精品解析：河南省郑州市郑州经济技术开发区外国语学校2025-2026学年第二学期期中学情调研 七年级数学试题卷

2025—2026学年第二学期期中学情调研 七年级数学试题卷 时间：100分钟 分值：120分 一、单选题 1. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 4. 如图，在一个平分角的仪器中，，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是这个角的平分线．其原理是通过判定，得到，其中判定这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，两点在直线上，，两点在直线上，，，，点到直线的距离是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 7. 如图，这是小宣在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后得到光线，若，反射角（等于入射角）的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 有下列说法： ①两条直线相交成四个角，如果两个角相等，那么这两条直线垂直； ②两条直线相交成四个角，如果三个角相等，那么这两条直线垂直； ③在同一平面内，过直线上一点可以作无数条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条的垂线段，叫做点到直线的距离． 其中正确的说法有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. 如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（ ） A. B. 5或10 C. 10 D. 或10 二、填空题 11. 已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是_____． 12. 如图，是的角平分线，，若，则___________． 13. 如图，在中，，，分别在，上，将沿折叠后得到，且满足．若，则的度数为________． 14. 若，则______． 15. 如图，，，平分，，有下列结论：①；②；③；④其中正确的结论是____（填写序号） 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，已知，为，之间一点，连接，．尺规作图：过点作直线．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 将下列证明过程补充完整： 已知：如图，点分别在上，分别交于点，． 求证：． 证明：因为（已知） 又因为（____________）， 所以___________（等量代换）． 所以（ ） 所以（____________）． 又因为（已知）， 所以（____________）． 所以__________（ ）． 所以（ ）． 20. 如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）． （1）小明如果踩在图中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ． （2）若小明在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是 ． （3）为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上？并说明理由． 21. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 22. 现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 （1）填空：______； （2）若的代数式中不含的一次项时，求的值； （3）求的值，其中． 23. 探索下面不同的情境，回答问题： （1）【探索发现】已知：如图1，，点在，之间，连接，．易证：．下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； （2）【深入思考】如图4，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点P，连接、，若，求证：； （3）【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点H，若，，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期中学情调研 七年级数学试题卷 时间：100分钟 分值：120分 一、单选题 1. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一个小于1的正数用科学记数法表示，n为负数，其绝对值等于原数中第一个非零数字是小数点后第几位,确定a值，写成的形式即可． 【详解】解：． 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 3. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 4. 如图，在一个平分角的仪器中，，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是这个角的平分线．其原理是通过判定，得到，其中判定这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质．直接根据判定即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故选：D． 5. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字有个，数字有2个，则数字只有个，结合选项，即可求解． 【详解】解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴数字有个，数字有2个，则数字只有个 选项A中数字有2个，符合题意 故选：A． 6. 如图，，两点在直线上，，两点在直线上，，，，点到直线的距离是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，从图中找出点到直线的垂线段，这个垂线段的长度就是点到直线的距离． 【详解】解：∵， ∴线段是点到直线的垂线段， 线段的长度是点到直线的距离, 故选：A． 7. 如图，这是小宣在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后得到光线，若，反射角（等于入射角）的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据光的反射得出相等的角，然后根据垂直和平行线的性质求解． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 有下列说法： ①两条直线相交成四个角，如果两个角相等，那么这两条直线垂直； ②两条直线相交成四个角，如果三个角相等，那么这两条直线垂直； ③在同一平面内，过直线上一点可以作无数条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条的垂线段，叫做点到直线的距离． 其中正确的说法有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【详解】解：①两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角相等且均不为90°，那么这两条直线不垂直，故①错误； ②两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角．如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直．故②正确； ③在同一平面内，过直线上一点只有一条直线与已知直线垂直．故③错误； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．故④错误； 综上所述，正确的说法是1个． 故选B． 9. 如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式． 【详解】解：图①中，图②中， ∴． 10. 如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（ ） A. B. 5或10 C. 10 D. 或10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意，分类讨论：当时，，；当时，，；由全等三角形性质计算的值是否符合题意，即可求解． 【详解】解：点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后， ∴米，米， ∴（米）， 当时，，， ∴， 解得，， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 解得，， 此时，符合题意； 综上所述，与全等，的值为， 故选：A ． 二、填空题 11. 已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查补角和余角的概念，通过建立方程求解角度．设这个角为度，则补角为，余角为，再根据补角等于余角的3倍列方程求解． 【详解】解：设这个角为度，则补角为，余角为， 根据题意得： 解得， 即这个角的度数是． 故答案为：． 12. 如图，是的角平分线，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义得出，再根据全等三角形的性质得出． 【详解】解：是的角平分线，即平分， ， ， ． 13. 如图，在中，，，分别在，上，将沿折叠后得到，且满足．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质得，，根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，即可得出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，运用幂的运算公式化为同底数，即可得到关于m的方程，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：4． 15. 如图，，，平分，，有下列结论：①；②；③；④其中正确的结论是____（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．根据平行线的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴（1）， ∵， ∴（2）， ∴（1）（2）得，，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴（3）， ∵（1）， （3）（1）得，，故④正确； 综上，正确的结论有：①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式解答即可； （2）根据立方、平方、零指数幂、积的乘方的逆用计算即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，2 【解析】 【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式法则以及整式除法法则先展开化简原式，再代入给定数值计算即可； 【详解】 解： ， 当，时，原式． 18. 如图，已知，为，之间一点，连接，．尺规作图：过点作直线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，直线即为所作． 【解析】 【分析】根据过直线外一点作该直线的平行线的方法作图即可； 【详解】略 19. 将下列证明过程补充完整： 已知：如图，点分别在上，分别交于点，． 求证：． 证明：因为（已知） 又因为（____________）， 所以___________（等量代换）． 所以（ ） 所以（____________）． 又因为（已知）， 所以（____________）． 所以__________（ ）． 所以（ ）． 【答案】（对顶角相等）；（）；（同位角相等，两直线平行）；（两直线平行，同位角相等）；（内错角相等，两直线平行）；（）；（两直线平行，内错角相等）；（等量代换）． 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法及其性质是解题的关键． 根据得到，则，所以有，根据平行线的性质即可求解． 【详解】证明：∵（已知）， 又∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 20. 如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）． （1）小明如果踩在图中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ． （2）若小明在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是 ． （3）为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）小明的第二步应踩在A区域外的小方格上 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可； （3）分别计算出小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域内的小方格上踩中地雷的概率和小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域外的小方格上踩中地雷的概率，再比较即可； 【小问1详解】 解：根据题意，总共有个小方格，其中藏着10颗地雷， 故踩中地雷的概率， 故答案为：． 【小问2详解】 解：在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，其中藏着2颗地雷， 故踩中地雷的概率， 故答案为：． 【小问3详解】 解：小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域内的小方格上踩中地雷的概率， 小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域外的小方格上踩中地雷的概率， ∵， 故为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域外的小方格上． 21. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 【答案】 （1）证明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）证明：由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF， 在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AF. 【解析】 【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE； （2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE=EF，AD=CF，由于AB=BC+AD，等量代换得到AB=BC+CF，即AB=BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质． 22. 现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 （1）填空：______； （2）若的代数式中不含的一次项时，求的值； （3）求的值，其中． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含的一次项，令含的一次项的系数为 0 进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 解： ， ∵代数式中不含的一次项， ， ． 【小问3详解】 解：， ， ， 原式． 23. 探索下面不同的情境，回答问题： （1）【探索发现】已知：如图1，，点在，之间，连接，．易证：．下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； （2）【深入思考】如图4，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点P，连接、，若，求证：； （3）【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点H，若，，，求的度数． 【答案】（1）解：小刚的证明如下：如图2，过点P作， ∵， ∴， ∴ ∴ 即； （2）证明：∵∴ 又∵ ∴ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）小刚的证明：过点P作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点M，可得，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明即可求证； （3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解； 【小问1详解】 小红的证明如下： 如图3，延长交于点M， ∵， ， ， ∴， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵平分，， ， 设，则，， ， ∴， 解得， ； 设， ∵平分， ， ∵， ， ∵在(2)的条件下， 同理可得，，即， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，三角形内角和定理和三角形外交的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $