精品解析：吉林长春市朝阳区长春力旺实验2026-2027学年度八年级上学期期中数学试题

长春力旺实验中学 2026-2027学年度上学期八年级期中数学教学诊断 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每题3分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无限不循环小数是无理数，为判断提供依据．逐一分析每个选项对应的数的类型：因为整数和分数统称为有理数，所以先判断选项是否属于整数或分数范畴．针对含开方运算的选项，判断被开方数是否为完全平方数，如果被开方数不是完全平方数，那么开方结果是无限不循环小数，属于无理数． 【详解】解：我们把无限不循环小数叫做无理数，而整数和分数都属于有理数： 选项A的0是整数，属于有理数； 选项B的是负整数，属于有理数； 选项C的是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 选项D的是分数，属于有理数． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项，，不是最简二次根式，不符合题意； B选项，，不是最简二次根式，不符合题意； C选项，是最简二次根式，符合题意； D选项，，不是最简二次根式，不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算法则和合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，运算错误，不符合题意； 选项B：，运算正确，符合题意； 选项C：，运算错误，不符合题意； 选项D：与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意． 4. 下列命题的逆命题正确的是（　　） A. 如果两个角都是45°，那么它们相等 B. 全等三角形的周长相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 若a=b，则 【答案】C 【解析】 【分析】交换原命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后分别根据三角形的概念、全等三角形的判定、平行线的性质和平方根的定义判定四个逆命题的真假． 【详解】A. 逆命题为：如果两个角相等，那么它们都是45°，此逆命题为假命题； B. 逆命题为：周长相等的两三角形全等，此逆命题为假命题； C. 逆命题为：两直线平行，同位角相等，此逆命题为真命题； D. 逆命题为：若a2=b2，则a=b，此逆命题为假命题. 故选C. 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握三角形的概念、全等三角形的判定、平行线的性质和平方根的定义. 5. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是实数与数轴及两点间距离，解题关键是根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得到，结合点所表示的数及间距离即可得解． 【详解】解：正方形的面积为， 即， （负值舍去）， 点表示的数是，， 点表示的数是． 故选：． 6. 已知，，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式：，熟记公式结构是解题的关键． 将N表示为，利用平方差公式化简计算即可． 【详解】解：∵， 又 ∵， ∴， ∴． 故选A． 7. 如图，在中，已知点D在上，且，则点D在（ ） A. 的垂直平分线上 B. 的平分线上 C. 的中点 D. 的垂直平分线上 【答案】A 【解析】 【分析】因为，，所以，点在的垂直平分线上，据此作答． 【详解】解：∵，， ， ∴点在的垂直平分线上， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，解题的关键是正确理解线段垂直平分线的判定定理． 8. 如图，小龙同学用四个边长为的正方形，两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（ ） ①；②； ③；④． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【详解】解：①根据图1、2不能得，故①不符合题意； ②图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，②符合题意； ③如图所示，可看作边长为的正方形的面积，图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，③不符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意； 故选：D． 二、填空题（共6小题） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 10. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】拆分高次幂的指数，凑出同指数幂项，利用积的乘方逆运算简化计算． 【详解】解： 11. 如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 【答案】19 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，从而将周长为转化为，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 12. 若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数以及平方为非负数即可解答．几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0． 【详解】∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了平方的非负性和二次根式被开方数的非负性，熟练的掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0，是解题的关键． 13. 若展开后不含x的一次项，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】将原式展开合并同类项后，利用“不含的一次项即一次项系数为”列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含的一次项， ∴的一次项系数为， ∴ 解得． 14. 如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得到，可判定①；根据证明，可判断②；证明得到，，结合，，可判断③；由得到，结合以及线段的和差可判断④． 【详解】解：为的角平分线，，， ，故①正确； 在和中， ， ，故②正确； 在和中， ， ， ，， ，，且， ，故③不正确； ， ， ， ，故④正确． 三、解答题（共10小题） 15. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键 （1）先化简各二次根式，再合并同类项即可； （2）先计算二次根式的乘除运算，化简二次根式，再计算加减运算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式运算，重点考查幂的运算相关法则和多项式与多项式相乘的运算法则． （）先根据积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项得到结果； （）运用多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项化简． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 17. 先化简再求值：，其中． 【答案】，5 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图，已知，，垂足分别为点和点，且． 求证：平分． 【答案】证明：， ， ，， 平分． 【解析】 【详解】略 19. 如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划对其中的阴影部分进行绿化，并在中间两块正方形区域修建两座雕塑． （1）求绿化区域的面积（用含的式子表示）． （2）当时，求绿化区域的面积． 【答案】（1）平方米 （2）86平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，整式的化简求值， 对于（1），根据整式的乘法法则计算； 对于（2），将a，b的值代入计算得出答案． 【小问1详解】 解：绿化区域的面积为 ． 答：绿化区域的面积为平方米； 【小问2详解】 解：当时，． 答：绿化区域的面积为86平方米． 20. 已知的平方根为，的立方根为2． （1）求a和b的值； （2）若c是的整数部分，求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握估算无理数的大小，以及平方根与立方根的意义是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的意义可得，，即可求，的值； （2）先算出的整数部分，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ，， ，． 【小问2详解】 解：， ， 的整数部分为，即， 由（1）得，， ，而的平方根为， 的平方根． 21. 规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，；，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． （1）根据上述规定，填空： ①________②若，则________；③________； （2）记，，．求证：． 【答案】（1）①3；②；③14 （2）证明：∵，，， ∴，，， ， ， ∵， ∴， ∴， ． 【解析】 【分析】（1）①根据“雅对”的定义计算即可；②根据“雅对”的定义可得，解方程即可；③设，仿照示例求解即可； （2）根据题意可得，，，则可证明，根据推出，据此证明即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； ③设， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 略 22. 如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：________________． 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为________； （3）两个正方形、如图3摆放．边长分别为，，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）大正方形的面积等于其边长的平方，大正方形的面积又等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，据此用两种方法表示出大正方形的面积即可得到答案； （2）根据列式求解即可； （3）根据题意求出的值，进而求出的值，再根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，大正方形的边长为，则其面积为， 大正方形的面积等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为， 则； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ． 23. 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第102页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，点是上任意一点，连结、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．于是有：线段垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图①，，垂足为点，，点是直线上的任意一点． 求证：． 分析图中有和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 【定理应用】 （2）如图②，在中，，的垂直平分线交于，交于．连接，若，则________． （3）如图③，在中，，，、分别是、上任意一点，若，的面积为20，则的最小值是________． 【答案】（1）证明：， ， ，， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先明确两个直角三角形的公共边、已知的等边和直角条件，用判定和全等，即可得到对应边相等． （2）因为是的垂直平分线，所以，得，再结合等腰的内角和求出，作差得到． （3）由是的垂直平分线得，因此，根据两点之间线段最短，当、、共线且为边上的高时和最小，再用三角形面积公式求出高即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ， ∴ 是等腰三角形， ∵ ， ∴ ， ∵是 的垂直平分线， ∴， ∴ 是等腰三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当 、、 三点共线，且 时， 取得最小值， ∴最小值就是点到边的垂线段长度， 设点到边的垂线段长度为， ， 代入得， 解得， 即的最小值为． 24. 如图，在长方形中，，，．延长到，使，连接，可知．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．（） （1）当点在边上时，________（用含的代数式表示）； （2）当点运动到的垂直平分线上时，求的值； （3）连结或，在整个运动过程中，当与全等时，求的值； （4）当点到两边距离相等时（点不与顶点重合），直接写出的值． 【答案】（1） （2）2或8 （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，即可求解； （2）分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，即可求解； （3）分两种情况，结合全等三角形的性质解答即可； （4）分三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：当点在边上时，， ∴； 【小问2详解】 解：当点在边上时，此时点P为的中点，即， ∴， ∴； 当点在边上时，此时点P的运动路程为， 在长方形中，∵点在的垂直平分线上， ∴点P也在边的垂直平分线上， ∴， ∴， 此时； 综上所述，的值为2或8； 【小问3详解】 解：如图，当点在边上时， ∵， ∴当时，， 此时， 解得：； 如图，当点在边上时， ∵， ∴当时，， 此时， 解得：； 综上所述，t的值为或； 【小问4详解】 解：若点P到边的距离相等，此时点P在的平分线上， 当点P在边上时，如图，过点P作于点F，则，此时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点P在边上时，如图，过点P作交的延长线于点G，于点H，则，，此时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当点P在上，且时，如图，过点P作于点K，则， 此时点P到的距离为， ∵，即， ∴点P到的距离为， 此时点P到，的距离相等，满足题意； 综上所述，t的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春力旺实验中学 2026-2027学年度上学期八年级期中数学教学诊断 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每题3分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题正确的是（　　） A. 如果两个角都是45°，那么它们相等 B. 全等三角形的周长相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 若a=b，则 5. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 如图，在中，已知点D在上，且，则点D在（ ） A. 的垂直平分线上 B. 的平分线上 C. 的中点 D. 的垂直平分线上 8. 如图，小龙同学用四个边长为的正方形，两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（ ） ①；②； ③；④． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 二、填空题（共6小题） 9. 计算：______． 10. 计算：_______． 11. 如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 12. 若，则______． 13. 若展开后不含x的一次项，则__________． 14. 如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_______． 三、解答题（共10小题） 15. 计算： （1）； （2） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简再求值：，其中． 18. 如图，已知，，垂足分别为点和点，且． 求证：平分． 19. 如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划对其中的阴影部分进行绿化，并在中间两块正方形区域修建两座雕塑． （1）求绿化区域的面积（用含的式子表示）． （2）当时，求绿化区域的面积． 20. 已知的平方根为，的立方根为2． （1）求a和b的值； （2）若c是的整数部分，求的平方根． 21. 规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，；，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． （1）根据上述规定，填空： ①________②若，则________；③________； （2）记，，．求证：． 22. 如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：________________． 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为________； （3）两个正方形、如图3摆放．边长分别为，，若，，求图中阴影部分的面积． 23. 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第102页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，点是上任意一点，连结、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．于是有：线段垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图①，，垂足为点，，点是直线上的任意一点． 求证：． 分析图中有和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 【定理应用】 （2）如图②，在中，，的垂直平分线交于，交于．连接，若，则________． （3）如图③，在中，，，、分别是、上任意一点，若，的面积为20，则的最小值是________． 24. 如图，在长方形中，，，．延长到，使，连接，可知．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．（） （1）当点在边上时，________（用含的代数式表示）； （2）当点运动到的垂直平分线上时，求的值； （3）连结或，在整个运动过程中，当与全等时，求的值； （4）当点到两边距离相等时（点不与顶点重合），直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $