2026年甘肃兰州中考数学模拟卷

**基本信息** 2026兰州中考模拟卷以科技前沿（AI下载量、机器人市场）和文化传承（走马灯、马面裙）为情境，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率，梯度设计检测抽象能力、几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/33|相反数、科学记数法、三视图等|第2题AI下载量考科学记数法，第5题铁佛寺造像结合黄金分割| |填空题|4/12|二次根式、中心对称、相似三角形等|第15题马面裙扇环计算弧长，体现传统文化| |解答题|11/75|函数综合、统计、解直角三角形等|26题关联图形新定义检测创新意识，20题AI竞赛统计分析数据意识|

2026兰州中考模拟卷 一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1．下列各数中，相反数为﹣2026的是（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 2．在人工智能技术飞速发展的当下，各类智能应用如雨后春笋般涌现．DeepSeek作为一款备受瞩目的AI工具，自2025年1月10日上线以来，便凭借其强大的功能和出色的表现，迅速在用户群体中收获极高人气．截至2月9日，其累计下载量已经突破1.1亿次．若用科学记数法来表示1.1亿，以下选项正确的是（　　） A．1.1×106 B．1.1×107 C．1.1×108 D．1.1×109 3．走马灯是中国传统宫灯与光影玩具的经典结合．如图走马灯的灯体为正六棱柱，它的示意图如图所示，则灯体的左视图是（　　） A． B． C． D． 4．如果a＞b，则下列结论正确的是（　　） A．|a|＞|b| B．a2＞b2 C．﹣2a＞﹣2b D．1﹣a＜1﹣b 5．明朝不仅驱除胡虏，收复了痛失430年的燕云十六州，而且让北方重新恢复了汉文化，现存的铁佛寺二十四诸天彩塑造像正是建成于明朝嘉靖年间．人物面部表情丰富，被游戏《黑神话•悟空》引用，动漫《西行记》也涉及相关神话人物名称．古人在设计造像时，使造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，可以增加视觉美感，查阅资料得：。若造像全身高度3m，则腰部以下约为（　　） A．1.854m B．1.584m C．1.416m D．1.236m 6．二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象平移后经过点（1，5），下列平移方式正确的是（　　） A．向右平移1个单位，向下平移1个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位 7．如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，过点A作AC∥PB交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝50°，则∠CBP的度数为（　　） A．65° B．115° C．130° D．155° 8．某校七年级数学组将“四好三美化”融入概率教学，设计如下练习：一个不透明盒子里有7个材质、大小相同的小球，分别标有：站得好、坐得好、走得好、说得好（四好），以及美化校园、美化班级、美化心灵（三美化）．从中随机摸出1个小球，摸到属于“三美化”范畴小球的概率是（　　） A． B． C． D．1 9．如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若AB＝4，则CG的长是（　　） A． B． C． D． 10．随着人工智能技术的不断突破，人形机器人行业备受关注，未来行业将持续保持高速发展．如图是某机构对2025～2030年全球人形机器人市场规模预测的数据： 根据预测数据，下列分析不正确的是（　　） ①2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长； ②2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年增大； ③2025～2030年全球人形机器人市场总规模超6000亿元； ④若保持与2030年相同的年增长率，到2032年全球人形机器人市场规模将超1.5万亿元． A．②③ B．②③④ C．①③④ D．只有② 11．如图，动点P从点A出发，沿着边长为4cm的正方形ABCD的边，按照路线A→B→C以1cm/s匀速运动至点C停止，动点Q从点A出发，且与P的运动速度相同，沿着正方形ABCD的边，按照路线A→D→C匀速运动至点C停止，连接AP、AQ、PQ，设△APQ的面积为y（cm2），时间为x（s），下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12．要使二次根式有意义，则x的值可以是　 　 ．（写出一个即可） 13．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A的坐标是（﹣1，﹣3），则顶点C的坐标是 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，点D是BA上一点，且∠ACD＝∠B，若AC＝3，AD＝2，则BD＝　 　 ． 15．传统服饰日益受到关注，图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图2）．若长为米，裙长AB为0.8米，圆心角∠AOD＝60°，则的长度为 　 　 米．（结果保留π） 三．解答题（共11小题，满分75分） 16．（5分）计算：； 17．（5分）解不等式组； 18．（5分）先化简，再求值：，从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值． 19．（7分）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积． 20．（7分）在科技飞速发展的当下，人工智能（AI）已从昔日的科幻概念转变为现实生活中的得力助手，推动着世界格局的深刻变革．某校组织电脑AI技能竞赛，竞赛结束后从八、九年级各随机抽取相同人数的成绩，分A，B，C，D四个等级，这四个等级对应的成绩依次为10分，9分，8分，7分．将抽取的八年级和九年级的成绩绘制成统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）各年级抽取的学生人数是　 　 名，抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是　 　 分，九年级学生竞赛成绩的众数是　 　 分； （2）求抽取的八年级学生竞赛成绩的平均数； （3）若八年级共有800名学生参加此次竞赛，九年级共有600名学生参加此次竞赛，请你估计两个年级竞赛成绩为10分的学生总人数． 21．（7分）某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于青草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.6m，已知教学楼门前台阶斜坡CD的坡比为1：2．请计算台阶DE的高度，并求出孔子雕像AB的高度．（参考数据：，，） 22．（7分）阅读下列材料，完成相应的任务． 如图1，点B，C分别为∠A两边上的点，如何利用无刻度的直尺和圆规在B，C之间画一条过点A的直线，使得点B，C到这条直线的距离相等？ 下面是小成的作图思路： 第一步：以点B为圆心，以AC的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧在∠A内部交于点D； 第三步：作直线AD，则点B，C到直线AD的距离相等． … （1）请你根据小成的作图思路，在图1中，利用无刻度的直尺和圆规完成作图． （2）根据（1）中的作图，请你证明点B，C到直线AD的距离相等． 23．（7分）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F． （1）证：EF为⊙O的切线； （2）若，，求AE的长． 24．（8分）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）求∠EAF的度数； （2）求证：四边形ABCD是正方形； 25．（8分）已知抛物线y＝x2﹣4x+m2﹣2m（m为任意实数）． （1）当m＝1时，请回答下列问题： ①请求出抛物线的顶点坐标； ②若将点A（1，t）向左平移3n个单位长度后得点A1；若将点A（1，t）向右平移4n个单位长度后得点A2，若点A1，A2都在此抛物线上，求t的值； （2）若抛物线与y轴交于点B（0，n），且1≤n≤6，求此抛物线顶点到x轴的最远距离． 26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于图形G给出如下定义：将图形G上的任意点P（a，b）变为点P′（a﹣b，a+b），称P′为点P的关联点．图形G上所有的点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形N，称图形N为图形G的关联图形． （1）点（1，0）的关联点的坐标为 　 　 ； （2）直线y＝x+1的关联图形上任一点的横坐标为 　 　 ； （3）如图，点A（1，0），B（1，1），C（0，1）．若四边形OABC的关联图形与过点（4，3）的直线y＝kx+n（k≠0）有公共点，直接写出k的取值范围． 第39页 共28页 ◎ 第40页 共28页 学科网（北京）股份有限公司 2026兰州中考模拟卷参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B D A C B B A D D 一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1．（3分）下列各数中，相反数为﹣2026的是（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 【答案】A 【解答】解：∵﹣（﹣2026）＝2026， ∴相反数为﹣2026的数是2026． 故选：A． 2．（3分）在人工智能技术飞速发展的当下，各类智能应用如雨后春笋般涌现．DeepSeek作为一款备受瞩目的AI工具，自2025年1月10日上线以来，便凭借其强大的功能和出色的表现，迅速在用户群体中收获极高人气．截至2月9日，其累计下载量已经突破1.1亿次．若用科学记数法来表示1.1亿，以下选项正确的是（　　） A．1.1×106 B．1.1×107 C．1.1×108 D．1.1×109 【答案】C 【解答】解：1.1亿＝1.1×108， 故科学记数法来表示1.1亿为：1.1×108． 故选：C． 3．（3分）走马灯是中国传统宫灯与光影玩具的经典结合．如图走马灯的灯体为正六棱柱，它的示意图如图所示，则灯体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：这个六棱柱左视图为： 故选：B． 4．（3分）如果a＞b，则下列结论正确的是（　　） A．|a|＞|b| B．a2＞b2 C．﹣2a＞﹣2b D．1﹣a＜1﹣b 【答案】D 【解答】解：A、a＞b，|a|不一定大于|b|，比如0＞﹣1，|0|＜|﹣1|，原结论错误； B、a＞b，a2不一定大于b2，比如0＞﹣1，02＜（﹣1）2，原结论错误； C、a＞b，则﹣2a＜﹣2b，原结论错误； D、a＞b，则1﹣a＜1﹣b，原结论正确． 故选：D． 5．（3分）明朝不仅驱除胡虏，收复了痛失430年的燕云十六州，而且让北方重新恢复了汉文化，现存的铁佛寺二十四诸天彩塑造像正是建成于明朝嘉靖年间．人物面部表情丰富，被游戏《黑神话•悟空》引用，动漫《西行记》也涉及相关神话人物名称．古人在设计造像时，使造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，可以增加视觉美感，若造像全身高度3m，则腰部以下约为（　　） A．1.854m B．1.584m C．1.416m D．1.236m 【答案】A 【解答】解：令造像腰部以下的长度为xm， 因为造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，且造像全身高度3m 所以， 则x≈1.854， 即造像腰部以下的长度为1.854m． 故选：A． 6．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象平移后经过点（1，5），下列平移方式正确的是（　　） A．向右平移1个单位，向下平移1个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位 【答案】C 【解答】解：A、向右平移1个单位，向下平移1个单位后，平移后解析式为y＝（x﹣1﹣1）2+2﹣1＝（x﹣2）2+1，当x＝1时，y＝2，不符合题意； B、向右平移1个单位，向下平移2个单位后，平移后解析式为y＝（x﹣1﹣1）2+2﹣2＝（x﹣2）2，当x＝1时，y＝1，不符合题意； C、向左平移1个单位，向上平移2个单位后，平移后解析式为y＝（x﹣1+1）2+2+2＝x2+4，当x＝1时，y＝5，符合题意； D、向左平移2个单位，向上平移1个单位后，平移后解析式为y＝（x﹣1+2）2+2+1＝（x+1）2+3，当x＝1时，y＝7，不符合题意． 故选：C． 7．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，过点A作AC∥PB交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝50°，则∠CBP的度数为（　　） A．65° B．115° C．130° D．155° 【答案】B 【解答】解：如图，连接OA，OB， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠P＝50°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°， ∴， ∵AC∥PB， ∴∠ACB+∠CBP＝180°， ∴∠CBP＝180°﹣65°＝115°， 故选：B． 8．（3分）某校七年级数学组将“四好三美化”融入概率教学，设计如下练习：一个不透明盒子里有7个材质、大小相同的小球，分别标有：站得好、坐得好、走得好、说得好（四好），以及美化校园、美化班级、美化心灵（三美化）．从中随机摸出1个小球，摸到属于“三美化”范畴小球的概率是（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【解答】解：∵盒子中共有7个大小材质相同的小球， 所有等可能的摸球结果共7种， 其中属于“三美化”范畴的小球结果有3种， ∴摸到属于“三美化”范畴小球的概率是， 故选：B． 9．（3分）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若AB＝4，则CG的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵正方形ABCD中，AB＝4， ∴BC＝CD＝4，∠BCD＝∠ADC＝90°，AB∥CD，AC＝BD， ∴∠BDC＝45°， 在直角三角形BCD中，由勾股定理得：， ∵折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处， ∴BF＝BC＝4，∠BFE＝∠BCE＝90°，EF＝CE， ∴∠DEF＝45°＝∠FDE， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴△CEG∽△ABG， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 10．（3分）随着人工智能技术的不断突破，人形机器人行业备受关注，未来行业将持续保持高速发展．如图是某机构对2025～2030年全球人形机器人市场规模预测的数据： 根据预测数据，下列分析不正确的是（　　） ①2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长； ②2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年增大； ③2025～2030年全球人形机器人市场总规模超6000亿元； ④若保持与2030年相同的年增长率，到2032年全球人形机器人市场规模将超1.5万亿元． A．②③ B．②③④ C．①③④ D．只有② 【答案】D 【解答】解：根据场规模条形统计图可知，2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长，故①正确； 根据增长率的折线统计图可知，2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年降低，故②错误； 根据场规模条形统计图可知，2025～2030年全球人形机器人市场总规模为：34+106+269+644+1517+3506＝6076（亿元），故③正确； 2032年全球人形机器人市场规模为：3506×（1+131.1%）2≈18724.6（亿元），故④正确． 故选：D． 11．（3分）如图，动点P从点A出发，沿着边长为4cm的正方形ABCD的边，按照路线A→B→C以1cm/s匀速运动至点C停止，动点Q从点A出发，且与P的运动速度相同，沿着正方形ABCD的边，按照路线A→D→C匀速运动至点C停止，连接AP、AQ、PQ，设△APQ的面积为y（cm2），时间为x（s），下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【解答】解：当4＜x≤8时，如图2，点P在BC上运动，点Q在DC上运动， ∵点P，点Q的速度均为1cm/s，时间为x（s）， ∴AB+BP＝x（cm），AD+DQ＝x（cm）， ∵正方形ABCD边长为4cm， ∴AB＝AD＝BC＝DC＝4（cm）， ∴BP＝（x﹣4）cm，DQ＝（x﹣4）cm， ∴PC＝BC﹣BP＝4﹣（x﹣4）＝（8﹣x）cm，CQ＝DC﹣DQ＝4﹣（x﹣4）＝（8﹣x）cm， ∵正方形ABCD， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴，， ， ∴ 即当4＜x≤8时，； 当0≤x≤4时，如图1，点P在AB上运动，点Q在AD上运动， ∵点P，点Q的速度均为1cm/s，时间为x（s）， ∴AP＝x（cm），AQ＝x（cm）， ∵正方形ABCD， ∴∠A＝90°， ∴， 即当0≤x≤4时，； 综上，． 由此可知，当0≤x≤4时，函数图象为开口向上，过点（0，0），（4，8）的二次函数的一部分；当4＜x≤8时，函数图象为开口向下，过点（4，8），（8，0）的二次函数的一部分． 观察各选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12．（3分）要使二次根式有意义，则x的值可以是　0（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一）． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴x+5≥0， ∴x≥﹣5， ∴x的值可以是0． 故答案为：0（答案不唯一）． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A的坐标是（﹣1，﹣3），则顶点C的坐标是 　（1，3）　 ． 【答案】（1，3）． 【解答】解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，且点A的坐标是（﹣1，﹣3）， ∴点C的坐标是：（1，3）； 故答案为：（1，3）． 14．（3分）如图，在△ABC中，点D是BA上一点，且∠ACD＝∠B，若AC＝3，AD＝2，则BD＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵AD＝2，AC＝3， ∴即：， ∴． 故答案为：． 15．（3分）传统服饰日益受到关注，图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图2）．若长为米，裙长AB为0.8米，圆心角∠AOD＝60°，则的长度为 　0.6π　 米．（结果保留π） 【答案】0.6π． 【解答】解：∵的长为米，∠AOD＝60°． ∴， 解得OA＝1． 又∵AB长为0.8米， ∴OB的长为1.8米， ∴的长度为：（米）． 故答案为：0.6π． 三．解答题（共11小题，满分75分） 16．（5分）计算：； 【答案】﹣5； 【解答】解： ＝2+（﹣2）﹣4﹣1 ＝﹣5； 17．（5分）解不等式组； 【答案】x≥1； 【解答】解：解第一个不等式得：x≥1， 解第二个不等式得：x≥﹣5， 故原不等式组的解集为x≥1； 18．（5分）先化简，再求值：，从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值． 【答案】；1． 【解答】解：原式＝（） ＝（） ， 由于分式有意义，则x≠0、2、4， ∴当x＝1时，原式1． 19．（7分）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为． （2）8． 【解答】解：（1）∵反比例函数经过点A（﹣3，2）， ∴m＝﹣6， ∵点B（1，n）在反比例函数图象上， ∴n＝﹣6． ∴B（1，﹣6）， 把A，B的坐标代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为． （2）如图，设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4）， ∴． 20．（7分）在科技飞速发展的当下，人工智能（AI）已从昔日的科幻概念转变为现实生活中的得力助手，推动着世界格局的深刻变革．某校组织电脑AI技能竞赛，竞赛结束后从八、九年级各随机抽取相同人数的成绩，分A，B，C，D四个等级，这四个等级对应的成绩依次为10分，9分，8分，7分．将抽取的八年级和九年级的成绩绘制成统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）各年级抽取的学生人数是　20　 名，抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是　9　 分，九年级学生竞赛成绩的众数是　10　 分； （2）求抽取的八年级学生竞赛成绩的平均数； （3）若八年级共有800名学生参加此次竞赛，九年级共有600名学生参加此次竞赛，请你估计两个年级竞赛成绩为10分的学生总人数． 【答案】（1）20，9，10； （2）8.75分； （3）470名． 【解答】解：（1）由条形统计图可知，八年级抽取的学生数为5+9+2+4＝20（名）， ∵八、九年级各随机抽取相同人数， ∴各年级抽取的学生人数是20名； 将八年级学生的竞赛成绩从高到低排列，中位数是第十位和第十一位的平均数，由条形统计图可知，第十位和第十一位都是9分，即中位数为9分． 由扇形统计图可知：九年级竞赛成绩等级为A的人数最多，即众数为10分． 故答案为：20，9，10； （2）（分）． 答：抽取的八年级学生竞赛成绩的平均数是8.75分； （3）∵八年级共有800名学生参加此次竞赛，九年级共有600名学生参加此次竞赛， ∴（名）． 答：估计两个年级竞赛成绩为10分的学生总人数是470名． 21．（7分）某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于青草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.6m，已知教学楼门前台阶斜坡CD的坡比为1：2．请计算台阶DE的高度，并求出孔子雕像AB的高度．（参考数据：，，） 【答案】台阶DE的高度为0.3m，孔子雕像AB的高度为3.6m 【解答】解：作DF⊥AB，由题意，得DE＝BF，BE＝DF，∠ADF＝45，∠ACB＝53°，CE＝0.6， ∵教学楼门前台阶斜坡CD的坡比为1：2， ∴， ∴， 设BC＝x，则BE＝DF＝x+0.6， 在Rt△ADF中，tan∠ADF， ∴AF＝DF•tan45°＝x+0.6， 在Rt△ABC中，tan∠ACB， ∴， ∵BF＝DE＝0.3， ∴，解得x＝2.7， ∴； 答：台阶DE的高度为0.3m，孔子雕像AB的高度为3.6m． 22．（7分）阅读下列材料，完成相应的任务． 如图1，点B，C分别为∠A两边上的点，如何利用无刻度的直尺和圆规在B，C之间画一条过点A的直线，使得点B，C到这条直线的距离相等？ 下面是小成的作图思路： 第一步：以点B为圆心，以AC的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧在∠A内部交于点D； 第三步：作直线AD，则点B，C到直线AD的距离相等． … （1）请你根据小成的作图思路，在图1中，利用无刻度的直尺和圆规完成作图． （2）根据（1）中的作图，请你证明点B，C到直线AD的距离相等． 【答案】（1）如解图1，直线AD即为所求． （2）如图1，连接BD，CD，BC交AD于点O，过点B，C分别作BM⊥AD，CN⊥AD， 由作图，知CD＝AB，BD＝AC， ∴四边形ABDC为平行四边形． ∴OB＝OC． ∵CN⊥AD，BM⊥AD， ∵∠BMO＝∠CNO＝90°． ∵∠BOM＝∠CON， ∴△BMO≌△CNO（AAS）， ∴BM＝CN，即点B，C到直线AD的距离相等； 【解答】（1）解：如解图1，直线AD即为所求． （2）证明：如图1，连接BD，CD，BC交AD于点O，过点B，C分别作BM⊥AD，CN⊥AD， 由作图，知CD＝AB，BD＝AC， ∴四边形ABDC为平行四边形． ∴OB＝OC． ∵CN⊥AD，BM⊥AD， ∵∠BMO＝∠CNO＝90°． ∵∠BOM＝∠CON， ∴△BMO≌△CNO（AAS）， ∴BM＝CN，即点B，C到直线AD的距离相等； 23．（7分）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若，，求AE的长． 【答案】（1）连接OD，如图1所示： ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠CBD， ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠CBD＝∠ODB， ∴OD∥BC， ∵EF⊥BC， ∴EF⊥OD， 又∵OD是⊙O的半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）． 【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠CBD， ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠CBD＝∠ODB， ∴OD∥BC， ∵EF⊥BC， ∴EF⊥OD， 又∵OD是⊙O的半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：连接AD，如图2所示： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∵EF⊥BC， ∴∠F＝90°， ∴∠FDB+∠CBD＝90°， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠FDB， ∴tan∠BAD＝tan∠FDB2， ∴ADBD＝2，BF＝2DF， ∴AB10，BDDF＝4， ∴OD＝OA＝OBAB＝5，DF＝4，BF＝8， 由（1）得：OD∥BC， ∴△ODE∽△BFE， ∴， 即， 解得：AE． 24．（8分）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）求∠EAF的度数； （2）求证：四边形ABCD是正方形； 【答案】（1）5°； （2）①作AG⊥EF于G，则∠AGE＝∠AGF＝90°， ∵AB⊥CE，AD⊥CF，∴∠B＝∠D＝90°＝∠C， ∴矩形ABCD， ∵∠CEF，∠CFE 外角平分线交于点A， ∴AB＝AG，AD＝AG， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD为正方形； ②128． 【解答】（1）解：∵∠C＝90°， ∴∠CFE+∠CEF＝90°， ∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°， ∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF， ∴， ∴， ∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°； （2）证明：作AG⊥EF于G，则∠AGE＝∠AGF＝90°， ∵AB⊥CE，AD⊥CF， ∴∠B＝∠D＝90°＝∠C， ∴四边形ABCD是矩形， ∵∠CEF，∠CFE 外角平分线交于点A， ∴AD＝AG，AB＝AG， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD为正方形； 25．（8分）已知抛物线y＝x2﹣4x+m2﹣2m（m为任意实数）． （1）当m＝1时，请回答下列问题： ①请求出抛物线的顶点坐标； ②若将点A（1，t）向左平移3n个单位长度后得点A1；若将点A（1，t）向右平移4n个单位长度后得点A2，若点A1，A2都在此抛物线上，求t的值； （2）若抛物线与y轴交于点B（0，n），且1≤n≤6，求此抛物线顶点到x轴的最远距离． 【答案】（1）①（2，﹣5）；②44； （2）3． 【解答】解：（1）①当m＝1时，y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5， 故抛物线的顶点坐标为（2，﹣5）． ②若将点A（1，t）向左平移3n个单位长度后得点A1；若将点A（1，t）向右平移4n个单位长度后得点A2， 由题意得A1（1﹣3n，t），A2（1+4n，t）， ∵点A1，A2的纵坐标相等，点A1，A2都在此抛物线上，抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴点A1、A2关于对称轴x＝2对称，则1﹣3n+1+4n＝4， 解得n＝2，则A1（﹣5，t）， 将A1（﹣5，t）代入解析式得t＝（﹣5）2﹣4×（﹣5）﹣1＝44． （2）若抛物线与y轴交于点B（0，n），且1≤n≤6， ∵y＝x2﹣4x+m2﹣2m＝（x﹣2）2+m2﹣2m﹣4， 故顶点坐标为（2，m2﹣2m﹣4）， 令x＝0，则y＝m2﹣2m，则B（0，m2﹣2m）， 由题得n＝m2﹣2m， 则顶点纵坐标为n﹣4． 又∵1≤n≤6， 则﹣3≤n﹣4≤2， 则顶点到x轴最远距离是顶点纵坐标绝对值的最大值，即为3． 26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于图形G给出如下定义：将图形G上的任意点P（a，b）变为点P′（a﹣b，a+b），称P′为点P的关联点．图形G上所有的点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形N，称图形N为图形G的关联图形． （1）点（1，0）的关联点的坐标为 　（1，1）　 ； （2）直线y＝x+1的关联图形上任一点的横坐标为 　﹣1　 ； （3）如图，点A（1，0），B（1，1），C（0，1）．若四边形OABC的关联图形与过点（4，3）的直线y＝kx+n（k≠0）有公共点，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）（1，1）；（2）﹣1；（3）k． 【解答】解：（1）由题意，根据关联点的意义， ∴点（1，0）的关联点的坐标为（1﹣0，1+0），即（1，1）． 故答案为：（1，1）． （2）由题意，根据关联点的意义，∵直线y＝x+1的点为（x，x+1）， ∴直线y＝x+1的关联图形上任一点的横坐标为：x﹣（x+1）＝﹣1． 故答案为：﹣1． （3）由题意，根据关联点的意义， ∴A（1，0）的关联点A'（1，1），B（1，1）的关联点B'（0，2），C（0，1）的关联点C'（﹣1，1）． 又O（0，0）的关联点O（0，0）， ∴作出四边形OABC的关联图形OA'B'C'． 根据图象，当直线过（4，3）及B'（0，2）时，k； 当直线过（4，3）及O（0，0）时，k， ∴四边形OABC的关联图形与过点（4，3）的直线y＝kx+n（k≠0）有公共点，则k． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/19 9:15:41；用户：绘学B区资料下载；邮箱：15693311191；学号：65108399 $