集合与常用逻辑用语复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 集合与常用逻辑用语复习讲义 考点目录 集合的运算 子集与真子集问题 集合含参问题 充分条件与必要条件 全称量词与存在量词 知识点解析 考点一 集合的运算 解题原理 1. 交集 ：两个集合公共元素构成的集合； 1. 并集 ：两个集合全部元素（去重）构成的集合； 1. 补集 ：全集内不属于 的所有元素； 1. 核心性质：满足交换律、结合律、德摩根定律，可借助数轴、Venn 图直观运算。 解题思路 1. 化简集合：解不等式、解方程，把集合化为最简形式； 1. 选择工具： · 离散数集：直接列举观察； · 连续数集：数轴标范围； · 抽象集合：用 Venn 图； 1. 按定义运算：找公共部分、合并范围、取剩余部分； 1. 注意边界：含等号/不含等号，端点取舍，空集特殊情况。 考点二 子集与真子集问题 解题原理 1. 子集：若 中任意元素都在 中，则 ，包含相等情况； 1. 真子集： 且 ； 1. 结论：若集合有 个元素： 类型 个数公式 子集个数 真子集个数 非空子集 非空真子集 解题思路 1. 明确集合元素个数，直接套公式求子集数量； 1. 判定包含关系：元素逐一比对、或区间包含判断； 1. 勿忘特殊集合：空集是任何集合的子集； 1. 涉及含参包含：转化为区间包含、元素恒成立问题。 考点三 集合含参问题 解题原理 1. 等价：集合 所有元素都满足集合 限制条件； 1. 集合交集为空、并集为全集等条件，转化为不等式恒成立、区间无交集； 1. 核心易错：含参集合优先讨论空集情况。 解题思路 1. 分类讨论：先讨论集合为空集，再讨论非空； 1. 区间含参：借助数轴，列出左右边界大小关系； 1. 列不等式组：根据包含、相交、相离列约束； 1. 求解参数范围，检验端点能否取等； 1. 合并所有情况，写出最终参数解集。 考点四 充分条件与必要条件 解题原理 设命题 ： 1. ： 是 充分条件， 是 必要条件； 1. ：充要条件； 1. 集合视角（核心）： · 对应集合 ， 对应集合 · 是 充分条件； · 是 必要条件。 解题思路 1. 分别化简两个命题对应的不等式/范围； 1. 转化为集合包含关系； 1. 小范围推大范围：小充分、大必要； 1. 判断推出方向，确定充分、必要、充要、既不充分也不必要； 1. 含参题型：由推出关系列集合包含，求参数范围。 考点五 全称量词与存在量词 解题原理 1. 全称命题：，全部成立； 1. 存在命题：，至少一个成立； 1. 否定规则：全称改存在，存在改全称；结论全盘否定； 1. 恒成立/能成立：全称→恒成立；存在→能成立。 解题思路 1. 写否定：量词互换，条件不变，结论否定； 1. 恒成立问题： 1. 能成立问题： 1. 结合函数单调性、最值、二次函数判别式求解参数。 真题速递 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 2．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点一 集合的运算 【例题分析】 例1．（2026·广东·模拟预测）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 例2．（2026·河南南阳·二模）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·河北保定·一模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（2026·江西南昌·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·安徽阜阳·二模）已知集合，，则（   ） A． B．或 C． D． 考点二 子集与真子集问题 【例题分析】 例1．（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 例2．（2026·江苏镇江·二模）集合的子集个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．无数个 例3．（25-26高三下·湖南邵阳·月考）若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 【变式训练】 变式1．（2026·安徽·三模）已知集合，集合，则的真子集个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式2．（2026·安徽淮南·二模）已知集合，⫋，则符合条件的集合的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式3．（2026·湖南怀化·一模）全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 考点三 集合含参问题 【例题分析】 例1．（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 变式3．（2026·湖北十堰·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四 充分条件与必要条件 【例题分析】 例1．（2026·青海西宁·二模）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（   ） A．存在一条直线 B．存在一条直线 C．存在两条平行直线 D．存在两条异面直线 例2．（2026·吉林白山·模拟预测）设p：，q：，则p是q的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．（2026·广东深圳·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练】 变式1．（2026·河南周口·模拟预测）已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2．（2026·辽宁辽阳·二模）已知，把的图象向右平移个单位得到的图象，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3．（2026·北京石景山·一模）数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点五 全称量词与存在量词 【例题分析】 例1．（2026·山西吕梁·三模）若命题：，，则为________. 例2．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 【变式训练】 变式1．（2026·江西上饶·二模）若，且“，”为假命题，则_________． 变式2．（2026·福建·一模）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 集合与常用逻辑用语复习讲义 考点目录 集合的运算 子集与真子集问题 集合含参问题 充分条件与必要条件 全称量词与存在量词 知识点解析 考点一 集合的运算 解题原理 1. 交集 ：两个集合公共元素构成的集合； 1. 并集 ：两个集合全部元素（去重）构成的集合； 1. 补集 ：全集内不属于 的所有元素； 1. 核心性质：满足交换律、结合律、德摩根定律，可借助数轴、Venn 图直观运算。 解题思路 1. 化简集合：解不等式、解方程，把集合化为最简形式； 1. 选择工具： · 离散数集：直接列举观察； · 连续数集：数轴标范围； · 抽象集合：用 Venn 图； 1. 按定义运算：找公共部分、合并范围、取剩余部分； 1. 注意边界：含等号/不含等号，端点取舍，空集特殊情况。 考点二 子集与真子集问题 解题原理 1. 子集：若 中任意元素都在 中，则 ，包含相等情况； 1. 真子集： 且 ； 1. 结论：若集合有 个元素： 类型 个数公式 子集个数 真子集个数 非空子集 非空真子集 解题思路 1. 明确集合元素个数，直接套公式求子集数量； 1. 判定包含关系：元素逐一比对、或区间包含判断； 1. 勿忘特殊集合：空集是任何集合的子集； 1. 涉及含参包含：转化为区间包含、元素恒成立问题。 考点三 集合含参问题 解题原理 1. 等价：集合 所有元素都满足集合 限制条件； 1. 集合交集为空、并集为全集等条件，转化为不等式恒成立、区间无交集； 1. 核心易错：含参集合优先讨论空集情况。 解题思路 1. 分类讨论：先讨论集合为空集，再讨论非空； 1. 区间含参：借助数轴，列出左右边界大小关系； 1. 列不等式组：根据包含、相交、相离列约束； 1. 求解参数范围，检验端点能否取等； 1. 合并所有情况，写出最终参数解集。 考点四 充分条件与必要条件 解题原理 设命题 ： 1. ： 是 充分条件， 是 必要条件； 1. ：充要条件； 1. 集合视角（核心）： · 对应集合 ， 对应集合 · 是 充分条件； · 是 必要条件。 解题思路 1. 分别化简两个命题对应的不等式/范围； 1. 转化为集合包含关系； 1. 小范围推大范围：小充分、大必要； 1. 判断推出方向，确定充分、必要、充要、既不充分也不必要； 1. 含参题型：由推出关系列集合包含，求参数范围。 考点五 全称量词与存在量词 解题原理 1. 全称命题：，全部成立； 1. 存在命题：，至少一个成立； 1. 否定规则：全称改存在，存在改全称；结论全盘否定； 1. 恒成立/能成立：全称→恒成立；存在→能成立。 解题思路 1. 写否定：量词互换，条件不变，结论否定； 1. 恒成立问题： 1. 能成立问题： 1. 结合函数单调性、最值、二次函数判别式求解参数。 真题速递 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 3．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 4．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 考点一 集合的运算 【例题分析】 例1．（2026·广东·模拟预测）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再按照交集的定义计算即可. 【详解】由题意，. 例2．（2026·河南南阳·二模）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集和交集含义即可得到答案. 【详解】，则. 例3．（2026·河北保定·一模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由解得：或，故或， 由，解得：，故， 所以 【变式训练】 变式1．（2026·江西南昌·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，且，可得， 所以. 变式2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算集合，再根据集合的交集和并集的定义计算判断各个选项； 【详解】因为， 对于A，因为，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误， D正确 变式3．（2026·安徽阜阳·二模）已知集合，，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】因为，又， 所以或. 考点二 子集与真子集问题 【例题分析】 例1．（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【答案】A 【分析】确定集合，根据集合中元素的个数确定子集的个数. 【详解】由题意且，的值可以为：，所以有6个元素. 故集合的子集有：个. 例2．（2026·江苏镇江·二模）集合的子集个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．无数个 【答案】A 【详解】由，得，即， 解得，所以， 所以集合的子集个数是. 例3．（25-26高三下·湖南邵阳·月考）若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】由集合的无序性结合集合的关系确定，进而可求集合的真子集个数. 【详解】因为，所以，所以的真子集个数为. 【变式训练】 变式1．（2026·安徽·三模）已知集合，集合，则的真子集个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意得，集合，则． 则的真子集个数为． 变式2．（2026·安徽淮南·二模）已知集合，⫋，则符合条件的集合的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】集合， ，所以可能的取值为，，，即集合， 是的真子集， 因此集合的个数为. 变式3．（2026·湖南怀化·一模）全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 【答案】A 【详解】因为全集，且， 所以可能为，共个 即集合的个数为. 考点三 集合含参问题 【例题分析】 例1．（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再利用集合间的关系，即可求解. 【详解】由，得到，解得，则, 又， 当时，，当时，，当时，， 又，当时，， 当时，， 由是任何集合的子集，可得满足条件， 综上所述，. 例2．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】化简集合分式不等式等价于，解得，即， 化简集合由得，即； 根据包含关系求的范围表示中所有元素都属于， 要让区间完全落在内，只需满足：解得， 即的取值范围为. 例3．（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为恒成立问题，由对称性求出函数的值域，得到不等式，求出答案 【详解】，即的解集为P，设， 设，由于，故为偶函数， 由对称性可知， 又，故， 因为，，作出函数的图象如下图： 由图可知，要使，只需满足，解得. 【变式训练】 变式1．（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 变式2．（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【答案】D 【详解】由知是的子集，若，则中有重复元素0，不合题意舍去； 若，则无解；若，则，经检验符合题意. 所以 变式3．（2026·湖北十堰·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知集合； 已知集合，由于可得是的正因数； 当时，；当时，；当时，；当时，； 所以； 因为，集合中的最大元素为，所以必须大于等于6，即，所以实数的取值范围是. 考点四 充分条件与必要条件 【例题分析】 例1．（2026·青海西宁·二模）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（   ） A．存在一条直线 B．存在一条直线 C．存在两条平行直线 D．存在两条异面直线 【答案】D 【详解】选项A：若与相交，只要直线平行于两平面的交线，就满足，无法推出，排除A； 选项B：若与相交，只要内的直线平行于两平面的交线，就满足，无法推出，排除B； 选项C：若与相交，可在内取平行于交线，在内取也平行于交线，满足，无法推出，排除C； 选项D：对于异面直线，可在内作出，在内作出，可得是内的相交直线，是内的相交直线，且都平行于另一个平面，根据面面平行判定定理可推出，符合要求. 例2．（2026·吉林白山·模拟预测）设p：，q：，则p是q的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】解两命题对应不等式，然后由充分，必要条件与集合包含之间的关系可得答案. 【详解】，， 注意到与集合之间无包含关系，则命题是命题的既不充分也不必要条件. 例3．（2026·广东深圳·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】单调递增，， 单调递增，， ， 即“”是“”的充要条件. 【变式训练】 变式1．（2026·河南周口·模拟预测）已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义，分析求解，即可得答案. 【详解】是等比数列，， 对任意的正整数都成立， ，， 是等比数列，是单调递增数列，， ∴“对任意的正整数都有”是“是单调递增数列”的充分必要条件. 变式2．（2026·辽宁辽阳·二模）已知，把的图象向右平移个单位得到的图象，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】应用三角函数平移及奇偶性结合充分必要条件定义判断. 【详解】把的图象向右平移个单位得到， 当为偶函数，则，即得，不能得出， 当时，则为偶函数， 所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件. 变式3．（2026·北京石景山·一模）数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】取特殊数列，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数， 不妨取，当时，， 即“”“”； 不妨取，由可得，则， 即“”“”. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 考点五 全称量词与存在量词 【例题分析】 例1．（2026·山西吕梁·三模）若命题：，，则为________. 【答案】，使得. 【分析】根据全称命题的否定方法可得结论. 【详解】由全称命题的否定可知，：，使得. 例2．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意，分、两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解. 【详解】可化为， 由题意可知，恒成立， 当时，原不等式为，解得，不合题意； 当时，依题意得，解得， 综上所述，的取值范围为． 【变式训练】 变式1．（2026·江西上饶·二模）若，且“，”为假命题，则_________． 【答案】 【分析】根据题意得函数与函数在有相同的零点，再求出零点，进而得到即可． 【详解】由题得函数与函数有相同的零点， 而在的零点为，， 所以，也是的两个根， 即：， 变式2．（2026·福建·一模）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于的方程，利用判别式得到关于的不等式，最后分和两种情况分析，确定的取值范围. 【详解】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题． 所以对任意实数，方程都有实数解． 故而对任意固定的实数都有解． 即关于的不等式对任意固定的实数都有解． 对不等式分情况讨论： ①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解. 当时,关于的二次函数开口向上, 其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意. ②.若,即.关于的二次函数开口向下, 其最大值为. 要使不等式对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负, 即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意. 因此，的取值范围是． 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $