于点G. 76/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B G ,'sin∠ABD= AD OG 3 AB BO5' ÷0G=2B0, 5 :.P0+BQ-PO+QG. 当P,Q,G三点共线时，P0+2B0有最小值为PG, 5 :BP的弧长为亏， 5 :5π×∠P0B5π 180° 3， ∴.∠P0B=60°， 六PG=0p-sin60=5 2, 六PQ+2B0的最小值为5 2 5.(2025黑龙江哈尔滨模拟预测)如图1，在正方形ABCD中，边AD、AB分别切⊙O于E、F,BC 交⊙O于N,C在⊙O上，连接AC交⊙O于M. M M 图1 图2 图3 (1)求证：MC为⊙O的直径； (2)如图2，连接FO并延长FO交CD于H,交⊙O于T,求AM:HT的值； (3)如图3，在(2)的条件下，点P在OC上，连接PE交OH于K,连接NK和FN,当PC=BN, SFwx=125时，求AM的长. 【详解】(1)如图，连接CE、CF、ME、MF 77/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D BN :在正方形ABCD中，边AD、AB分别切⊙O于E、F, AE AF, AC:是正方形的对角线 ·AC平分∠BAD .∠BAC=∠DAC, AC=AC, △AFC≌△AEC(SAS), LFCA=∠ECA,FC=EC MC=MC .△MFC≌△MEC(SAS :∠MEC=∠MFC, :∠MEC+∠MFC=180° .∠MEC=90o .MC为直径 (2)过M作MR⊥AB于R,MS⊥OF于S, E M H T:ZMRF=LMSF=LRFS=90°， S BN :四边形MRFS为矩形 :MR=FS :0M=0C 78/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠MOS=∠COH,LMS0=∠CH0 ∴.AM0S≌aCH0 0S=0H 0F-0S=0T-0H :FS=HT, .HT =MR, :∠R4M=45°，则sin∠RAM=RM-2 AM 2 ∴AM:HT=AM:MR=V2. (3)如图，连接EF,OE,EF,AC交于点L,过点K作KW⊥AC于点W,则△OWK是等腰直角三角形， M K H T:AE为⊙O的切线 BN ·∠0ED=90° LAE0=LEAF=∠AF0=90° ·四边形AFOE为正方形 :EF⊥AO于L, :OL EL FL, PC=BN .PC=RM :PC=HT ..OH=OP 由(2)可知，0S=0H 0s=50M=50B=0L 2 2 .∴.0H=0P=0L=0S 79/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D M R九 BN EL=OL=OP,则tan∠EPL=EL=EL=EL】 LP OL+OP 2EL 2 令0K=√2a ..OW =WK =a, ..Pw=WK =2a, tan∠EPL .0P=0W+WP=3a, ∴.OF=0M=V20S=3V2a ..FK=42a, 又SN=SM=0S=OH=0P=3a Snm=ZFKxN5-345ax3a=12万 ∴a=2或a=-2(舍) ∴.0C=0E=V20L=√20P=3V2a, ∴.PC=0C-0F=3V2-3a, AM=V2MR=V2PC=2(3V2-3a=6V2-6. 押题猜想九四边形与相似三角综合压轴题 试题前瞻能力先查。— 限时：15min (2026宁德模拟试卷)如图1，在菱形ABCD中，∠C=60°，E是对角线BD上一点，连接AE,设 ∠EAB=(0°<a<30),将aABE沿AE折叠得到△AGE,连接DG并延长交BC于点H. 80/116 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (图1) (图2) (I)用含a的代数式表示LDAG. (2)求证： ①∠BDH=∠BAE; ②BH=BE. (3)如图2，当DG:GH=2:1时，求DE:BE的值. 【详解】(1)解：，菱形ABCD,∴.∠DAB=∠C=60°， ,折叠，∴∠GAE=∠BAE=a, .∠DAG=LDAB-LGAE-LBAE=60°-2a; (2)证明：①，菱形ABCD, .AD AB, 由折叠可知，AG=AB, AD=AG, ∠ADG=180°-∠DAG 2 =60°+a, ∠DAB=60°， .△ABD为等边三角形， .LADB=60°， ∴.∠BDH=∠ADH-∠ADB=a=∠EAB; ②AD∥BC, .∠ABC=180°-LDAB=120°， 菱形ABCD,二∠EBA=∠DBH=∠ABC=603 ,△ABD为等边三角形，∴.AB=DB, :∠BDH=∠BAE, ∴.△ABE≌DBH(ASA), ∴.BH=BE; (3)解：如图，连接EH,延长EG交CD于K,作KM⊥DB于M, 81/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由(2)得BH=BE,LEBH=60°， ∴，△BEH为等边三角形， ∴.EH=BE=GE, ,∠BHE=∠C=60°， .EH∥CD, ∴.△DGKn△HGE, ..DK=KG DG EH GE GH =2 设EH=BE=GE=x, DK=KG=2x,KE=KG+GE=3x. 在RtADMK中， ∠BDC=60°， ∴.∠DKM=30 :.DM=IDK=x, 2 ∴.KM=√3DM=V5x, .ME=√KE2-MK2=V6x, .DE=DM +ME=x+6x, .DE:BE=1+6. ·分析有理押题有据·一 从近三年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，矩形菱形正方形折叠、动点线段最值、折叠 后等腰/直角存在性 ●终极猜想精练通关◆一 1.(2025福建三明一模)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，∠EAF=∠B=60°. 82/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：BE=CF; (2)G为AF中点，EG交AC于点O,EH1AC,垂足为H. ①求证：△AEO∽△GH0; ②用等式表示线段AH,EH与GH之间的数量关系，并给予证明， 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是菱形， .AB=BC,AB∥CD, ,∠B=60°， .ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=60°， ∴.∠BAE+∠CAE=60°， ,∠EAF=60°， .LCAF+∠CAE=60°， ∴.∠BAE=∠CAF, 又，AB∥CD,∠BAC=60°， .∠ACF=∠BAC=60°， ∴.∠ACF=∠B, ∠BAE=∠CAF 在△ABE和△ACF中， AB=AC ∠B=∠ACF .△ABE≌△4CF(ASA, ∴.BE=CF. (2)证明：①如图，连接EF, y B 83/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由(1)已证： ABE≌ACF, .AE=AF, LEAF=60°， ∴.△AEF是等边三角形， G为AF中点， .EG⊥AF, ∴.∠0GA=90°， ,EH⊥AC, .∴.∠0HE=90°， ∠OGA=∠OHE=90° 在△OGA和△OHE中， ∠AOG=∠EOH ∴.aOGA∽△0HE, 040G .OA OE OE OH …0G0H OA OE 在△AEO和△GH0中， OG OH ∠AOE=∠GOH .△AE0∽△GHO. ②EH+2GH=√3AH,证明如下： 如图，延长HG,交AD于点M, M D G E ,四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴.∠BAD=180°-∠B=120°， ,∠BAC=60°， ∴.∠CAD=∠BAD-∠BAC=60°， 由上已证：EG⊥AF, ∠EAF=60°，∴.∠AEG=90°-∠EAF=30°， AB=2AG,即4g=2, AG 84/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 由上已证：△AE0∽△GH0, ∴.∠GH0=∠AE0=30°， ∴.∠AMH=180°-∠CAD-∠GH0=90°， 又，∠EAH+∠GAH=∠EAF=60°，∠GAM+LGAH=∠CAD=60°， ∴.∠EAH=∠GAM, ∠AHE=∠AMG=90° 在△EAH和△GAM中， I∠EAH=∠GAM ∴.△EAH∽△GAM, =4g=2, GM AG Gen. 在R1△AMH丰，MH=AH.cos∠AHM=4H:cos30°=V5 H, 2 .GM +GH =MH 3 .EH+GH= AH, 2 .EH +2GH =3AH. 2.(24-25九年级上·福建泉州期中)已知：在正方形ABCD中，M在AB上，点N在CD上，把正方形 ABCD沿MN翻折，使点B落在边AD上的点E处，点C的对应点为P,EP交CD于F, E D 4 B (I)连BE,求证：BE平分∠AEF; (2)过点B作BG∥EM交MN于点G,连接BF交MN与点H. ①求证：∠BHM=45°： @若器子枣说的散 MG 【详解】(1)证明：正方形ABCD中，AD∥BC .LAEB=∠CBE 由对称性得∠CBE=∠BEF 85/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .LAEB=∠BEF .BE平分∠AEF (2)①如图1，过点B作BQ⊥EF交MN于点Q,则BQ∥EM, A E D 图1 ..ZMEB ZEBO, .MB ME, .∠MEB=∠MBE, ,∴.LMEB=LEBQ, LA=LEQB=90°，BE=BE, ∴.△ABE≌△QBE(AAS): .AB=OB=BC, BFBF, .∴.RtABFO≌Rt△BFC(HL), ∴.LQBF=LCBF, ∠BF-460+2Ca0-A8c=45r ,BE⊥MN ,∴.∠BHM=45° ②如图2，，翻折， ∴.∠P=∠C=90°=∠A,∠MEP=∠ABC=90°=∠D, ∴.∠AEM=∠DFE=90°-LDEF, '∠DFE=∠PFN, ∴.∠AEM=∠PFN, .△AME∽△PNF 86/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .ME-PP-2 FN AE 5' 器 CD∥BA, ,△BHM∽△FHN, .MH-MB 2 HN FN5' 由①可知：B0=H0, A E D 图2 过点N作NQ⊥AB,交BE于点K,则：NQ=BC=AB,∠BON=∠NOK=90°，∠MQN=∠A=90°， ∠BKQ=∠NKQ, .ZABE ZONM ∴.△ABE≌△QNM, ∴.MN=BE, :.OH=BO=-BE=-MN, 2 2 BG∥ME, ..∠EMO=∠BG0, 翻折，∴.∠BM0=∠EMO=∠BG0,B0⊥MG .BM=BG ∴.0M=0G, OH=IMN, ..GH=HN 设HN=2x,则GH=2x,MH=5x .∴.MG=5x-2x=3x 腮 87/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 3.(2026南平.一模)综合与探究 【问题情境】在口ABCD中，AB<AD,BE平分∠ABC交AD于点E. H 图1 图2 备用图 (I)【猜想证明】如图1，AF平分∠BAD交BC于点F,连接EF,判断四边形ABFE的形状并证明. (2)【深入探究】CH平分LBCD交BA的延长线于点H,交BE于点G.将△BHG绕点B顺时针旋转 a(0°<a<180)得到aBMN,点H,G的对应点分别为M,N,直线CG与直线MN相交于点O. ①以图2为例，求证：OM=OC; BC=I0,an∠AEB=,在旋转的过程中，连接CM,CN,当△CMN是以CN为直角边的直 形时，连接OB,请直接写出OB的长 【详解】(1)解：四边形ABFE为菱形，理由如下： 证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, .∠DAF=∠AFB,∠AEB=∠EBC, ,BE平分∠ABC,AF平分∠BAD, ∴.∠ABE=∠EBC,∠BAF=∠DAF, ∴·∠BAF=∠AFB,∠ABE=∠AEB, ..AB BF,AB AE, .AE =BF, 又，AE∥BF, .四边形ABFE为平行四边形， 又：AB=AE, ∴.四边形ABFE为菱形： (2)①证明：连接BO, 88/116 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H :四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD, ∴.∠H=∠HCD, CH平分LBCD, ∴.∠BCH=∠HCD, ∴.∠H=∠BCH, ∴.BH=BC, BE平分∠ABC, ∴.GH=CG,BG⊥CH, ∴.∠BGH=∠BGC=90°， 由旋转的性质，得∠N=∠BGH=90°，MN=HG,BN=BG, ∴.∠BGC=∠N=90°，MN=CG, 又B0=B0, ∴.RtABOG≌RtABON(HL), ∴.0G=0N, ∴.MN-0N=CG-0G,即0M=0C; ②解：：AD∥BC, ∴.∠AEB=∠GBC, tanZAEB-3 ′∠BGC=90°， tanZGBC=CG_3 BG 4 ∴.设CG=3x,BG=4x, ..BC=CG2+BG2=5x, BC=10, .5x=10,解得x=2, 89/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .CG=6,BG=8, 由旋转的性质得MN=6,BN=8, 如图，当点N在线段BC上时，∠CNM=90°， B 即aCMN是以CN为直角边的直角三角形， ∴.CN=10-8=2, tan∠GCB BG 84 CG63' ..ON 4 CN 3 ON=3CW=8 3, ∴.OB=VBW2+ON2 8+ 8）2 8V10 3 如图，当点N在线段CB下方时，∠NCM=90°， B 即aCMN是以CN为直角边的直角三角形， 由①可知0M=0C, .L0MC=∠OCM, ,∠0MC+∠0NC=90°，∠0CN+∠0CM=90°， ∴.∠0CN=∠0NC, ∴.0N=0C, 1 ∴.ON=OC=OM=二MN=3, 90/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.0G=6-0C=3, ∴.0B=VBG2+0G=82+32=V73: 综上，OB的长为8N10或√万 3 4.(2026莆田一模)如图1，正方形ABCD中，点E为边AB上一点，将△BCE沿CE翻折得△FCE,射 线BF分别与CE、AD交于点O、G. D E 图1 图2 图3 (1)求证：△CBE≌△BAG; (2)如图2，当OG=3,0C=4时，求正方形ABCD的边长 (3)如图3，在(2)的条件下，线段CF,BD相交于点H,求DH的长. 【详解】(1)证明：，正方形ABCD, ∴.AB=BC,∠ABC=∠BAD=90°， ∴.∠ABG+LCB0=90°， ,将△BCE沿CE翻折得△FCE, ∴.CE⊥BF,OF=OB, ∴.∠B0C=90°， ∴.∠BCE+∠CB0=90°， .∠BCE=∠ABG, .△CBE≌△BAG(ASA). (2)解：由(1)得CE⊥BF,OF=OB, :ACBE≌△BAG, ..BG =CE 设BO=x,则CE=BG=x+3, ,∠BCO=∠BCE,∠EBC=∠BOC=90°， .aBCE∽aOCB, BC-CE.BC:-CO.CE-4(x+3) OC CB 91/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BC2=B02+C02=x2+16. .x2+16=4x+12,解得：x=2, .BC2=4×2+3=20,即BC=2√5， .正方形边长为2√5 (3)解：由(2)可得：OB=2,正方形边长为25. 如图：过0作01⊥BC于1， D B C S,c=)B0.0C=BC-01, ÷3×2x4=2501,解得：01-45， 1 5 B1=V0B2-0I-25 如图：以B为原点，以AB为y轴，以BC为x轴建立直角坐标系，则 B(0,0,0 25,4w5,c25,0)p(25,25] 5,5 由(1)可得：CE⊥BF,OF=OB, 4585 ∴.F 5,5 设直线BD的解析式为y=c,则2√5=2√5k,解得：k=1, ∴.直线BD的解析式为y=x, 设直线CF的解析式为y=mx+n, 4 0=25m+n m=- 3 则8545 ,解得： m+n 85' 55 n= 3 六直线CF的解析式为y=-4x+85 3 92/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 48V5 85 联立y=3x+3,解得： 7 ,851 y=x 7 a858v5) 77 2.DH- - 610 7 5.(2026浙江台州一模)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边BC,CD上的动点（不包含端点）， AG⊥EF于点G,GM⊥AB于点M,EF=AG. F M 图1 图2 (I)如图1，求证：△AMG≌△ECF. (2)如图2，过点E作HE⊥BC分别交AG,MG于点H,N. ①求证：四边形BMNE为正方形； ②求证：HE+GN=AB; ③若AB=1,请直接写出HE的取值范围， 【详解】(1)解：，正方形ABCD,GM⊥AB ∴.∠C=∠B=90°=∠AMG ,AG⊥EF ,.LBAG+∠BEG=360°-∠AGB-∠B=180 ,'∠CEF+∠BEG=I80 .LBAG=∠CEF EF=AG 在△AMG和△ECF中， ∠C=∠AMG ∠MAG=∠CEF .△AMG≌△ECF(AAS); (2)①证明：：HE⊥BC,GM⊥AB, 93/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ∴.LBEN=∠BMN=LB=90°， ∴.四边形BMNE为矩形， 四边形ABCD为正方形， ∴.AB=BC,∠B=90° ,△AMG≌△ECF, ∴.AM=EC, ∴.BE=BM· ∴.四边形BMNE为正方形； ②证明：延长MG交CD于点K, K D G M 四边形ABCD为正方形， ∴∠C=∠B=90°. 又，四边形BMNE为正方形， ∴.∠CEN=∠KNE=90°. ,四边形NECK为矩形， .CK=NE=MN,∠FKG=∠HNG=909 △AMG≌△ECF, .∴.MG=CF,∠KFG=∠HGN, .FK=NG, ∴.△FKG≌GNH(ASA), ∴.HN=KG, ..HE+GN=HN NE+GN =KG+MN +GN =BC=AB ③解：取HE中点O,连接G0, 94/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H卧 NO M ∠HGE=90° :.GO-LHE 延长EH交AD于P, ∴.四边形AMNP是矩形， ∴.∠APH=90°，AP=MN, ,四边形BMNE为正方形， ..MN=NE ∴.AP=EN ∠BAG=∠CEF,∠BAP=LCEP=90°， ∴.∠PAG=∠NEG, 「∠APH=∠ENG 在△PAH和△NEG中， AP=EN ∠PAG=∠NEG .△PAH≌ANEG(ASA), ∴.PH=NG=1-EH, ∴.0≤1-EH≤1 ..0≤EH≤1 G0≥NG, HE≥1-EH :.HE 2 2≤HE<I 95/116 命学科网·上好课 上好每一堂课 押题猜想十几何变换动态分析综合压轴题 试题前瞻能力先查·一 限时：15min (2026三明·模拟试卷)如图，线段BC⊥BQ,BC=BQ,点A为线段BQ上一动点，以AB,BC为边作矩 形ABCD中，沿对角线AC翻折ABC得到△AEC,连接BE,DE,BE与AC交于点F, Q 图1 图2 (1)如图1，求证：DE⊥BE. (2②如图1，当BE=DE时，求 BF的值。 (3)如图2，若BC=8,在点A从点B向点Q的运动过程中，当△AED中有一个角是15°时，直接写出此时 线段EF中点运动的路径长 【详解】(1)证明：由对折可得：AE=AB,CE=CB,∠ACB=∠ACE, .AC是BE的垂直平分线， .AC⊥BE,∠ABE=∠AEB, 如图，记AD,CE的交点为G, B 矩形ABCD, ∴，AD=BC=CE,AD∥BC, ∴.∠CAG=∠ACB, ∴.∠CAG=∠ACG, ..AG=CG,CE-CG=AD-AG, .∴.EG=DG, 96/116 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠DEG=LEDG, ∠AGC=∠EGD, ∴.∠CAG=∠ACG=∠CED=∠EDA, .AC∥DE,而AC⊥BE, ∴.BE⊥DE. (2)解：如图，连接BD交AC于O,结合矩形ABCD, ∴.0A=0B=0C=0D, D :BE⊥DE,BE=DE, .∠EBD=∠EDB=45°，而AC⊥BE, ∴.∠FB0=∠F0B=45°， ∴.设BF=F0=m, .B0=√m2+m2=V2m, .AF=0A-0F=0B-0F=(2-1m, 45-m-2-1 BF m (3)解：如图，当∠EAD=15°时， D M ∠BAD=90°， .∠BAE=90°+15°=105°， 97/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 结合翻折可得：LBAC=∠EAC=52.5°，AC⊥BE,BF=EF, ∴.∠ACB=90°-52.5°=37.5°，∠BFC=90°， 记EF的中点为K,过K作KM⊥BK交BC的延长线于M, .EK=FK,CF∥MK, .BCBF ·CMFK =2,∠KMB=∠AC8=37.5°， ∴.CM=4,BM=8+4=12, ∴.K在以BM的中点I为圆心，6为半径的圆弧BK上运动， ∴.∠BIK=2∠BMK=75°， 线段EF中点运动的路径长为5π×6-5元 180=2π： 当∠ADE=15°时，如图， D B 结合(1)得：∠CAG=∠ACG=∠CED=∠EDA=15°， 同理：AC∥KM, ∴.∠BMK=15°，∠BIK=30°， ÷线段EF中点运动的路径长为30x6=元： 180 当∠AED=15°不符合题意，舍去； 综上：线段EF中点运动的路径长为经或n 分析有理押题有据一 2023、2024年第25题高频模型，是福建几何压轴的“常客”。以等腰直角三角形为背景，结合旋转、平 移、翻折等构造全等/相似，证明角度定值、线段相等或数量关系。 ●终极猜想·精练通关— 1.（2025福建宁德·二模)(1)性质发现 98/116 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图I,己知点C是线段AB上一点(AC≠BC),分别以AC,BC为边作等腰直角三角形ADC和等腰直角 三角形BCE,∠DAC=∠CBE=90°，连接DE,DE的中点为G,连接AG,BG.不难发现：线段AG与 BG之间的数量关系为；位置关系为· (2)拓展探究 将图1中的△BCE绕点C旋转任意角度，则线段AG,BG之间的关系是否仍然成立？若成立，请利用图2 (或自己画一个一般化的图形)进行证明；若不成立，请画一个反例说明. (注：如果你无法利用图2（或自己画图）证明结论的一般性，也可以画一个特殊位置的图形或直接利用 图1进行证明，这种证明方式适当给分) (3)问题解决 若AC=2,BC=4,则在△BCE绕点C的旋转过程中，当△DCE是等腰三角形时，求AG·BG的值. 图1 图2 备用图 【详解】解：(1)AG=BG;AG⊥BG, 延长AG交EB于点H. H G B ,△ADC和△BCE是等腰直角三角形， ∴.∠DAC=∠CBE=90°， .AD∥BE, .ZADG ZHEG G是DE中点， ∴.DG=EG, ∠AGD=∠HGE, ∴.△ADG≌△HEG, 99/116 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .AD=EH,AG=HG, AD=AC,BC =BE,AB=AC+BC,BH=BE+EH, ∴.AB=BH, 在等腰直角△ABH中，G是AH中点， ∴.AG=BG且AG⊥BG. 故答案为：AG=BG,AG⊥BG; (2)(1)中的结论仍然成立. 证明，方法一：连接GC. G B ,△ADC,△CBE是等腰直接三角形， .∠ACD=∠BCE=45°. .∠DCE=90°. ,G是DE的中点， ∴.GC=GD=GE. 又，BC=BE,GB=GB, ∴.△CGB≌△EGB. .∠CBG=∠EBG=45°. 同理可得∠CAG=∠DAG=45 .AG=BG,∠AGB=90°.即AG⊥BG. ②如图所示，当D,C,B三点共线时，证明如下： E B 在RtADAE中，∠DAE=90°. ,G是DE的中点. 100/116