专题02 几何最值模型（重难专练）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 几何最值模型 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感” 近三年：中考数学中几何最值考点主要有以下几类：①将军饮马模型（常见于选填压轴及解答题第2问，含两定一动、两次对称等变式，属于高频基础模型；②胡不归与阿氏圆问题（解答压轴常客），以带系数线段和的最值构造为核心，是区分度最高的几何最值类型；③隐圆问题（选填压轴为主），含定点定长、定弦定角、对角互补等辅助圆构造，侧重考查几何直观；④费马点问题（罕见考察），结合旋转构造求三角形内到三顶点距离和的最小值。考查频率稳定，难度以中档和压轴为主。 预测2026年：胡不归与阿氏圆将更多嵌入二次函数背景，形成代数推导与几何构造的双重考查；隐圆问题可能在新定义题型中出现；将军饮马趋向多动点复合变式；费马点结合旋转构造在解答题中出现的可能性增大。几何最值作为贯穿选填与解答的核心方法，建议重点突破。 考向01 几何最值问题 题型1 将军饮马问题 原型：在直线l的同侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。 变式：两定点到定直线上一动点距离和最小。 原理：轴对称、两点之间线段最短。 解法：作其中一个定点关于定直线的对称点，连接对称点与另一定点，连线与定直线的交点即为所求点P。 说明：广泛存在于各类最值问题中，是解决线段和最小值的基础模型。 1．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________． 2．（2026·江西萍乡·一模）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2022·河南商丘·模拟预测）如图，以为直径的中，点为上一点，且，过点O作，垂足为，点为直线上一个动点，则，，构成的封闭图形周长最小值为________． 4．（21-22九年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 5．（25-26八年级下·广东汕头·月考）如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________． 题型2 阿氏圆问题 背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. 模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示： 易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有. 对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需 【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB ②计算出这两条线段的长度比 ③在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则， ④则，当A、P、C三点共线时可得最小值 6．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ________________． 7．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 8．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·月考）如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为______． 10．（2020·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 __． 题型3 胡不归问题 【模型总结】 在求形如“PB+kPA”的式子的最值问题中，关键是构造与kPA相等的线段，将“PB+kPA”型问题转化为“PB+PC”型． 而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段． 【问题】 如图，点P为射线l上的一动点，A、B为定点，求PB+kPA的最小值. 【问题解决】 构造射线AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP． l 将问题转化为求PB+PC最小值，过B点作BC⊥AD交l于点P，交AD于C点，此时PB+PC取到最小值，即PB+kPA最小． 11．（21-22八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________． 12．（21-22八年级下·湖北·期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 13．（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新拋物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标． 14．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线与x轴交于点D，点E为点C关于x轴的对称点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方且在对称轴左侧的抛物线上的一动点，过点P作平行于y轴，交于点Q，过点Q作，交抛物线对称轴于点F．点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及取得最小值时点N的坐标； (3)将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3，点G是线段上的动点，线段关于的对称线段为，线段所在直线交新抛物线于点K．若直线与直线所成夹角等于，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 15．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图1，抛物线与x轴交于A、和B两点，与y轴交于点C，点M在第一象限内的抛物线上，连接，与线段交于点N． (1)点A坐标为 、点B坐标为 ； (2)当时，判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． (4)如图2，P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值为 ． 题型4 隐圆 问题描述：题目条件中没有直接给出圆，但通过分析动点的特性（如定点定长、定弦定角、对角互补等），可以发现该动点在某个圆上运动。 应用：将动点问题转化为圆上的点的问题，再利用圆的性质求解最值。 原理：若或，则、、、四点共圆。 若（同底同侧的顶角相等），则、、、四点共圆。 若线段、交于，且，则、、、四点共圆（相交弦定理逆定理）。 应用：证明四点共圆后，可立即得到等角（同弧所对圆周角相等）、互补角等结论，极大地简化证明过程。 模型① 若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补 则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧 模型② 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧 16．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________． 17．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，和分别是轴正半轴和线段上的动点，满足，连接，则的最大值是___________． 18．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是_______． 20．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______． 题型5 费马点问题 原型：在△ABC内找一点P，使PA+PB+PC最小。 应用：求到三角形三个顶点距离和最小的点。 原理：旋转构造全等三角形，利用两点之间线段最短。 解法：若△ABC各内角均小于120°，则P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点。 若△ABC有一个内角≥120°，则该顶点即为费马点。 通用解法：如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ ，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值. 21．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______． 22．（21-22九年级上·四川成都·月考）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______． 23．（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________． 24．（2021九年级·全国·专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______． 25．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________． （建议用时：120分钟） 1．如图，已知在中，．点D和点分别为线段上的动点且，点为线段上的动点，点为线段的中点．连接，当点在线段上运动，点D和点在线段上运动时，的最小值为（    ） A．2.6 B．3.6 C．4.6 D．5.6 2．（2026·安徽池州·一模）如图，在中，，点是上一定点，点从点出发，沿边运动到点．连接，，设点运动的路程为，．其中关于的函数图象如图所示，则图中函数图象最低点的纵坐标的值为（   ）． A． B． C． D． 3．（2026·安徽六安·一模）在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； (2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 4．【问题探究】 (1)如图1，在梯形中，，连接，则 ；（填“”“=”或“<”） (2)如图2，已知的半径为2，点是上一动点，点是外一定点，连接，取的中点，当点在上运动一圈时，求点运动的路径长； 小明同学进行了探究，他连接，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成求解过程． 【问题解决】 (3)某农业观光园的平面规划示意图如图3所示，在四边形中，，，，，点在边上，且，计划在四边形内修建一口水井，并沿修建三条笔直的灌溉水渠，且满足，在的中点处规划一座有机蔬菜餐厅，观光园的入口设置在边上，出口设置在边上，并沿规划观光小路，在区域种植某种有机蔬菜，为了合理购买蔬菜幼苗的数量，需要知道当取得最小值时，的面积，请你帮助规划人员计算出当取得最小值时，的面积．（水井、餐厅、出入口的大小以及水渠和小路的宽度均忽略不计） 5．在中，． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至点G，使得，连接，过点C作交延长线于E，若，请证明：； (3)如图3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 6．解答下列各题： (1)问题背景：如图1，在中，，求证：； (2)学以致用：如图2，在中，于点，，求证：； (3)拓展提高：如图3，在中，为中点，连接，点为射线上一动点，且，直接写出的最小值． 7．解决下列问题： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，是边的中点，连接．是的中点，是上的一动点，则的最小值为_____． 【问题探究】 (2)如图2，四边形是平行四边形，，，．，是边上的动点，且，则的最小值为多少？ 【问题解决】 (3)如图3，为加强劳动实践课程的教学效果，某学校准备在一块四边形空地上，规划两条活动课专用小路和，两条小路交于点，校园规划管理办公室计划在和两条路上分别选取点，，在，，处铺设三条水管，方便后期用水浇灌种植的农作物，并使得的长度最小．已知，，，，．按照计划，每铺设一米水管的费用为600元，学校的预算费用是46000元．请你帮助学校计算一下，学校准备的费用够吗？（参考数据：） 8．问题探究 (1)如图①，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为___________． (2)如图②，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段的最小值． 问题解决 (3)如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在，边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知，．请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计）     2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 几何最值模型 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感” 近三年：中考数学中几何最值考点主要有以下几类：①将军饮马模型（常见于选填压轴及解答题第2问，含两定一动、两次对称等变式，属于高频基础模型；②胡不归与阿氏圆问题（解答压轴常客），以带系数线段和的最值构造为核心，是区分度最高的几何最值类型；③隐圆问题（选填压轴为主），含定点定长、定弦定角、对角互补等辅助圆构造，侧重考查几何直观；④费马点问题（罕见考察），结合旋转构造求三角形内到三顶点距离和的最小值。考查频率稳定，难度以中档和压轴为主。 预测2026年：胡不归与阿氏圆将更多嵌入二次函数背景，形成代数推导与几何构造的双重考查；隐圆问题可能在新定义题型中出现；将军饮马趋向多动点复合变式；费马点结合旋转构造在解答题中出现的可能性增大。几何最值作为贯穿选填与解答的核心方法，建议重点突破。 考向01 几何最值问题 题型1 将军饮马问题 原型：在直线l的同侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。 变式：两定点到定直线上一动点距离和最小。 原理：轴对称、两点之间线段最短。 解法：作其中一个定点关于定直线的对称点，连接对称点与另一定点，连线与定直线的交点即为所求点P。 说明：广泛存在于各类最值问题中，是解决线段和最小值的基础模型。 1．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 2 【分析】由题意可知，若为等边三角形，则需满足，利用列方程求解即可； 观察图形可知，点A，D为定点，点P为动点，因此我们先探究点P的运动轨迹，通过取特殊点可以发现，点P在的垂直平分线上，那么求的最小值就可以转化为“将军饮马”问题，进而问题得解． 【详解】解：设，由题意可知，． 当为等边三角形时，则有，即． ； 如图1，分别过点F，点P作，，垂足分别为G，H，连接． ， ， ， ． 点为的中点， ， ． 在中，，, ． ，即． 连接，则． ． 当在同一条直线上时，最小，即为的长． 如图2，过点D作，交的延长线于M， 由题意可知，在中，，， ，． 在中，，， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称、等边三角形、相似、解斜三角形等知识．掌握研究动态问题的一般方法、熟悉常见最值问题的解题思路是解决问题的关键． 2．（2026·江西萍乡·一模）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点轨迹和最短路径问题，解题的关键是画出对应图形，找出G的轨迹在一个圆上，再由“将军饮马”模型求出最小值． 【详解】解：当E在上，F在上时，由这两点运动速度相同，故，由正方形性质知，， 由 ， ， ， ， 故由圆周角性质得G在以为直径，中点O为圆心的圆上，以为对称轴将点B翻转上去得到点，如图所示 则 ，故 三点共线时最短，若 三点不共线，则 中 ， 故当 三点共线时最短，此时 四点共线，由于圆的半径为1， ， 故由勾股定理得 ， 最小为 ， 此时实际上E在上，F在上，如图所示 此时，但不变 3．（2022·河南商丘·模拟预测）如图，以为直径的中，点为上一点，且，过点O作，垂足为，点为直线上一个动点，则，，构成的封闭图形周长最小值为________． 【答案】 【分析】要使得，，构成的封闭图形周长最小，弧的值不变，则最小即可，点关于的对称点为点，即当点与点重合时， ，，构成的封闭图形周长最小，求出半径和的长即可． 【详解】解：要使得，，构成的封闭图形周长最小，的值不变，则最小即可， 连接，， ， ， 是的垂直平分线， 点关于的对称点为点， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，最小， 即，，构成的封闭图形周长最小， ， ，， 的长为， ，，构成的封闭图形周长最小为：． 4．（21-22九年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，利用等腰三角形的三线合一的性质和角平分线的性质证明线段半径，根据切线的定义即可得出结论； （2）延长交于点，连接交于点，利用轴对称的性质中的将军饮马模型可得点为所求的点；连接，过点作于点H，利用等边三角形的判定定理可得为等边三角形，利用等腰三角形的性质与直角三角形的边角关系定理可求与的长，再利用勾股定理即可求得结论． 【详解】（1）证明：过点作与点，如图， ∵，， ∴平分． ∵，， ∴． ∵是圆的半径， ∴是圆的半径． 即：经过半径OD的外端，且垂直于半径， ∴是的切线； （2）解：在边上存在一点使有最小值． 延长交于点，连接交于点，连接，则此时最小． 连接，过点作于点，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴在中，． ∴在中，． ∵，， ∴． ∴． ∴在边上存在一点P使有最小值．的最小值为． 5．（25-26八年级下·广东汕头·月考）如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作，根据轴对称的性质可知，根据三角形三边关系可知，根据垂线段最短可知的最小值是垂线段的最小值，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，过点作， 则有， ， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， 垂线段最短， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 的最小值是． 题型2 阿氏圆问题 背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. 模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示： 易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有. 对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需 【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB ②计算出这两条线段的长度比 ③在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则， ④则，当A、P、C三点共线时可得最小值 6．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ________________． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形．过点M作于H，作于F，推出，进而有，由四边形是矩形得出，因此当与相切时，取得最大和最小，进而确定的最大值和最小值即可解答． 【详解】解：过点M作于H，作于F ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当与相切时，取得最大和最小， 如图，    连接，，， 可得：四边形是正方形， ， 在中，， ， 在中，， ， ∴． 如图，    由上知：，， ， ， ， ∴． 故答案为：． 7．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可； （2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可； （3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，要使最小，即最小． 当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长． 在中，，，． 的最小值为． （2）如图，连接，在上取点D，使，连接，，． ， ． ． ． ． 当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长， 在中，． 的最小值为． （3）如图，延长到点E，使，连接，． ． ，， ． ， ． ． ． ． 当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长． 在中，． 的最值为13． 8．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·月考）如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的性质作线段的等量转移是解题关键．作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，、与交于点、，则，，，当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，过点作于点，求出，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点， ，，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、， 则，，， ， 当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为，即， 故答案为：． 10．（2020·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 __． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 题型3 胡不归问题 【模型总结】 在求形如“PB+kPA”的式子的最值问题中，关键是构造与kPA相等的线段，将“PB+kPA”型问题转化为“PB+PC”型． 而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段． 【问题】 如图，点P为射线l上的一动点，A、B为定点，求PB+kPA的最小值. 【问题解决】 构造射线AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP． l 将问题转化为求PB+PC最小值，过B点作BC⊥AD交l于点P，交AD于C点，此时PB+PC取到最小值，即PB+kPA最小． 11．（21-22八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________． 【答案】6 【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴点A（3，0），点， ∴AO＝3，， ∴， 作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵CH⊥AB， ∴， ∴， ∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值， 此时，，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴2BC＋AC的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键． 12．（21-22八年级下·湖北·期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于，       四边形是平行四边形， ， ∴ ∵PH丄AD ∴ ∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，， ∴ ， 则最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 13．（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新拋物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标． 【答案】(1) (2)点F的坐标为；的最小值为 (3)点K的横坐标是或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴分别交x轴、于点、，对称轴交x轴于点，设，易求直线的解析式，从而得的坐标，利用“”得，进而可得，则，根据二次函数的性质值，即可求出点F的坐标；根据题意可知是“胡不归模型”，则构造，，且，当点、、在同一条直线上时，的值最小，利用勾股定理，计算，的值，即可求出最小值； （3）利用待定系数法求新抛物线和直线的解析式，得，根据题意可得，直线与直线的交点在射线上或在射线上两种情况，利用等腰三角形的性质和两点间的距离公式，求出交点、的坐标，从而求出直线的解析式，进而列方程，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点C， 当时，，则， ， ，， ，， ，， 抛物线与x轴交于A、B两点， ，解得， ； （2）如图，过点作轴分别交x轴、于点、，对称轴交x轴于点， ， 顶点，则，， 在中，， 设，则，，， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ，则，， 轴，轴， 轴， ， 又， ， ，轴， ， ， ，即， 则， ， ， 当时，取得最大值， 当时，， 当取得最大值时，点F的坐标为， 如图，作，过点作，使得， 在中，， ， ，即当点、、在同一条直线上时，的值最小， ， ，轴， ，则， 在中，，即， 则，即， 解得， ， ， ，， ， ， 则的最小值为； （3）点K的横坐标是或； 由平移可知，平移后解析式的二次项系数不变， 新抛物线的顶点， 新抛物线的解析式为：，即， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 当时，， ， ， 由图可得，直线与直线的交点在射线上或在射线上， 情况一：如图，当交点在射线上时，连接， 直线与直线所夹锐角为的两倍， 则， ， ，即是等腰三角形， ， 设， ，， ，， ， ， 左右平方，得， 解得，则， ， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 点的横坐标是4， 点K的横坐标是； 情况二：如图，当交点在射线上时，连接， 直线与直线所夹锐角为的两倍， 则， ， ，即是等腰三角形， ， 设， ，， ，， ，左右平方，得， 解得（舍去）或， 当，， ， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 点的横坐标是4， 点K的横坐标是， 综上：点K的横坐标是或． 【点睛】本题是二次函数综合，熟练掌握待定系数法，二次函数的图象与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，解一元二次方程等知识是解题的关键，难点“胡不归模型”和两点间的距离公式． 14．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线与x轴交于点D，点E为点C关于x轴的对称点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方且在对称轴左侧的抛物线上的一动点，过点P作平行于y轴，交于点Q，过点Q作，交抛物线对称轴于点F．点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及取得最小值时点N的坐标； (3)将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3，点G是线段上的动点，线段关于的对称线段为，线段所在直线交新抛物线于点K．若直线与直线所成夹角等于，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）先由抛物线对称轴为直线求得b的值，再根据抛物线与x轴交于点，求出c的值，从而得到抛物线的表达式； （2）求直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点L，过点Q作于点K，过点N作于点R，在中，运用勾股定理求出的长度，再证，则，即， ，设，，， ，求出当时，取得最大值，证，，从而得出 ，当且P，M，N，R四点共线时，有最小值，作且P，M，N，R四点共线，作轴于点S，证，从而求出，，最后求出N点坐标； （3）先求出平移后的抛物线解析式，证明，分两种情况进行讨论，求出对应K点横坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线， ∵抛物线与x轴交于， ∴将代入中，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴令，得，即， ∵，， ∴直线的解析式为， 如图1，设直线与抛物线对称轴交于点L，过点Q作于点K，过点N作于点R， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵直线与抛物线对称轴交于点L， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵抛物线的对称轴是直线，直线的解析式为， ∴设，，， ∴，， ∴， ∵，开口向下， 又∵， ∴时，取最大值，此时． ∵点E为点C关于x轴的对称点，， ∴， ∵抛物线与x轴交于，B两点，抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴，， 在中， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当且P，M，N，R四点共线时， ， 此时的最小值为的长． 如图2，作且P，M，N，R四点共线，作轴于点S， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ，， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ （3）解：设抛物线沿射线向右移动了m个单位长度，则抛物线向上平移了个单位长度， 设平移后的抛物线为， 设平移后的抛物线与x轴的交点横坐标分别为，， 令，整理得， ∵平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3， ∴， 解得， ∴平移后的抛物线， 设， ∵点E为点C关于x轴的对称点， ∴， ①如图3，当点在直线上，且时，设此时直线交x轴于点J，交直线于点M，则直线与直线所成夹角为，此时，点K的横坐标为，理由如下： 在x轴上截取，连接， ∵，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵线段关于的对称线段为， ∴， ∵， ∴， ∵在中， ， 在中， ， ∴， ∵，， ∴， 即此时直线与直线所成夹角为，且， ∴点K的横坐标为； ②如图4，当点在y轴上，且时，设此时直线交直线于点U，则直线与直线所成夹角为，此时，点K的横坐标为，理由如下： ∵线段关于的对称线段为， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵，， ∴， 此时，， 直线解析式为：， ∴联立， 解得或， ∴； 综上或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，包括待定系数法求解析式，函数平移，线段最值问题，角度存在性问题等，题目难度大． 15．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图1，抛物线与x轴交于A、和B两点，与y轴交于点C，点M在第一象限内的抛物线上，连接，与线段交于点N． (1)点A坐标为 、点B坐标为 ； (2)当时，判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． (4)如图2，P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值为 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)3 【分析】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形判定与性质，利用三角函数解直角三角形，胡不归求线段最短问题，综合性强，难度较大﹒ （1）把代入二次函数得，解得，即可得到点A坐标为、点B坐标为； （2）求出点C坐标为﹒作轴，垂足为H﹒设点M坐标为，则，，在中，根据，得到，解得，舍去，即可得到点M坐标为，结合点C坐标为，即可得到； （3）设交于点G，作，交直线于点K﹒求出直线解析式为，进而求出点K坐标为，得到﹒设点M坐标为，得到点G坐标为，﹒根据设与有公共高，得到﹒证明，得到，即可得到﹒从而得到当时，有最大值，最大值为； （4）求出，得到﹒作，垂足为E﹒根据在中，，得到，从而得到当点D、P、E在同一直线上时，，此时值最小，最小值为﹒证明，得到，即可得到最小值为3﹒ 【详解】（1）解：把代入得 ， 解得， ∴点A坐标为、点B坐标为﹒ 故答案为：，； （2）解：把代入得， ∴点C坐标为﹒ 如图，作轴，垂足为H﹒ 设点M坐标为， 则，， ∵在中，， ∴， 解得， 经检验，都是分式方程的解，其中不合题意，舍去， ∴点M坐标为， ∵点C坐标为， ∴； （3）解：如图2，设交于点G，作，交直线于点K﹒ 设直线解析式为， ∵点B坐标为，点C坐标为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵点A坐标为， ∴当时，， ∴点K坐标为， ∴， 设点M坐标为， ∴点G坐标为， ∴﹒ ∵设与有公共高， ∴﹒ ∵，轴， ， ∴， ∴， ∴ ∴﹒ ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）解：∵点B坐标为，点C坐标为， ∴， ∴， ∴﹒ 如图，作，垂足为E﹒ ∴在中，， ∴， ∴当点D、P、E在同一直线上时，，此时值最小，最小值为﹒ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值为3﹒ 故答案为：3 题型4 隐圆 问题描述：题目条件中没有直接给出圆，但通过分析动点的特性（如定点定长、定弦定角、对角互补等），可以发现该动点在某个圆上运动。 应用：将动点问题转化为圆上的点的问题，再利用圆的性质求解最值。 原理：若或，则、、、四点共圆。 若（同底同侧的顶角相等），则、、、四点共圆。 若线段、交于，且，则、、、四点共圆（相交弦定理逆定理）。 应用：证明四点共圆后，可立即得到等角（同弧所对圆周角相等）、互补角等结论，极大地简化证明过程。 模型① 若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补 则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧 模型② 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧 16．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 作 ，交于点，以为直径画，证明，推出点在以为直径的运动，并求出半径，再连接，推出点运动的路径长为，然后根据三角形函数和圆周角定理解出，最后运用弧长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴， 作 ，交于点，以为直径画， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点在以为直径的运动， ∵点从点运动到点， ∴连接，点运动的路径长为， ∵，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴的弧长为． ∴点的运动路径总长为：． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，和分别是轴正半轴和线段上的动点，满足，连接，则的最大值是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形和函数综合，取点的坐标为，即，通过乘积式相等证明，进而可得、、、在以为直径的圆上，从而得出，设，再利用相似三角形的性质勾股定理列方程表示出，，从而可得，利用平方和完全平方公式变形求出分母最小值，得出分式最大值（分子一定，正数范围内）．解题关键是构造得出，再利用分式变形求出最大值． 【详解】解：取点的坐标为，即，连接，， ∵，即， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴、、、在以为直径的圆上， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴ 整理变形得：， ∵， ∴， ∴当最小时，即最大，即最大值， ∴， 故答案为． 18．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是_______． 【答案】 【分析】先证明≌得到，进而证得，利用圆周角定理得到点M在以AD为直径的圆上运动，如图，设圆心为N，连接相交于O，连接，利用正方形的性质和圆周角定理得到点O在圆N上，根据图形结合已知得到在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，由线段扫过的面积求解即可． 【详解】解：正方形边长为2， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 点M在以为直径的圆弧上运动， 如图，连接相交于O，设圆心为N，连接，则，，， ， 点O在圆N上， ，， ，， 当点E在点A处时，点F在点B处，这时点M在点A处，当点E在点B处时，点F在点C处，这时点M在点O处， 在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动， 线段FM扫过的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，轨迹，正确地添加所需要的辅助线，得到点M的运动轨迹是解题的关键． 20．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查“等腰三角形的性质”“三角形内心的定义”“定弦定角构造隐圆”，通过角度代换，发现点P的运动轨迹是圆是解题关键． 根据点P是的内心，即三条角平分线交点，通过角度计算可以推出的度数，利用等腰三角形的性质，得到的度数，即可通过定弦定角确定点P的运动轨迹，根据点圆最值的求解方法即可得到答案． 【详解】解：， ． ． 点P是的内心，即，分别平分和， ，． ． ，，， ≌． ． 如图，作出的外接圆，设圆心为Q，圆的半径为r，则的最小值即为． ， 设所对的圆心角优角为，则， ． ， ． ， ． ∵四边形是正方形， ． 过点Q作，则， ． ∴是等腰直角三角形． ． ． ． ． 的最小值为． 故答案为：． 题型5 费马点问题 原型：在△ABC内找一点P，使PA+PB+PC最小。 应用：求到三角形三个顶点距离和最小的点。 原理：旋转构造全等三角形，利用两点之间线段最短。 解法：若△ABC各内角均小于120°，则P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点。 若△ABC有一个内角≥120°，则该顶点即为费马点。 通用解法：如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ ，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值. 21．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，可证是等边三角形，得到，当点四点共线且时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，将绕点顺时针旋转得到，得到是解题的关键． 22．（21-22九年级上·四川成都·月考）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______． 【答案】 【分析】将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，将转化为，此时当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E； ∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD， ∴△PCF、△ACD是等边三角形， ∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC= ∴， ∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长； ∵，∠CAD=， ∴∠EAD=， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，将三条线段的长转化到一条直线上． 23．（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________． 【答案】 【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方程求出x可得结论． 【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN， ∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°， ∴△BQN是等边三角形， ∴BQ=QN， ∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN， ∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小， 此时，如图2，连接MC ∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM， ∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM， ∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形， ∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM， ∵BM=CM，AB=AC， ∴AM垂直平分BC， ∵AD⊥BC，∠BQD=60°， ∴BD=QD， ∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC， ∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2， ∴x=， ∴x=3+， ∴PD=3+． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题． 24．（2021九年级·全国·专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______． 【答案】 【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，则MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝DG＋GE的值； 【详解】 解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′， 由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形， ∴AM＝MM′， ∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME， ∴D′M、MM′、ME共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝ ∴MA＋MD＋ME的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 25．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题． 【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示， 则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′， ∴△APP′是等边三角形， ∴AP=PP′， ∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC， ∵PP′+P′B′+PC≥CB′， ∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值， 即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值， ∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2， ∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=， ∴CB′=， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想． （建议用时：120分钟） 1．如图，已知在中，．点D和点分别为线段上的动点且，点为线段上的动点，点为线段的中点．连接，当点在线段上运动，点D和点在线段上运动时，的最小值为（    ） A．2.6 B．3.6 C．4.6 D．5.6 【答案】D 【分析】由条件可知，，因此只要求出的最小值即可．我们把点G向左平移的长度到，则．如果假设F是定点，此时的最小值就转化为的最小值，也就是我们熟悉的“将军饮马”问题：作关于的对称点，当F，D，在同一条直线时，最小，即的长度．由于点F是边上的动点，那么问题就进一步转化为求点到直线的最短距离，利用垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图1，把点G向左平移的长度到，连接，， 四边形是平行四边形． ，． 作点关于的对称点，连接， ， ． 根据两点之间线段最短，如图2，当F，D，在同一条直线时，最小，即 的长度． 由于点F在边上运动，如图3，过点作，此时取得最小值． 过点G作，连接，，，其中交于点M， ，关于直线对称， ，， ． 又， 四边形是矩形． ，． ，G为的中点， ． 又， ， ． 过点C作于点H， 由条件易知，在中，，， ． ， 和重合，即． ，，，在同一条直线上， 且． ， ． ． 又， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、直角三角形、轴对称等知识．解题的关键是能够运用转化思想，把复杂的问题转化为熟悉的题型或常见模型来进一步解决． 2．（2026·安徽池州·一模）如图，在中，，点是上一定点，点从点出发，沿边运动到点．连接，，设点运动的路程为，．其中关于的函数图象如图所示，则图中函数图象最低点的纵坐标的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图2的函数图像可求、、、，作，，连接，交于点，，可由求，根据勾股定理求出，即可判断点与点重合，从而可求． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∵中，， ∴． ∵当，即点运动到点，， ∴． 如图，作，，连接，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时最小． ∵， ∴， ∴． ∴点与点重合， ∴． 3．（2026·安徽六安·一模）在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； (2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 【答案】(1)①；②的长为； (2)． 【分析】（1）①过点作，交于点，交于点，结合矩形的性质推导出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质推导出，再运用相似的性质即可求解； ②连接，，根据折叠求出，，根据矩形性质求出，，，再根据勾股定理求出的值，最后设，根据，列出方程求解即可； （2）由（定值），将的运动转化为“圆上的动点”问题，根据当点在一条直线上时，最小求解，根据当点与点重合时，最大求解． 【详解】（1）①如图，过点作，交于点，交于点． ∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ②如图，连接，． ∵点关于直线对称， ∴，． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． ∴． ∴． 设，则． 由，得． 解得． ∴的长为． （2）当点在上移动时，点在以点为圆心，的长为半径的圆弧上． 如图，当点在一条直线上时，最小． ∴． 如图，当点与点重合时，最大． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴的长度范围是． 4．【问题探究】 (1)如图1，在梯形中，，连接，则 ；（填“”“=”或“<”） (2)如图2，已知的半径为2，点是上一动点，点是外一定点，连接，取的中点，当点在上运动一圈时，求点运动的路径长； 小明同学进行了探究，他连接，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成求解过程． 【问题解决】 (3)某农业观光园的平面规划示意图如图3所示，在四边形中，，，，，点在边上，且，计划在四边形内修建一口水井，并沿修建三条笔直的灌溉水渠，且满足，在的中点处规划一座有机蔬菜餐厅，观光园的入口设置在边上，出口设置在边上，并沿规划观光小路，在区域种植某种有机蔬菜，为了合理购买蔬菜幼苗的数量，需要知道当取得最小值时，的面积，请你帮助规划人员计算出当取得最小值时，的面积．（水井、餐厅、出入口的大小以及水渠和小路的宽度均忽略不计） 【答案】(1)= (2) (3) 【分析】（1）根据平行线间的距离相等和等底等高三角形面积相等即可得出结论； （2）连接，利用三角形的中位线定理解答即可； （3）连接，取的中点O，连接，由（2）可得点在以B为圆心，为半径的圆上（四边形内）；再将军饮马模型，先作对称然后连线可得当、、、四点在同一直线上时，取最小值，根据勾股定理求出，进而可得，解三角形求出面积即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵，， ∴. （2）连接，如图，    ∵B是的中点，C是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点B的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆； ∴点运动的路径长为 （3）解：连接，取的中点O，连接，如解图3-1，    ∵，， ∴，，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上（四边形内）； 延长到，使，则连接，，如解图3-2； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴当、、、四点在同一直线上时，最小， ∴当、、、四点在同一直线上时，取最小值， 过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．此时最小值为， 5．在中，． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至点G，使得，连接，过点C作交延长线于E，若，请证明：； (3)如图3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)的最小值为 【分析】本题综合性较强，主要考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质以及几何最值问题． （1）过点B作交延长线于点E．先求出，再求出的长，最后运用三角形面积计算公式，求得的面积即可； （2）延长至H，使得，连接．先证，，再通过推导角的数量关系，证得，，从而得到， 导角得，即有，故可证 ； （3）取中点G，连接、、．先证明，再证，从而证得，得到，即当最小时，取得最小值．考虑到，得出E在以点B为圆心，1为半径的圆上运动，当B、G、E三点共线，且G在之间时，取得最小值．通过求的最小值，最终求得的最小值． 【详解】（1）解：如图，过点B作交延长线于点E． ∴在中， ， ∴． ∵， ∴， ∴的面积为2； （2）证明：延长至H，使得，连接． ∵在中， ，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即； （3）解：的最小值为，理由如下： 取中点G，连接、、． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，G为中点， ∴，， ∵，， ∴． ∵绕E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，取得最小值． ∵， ∴E在以点B为圆心，1为半径的圆上运动， 当B、G、E三点共线，且G在之间时，取得最小值． ∵， ∴， ∴． 6．解答下列各题： (1)问题背景：如图1，在中，，求证：； (2)学以致用：如图2，在中，于点，，求证：； (3)拓展提高：如图3，在中，为中点，连接，点为射线上一动点，且，直接写出的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题综合性较强，尤其是第三问较难，前两问主要考查相似的判定，第三问考查轨迹与最值，以及相似的性质与判定综合，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据两组对应角相等，得到，从而； （2）根据所给数据，围绕公共点B，得出，从而证明出，结合垂直条件推导出的，结合的性质，得出，从而得到，再结合“对顶角相等”的性质，得出，从而； （3）分别以和为对应边，构造，取、、的中点P、F、G，结合与为直角三角形的条件，得出，从而得出，且为定值，由此确定点N轨迹，再考虑点N与点E的关系，证出，结合，，得到，故确定点E轨迹为将点N轨迹绕点B顺时针旋转并放大两倍后的轨迹，最后结合三角形三边关系确定最小值的位置，利用勾股定理计算即可求出最小值为． 【详解】（1）证明：，， ， ， ． （2）证明：，， ，， ， ，，， ，，， ， ， ， ， ， 如图，设与交于点G， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，过点D作于点M，过点A在上方作且满足，分别取、、的中点P、F、G，连接、、、、、、，在下方取点Q，使得，且，连接、、、，过点Q作于点S， ，， ， ，， 点P、F、G分别为、、中点， ，，，， 与为直角三角形， ，， ，，，， ，， ，， ，，， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， 在中，， 解得， ， ， ， ，且， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 在中，， 解得， 在中，， ， 当且仅当点Q、C、E三点共线时，取得最小值为． 7．解决下列问题： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，是边的中点，连接．是的中点，是上的一动点，则的最小值为_____． 【问题探究】 (2)如图2，四边形是平行四边形，，，．，是边上的动点，且，则的最小值为多少？ 【问题解决】 (3)如图3，为加强劳动实践课程的教学效果，某学校准备在一块四边形空地上，规划两条活动课专用小路和，两条小路交于点，校园规划管理办公室计划在和两条路上分别选取点，，在，，处铺设三条水管，方便后期用水浇灌种植的农作物，并使得的长度最小．已知，，，，．按照计划，每铺设一米水管的费用为600元，学校的预算费用是46000元．请你帮助学校计算一下，学校准备的费用够吗？（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)学校准备的费用够用 【分析】（1）连接，，证是等边三角形，由三线合一得是的垂直平分线，，，当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度，再根据勾股定理求解即可； （2）过点作于，向右平移个单位得到，作关于的对称点，连接，当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度，构建利用勾股定理求解即可； （3）作点O关于直线对称点，点O关于直线对称点，连接，过作的延长线于点H，当点E，F，，四点共线时，使得的长度最小，即的长度，构建，利用直角三角形的相关计算和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵是边的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度， ∵是的中点， ∴，，， ∴， ∴的最小值为； （2）解：过点作于，向右平移个单位得到，作关于的对称点，连接、， ∴， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：作点O关于直线对称点，点O关于直线对称点，连接，过作的延长线于点H，连接，， ∴，，， ∴， ∴当点E，F，，四点共线时，使得的长度最小，即的长度， ∵，． ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴学校准备的费用够用． 8．问题探究 (1)如图①，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为___________． (2)如图②，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段的最小值． 问题解决 (3)如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在，边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知，．请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3)存在最小值，为 【分析】（1）根据三角形中位线定理，可得，，从而可得，进而可求，计算即可求出； （2）根据，，易得，则可得动点的运动轨迹是圆弧，以的中点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接，交圆弧于一点，即为点，此时线段的值最小，再根据勾股定理，计算即可求解； （3）延长、相交于点，连接，点是的中点，作，以点为圆心，为直径作圆弧，连接，交圆弧于点，此时的值最小，利用相似三角形的判定和性质，易求，再根据勾股定理，得，则，利用垂径定理，得，最后根据勾股定理，求得，，计算即可． 【详解】（1）解：是的中位线，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ，即， ， ， ， 则动点是在以的中点为圆心，的长为直径的圆上，且在内部的圆弧上， 如图②，以的中点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接，交圆弧于一点，即为点，此时线段的值最小，    ， ， 在，，， ， 则线段的最小值为； （3）存在最小值， 如图③，延长、相交于点，连接，点是的中点，作， 矩形， ，， ， ， ， ，即， ，即， 动点的运动轨迹是以点为圆心，为直径的圆弧上， 以点为圆心，为直径作圆弧，连接，交圆弧于一点，即为点，此时的值最小， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ， 在c， ， ， 则存在最小值，最小值为． 【点睛】审清题意，本题的难点是动点的运动轨迹． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $