精品解析：内蒙古杭锦后旗奋斗中学2025-2026学年高一下学期期中阶段性考试数学试卷

奋斗中学2025-2026-2高一年级阶段性考试 数学学科 本试卷共150分.考试时间120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，所以．所以D正确． 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由正弦定理可得， 且，则 ,故 或 . 4. 体积为的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设该球半径为r，则，解得， 则该球的表面积为． 5. 的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算及定义可得. 【详解】，其虚部为1. 6. 已知向量满足且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知 . 在 方向上的投影: . 方向的单位向量: . 则在方向上的投影向量为. 7. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高均为3，侧面积之比为2:3，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥、圆柱的侧面积公式列方程求底面半径，再由圆锥的体积公式求体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积之比为2:3， 所以即，故， 故圆锥的体积为． 故选：C 8. 已知的面积为，则（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】因为的面积为， 所以， 所以由余弦定理可知：. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若z为复数，则（ ） A. 若，则为实数 B. C. 若，则的最大值为 D. 若，则在复平面内对应的点在第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】由复数相等的定义即可判断A，举出反例代入计算，即可判断B，由复数的几何意义代入计算，即可判断CD. 【详解】对于A，设，则，若，则，即， 则为实数，故A正确； 对于B，若，则，，故B错误； 对于C，若，即，可得在复平面内对应点的轨迹为圆心，半径为的圆，原点到圆心的距离为，故的最大值为，故C正确； 对于D，因为，， 即，对应点在第二象限，故D错误； 10. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可知C正确；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确. 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A错误； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C正确； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：BCD 11. 设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ） A. 若，，，则三角形有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若是锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理，得到，结合即可判断；对于B，利用正弦定理结合恒等变形可得，即；对于C，由正切和角公式可得，结合三角形角的范围可得，，中不存在负数即可判断；对于D，在锐角三角形中，，进而得到，同理可得，再相加即可判断． 【详解】对A，由，则，故．又，故． 而，故A只可能有一解，因此三角形有唯一解，故A错误； 对B，由，结合正弦定理，可得． 所以，于是，故是等腰三角形，所以B正确； 对C，， 整理得， 又中至多一个角大于，故，，至多有一个负数， 因此，，中不存在负数，故是锐角三角形，所以C正确； 对D，若是锐角三角形，则， 所以，于是， 同理可得，故，故D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，已知是边上一点，且，设，则用表示___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得. 13. 如图所示的正方体的棱长为，则三棱锥的高为__________. 【答案】 【解析】 【分析】换顶点求三棱锥体积，通过体积法求解即可. 【详解】将三棱锥换顶点为，​是直角边为的直角三角形， 面积；到平面的距离等于正方体棱长， 因此三棱锥体积. ​的三边均为正方体的面对角线，边长， 且是等边三角形，面积， 设三棱锥​的高为，由体积公式， 代入得，解得. 14. 已知的面积为，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】在三角形中由，再结合条件可得，再由面积公式及余弦定理可得. 【详解】设角所对的边分别为， 因为，所以， , 即，所以，① 又因为的面积为，，所以，得. 再由余弦定理，② 联立①②解得，即． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知两个非零向量不共线. （1）若与共线，求实数的值； （2）已知向量满足，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共线定理即可求解， （2）根据垂直的关系即可求解. 【小问1详解】 由于与共线，故存在实数，使得， 由于非零不共线，故且，解得 【小问2详解】 ，结合故 ，得 16. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. （1）若复数是实数，求实数的值； （2）若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； （3）已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，可求出； （2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围； （3）分方程的两根为实数根与虚数根两种情况求解即可. 【小问1详解】 由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； 【小问2详解】 ， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得， 解得， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或. 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由同角三角函数基本关系、正弦定理结合两角和的正弦公式可得，再由三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 由，结合正弦定理， 得， 即，即， 因为，所以，即． 【小问2详解】 ． 利用正弦定理得． 而， 故的面积． 18. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. （1）求圆柱的侧面积; （2）求三棱柱的体积. （3）求直三棱柱的外接球的体积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据圆柱的体积和结构特点求圆柱的底面半径和高，再利用圆柱的侧面积公式求解. （2）根据柱体的体积公式求解. （3）先求三棱柱的外接球半径，再利用球体体积公式求解. 【小问1详解】 设底面圆的直径为，则其高也为; 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为. 【小问2详解】 因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为，因此边长， 所以三棱柱的体积. 【小问3详解】 设三棱柱的外接球半径为， 则， 所以三棱柱的外接球体积为：. 19. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，在两条公路、上分别设立游客上下点、，从观景台到、建造两条观光线路、，测得千米，千米，，. （1）求线段的长度； （2）求两条观光线路之和的最大值 【答案】（1）3千米 （2）6千米 【解析】 【分析】（1）在中，根据余弦定理解三角形即可； （2）设，由正弦定理得，，可得，根据可得其最大值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， ， 所以，即线段的长度为3千米． 【小问2详解】 设，因为， 所以，在中，由正弦定理得， ， 所以，， 因此 因为，所以． 所以当，即时，取到最大值6． 所以两条观光线路与之和的最大值为6千米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奋斗中学2025-2026-2高一年级阶段性考试 数学学科 本试卷共150分.考试时间120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 4 B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 3 D. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 体积为的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知向量满足且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（    ） A. B. C. D. 7. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高均为3，侧面积之比为2:3，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的面积为，则（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若z为复数，则（ ） A. 若，则为实数 B. C. 若，则的最大值为 D. 若，则在复平面内对应的点在第四象限 10. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 11. 设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ） A. 若，，，则三角形有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若是锐角三角形，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，已知是边上一点，且，设，则用表示___________． 13. 如图所示的正方体的棱长为，则三棱锥的高为__________. 14. 已知的面积为，，，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知两个非零向量不共线. （1）若与共线，求实数的值； （2）已知向量满足，求. 16. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. （1）若复数是实数，求实数的值； （2）若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； （3）已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 18. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. （1）求圆柱的侧面积; （2）求三棱柱的体积. （3）求直三棱柱的外接球的体积. 19. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，在两条公路、上分别设立游客上下点、，从观景台到、建造两条观光线路、，测得千米，千米，，. （1）求线段的长度； （2）求两条观光线路之和的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $